Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 498, № 1, стр. 65-70

1. ДИВИЗОРЫ ГИПЕРЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Обозначим $v = {{v}_{h}}$ нормирование поля $K(x)$, соответствующее неприводимому многочлену h ∈ ∈ $K[x]$, и $K{{(x)}_{v}}$ – пополнение поля $K(x)$ по нормированию $v$. Предположим, что нормирование $v$ поля $K(x)$ имеет два продолжения ${{v}^{ - }}$ и ${{v}^{ + }}$ на поле L. Это означает, что поле L может быть вложено в $K{{(x)}_{v}}$ двумя способами, которые соответствуют нормированиям ${{v}^{ - }}$ и ${{v}^{ + }}$, и каждый элемент $\beta \in L$ имеет два разложения в степенные ряды в поле формальных степенных рядов, которые также соответствуют нормированиям ${{v}^{ - }}$ и ${{v}^{ + }}$:

причем для любого $s \geqslant {{s}_{0}}$ имеем где в обозначениях ${{v}^{ \pm }}$ и $e_{j}^{ \pm }$ везде выбирается знак $ + $ или знак $ - $ соответственно. Будем полагать, что ${\text{deg}}\,{{v}^{ - }} = {\text{deg}}\,{{v}^{ + }} = {\text{deg}}\,h$.

Обозначим Div(L) = $\left\{ {D = \sum\limits_{v \in \mathcal{V}} {{{n}_{v}}v,{{n}_{v}} \in \mathbb{Z}} } \right\}$ – группа K-дивизоров поля L, где каждому дивизору D взаимно однозначно соответствует набор целых чисел ${{\{ {{n}_{v}}\} }_{{v \in \mathcal{V}}}}$, в котором только конечное количество элементов отлично от нуля. Там, где ясно, что суммирование берется по $v \in \mathcal{V}$, будем его опускать. Все дивизоры, о которых далее пойдет речь, определены над K и лежат в ${\text{Div}}(L)$.

Для $D \in {\text{Div}}(L)$, $D = \sum {{{n}_{v}}v} $, определим degD = = $\sum {{{n}_{v}}{\text{deg}}\,v} $, $\mathop {{\text{deg}}}\nolimits_z D = \sum\limits_{{{n}_{v}} > 0} {{{n}_{v}}{\text{deg}}\,v} $. Для фиксированного нормирования $v \in \mathcal{V}$ определим число $v(D) = {{n}_{v}} = {{n}_{v}}(D)$. Дивизор $D \in {\text{Div}}(L)$ называется эффективным, если $v(D) \geqslant 0$ для всех $v \in \mathcal{V}$. Скажем, что для дивизоров $D,E \in {\text{Div}}(L)$ выполнено сравнение $D \leqslant E$, если $E - D$ эффективный дивизор. Для двух эффективных дивизоров D, $E \in {\text{Div}}(L)$ определим эффективный дивизор ${\text{gcdiv(}}D,E)$ ∈ ∈ Div(L) следующим образом:

Если $min(v(D),v(E)) = 0$ для всех $v \in \mathcal{V}$, то будем писать ${\text{gcdiv(}}D,E) = 0$.

Для главного дивизора $(\alpha )$ функции $\alpha \in L$, $\alpha \ne 0$, обозначим ${{(\alpha )}_{ \circ }}$ и ${{(\alpha )}_{\infty }}$, соответственно, эффективный дивизор нулей и эффективный дивизор полюсов функции α так, что $(\alpha ) = {{(\alpha )}_{ \circ }} - {{(\alpha )}_{\infty }}$, причем $v({{(\alpha )}_{ \circ }}) \cdot v({{(\alpha )}_{\infty }}) = 0$ для всех $v \in \mathcal{V}$. Для функций α, $\beta \in L$ определим gcdiv(α, β) = = ${\text{gcdiv(}}{{(\alpha )}_{ \circ }},{{(\beta )}_{ \circ }})$.

Для нормирования ${{v}_{h}}$ поля $K(x)$, заданного с помощью неприводимого многочлена $h \in K[x]$, имеющего два неэквивалентных продолжения $v_{h}^{ - }$ и $v_{h}^{ + }$ на поле L, обозначим соответствующие эффективные дивизоры $(h)_{ \circ }^{ - } = 1 \cdot v_{h}^{ - }$, $(h)_{ \circ }^{ + } = 1 \cdot v_{h}^{ + }$, $(h)_{ \circ }^{ - },(h)_{ \circ }^{ + } \in {\text{Div}}(L)$. Если же продолжения $v_{h}^{ - }$ и $v_{h}^{ + }$ нормирования ${{v}_{h}}$ поля $K(x)$ на поле L эквивалентны, то будем писать ${{v}_{h}} = v_{h}^{ - } = v_{h}^{ + }$, $(h)_{ \circ }^{ - }$ = $(h)_{ \circ }^{ + }$ ∈ ∈ Div(L). Аналогично, для продолжений $v_{\infty }^{ - }$ и $v_{\infty }^{ + }$ бесконечного нормирования ${{v}_{\infty }}$ поля $K(x)$, будем использовать обозначения эффективных дивизоров ${{\infty }^{ - }} = 1 \cdot v_{\infty }^{ - }$ и ${{\infty }^{ + }} = 1 \cdot v_{\infty }^{ + }$, причем ${{\infty }^{ - }} \ne {{\infty }^{ + }}$, если $v_{\infty }^{ - } \ne v_{\infty }^{ + }$, и ${{\infty }^{ + }} = {{\infty }^{ - }} = \infty $, если $v_{\infty }^{ - } = v_{\infty }^{ + } = {{v}_{\infty }}$. Таким образом, например, запись ${{\infty }^{ - }} + {{\infty }^{ + }}$ мы будем использовать, как для случая ${{\infty }^{ - }} \ne {{\infty }^{ + }}$, так и для случая ${{\infty }^{ - }} = {{\infty }^{ + }}$, когда ${{\infty }^{ - }} + {{\infty }^{ + }} = 2\infty $.

Инволюция $\iota $ поля L, действующая $\iota \,:\,\sqrt f \, \to \, - {\kern 1pt} \sqrt f $, ${{\iota }^{2}} = {\text{id}}$, может быть естественным образом определена на множестве нормирований поля L. Действительно, если нормирование $v$ поля $K(x)$ имеет два продолжения ${{v}^{ - }}$ и ${{v}^{ + }}$ (возможно эквивалентных), то для любого $\alpha \in L$ имеем ${{v}^{ - }}(\alpha ) = {{v}^{ + }}(\iota \alpha )$ = = $\iota {{v}^{ + }}(\alpha )$, поэтому корректно писать ${{v}^{ - }} = \iota {{v}^{ + }}$ и ${{v}^{ + }} = \iota {{v}^{ - }}$. Следовательно, инволюция $\iota $ естественным образом продолжается на ${\text{Div}}(L)$ – группу K-дивизоров поля L. В частности, ${{\infty }^{ + }} = \iota {{\infty }^{ - }}$, $(h)_{ \circ }^{ + } = \iota (h)_{ \circ }^{ - }$.

Обозначим $g = [({\text{deg}}f - 1)/2]$. Следующая лемма является аналогом утверждения, сформулированного Мамфордом (cм. [13, шаг II § 2 гл. IIIa]).

Лемма 1. Если $\alpha \in L$, $\alpha \ne 0$, причем $\mathop {{\text{deg}}}\nolimits_z (\alpha )$ ≤ g, то $\alpha \in K(x)$.

Группу дивизоров степени ноль поля L обозначим ${\text{Div}}^\circ (L)$, группу главных дивизоров поля L обозначим $Princ(L)$, группу классов дивизоров степени ноль поля L обозначим $\Delta ^\circ (L) = {\text{Div}}^\circ (L){\text{/Princ}}(L)$. Скажем, что дивизоры D, $E \in {\text{Div}}^\circ (L)$ эквивалентны $D \sim E$, если они принадлежат одному классу в группе классов дивизоров $\Delta ^\circ (L)$.

Для эффективного дивизора $D \in {\text{Div}}(L)$ такого, что $v_{\infty }^{ - }(D) = v_{\infty }^{ + }(D)$ = 0, обозначим ${\text{Pol}}(D) \in K[x]$ многочлен минимальной степени такой, что ${{({\text{Pol}}(D))}_{ \circ }} \geqslant D$ и старший коэффициент многочлена Pol(D) равен 1. Поскольку дивизор $D + \iota D - {\text{deg}}D({{\infty }^{ - }} + {{\infty }^{ + }})$ является главным дивизором некоторого многочлена из $K[x]$, то такой многочлен ${\text{Pol}}(D)$ корректно определен.

Для функции $\alpha \in K[x][\sqrt f ]$ и $t \in \mathbb{N}$ обозначим ${{(\alpha )}_{{[t]}}}$ такой дивизор, что ${\text{deg}}{{(\alpha )}_{{[t]}}} = 2t$, и главный дивизор функции $\alpha $ имеет вид (α) = (α)_[t] – ‒ $t({{\infty }^{ - }} + {{\infty }^{ + }})$. Назовем дивизор $D \in {\text{Div}}(L)$ приведенным, если D эффективный дивизор степени g, такой, что $2{\text{gcdiv(}}D,\iota D) \leqslant {{(f)}_{{[2g + 2]}}}$. Если для приведенного дивизора D справедливо $v_{\infty }^{ - }(D) = v_{\infty }^{ + }(D)$ = 0, то корректно определен многочлен U = Pol(D) ∈ ∈ $K[x]$, причем ${\text{deg}}U = g$ и главный дивизор многочлена U имеет вид (U) = D + $\iota D - g({{\infty }^{ - }} + {{\infty }^{ + }})$.

Пусть $V \in K[x]$, ${\text{deg}}V \leqslant g + 1$, тогда имеем $v_{\infty }^{ \pm }(V - \sqrt f ) \geqslant - g - 1$. Значит, дивизор ${{(V - \sqrt f )}_{{[g + 1]}}}$ эффективный и ${\text{deg}}{{(V - \sqrt f )}_{{[g + 1]}}} = 2(g + 1)$.

Пусть дан многочлен $U \in K[x]$, ${\text{deg}}U \leqslant g$. Для эффективного дивизора $(U)_{ \circ }^{ - }$ такого, что дивизор нулей многочлена $U$ имеет вид ${{(U)}_{ \circ }}$ = $(U)_{ \circ }^{ - } + \iota (U)_{ \circ }^{ - }$, определим эффективные дивизоры $(U)_{ \circ }^{ + }$, $(U)_{{[g]}}^{ - }$, $(U)_{{[g]}}^{ + }$ ∈ Div(L) следующим образом:

Далее мы будем везде использовать сокращенную запись $(U)_{ \circ }^{ - },\;(U)_{ \circ }^{ + }$, подразумевая под ней дивизоры $(U)_{{[g]}}^{ - }$ и $(U)_{{[g]}}^{ + }$ степени g соответственно. Также под сокращенной записью ${{(V - \sqrt f )}_{ \circ }}$ для $V \in K[x]$, ${\text{deg}}V \leqslant g + 1$, мы будем иметь в виду дивизор ${{(V - \sqrt f )}_{{[g + 1]}}}$ степени $2(g + 1)$.

Предложение 1. Пусть $g \geqslant 1$ и неэквивалентные нормирования ${{v}_{x}}$, ${{v}_{h}}$ поля $K(x)$ имеют по два неэквивалентных продолжения $v_{x}^{ - } \ne v_{x}^{ + }$, $v_{h}^{ - } \ne v_{h}^{ + }$ на поле L, которым соответствуют эффективные дивизоры $(x)_{ \circ }^{ - } \ne (x)_{ \circ }^{ + }$, $(h)_{ \circ }^{ - } \ne (h)_{ \circ }^{ + }$ такие, что ${\text{deg}}(x)_{ \circ }^{ - }$ = = ${\text{deg}}(h)_{ \circ }^{ - }$ = 1. Пусть $D \in {\text{Div}}(L)$ – некоторый приведенный дивизор такой, что $v_{x}^{ + }(D) = v_{h}^{ + }(D)$ = 0. Тогда 

1) существует единственный многочлен $V\, \in \,K[x]$, ${\text{deg}}V \leqslant g + 1$, такой, что

D + $(x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$ ≤ ${{(V - \sqrt f )}_{{[g + 1]}}}$;

2) существует единственный с точностью до умножения на постоянную из K* многочлен $U \in K[x]$, ${\text{deg}}U \leqslant g$, такой, что главный дивизор

$U = D + \iota D - g({{\infty }^{ - }} + {{\infty }^{ + }})$;

3) дивизор $E = {{(V - \sqrt f )}_{{[g + 1]}}} - D - (x)_{ \circ }^{ - } - (h)_{ \circ }^{ - }$ является приведенным;

4) если ${{\infty }^{ - }} \ne {{\infty }^{ + }}$, то $v_{\infty }^{ \pm }(V - \sqrt f ) = {{\delta }^{ \pm }} - (g + 1)$, причем ${{\delta }^{ \pm }} \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, ${{\delta }^{ \pm }} \geqslant v_{\infty }^{ \pm }(D)$, ${{\delta }^{ - }} \cdot {{\delta }^{ + }} = 0$;

5) корректно определен многочлен $T \in K[x]$:

6) справедливо равенство

T = E + $\iota E$ – $g({{\infty }^{ - }} + {{\infty }^{ + }})$.

Для данного приведенного дивизора $D\, \in \,{\text{Div}}(L)$, $v_{x}^{ + }(D) = v_{h}^{ + }(D) = 0$, и данных дивизоров $(x)_{ \circ }^{ - }$, $(h)_{ \circ }^{ - }$, соответствующих линейным нормированиям $v_{x}^{ - }$, $v_{h}^{ - }$, назовем представлением Мамфорда дивизора $D + (x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$ набор из двух многочленов $(Uxh,V)$, корректно определенных по предложению 1. Представление Мамфорда данного приведенного дивизора определено однозначно с точностью до умножения многочлена U на постоянную из K*. Из предложения 1 следует, что представлением Мамфорда дивизора

E + $(x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$ = ${{(V - \sqrt f )}_{{[g + 1]}}}$ – D

является набор $(T \cdot x \cdot h,V)$.

Теперь покажем, как по представлению Мамфорда – набору из двух многочленов, удовлетворяющих специальным условиям, – построить соответствующий приведенный дивизор.

Пусть даны многочлены $T,U,V \in K[x]$, удовлетворяющие условиям

Так как $xh\,{\text{|}}\,f - {{V}^{2}}$, то без ограничения общности считаем обозначения нормирований $v_{x}^{ - } \ne v_{x}^{ + }$, $v_{h}^{ - } \ne v_{h}^{ + }$ такими, что $v_{x}^{ - }(V\, - \,\sqrt f )\, > \,0$ и ${v}_{h}^{ - }(V\, - \,\sqrt f )$ > 0. Положим

Тогда D – приведенный дивизор, и представление Мамфорда дивизора $D + (x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$ имеет вид $(U \cdot x \cdot h,V)$. Действительно, по определению D – эффективный дивизор, для которого справедливо соотношение $2{\text{gcdiv(}}D,\iota D) \leqslant {{(f)}_{{[2(g + 1)]}}}$, и в силу

имеем ${\text{deg}}\,D = g$. Кроме того, по предложению 1 единственным образом определен приведенный дивизор E, для которого представлением Мамфорда является набор $(T \cdot x \cdot h,V)$.

Таким образом, справедливо следующее

Предложение 2. Существуют взаимно однозначные соответствия между следующими множествами:

множеством приведенных дивизоров $D\, \in \,{\text{Div}}(L)$, $v_{x}^{ + }(D) = v_{h}^{ + }(D) = 0$;

множеством пар многочленов $U,V \in K[x]$, lcU = 1, удовлетворяющих (2) для некоторого $T \in K[x]$;

множеством элементов $\alpha = \tfrac{{\sqrt f + V}}{T} \in L$, где многочлены $T,V \in K[x]$, ${\text{lc}}(T) = 1$, удовлетворяют условиям (2) для некоторых $U \in K[x]$.

2. ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОЙ ДРОБИ С ПОМОЩЬЮ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МАМФОРДА

Пусть дан элемент $\alpha = (\sqrt f + V){\text{/}}T \in L$, где многочлены $T,V \in K[x]$ удовлетворяют условиям (2) для некоторого $U \in K[x]$. Покажем, как построить обобщенную непрерывную дробь для элемента α, которая сходится к α сразу по двум линейным нормированиям $v_{x}^{ - }$ и $v_{h}^{ - }$.

Положим ${{U}_{{ - 1}}} = U$, ${{V}_{{ - 1}}} = V$, ${{T}_{0}} = T$.

Теорема 1. Существуют и единственны последовательности многочленов ${{U}_{j}},{{T}_{j}},{{V}_{j}},{{e}_{j}} \in K[x]$, $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, ${{U}_{j}} \ne 0$, ${{T}_{j}} \ne 0$, ${{e}_{j}} \ne 0$, и приведенных дивизоров ${{D}_{j}},{{E}_{j}} \in {\text{Div}}(L)$, $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, удовлетворяющих следующим условиям для $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$:

где ${{r}_{j}} = {{v}_{x}}({{T}_{j}})$, ${{s}_{j}} = {{v}_{h}}({{T}_{j}})$.

Пусть последовательности многочленов U_j, T_j, ${{V}_{j}},{{e}_{j}} \in K[x]$, $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, и приведенных дивизоров ${{D}_{j}},{{E}_{j}} \in {\text{Div}}(L)$, $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, определены условиями теоремы 1. Положим ${{\alpha }_{j}} = (\sqrt f + {{V}_{{j - 1}}}){\text{/}}{{T}_{j}} \in L$, a_j = = ${{e}_{j}}{{x}^{{ - {{r}_{j}}}}}{{h}^{{ - {{s}_{j}}}}}$, $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$. Тогда ${{\alpha }_{0}} = \alpha $ и справедливы следующие утверждения:

$({{U}_{{j - 1}}}xh,{{V}_{{j - 1}}})$ – представление Мамфорда дивизора ${{D}_{j}} + (x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$;

$({{T}_{j}}xh,{{V}_{{j - 1}}})$ – представление Мамфорда дивизора ${{E}_{j}} + (x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$;

Поскольку величины r_j, s_j и приведенные дивизоры ${{E}_{j}},\;{{D}_{{j + 1}}}$ могут быть единственным образом восстановлены по многочленам T_j и ${{V}_{{j - 1}}}$, то “неполное частное” a_j есть функция от элемента ${{\alpha }_{j}}$. Поэтому корректно использовать обозначение a_j = = $[{{\alpha }_{j}}]_{{x,h}}^{ - }$.

Пусть теперь дан приведенный дивизор ${{D}_{0}}$ ∈ ∈ Div(L) такой, что $v_{x}^{ + }({{D}_{0}}) = v_{h}^{ + }({{D}_{0}})$ = 0. По предложению 1 корректно определены многочлены ${{U}_{{ - 1}}},{{V}_{{ - 1}}} \in K[x]$ такие, что $({{U}_{{ - 1}}}xh,\,\,{{V}_{{ - 1}}})$ – представление Мамфорда дивизора ${{D}_{0}} + (x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$. Многочлены U_–1, V_–1 определены единственным образом с точностью до домножения многочлена U_–1 на постоянную из K*. Справедливы условия (5) при $j = - 1$ для некоторого многочлена ${{T}_{0}} \in K[x]$. Следовательно, единственным образом определены последовательности многочленов U_j, T_j, V_j, ${{e}_{j}} \in K[x]$, $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, ${{U}_{j}} \ne 0$, ${{T}_{j}} \ne 0$, ${{e}_{j}} \ne 0$, и приведенных дивизоров ${{D}_{j}},{{E}_{j}} \in {\text{Div}}(L)$, $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$, удовлетворяющих условиям (4)–(11) для $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$.

Таким образом, понятие непрерывной дроби может быть идентифицировано с каждой из трех связанных друг с другом последовательностей:

последовательность пар многочленов U_j, V_j, удовлетворяющих (5) и (4) для некоторых многочленов ${{e}_{j}},{{T}_{j}}$, однозначно восстанавливающихся по паре U_j, V_j;

последовательность приведенных дивизоров D_j, удовлетворяющих (10)–(11) для некоторого многочлена ${{V}_{{j - 1}}}$ и приведенного дивизора E_j такого, что $v_{x}^{ - }({{E}_{j}}) = {{r}_{j}}$, $v_{h}^{ - }({{E}_{j}}) = {{s}_{j}}$;

последовательность полных частных α_j, удовлетворяющих

В итоге получаем обобщенную непрерывную дробь

полные и неполные частные которой удовлетворяют соотношениям (12) для $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$. Мы будем рассматривать только такие обобщенные непрерывные дроби, поэтому далее для краткости будем называть выражение (13) непрерывной дробью и обозначать ее следующим образом:

Теорема 2. Пусть ${{D}_{0}} \in {\text{Div}}(L)$ – такой приведенный дивизор, что $v_{x}^{ + }({{D}_{0}}) = v_{h}^{ + }({{D}_{0}}) = 0$. Пусть $({{U}_{{ - 1}}}xh,{{V}_{{ - 1}}})$ – представление Мамфорда дивизора ${{D}_{0}} + (x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$. Пусть D_j – последовательность приведенных дивизоров, построенная в теореме 1. Тогда при $n \in \mathbb{N}$ справедливы соотношения

3. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПЕРИОДИЧНОСТИ

Пусть свободный от квадратов многочлен $f \in K[x]$, такой, что нормирования ${{v}_{x}}$ и ${{v}_{h}}$ поля K(x) имеют два неэквивалентных продолжения $v_{x}^{ - } \ne v_{x}^{ + }$ и $v_{h}^{ - } \ne v_{h}^{ + }$ на поле $L = K(x)(\sqrt f )$.

Теорема 3. Пусть ${{D}_{0}} \in {\text{Div}}(L)$ – такой приведенный дивизор, что ${{r}_{0}} = {v}_{x}^{ - }({{D}_{0}}) = g$ или s₀ = = ${v}_{h}^{ - }({{D}_{0}})$ = g. Пусть $({{U}_{{ - 1}}}xh,{{V}_{{ - 1}}})$ – представление Мамфорда дивизора ${{D}_{0}} + (x)_{ \circ }^{ - } + (h)_{ \circ }^{ - }$ и справедливы построения (4)–(11) для $j \in {{\mathbb{N}}_{0}}$. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) найдется минимальный номер $n \in \mathbb{N}$ такой, что ${{D}_{n}} = {{D}_{0}}$;

2) найдется минимальный номер $n \in \mathbb{N}$ такой, что ${{U}_{{n - 1}}} = c{{U}_{{ - 1}}}$ для некоторой постоянной $c \in K{\kern 1pt} *$;

3) найдется минимальный номер $n \in \mathbb{N}$ такой, что ${{V}_{{n - 1}}} = {{V}_{{ - 1}}}$ и ${{T}_{n}} = {{c}^{{ - 1}}}{{T}_{0}}$ для некоторой постоянной $c \in K{\kern 1pt} *$;

4) найдется минимальный номер $n \in \mathbb{N}$ такой, что ${{E}_{n}} = {{E}_{0}}$;

5) классы эквивалентных дивизоров $(h)_{ \circ }^{ - } - (x)_{ \circ }^{ + }$ ~ ~ $(x)_{ \circ }^{ - } - (h)_{ \circ }^{ + }$ имеют конечный порядок $m$ в группе классов дивизоров $\Delta ^\circ (L)$;

6) непрерывные дроби типа (13) элементов $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{g}}$ и $\sqrt f {\text{/}}{{h}^{g}}$ квазипериодические с длиной квазипериода $n$;

7) в гиперэллиптическом поле L существует фундаментальная S-единица степени m, где S = = $\{ v_{x}^{ - },v_{h}^{ + }\} $;

8) для некоторого $b \in K{\kern 1pt} *$ уравнение

имеет решение ${{\mu }_{1}},{{\mu }_{2}} \in K[x]$ такое, что ${{v}_{x}}({{\mu }_{2}})$ = = ${{{v}}_{h}}({{\mu }_{2}})$ = 0, ${{\mu }_{2}} \ne 0$.

Если существуют $n,m \in \mathbb{N}$, указанные в эквивалентных условиях 1)–6), то они связаны соотношением

В следующем примере приведено гиперэллиптическое поле $L = \mathbb{Q}(x)(\sqrt f )$, в котором непрерывная дробь вида (13) для элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{2}}$ квазипериодическая, но не периодическая. Это обстоятельство еще раз подчеркивает существенное отличие непрерывной дроби вида (13) от непрерывных дробей в полях $\mathbb{Q}((x))$ и $\mathbb{Q}((h))$.

Пример 1. Рассмотрим g = 2, $h = x - 1$ и многочлен

Положим $S = \{ v_{x}^{ - },v_{h}^{ + }\} $, $S{\kern 1pt} ' = \{ v_{x}^{ - },v_{h}^{ - }\} $. Для элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{g}}$ непрерывная дробь вида (13) с положительными разложениями $\sqrt f $ в степенные ряды в полях $\mathbb{Q}((x))$ и $\mathbb{Q}((h))$ имеет вид:

Эта непрерывная дробь квазипериодическая, но не периодическая. Длина квазипериода равна 2, коэффициент квазипериода $c = \frac{1}{4}$. Степень соответствующей фундаментальной S-единицы равна 4. В качестве фундаментальной S-единицы можно выбрать $({{\omega }_{1}} + {{\omega }_{2}}\sqrt f ){{x}^{{ - 4}}}$ или $({{\omega }_{1}} + {{\omega }_{2}}\sqrt f ){{h}^{{ - 4}}}$, где

Для элемента $\sqrt \phi {\text{/}}{{h}^{g}}$ непрерывная дробь вида (13) с положительными разложениями $\sqrt f $ в степенные ряды в полях $\mathbb{Q}((x))$ и $\mathbb{Q}((h))$ имеет вид

Для элемента $\sqrt f {\text{/}}{{x}^{g}}$ непрерывная дробь вида (13) с разложениями $\sqrt f $ в степенные ряды в полях $\mathbb{Q}((x))$ и $\mathbb{Q}((h))$ разных знаков неквазипериодическая, следовательно, в поле L нет нетривиальных $S{\kern 1pt} '$-единиц. Непрерывные дроби элементов $\sqrt {f(x)} {\text{/}}{{x}^{{g + 1}}}$ и $\sqrt {f(x)} {\text{/}}{{h}^{{g + 1}}}$ соответственно в полях $\mathbb{Q}((x))$ и $\mathbb{Q}((h))$ не являются квазипериодическими, поэтому в поле L нет нетривиальных S_x-единиц и S_h-единиц, где ${{S}_{x}} = \{ v_{x}^{ - },v_{x}^{ + }\} $ и ${{S}_{h}} = \{ {v}_{h}^{ - },{v}_{h}^{ + }\} $.