Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 498, № 1, стр. 41-44

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ МАРАНГОНИ В СРЕДЕ С РЕОЛОГИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ О.А. ЛАДЫЖЕНСКОЙ

М. А. Кисатов^1, *

¹ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

Поступила в редакцию 25.01.2021
После доработки 19.03.2021
Принята к публикации 21.03.2021

DOI: 10.31857/S2686954321030097

Аннотация

Изучается система уравнений пограничного слоя нелинейной обобщенно-ньютоновской вязкой жидкости, модификацию которой предложила О.А. Ладыженская. Для доказательства корректной разрешимости поставленной задачи в работе применяется метод преобразования фон Мизеса, который переводит систему пограничного слоя в одно квазилинейное вырождающееся параболическое уравнение.

Ключевые слова: преобразование Мизеса, пограничный слой Марангони, реология, неньютоновские среды

Слоем К. Марангони называется одна из разновидностей внутренних пограничных слоев (см. работы [1], [2]), возникающих вблизи границы раздела двух вязких сплошных сред (см. рис. 1). Марангони в 1865 г. исследовал такое явление, связанное с различием коэффициентов поверхностного натяжения в средах, которое возникает с изменением концентрации веществ или температуры.

Рис. 1.

Пограничный слой Марангони на стенках.

Позже, в 1961 г., эффект Марангони был описан в терминах термогидродинамики С. Чандрасекаром. Вытекающие из этой теории задачи решались в ряде работ на физическом уровне строгости. Математически строгий подход к решению задач, связанных с эффектом Марангони, имеется, к примеру, в [3]. При этом применяется также теория Л. Прандтля, весьма эффективная при рассмотрении тонких слоев жидкости.

Во всех этих работах среда предполагается ньютоновской (см. также недавние работы [4–6]). В данной работе излагаются результаты о корректной разрешимости задачи о слое Марангони в нелинейно вязкой жидкости с реологическим законом О.А. Ладыженской. Подобные задачи для пограничного слоя типа Прандтля рассматривались в работах [7–10]. Задачи были исследованы с помощью преобразования Крокко в работах [11, 12] и с помощью преобразования фон Мизеса в [13].

Примером такой неньютоновской среды могут служить некоторые виды лиотропных жидких кристаллов (см., например, [14]).

Для исследования мы применяем преобразование Мизеса, которое переводит систему уравнений пограничного слоя в квазилинейное вырождающееся параболическое уравнение.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

Рассматривается модифицированная стационарная система уравнений двумерного движения вязкой несжимаемой жидкости вида (см. [7])

$ - \nu \sum\limits_{j = 1}^2 \,\frac{\partial }{{\partial {{x}_{j}}}}((1 + k{{B}^{2}}(u)){{B}_{{ij}}}(u)) + $

(1)

$\begin{gathered} \, + \sum\limits_{j = 1}^2 \,{{u}_{j}}\frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} = - \frac{1}{\rho }\frac{{\partial p}}{{\partial {{x}_{i}}}},\quad i = 1,2, \\ \frac{{\partial {{u}_{1}}}}{{\partial {{x}_{1}}}} + \frac{{\partial {{u}_{2}}}}{{\partial {{x}_{2}}}} = 0, \\ \end{gathered} $

${{B}_{{ij}}}(u) = \frac{{\partial {{u}_{i}}}}{{\partial {{x}_{j}}}} + \frac{{\partial {{u}_{j}}}}{{\partial {{x}_{i}}}},\quad {{B}^{2}}(u) = \sum\limits_{i,j = 1}^2 \,B_{{ij}}^{2}(u),$

где $\nu $ – кинематическая вязкость, $k$ – малая положительная постоянная, $p$ – давление, $\rho $ – плотность (без ограничения общности считаем, что плотность равна единице); ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ – координаты, а ${{u}_{1}}$ и ${{u}_{2}}$ – соответствующие этим направлениям компоненты скорости. Далее компоненты скорости для удобства обозначим следующим образом:

${{u}_{1}}(x,y) = u(x,y),\quad {{u}_{2}}(x,y) = v(x,y)$

и будем рассматривать систему уравнений (1) в полуполосе Π = $\{ 0 < x < X,0 < y < + \infty \} .$

К уравнениям (1) добавляются граничные условия:

(2)

$v{{{\text{|}}}_{{y = 0}}} = {{v}_{0}}(x),$

(3)

$u{{{\text{|}}}_{{x = 0}}} = {{u}_{0}}(y),$

(4)

${{\left. {\tfrac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right|}_{{y = 0}}} = \hat {A}(x),$

$(u,v) \to (U,0)\quad {\text{при}}\quad y \to + \infty .$

Условие (4) описывает поверхностное натяжение жидкости на границе y = 0. Это условие является отличительной особенностью задачи Марангони от задачи Прандтля. Предполагается, что число Рейнольдса $Re = \frac{{UX}}{\nu }$ достаточно большое (число $\varepsilon = \frac{1}{{\sqrt {\operatorname{Re} } }}$ – малое). Вводя новые переменные

$x{\kern 1pt} ' = x,\quad y{\kern 1pt} ' = \frac{y}{\varepsilon }$

и новые неизвестные функции

$\begin{gathered} \tilde {u}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ') = u(x{\kern 1pt} ',\varepsilon y{\kern 1pt} '), \\ \tilde {v}(x{\kern 1pt} ',y{\kern 1pt} ') = \frac{{v(x{\kern 1pt} ',\varepsilon y{\kern 1pt} ') - {{v}_{0}}(x{\kern 1pt} ')}}{\varepsilon }, \\ \end{gathered} $

преобразуем систему, группируя слагаемые по порядку малости, относительно ε. Затем, возвращаясь к старым переменным, убрав некоторые малые слагаемые, получаем систему уравнений пограничного слоя, которая имеет следующий вид:

(6)

$u\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + v\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial p}}{{\partial x}} + \nu \frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{y}^{2}}}}\left( {1 + 3k{{{\left( {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right)}}^{2}}} \right),$

(7)

$\frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial v}}{{\partial y}} = 0.$

Система уравнений (6), (7) рассматривается в области

(8)

$D = \{ 0 < x < X,\,\,\,0 < y < \infty \} .$

К уравнениям (6), (7) присоединяются граничные условия вида (2)–(5):

$\begin{gathered} v{{{\text{|}}}_{{y = 0}}} = {{v}_{0}}(x),\quad u{{{\text{|}}}_{{x = 0}}} = {{u}_{0}}(y), \\ {{\left. {\frac{{\partial u}}{{\partial y}}} \right|}_{{y = 0}}} = \hat {A}(x),\quad u \to U(x)\quad {\text{при}}\quad y \to + \infty . \\ \end{gathered} $

Имеет место следующая

Теорема 1. Пусть функции $u$ и $v$ удовлетворяют системе (6), (7) в области D = {0 < x < X, $0 < y < \infty \} $, непрерывны в $\bar {D}$ и удовлетворяют условиям (2)–(5); пусть, кроме того, выполняются неравенства

(9)

$\begin{gathered} 0 < u < {{C}_{1}},\quad y > 0, \\ {{C}_{2}}y \leqslant u \leqslant {{C}_{3}}y,\quad 0 < y < {{y}_{0}}, \\ \end{gathered} $

(10)

$\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{y}^{2}}}} \leqslant {{C}_{4}},\quad (x,y) \in D,$

где C_j, $j = 1, \ldots ,4$, и ${{y}_{0}}$ – некоторые положительные постоянные. Тогда $u$, $v$ – единственное решение задачи (6), (7), (2)–(5) с указанными свойствами.

2. ПЕРЕМЕННЫЕ МИЗЕСА

Система уравнений (6), (7) с помощью замены переменных (см. [7])

$x = x,\quad \psi = \psi (x,y),$

$u = \frac{{\partial \psi }}{{\partial y}},\quad v - {{v}_{0}} = - \frac{{\partial \psi }}{{\partial x}},\quad \psi {{{\text{|}}}_{{y = 0}}} = 0,$

$w(x,\psi ) = {{u}^{2}}(x,y),$

сводится к квазилинейному уравнению

(11)

$\frac{{\partial w}}{{\partial x}} = \nu \sqrt w \left( {1 + \frac{3}{4}k{{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial \psi }}} \right)}}^{2}}} \right)\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{\psi }^{2}}}} - {{{v}}_{0}}\frac{{\partial w}}{{\partial \psi }} + W{\kern 1pt} '(x),$

где $W(x) = {{U}^{2}}(x)$, в области G = {0 < x < X, $0 < \psi < + \infty \} $. Граничные условия (2)–(5) принимают вид

(12)

$w{{{\text{|}}}_{{x = 0}}} = {{w}_{0}}(\psi ),$

(13)

${{\left. {\frac{{\partial w}}{{\partial \psi }}} \right|}_{{\psi = 0}}} = A(x) = 2\hat {A}(x),$

(14)

$w(x,\psi ) \to W(x)\,\,{\text{равномерно}}\;{\text{при}}\,\,\psi \to + \infty .$

Пусть в области $G$ выполняется уравнение (11) вместе с граничными условиями (12)–(14), тогда справедлива

Теорема 2. Предположим, что выполнены следующие условия:

$\begin{gathered} A(x),W(x) \in {{C}^{1}}[0,X], \\ {{w}_{0}}(\psi ) \in {{C}^{{2 + \beta }}}[0,\infty ),\quad \beta > 0; \\ \end{gathered} $

(15)

$A(x) \leqslant 0,\quad W(x) \geqslant 0\quad \forall x \in [0,X];$

$\begin{gathered} {{w}_{0}}(\psi ) > W(0)\quad \forall \psi \in [0,\infty ),\quad w_{0}^{'}(0) = A(0); \\ {{w}_{0}}(\psi ) \to W(0)\quad при\quad \psi \to \infty , \\ \end{gathered} $

и пусть существует постоянная C > 0, такая что

(16)

$\left| {\nu \sqrt {{{w}_{0}}} \left( {1 + \frac{3}{4}k{{{(w_{0}^{'})}}^{2}}} \right)w_{0}^{{''}} - {{{v}}_{0}}w_{0}^{'}} \right| \leqslant C({{w}_{0}}(\psi ) - W(0)).$

Тогда существует единственное решение задачи (11)–(14), такое что w, $\tfrac{{\partial w}}{{\partial \psi }}$, $\tfrac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{\psi }^{2}}}}$, $\tfrac{{\partial w}}{{\partial x}}$ непрерывны и ограничены в замкнутой области $\bar {G}$.

На основе этой теоремы с помощью обратной замены переменных получаем доказательство основного результата.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Определенный интерес представляют обобщения рассмотренной задачи на случай электропроводных сред в магнитных полях различной направленности и с учетом явлений теплопередачи и параметров, зависящих от температуры.

Список литературы

Napolitano L.G. Marangoni boundary layers // Proc. 3rd Europ. symp. on material sci. in space. Grenoble, 1979. P. 349–358.
Batishchev V.A., Kuznetsov V.V., Pukhnachov V.V. Marangoni boundary layers // Prog. Aerospace Sci. 1989. V. 26. P. 353–370.
Кузнецов В.В. Пограничные слои Марангони: дис. …канд. физ.-мат. наук: 01.02.05. Новосибирск, 1984. С. 29–42.
Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. О слоистых течениях плоской свободной конвекции // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 4. С. 651.
Пухначев В.В. Нестационарные аналоги решения Бириха // Известия Алтайского гос. ун-та. 2011. № 1–2. С. 62.
Ortiz-Pèrez A.S., Dàvalos-Orozco L.A. Convection in a horizontal fluid layer under an inclined temperature gradient // Phys. Fluids. 2011. № 28 (3). P. 084107–084111.
Самохин В.Н., Фадеева Г.М., Чечкин Г.А. Уравнения пограничного слоя для модифицированной системы Навье–Стокса // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 2011. Т. 28. С. 329–361.
Самохин В.Н., Чечкин Г.А. Уравнения пограничного слоя обобщенно ньютоновской среды в окрестности критической точки // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 2016. Т. 31. С. 158–176.
Булатова Р.Р., Самохин В.Н., Чечкин Г.А. Уравнения магнитогидродинамического пограничного слоя для модифицированной несжимаемой вязкой среды. Отрыв пограничного слоя // Проблемы математического анализа. 2018. Т. 92. С. 83–100.
Bulatova R.R., Chechkin G.A., Chechkina T.P., Samokhin V.N. On the influence of a magnetic field on the separation of the boundary layer of a non–Newtonian MHD medium // C R Mécanique. 2018. T. 346. № 9. P. 807–814.
Булатова Р.Р., Самохин В.Н., Чечкин Г.А. Система уравнений пограничного слоя реологически сложной среды. Переменные Крокко // ДАН. 2019. Т. 487. № 2. С. 119–125.
Булатова Р.Р., Самохин В.Н., Чечкин Г.А. О нестационарном пограничном слое вязкой реологически сложной жидкости // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. 2020. Т. 310. С. 40–77.
Олейник О.А., Самохин В.Н. Математические методы в теории пограничного слоя. М.: Наука. Физматлит, 1997. 508 с.
Кирсанов Е.А., Матвеенко В.Н. Неньютоновское течение дисперсных, полимерных и жидкокристаллических систем. Структурный подход. М.: Техносфера, 2016. 384 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал