Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 498, № 1, стр. 10-15
ОБ АТТРАКТОРАХ УРАВНЕНИЙ РЕАКЦИИ–ДИФФУЗИИ В ПОРИСТОЙ ОРТОТРОПНОЙ СРЕДЕ
К. А. Бекмаганбетов 1, 2, *, В. В. Чепыжов 3, 4, **, Г. А. Чечкин 2, 5, 6, ***
1 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова, Казахстанский филиал
Нур-Султан, Казахстан
2 Институт математики и математического моделирования
Алматы, Казахстан
3 Институт проблем передачи информации
им. А.А. Харкевича Российской академии наук
Москва, Россия
4 Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
Москва, Россия
5 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия
6 Институт математики с компьютерным центром – подразделение Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
Уфа, Россия
* E-mail: bekmaganbetov-ka@yandex.kz
** E-mail: chep@iitp.ru
*** E-mail: chechkin@mech.math.msu.su
Поступила в редакцию 18.02.2021
После доработки 18.02.2021
Принята к публикации 09.03.2021
Аннотация
В работе изучается система уравнений реакции–диффузии в перфорированной области с быстро осциллирующими членами в самом уравнении и в граничных условиях. Нелинейная функция в уравнениях может не удовлетворять условию Липшица, поэтому теорема единственности для соответствующей начально-краевой задачи для рассматриваемой системы уравнений реакции–диффузии может не выполняться. При этом доказано, что траекторные аттракторы этой системы слабо стремятся в соответствующей топологии к траекторным аттракторам усредненной системы реакции–диффузии со “странным членом” (потенциалом).
ВВЕДЕНИЕ
Интерес к задачам в перфорированных областях возник в связи прикладными задачами биологии, механики и инженерии. Работы, посвященные асимптотическому анализу таких задач, см., например, [1–5] и библиографию в этих работах. Особенно интересно изучать задачи, в которых может не выполняться теорема единственности. В таких задачах проводится усреднение соответствующих аттракторов (см. рис. 111, например). Аттракторы характеризуют всю динамику рассматриваемой модели (см., например, монографии [6–8] и ссылки в них). В работе [9] изучалось усреднение аттракторов скалярных эволюционных уравнений с диссипацией в периодически перфорированной области. В настоящей работе мы рассматриваем начально-краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими членами в перфорированной области с третьим краевым условием на границе полостей.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Пусть $\Omega $ – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $n \geqslant 3$, с кусочно-гладкой границей $\partial \Omega $. Пусть ${{G}_{0}}$ – область, принадлежащая $Y = {{\left( { - \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}} \right)}^{n}}$, такая, что ${{\bar {G}}_{0}}$ является компактом, диффеоморфным шару.
Пусть $\delta > 0$ и M – некоторое множество, введем следующее обозначение: δM = $\{ x{\kern 1pt} :\;{{\delta }^{{ - 1}}}x \in M\} $. Предположим, что $\varepsilon > 0$ достаточно мало, чтобы
Для $j \in {{\mathbb{Z}}^{n}}$ определимОпределим область ${{\tilde {\Omega }}_{\varepsilon }} = \{ x \in \Omega {\kern 1pt} :\;\rho (x,\partial \Omega ) > \sqrt n \varepsilon \} $ и множество допустимых индексов
Заметим, что $\left| {{{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \right| \cong d{{\varepsilon }^{{ - n}}}$, где $d > 0$ – некоторая постоянная. Рассмотрим область
Введем следующие обозначения:
Мы изучаем асимптотическое поведение траекторных аттракторов начально-краевой задачи
(1)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{u}_{\varepsilon }}}}{{\partial \nu }} + {{\varepsilon }^{{n/(2 - n)}}}B_{\varepsilon }^{j}(x){{u}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in \partial G_{\varepsilon }^{j}, \\ j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }},\quad t \in (0, + \infty ), \\ \end{gathered} $(2)
$\int\limits_\Omega \,a\left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right)\varphi (x)dx \to \int\limits_\Omega \,\bar {a}(x)\varphi (x)dx\quad (\varepsilon \to 0 + )$Для вектор-функции $g\left( {x,y} \right)$ будем считать, что функции $g_{\varepsilon }^{i}(x)\, = \,{{g}^{i}}\left( {x,\tfrac{x}{\varepsilon }} \right)\, \in \,{{L}_{2}}(\Omega \, \times \,{{\mathbb{R}}^{n}})$ и имеют средние ${{\bar {g}}^{i}}(x)$ в пространстве $V{\kern 1pt} ' = {{H}^{{ - 1}}}(\Omega )$ при $\varepsilon \to 0 + $, т.е.
(3)
$\int\limits_\Omega \,{{g}^{i}}\left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right)\varphi (x)dx \to \int\limits_\Omega \,{{\bar {g}}^{i}}(x)\varphi (x)dx\quad (\varepsilon \to 0 + )$В работе [10] приведены примеры функций вида $a\left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right)$ и $g\left( {x,\frac{x}{\varepsilon }} \right)$, которые удовлетворяют условиям усреднения (2) и (3).
Здесь $B_{\varepsilon }^{j}(x)$ – диагональная матрица с ограниченными элементами вида
Обозначим также вектор
а диагональную матрицу с элементами ${{b}^{{11}}}(x,y)$, ... ..., bNN(x, y) – через $B(x,y)$.Предположим, что вектор-функция $f(v)\, \in \,C({{\mathbb{R}}^{N}}$; ${{\mathbb{R}}^{N}})$ удовлетворяет следующим неравенствам:
(5)
$\sum\limits_{i = 1}^N \,{\text{|}}{{f}^{i}}({v}){{{\text{|}}}^{{{{p}_{i}}/({{p}_{i}} - 1)}}} \leqslant {{C}_{0}}\left( {\sum\limits_{i = 1}^N \,{\text{|}}{{v}^{i}}{{{\text{|}}}^{{{{p}_{i}}}}} + 1} \right),$Введем следующие обозначения для пространств ${\mathbf{H}}: = {{[{{L}_{2}}(\Omega )]}^{N}}$, ${{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }}: = {{[{{L}_{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})]}^{N}}$, V := := ${{[H_{0}^{1}(\Omega )]}^{N}}$, ${{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}: = {{[{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }};\partial \Omega )]}^{N}}$ – множество всех вектор-функций из ${{[{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }})]}^{N}}$ с нулевым следом на $\partial \Omega $. Нормы в этих пространствах определяются, соответственно, следующим образом:
Напомним, что ${\mathbf{V}}{\kern 1pt} ': = {{[{{H}^{{ - 1}}}(\Omega )]}^{N}}$ – двойственное пространство к пространству V, кроме того, ${\mathbf{V}}_{\varepsilon }^{'}$ – двойственное пространство для ${{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }}$.
Пусть ${{q}_{i}} = \frac{{{{p}_{i}}}}{{{{p}_{i}} - 1}}$ для всех $i = 1, \ldots ,N$. Будем использовать следующие векторные обозначения ${\mathbf{p}} = ({{p}_{1}}, \ldots ,{{p}_{N}})$ и ${\mathbf{q}} = ({{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{N}})$, а также определим пространства
Как и в [7], будем исследовать слабые решения начально-краевой задачи (1), т.е. функции
(7)
$\begin{gathered} \, + \int\limits_{{{Q}_{\varepsilon }}} \,{{a}_{\varepsilon }}(x)f({{u}_{\varepsilon }}) \cdot \psi dxdt + \\ \, + {{\varepsilon }^{{n/(2 - n)}}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \,\int\limits_0^{ + \infty } \,\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} \,B_{\varepsilon }^{j}(x){{u}_{\varepsilon }} \cdot \psi dxdt = \\ \end{gathered} $Если ${{u}_{\varepsilon }}(x,t) \in {{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{p}}}}(0,M;{{{\mathbf{L}}}_{{{\mathbf{p}},\varepsilon }}})$, тогда из условия (5) следует, что $f(u(x,t)) \in {{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{q}}}}(0,M;{{{\mathbf{L}}}_{{{\mathbf{q}},\varepsilon }}})$. В то же время, если ${{u}_{\varepsilon }}(x,t) \in {{{\mathbf{L}}}_{2}}(0,M;{{{\mathbf{V}}}_{\varepsilon }})$, тогда
$\Delta {{u}_{\varepsilon }}(x,t) + {{g}_{\varepsilon }}\left( x \right) \in {{{\mathbf{L}}}_{2}}(0,M;{\mathbf{V}}_{\varepsilon }^{'})$.
Поэтому для произвольного слабого решения ${{u}_{\varepsilon }}(x,s)$ задачи (1) имеем
Из теоремы вложения Соболева следует, что
Замечание 1. Существование слабого решения $u(x,s)$ задачи (1) для любой функции $U \in {{{\mathbf{H}}}_{\varepsilon }}$ и фиксированного ε, такого, что $u(x,0)$ = = U(x), может быть доказано стандартным способом (см., например, [6]). Это решение может быть не единственным, поскольку функция $f(v)$ удовлетворяет условиям (5), (6) и для нее не предполагается выполнение условия Липшица относительно $v$.
Для удобства будем опускать индекс ε в обозначениях пространств, там, где это не вызывает непонимания. Положим ${{E}_{1}} = {{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{p}}}} \cap {\mathbf{V}}$, ${{E}_{0}} = {{{\mathbf{H}}}^{{ - {\mathbf{r}}}}}$, $E = {\mathbf{H}}$ и $A(u) = H\Delta u - a( \cdot )f(u) + g( \cdot )$ и определим банаховы пространства для каждого отрезка $[{{t}_{1}},{{t}_{2}}] \in R$
(8)
$\begin{gathered} {{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}: = {{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{p}}}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{{{\mathbf{L}}}_{p}}) \cap {{{\mathbf{L}}}_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{V}}) \cap \\ \, \cap {{{\mathbf{L}}}_{\infty }}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{H}}) \cap \left\{ {v\left| {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right. \in {{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{q}}}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{{{\mathbf{H}}}^{{ - {\mathbf{r}}}}})} \right\} \\ \end{gathered} $(9)
$\begin{gathered} {\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}}}}: = {\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{p}}}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{p}}}})}}}\; + \;{\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{V}})}}} + \\ \, + \;{\text{||}}v{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}_{\infty }}(0,M;{\mathbf{H}})}}} + \mathop {\left\| {\frac{{\partial v}}{{\partial t}}} \right\|}\nolimits_{{{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{q}}}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{{{\mathbf{H}}}^{{ - {\mathbf{r}}}}})} . \\ \end{gathered} $Положив ${{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}} = {{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{q}}}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{{{\mathbf{H}}}^{{ - {\mathbf{r}}}}})$, получаем, что ${{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}} \subseteq {{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$, а если $u(s)\, \in \,{{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$, тогда $A(u(s)) \in {{\mathcal{D}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$. Далее обозначим
Ясно, что $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + } \subset \mathcal{F}_{ + }^{{{\text{loc}}}}$ и пространство траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ является трансляционно-инвариантным, т.е. если $u(s) \in \mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$, тогда и $u(h + s) \in \mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ для любых $h \geqslant 0$. Далее, используя норму пространства ${{{\mathbf{L}}}_{2}}({{t}_{1}},{{t}_{2}};{\mathbf{H}})$, определим метрики ${{\rho }_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}( \cdot , \cdot )$ в пространствах ${{\mathcal{F}}_{{{{t}_{1}},{{t}_{2}}}}}$ следующим образом:
Эти метрики порождают топологию $\Theta _{ + }^{{loc}}$ в пространстве $\mathcal{F}_{ + }^{{{\text{loc}}}}$ (соответственно $\Theta _{{\varepsilon , + }}^{{{\text{loc}}}}$ в $\mathcal{F}_{{\varepsilon , + }}^{{{\text{loc}}}}$). Напомним, что последовательность $\{ {{v}_{k}}\} \subset \mathcal{F}_{ + }^{{{\text{loc}}}}$ сходится к функции $v \in \mathcal{F}_{ + }^{{{\text{loc}}}}$ при $k \to \infty $ в $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$, если ${\text{||}}{{v}_{k}}( \cdot ) - v( \cdot ){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}_{2}}(0,M;{\mathbf{H}})}}} \to 0$ $(k \to \infty )$ для любого $M > 0$. Топология $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$ метризуема и соответствующее метрическое пространство является полным. Мы рассматриваем топологию в пространстве траекторий $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$ задачи (1). Полугруппа сдвигов $\{ S(t)\} $, действующая на $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$, непрерывна в рассматриваемой топологии $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$.
Определим ограниченные множества в $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$, используя банаховы пространства
(10)
$\begin{gathered} \mathcal{F}_{ + }^{b} = {\mathbf{L}}_{{\mathbf{p}}}^{b}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{{\mathbf{L}}}_{{\mathbf{p}}}}) \cap {\mathbf{L}}_{2}^{b}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{V}}) \cap {{{\mathbf{L}}}_{\infty }}({{\mathbb{R}}_{ + }};{\mathbf{H}}) \cap \\ \, \cap \left\{ {{v}\left| {\frac{{\partial {v}}}{{\partial t}}} \right. \in {\mathbf{L}}_{{\mathbf{q}}}^{b}({{\mathbb{R}}_{ + }};{{{\mathbf{H}}}^{{ - {\mathbf{r}}}}})} \right\}, \\ \end{gathered} $Рассмотрим полугруппу сдвигов $\{ S(t)\} $ на $\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + },$ $S(t){\kern 1pt} :\;\mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + } \to \mathcal{K}_{\varepsilon }^{ + }$, $t \geqslant 0$.
Пусть ${{\mathcal{K}}_{\varepsilon }}$ означает ядро задачи (1), которое состоит из всех слабых решений $u(s),s \in \mathbb{R}$, ограниченных в пространстве
Имеет место
Лемма 1. При выполнении условий (5), (6) задача (1) имеет траекторные аттракторы ${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }}$ в топологическом пространстве $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$. Множество ${{\mathfrak{A}}_{\varepsilon }}$ равномерно (по $\varepsilon \in (0,1)$) ограничено в $\mathcal{F}_{ + }^{b}$ и компактно в $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$. Более того,
ядро ${{\mathcal{K}}_{\varepsilon }}$ – непусто и равномерно (по $\varepsilon \in (0,1)$) ограничено в ${{\mathcal{F}}^{b}}$. Напомним, что пространства $\mathcal{F}_{ + }^{b}$ и $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$ зависят от ε.Доказательство этого предложения практически полностью совпадает с доказательством, приведенным в [8], для более частного случая. Существование поглощающего множества, ограниченного в $\mathcal{F}_{ + }^{b}$ и компактного в $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$, доказывается так же, как и в [7].
2. УСРЕДНЕНИЕ АТТРАКТОРОВ
Чтобы определить “странный член” (потенциал в предельном уравнении), рассмотрим задачу
(11)
${{V}^{{kk}}}(x) = \int\limits_{\partial {{G}_{0}}} \,\frac{\partial }{{\partial {{\nu }_{y}}}}{{v}^{k}}(x,y)d{{\sigma }_{y}},\quad k = 1, \ldots ,N.$Усредненная (предельная) задача имеет следующий вид:
(12)
$\begin{gathered} \frac{{\partial u}}{{\partial t}} = H\Delta u - \bar {a}(x)f(u) - V(x)u + \bar {g}(x),\quad x \in \Omega , \\ u = 0,\quad x \in \partial \Omega , \\ u = U(x),\quad t = 0, \\ \end{gathered} $Имеет место следующее утверждение о сходимости.
Теорема 1. В топологическом пространстве $\Theta _{ + }^{{{\text{loc}}}}$ справедливо предельное соотношение
Более того
Замечание 2. Напомним, что пространства в теореме 1 зависят от ε. Все функции могут быть продолжены внутрь отверстий с сохранением соответствующих норм.
Если рассмотреть уравнения реакции–диффузии, для которых имеет место теорема единственности в задаче Коши. Для этого достаточно предположить, что нелинейный член $f(u)$ в системе уравнений (1) удовлетворяет условию
(13)
$\begin{gathered} (f({{v}_{1}}) - f({{v}_{2}}),{{v}_{1}} - {{v}_{2}}) \geqslant - C{\text{|}}{{v}_{1}} - {{v}_{2}}{{{\text{|}}}^{2}} \\ {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad {{v}_{1}},{{v}_{2}} \in {{\mathbb{R}}^{N}}. \\ \end{gathered} $При этом выполняется следующее
Следствие 1. В условиях теоремы 1 имеет место предельное соотношение
Список литературы
Марченко В.А., Хруслов Е.Я. Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей. Киев: Наукова думка, 1974.
Oleinik O.A., Shamaev A.S., Yosifian G.A. Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization. Amsterdam: North–Holland; 1992.
Жиков В.В., Козлов С.М., Олейник О.А. Усреднение дифференциальных операторов. М.: Физматлит, 1993.
Cioranescu D., Murat F. Un terme étrange venu d’ailleurs I & II. In Nonlinear Partial Differential Equations and their Applications. Collège de France Seminar, Volume II & III, ed. H. Berzis, J.L. Lions. Research Notes in Mathematics, 60 & 70, London: Pitman, 98–138 & 154–178; 1982.
Беляев А.Г., Пятницкий А.Л., Чечкин Г.А. Усреднение в перфорированной области с осциллирующим третьим краевым условием // Матем. сб. 2001. Т. 192. № 7. С. 3– 20.
Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.
Chepyzhov V.V., Vishik M.I. Attractors for equations of mathematical physics. Providence (RI): Amer. Math. Soc.; 2002.
Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Applied Mathematics Series. V. 68. New York (NY): Springer-Verlag; 1988.
Bekmaganbetov K.A., Chechkin G.A., Chepyzhov V.V. “Strange Term” in Homogenization of Attractors of Reaction–Diffusion Equation in Perforated Domain // Chaos, Solitons & Fractals. 2020. V. 140.
Вишик М.И., Чепыжов В.В. Усреднение траекторных аттракторов эволюционных уравнений с быстро осциллирующими членами // Математический сборник. 2001. Т. 192. № 1. С. 13–50.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления