1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 498, № 1, 2021

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 498, № 1, стр. 37-40

КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Н. В. Зайцева 1, *

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: zaitseva@cs.msu.ru

Поступила в редакцию 26.02.2021
После доработки 26.02.2021
Принята к публикации 16.03.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для двумерного гиперболического дифференциально-разностного уравнения с нелокальным потенциалом построено трехпараметрическое семейство глобальных решений. Доказана теорема, что полученные решения являются классическими.

Ключевые слова: гиперболическое уравнение, дифференциально-разностное уравнение, классическое решение

Впервые дифференциально-разностное уравнение было изучено И. Бернулли [1] в задаче о невесомой натянутой струне конечной длины, вдоль которой распределены равные и равноудаленные массы. Рассмотренное им уравнение встретилось при разработке теории звука и привлекло внимание многих других математиков (см., например, [2] и имеющуюся там библиографию). В книге [3] приведен обширный материал по теории линейных дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами, часто встречающимися в теории автоматического регулирования.

Изучение задач механики сплошных сред привело в дальнейшем к рассмотрению дифференциально-разностных уравнений с частными производными. В настоящее время достаточно полно исследованы задачи для указанных уравнений в ограниченных областях (см., например, [4, 5] и имеющуюся там библиографию). В неограниченных областях подробно изучены задачи для параболических [6] и эллиптических дифференциально-разностных уравнений [7–11]. В частности, в работах [10, 11] рассматриваются сильно эллиптические уравнения с нелокальными потенциалами по одной из пространственных переменных, встречающиеся в моделях нелинейной оптики. Гиперболические дифференциально-разностные уравнения ранее были исследованы для случая, когда операторы сдвига в уравнении действуют по переменной времени [12]. В работах [13–15] рассмотрены гиперболические дифференциально-разностные уравнения, содержащие суперпозиции дифференциальных операторов и операторов сдвига по пространственной переменной.

В настоящей работе рассмотрим в полуплоскости $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{1}} \times (0, + \infty )$ гиперболическое дифференциально-разностное уравнение, согласно терминологии [3], содержащее сумму дифференциального оператора и оператора сдвига по пространственной переменной

(1)
$\frac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{t}^{2}}}} = Lu\;\mathop = \limits^{{\text{def}}} \;{{a}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}u(x,t)}}{{\partial {{x}^{2}}}} - bu(x - h,t),$
где a, b, $h \ne 0$ – заданные вещественные числа.

Вещественная часть символа дифференциально-разностного оператора L уравнения (1) равна ${\text{Re}}L(\xi ) = - {{a}^{2}}{{\xi }^{2}} - bcos(h\xi )$. Будем называть оператор –L положительным, если выполняется условие $ - {\text{Re}}L(\xi ) > 0$ для всех $\xi \in {{\mathbb{R}}^{1}}$, т.е. справедливо неравенство

(2)
${{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi ) > 0.$

В дальнейшем будем считать оператор –L положительным.

Определение 1. Функция $u(x,t)$ называется классическим решением уравне-ния   (1), если в каждой точке полуплоскости (x, $t)\, \in \,{{\mathbb{R}}^{1}}\, \times \,(0, + \infty )$ существуют классические, т.е. определенные в смысле пределов отношений конечных разностей, производные ${{u}_{{tt}}}$ и ${{u}_{{xx}}}$, и в каждой точке этой полуплоскости выполняется соотношение (1).

Применив к равенству (1) преобразование Фурье Fx, перейдем к двойственной переменной $\xi $, и с учетом формул

${{F}_{x}}[\partial _{x}^{\alpha }\partial _{t}^{\beta }f] = {{( - i\xi )}^{\alpha }}\partial _{t}^{\beta }{{F}_{x}}[f],\quad {{F}_{x}}[f(x - h)] = {{e}^{{ih\xi }}}{{F}_{x}}[f],$
получим для функции $\hat {u}(\xi ,t) = {{F}_{x}}[u](\xi ,t)$ обыкновенное дифференциальное уравнение
(3)
$\frac{{{{d}^{2}}\hat {u}(\xi ,t)}}{{d{{t}^{2}}}} = - ({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + b{{e}^{{ih\xi }}})\hat {u}(\xi ,t),\quad \xi \in ( - \infty , + \infty ),$
характеристическое уравнение которого имеет корни
$\begin{gathered} {{k}_{{1,2}}} = \pm \sqrt { - ({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + b{{e}^{{ih\xi }}})} = \\ \, = \pm i\sqrt {{{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + b{{e}^{{ih\xi }}}} = \pm i\rho (\xi ){{e}^{{i\varphi (\xi )}}}, \\ \end{gathered} $
где

(4)
$\rho (\xi ): = \mathop {[{{{({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi ))}}^{2}} + {{b}^{2}}si{{n}^{2}}(h\xi )]}\nolimits^{1/4} ,$
(5)
$\varphi (\xi ): = \frac{1}{2}{\text{arctg}}\frac{{bsin(h\xi )}}{{{{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )}}.$

Таким образом, общее решение уравнения (3) определяется по формуле

$\begin{gathered} \hat {u}(\xi ,t) = {{C}_{1}}(\xi ){{e}^{{it\rho (\xi )[cos\varphi (\xi ) + isin\varphi (\xi )]}}} + \\ \, + {{C}_{2}}(\xi ){{e}^{{ - it\rho (\xi )[cos\varphi (\xi ) + isin\varphi (\xi )]}}} = \\ = {{C}_{1}}(\xi ){{e}^{{ - t\rho (\xi )[sin\varphi (\xi ) - icos\varphi (\xi )]}}} + \\ \, + {{C}_{2}}(\xi ){{e}^{{t\rho (\xi )[sin\varphi (\xi ) - icos\varphi (\xi )]}}}, \\ \end{gathered} $
где ${{C}_{1}}(\xi )$ и ${{C}_{2}}(\xi )$ – произвольные постоянные, зависящие от параметра $\xi $. Положим ${{C}_{1}}(\xi ) = 1$ и ${{C}_{2}}(\xi )$ = 0, тогда из последнего равенства будем иметь
(6)
$\hat {u}(\xi ,t) = {{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}{{e}^{{it{{G}_{2}}(\xi )}}},$
где

(7)
${{G}_{1}}(\xi ): = \rho (\xi )sin(h\xi ),\quad {{G}_{2}}(\xi ): = \rho (\xi )cos(h\xi ).$

Применив к равенству (6) обратное преобразование Фурье $F_{\xi }^{{ - 1}}$, получим

$u(x,t) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}{{e}^{{it{{G}_{2}}(\xi )}}}{{e}^{{ - ix\xi }}}d\xi = $
(8)
$\begin{gathered} \, = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}{{e}^{{i(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi )}}}d\xi = \\ \, = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi )d\xi + \\ \end{gathered} $
$\, + \frac{i}{{2\pi }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } \,{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi )d\xi .$

На основании (8), рассуждая так же, как и в [10], докажем теорему.

Теорема. При выполнении условия (2) функции

(9)
$F(x,t;\xi ): = {{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ),$
(10)
$H(x,t;\xi ): = {{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ),$
где ${{G}_{1}}(\xi )$ и ${{G}_{2}}(\xi )$ определяются равенствами (7), удовлетворяют уравнению (1) в классическом смысле.

Доказательство. Подставим сначала функцию (9) непосредственно в уравнение (1). Для этого найдем

${{F}_{x}}(x,t;\xi ) = \xi {{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ),$
${{F}_{{xx}}}(x,t;\xi ) = - {{\xi }^{2}}{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ),$
$\begin{gathered} {{F}_{t}}(x,t;\xi ) = - {{G}_{1}}(\xi ){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ) - \\ \, - {{G}_{2}}(\xi ){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{F}_{{tt}}}(x,t;\xi ) = [G_{1}^{2}(\xi ) - G_{2}^{2}(\xi )]{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ) + \\ \, + 2{{G}_{1}}(\xi ){{G}_{2}}(\xi ){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ). \\ \end{gathered} $

С учетом (7) будем иметь $2{{G}_{1}}(\xi ){{G}_{2}}(\xi )$ = = ρ2(ξ)sin2φ(ξ). Так как аргумент $\varphi (\xi )$ определяется выражением (5), то имеет место неравенство $\left| {2\varphi (\xi )} \right| < \frac{\pi }{2}$, а следовательно, $cos2\varphi (\xi ) > 0$. Тогда справедливо следующее соотношение:

$\begin{gathered} sin2\varphi (\xi ) = \frac{{{\text{tg}}2\varphi (\xi )}}{{\sqrt {1 + \mathop {{\text{tg}}}\nolimits^2 2\varphi (\xi )} }} = \\ \, = {\text{tg}}\left( {{\text{arctg}}\frac{{bsin(h\xi )}}{{{{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )}}} \right) \times \\ \, \times \mathop {\left[ {1 + \mathop {{\text{tg}}}\nolimits^2 \left( {{\text{arctg}}\frac{{bsin(h\xi )}}{{{{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )}}} \right)} \right]}\nolimits^{ - 1/2} = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, = \frac{{bsin(h\xi )}}{{{{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )}}\mathop {\left[ {1 + \frac{{{{b}^{2}}si{{n}^{2}}(h\xi )}}{{\mathop {({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi ))}\nolimits^2 }}} \right]}\nolimits^{ - 1/2} = \\ \, = \frac{{bsin(h\xi )}}{{{{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )}} \times \\ \, \times \mathop {\left[ {\frac{{\mathop {({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi ))}\nolimits^2 }}{{{{{({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi ))}}^{2}} + {{b}^{2}}si{{n}^{2}}(h\xi )}}} \right]}\nolimits^{1/2} . \\ \end{gathered} $

В силу условия (2) и формулы (4) из последнего равенства получим sin2φ(ξ) = $\frac{{bsin(h\xi )}}{{{{\rho }^{2}}(\xi )}}$, откуда следует, что $2{{G}_{1}}(\xi ){{G}_{2}}(\xi ) = bsin(h\xi )$.

При установленном выполнении неравенства $cos2\varphi (\xi ) > 0$ и условии (2) вычислим теперь

$\begin{gathered} G_{1}^{2}(\xi ) - G_{2}^{2}(\xi ) = {{\rho }^{2}}(\xi )[{\text{si}}{{{\text{n}}}^{{\text{2}}}}\varphi (\xi ) - {\text{co}}{{{\text{s}}}^{2}}\varphi (\xi )] = \\ \, = - {{\rho }^{2}}(\xi )cos2\varphi (\xi ) = - \frac{{{{\rho }^{2}}(\xi )}}{{\sqrt {1 + \mathop {{\text{tg}}}\nolimits^2 2\varphi (\xi )} }} = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, = - {{\rho }^{2}}(\xi )\mathop {\left[ {\frac{{{{{({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi ))}}^{2}}}}{{{{{({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi ))}}^{2}} + {{b}^{2}}si{{n}^{2}}(h\xi )}}} \right]}\nolimits^{1/2} = \\ \, = - {{a}^{2}}{{\xi }^{2}} - bcos(h\xi ). \\ \end{gathered} $

С учетом найденных выражений $G_{1}^{2}(\xi ) - G_{2}^{2}(\xi )$ и $2{{G}_{1}}(\xi ){{G}_{2}}(\xi )$ из равенства (11) получим

$\begin{gathered} {{F}_{{tt}}}(x,t;\xi ) = \\ \, = - ({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ) + \\ \, + bsin(h\xi ){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ). \\ \end{gathered} $

Подставив найденные производные ${{F}_{{tt}}}$ и ${{F}_{{xx}}}$ в уравнение (1), будем иметь

$\begin{gathered} {{F}_{{tt}}}(x,t;\xi ) - {{a}^{2}}{{F}_{{xx}}}(x,t;\xi ) = \\ \, = - b{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}[cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi )cos(h\xi ) - \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, - sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi )sin(h\xi )] = \\ \, = - b{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi + h\xi ) = - bF(x - h,t;\xi ), \\ \end{gathered} $
что доказывает утверждение теоремы для семейства функций $F(x,t;\xi )$ при любом вещественном значении параметра $\xi $.

Аналогично проверим, что и функция (10) удовлетворяет уравнению (1) в каждой точке полуплоскости $(x,t) \in {{\mathbb{R}}^{1}} \times (0, + \infty )$. Вычислим

${{H}_{x}}(x,t;\xi ) = - \xi {{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ),$
${{H}_{{xx}}}(x,t;\xi ) = - {{\xi }^{2}}{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ),$
$\begin{gathered} {{H}_{t}}(x,t;\xi ) = - {{G}_{1}}(\xi ){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ) + \\ \, + {{G}_{2}}(\xi ){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{H}_{{tt}}}(x,t;\xi ) = [G_{1}^{2}(\xi ) - G_{2}^{2}(\xi )]{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ) - \\ \, - 2{{G}_{1}}(\xi ){{G}_{2}}(\xi ){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ) = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, = - ({{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ) - \\ \, - bsin(h\xi ){{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ). \\ \end{gathered} $

Подставив производные ${{H}_{{tt}}}$ и ${{H}_{{xx}}}$ в уравнение (1), получим

$\begin{gathered} {{H}_{{tt}}}(x,t;\xi ) - {{a}^{2}}{{H}_{{xx}}}(x,t;\xi ) = \\ \, = - b{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}[sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi )cos(h\xi ) + \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, + cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi )sin(h\xi )] = \\ \, = - b{{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi + h\xi ) = - bH(x - h,t;\xi ). \\ \end{gathered} $

Теорема доказана.

Следствие. При выполнении условия (2) семейство функций

$\begin{gathered} G(x,t;\alpha ,\beta ,\xi ): = \alpha {{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}cos(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ) + \\ \, + \beta {{e}^{{ - t{{G}_{1}}(\xi )}}}sin(t{{G}_{2}}(\xi ) - x\xi ), \\ \end{gathered} $
где ${{G}_{1}}(\xi )$ и ${{G}_{2}}(\xi )$ определяются равенствами (7), удовлетворяет уравнению (1) в классическом смысле при любых вещественных значениях параметров α, β и ξ.

Выясним теперь, какому соотношению должны удовлетворять коэффициенты уравнения a, b и сдвиг h, чтобы выполнялось условие (2) для любого вещественного значения $\xi $. Рассмотрим функцию ${{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )$ при $\xi \in [0, + \infty )$. Производная этой функции равна

$2{{a}^{2}}\xi - bhsin(h\xi ) = 2{{a}^{2}}\xi \left( {1 - \frac{{b{{h}^{2}}}}{{2{{a}^{2}}}}\frac{{sin(h\xi )}}{{h\xi }}} \right).$

Так как $\frac{{sin(h\xi )}}{{h\xi }} \to 1$ при $\xi \to 0$ и $\frac{{sin(h\xi )}}{{h\xi }} \to 0$ при $\xi \to + \infty $, то производная неотрицательна на промежутке $\xi \in [0, + \infty )$ при выполнении условия

(12)
$0 < b \leqslant \frac{{2{{a}^{2}}}}{{{{h}^{2}}}},$
тогда функция ${{a}^{2}}{{\xi }^{2}} + bcos(h\xi )$ при $\xi \in [0, + \infty )$ не убывает и принимает наименьшее значение, равное b > 0. В силу четности функции, это значение является наименьшим для всех вещественных $\xi \in ( - \infty , + \infty )$. Тем самым мы показали, что условие (2), при котором справедлива теорема, выполняется, если коэффициенты уравнения a, b и сдвиг h удовлетворяют соотношению (12).

Список литературы

  1. Bernoulli J. Meditationes. Dechordis vibrantibis / Commentaril Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. 1728. V. 3. P. 13–28.

  2. Burkhardt H. Entwicklungen nach oscillirenden Funktionen und Integration der Differentialgleichungen der mathematischen Physik // Jahresber. Deutsch. Math. 1908. V. 10. S. 1–1804.

  3. Pinney E. Ordinary Difference-Differential Equations. Berkeley and Los Angeles: University of California press, 1958. 262 p.

  4. Skubachevskii A.L. Elliptic functional-differential equations and applications. Basel, Boston, B.: Birkhauser, 1997. 294 p.

  5. Скубачевский А.Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // Успехи матем. наук. 2016. Т. 71. № 5 (431). С. 3–112.

  6. Муравник А.Б. Функционально-дифференциальные параболические уравнения: интегральные представления и качественные свойства решений задачи Коши // Соврем. мат. Фундам. направл. 2014. Т. 52. С. 3–143.

  7. Муравник А.Б. Асимптотические свойства решений задачи Дирихле в полуплоскости для некоторых дифференциально-разностных эллиптических уравнений // Матем. заметки. 2016. Т. 100. № 4. С. 566–576.

  8. Muravnik A. On the half-plane Diriclet problem for differential-difference elliptic equations with several nonlocal terms // Math. Model. Nat. Phenom. 2017. V. 12. № 6. P. 130–143.

  9. Муравник А.Б. Асимптотические свойства решений двумерных дифференциально-разностных эллиптических задач // Соврем. мат. фундам. направл. 2017. V. 63. № 4. С. 678–688.

  10. Муравник А.Б. Эллиптические задачи с нелокальным потенциалом, возникающие в моделях нелинейной оптики // Матем. заметки. 2019. Т. 105. № 5. С. 747–762.

  11. Muravnik A.B. Half-plane differential-difference elliptic problems with general-kind nonlocal potentials // Complex Variables and Elliptic Equations. 2020. https://doi.org/10.1080/17476933.2020.1857372

  12. Власов В.В., Медведев Д.А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории // Соврем. мат. фундам. направл. 2008. Т. 30. С. 3–173.

  13. Зайцева Н.В. О глобальных классических решениях некоторых гиперболических дифференциально-разностных уравнений // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2020. Т. 491. С. 44–46.

  14. Зайцева Н.В. Глобальные классические решения некоторых двумерных гиперболических дифференциально-разностных уравнений // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 745–751.

  15. Zaitseva N.V. Classical solutions of hyperbolic differential-difference equations with several nonlocal terms // Lobachevskii J. of Math. 2021. V. 42. № 1. P. 231–236.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал