Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 499, № 1, стр. 20-25

Симплектическая геометрия оператора Купмана

Академик РАН В. В. Козлов 12*

1 Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия

2 Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова
Ярославль, Россия

* E-mail: kozlov@pran.ru

Поступила в редакцию 12.05.2021
После доработки 12.05.2021
Принята к публикации 19.05.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается оператор Купмана, который порождается обратимым преобразованием пространства с конечной счетно-аддитивной мерой. Если квадрат этого преобразования эргодичен, то ортогональный оператор Купмана будет симплектическим преобразованием на вещественном гильбертовом пространстве квадратично суммируемых функций с нулевым средним значением. Указан бесконечный набор квадратичных инвариантов оператора Купмана, которые находятся попарно в инволюции относительно соответствующей симплектической структуры. Для преобразований с дискретным спектром и лебеговским спектром эти квадратичные инварианты функционально независимы и образуют полный инволютивный набор, что свидетельствует о свойстве полной интегрируемости преобразования Купмана.

Ключевые слова: оператор Купмана, эргодичность, симплектическая структура, квадратичные инварианты, дискретный спектр, лебеговский спектр

1. ОПЕРАТОР КУПМАНА

Пусть (M, μ) – пространство с конечной счетно-аддитивной мерой μ, а $T{\kern 1pt} :\;M \to M$ – обратимое сохраняющее меру преобразование. Пусть ${{L}_{2}}(M,\mu )$ – гильбертово пространство вещественных функций на M, интегрируемых по мере μ со своим квадратом. Скалярное произведение функций f, $g$ определяется по обычному правилу

$(f,g) = \int\limits_M {f(x)g(x)d\mu (x)} .$

Оператор Купмана $U{\kern 1pt} :\;{{L}_{2}} \to {{L}_{2}}$ переводит функцию $x \mapsto f(x)$ в функцию

$x \mapsto f(T(x)).$

Как известно, этот оператор ортогональный:

(1)
$U{\kern 1pt} *U = UU{\kern 1pt} * = I,$
или, что то же самое, ${{U}^{{ - 1}}} = U{\kern 1pt} *$. Ясно, что λ = 1 всегда будет его собственным значением. Ненулевые постоянные функции на M будут соответствующими собственными векторами.

Для нас существенное значение имеет следствие (1): оператор $U$ допускает квадратичный инвариант $F = (f,f)$. Другими словами,

$(Uf,Uf) = (f,f)\quad {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad f \in {{L}_{2}}.$

Далее в качестве иллюстрации будут рассматриваться два примера. Пусть $M$$n$-мерный тор ${{\mathbb{T}}^{n}} = \{ {{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}mod2\pi \} $, а $\mu $ – стандартная мера Лебега на ${{\mathbb{T}}^{n}}$.

Пример 1. $T{\kern 1pt} :\;x \mapsto x + \alpha $, $\alpha \in {{\mathbb{R}}^{n}}$. В нерезонансном случае (когда соотношение $(m,\alpha ) = k$, $m \in {{\mathbb{Z}}^{n}}$, $k \in \mathbb{Z}$ влечет $m = 0$, $k = 0$) отображение T эргодично (теорема Г. Вейля). Соответствующую дискретную динамическую систему часто называют каскадом Кронекера–Вейля.

Пример 2. $T{\kern 1pt} :\;x \mapsto Ax$, где $A$ – унимодулярная матрица с целочисленными элементами. Если ни одно из собственных значений A не лежит на единичной окружности комплексной плоскости, то отображение T заведомо будет перемешиванием. Классический пример: n = 2 и

$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&1 \\ 1&1 \end{array}} \right].$

Следует иметь в виду, что для преобразований из примера 2 эргодичность эквивалентна перемешиванию.

В примере 1 функции ${{\varphi }_{m}} = exp[i(m,x)]$, $m \in {{\mathbb{Z}}^{n}}$, являются собственными для соответствующего оператора Купмана:

$U{{\varphi }_{m}} = {{\lambda }_{m}}{{\varphi }_{m}},\quad {{\lambda }_{m}} = {{e}^{{i(m,\alpha )}}}.$

Они составляют ортогональный базис в ${{L}_{2}}({{\mathbb{T}}^{n}})$. Это простое наблюдение подразумевает рассмотрение пространства квадратично интегрируемых функций с комплексными значениями. В вещественном случае оператор Купмана имеет двумерные инвариантные плоскости, натянутые на векторы sin(m, x) и $cos(m,x)$ ($m \ne 0$).

Если отображение T является перемешиванием (или даже слабым перемешиванием), то спектр оператора Купмана “непрерывный” (более точно, единственным собственным значением является $\lambda = 1$ и это собственное значение простое).

Основные факты спектральной теории оператора Купмана содержатся, например, в [1, 2].

2. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА

Перейдем к рассмотрению более общей ситуации. Пусть $\mathcal{H}$ – вещественное гильбертово пространство (случай $dim\mathcal{H} < \infty $ не исключается) со скалярным произведением ( , ) и $U{\kern 1pt} :\;\mathcal{H} \to \mathcal{H}$ – ортогональный оператор. Отображение $x \mapsto Ux$, очевидно, допускает квадратичный инвариант $F(x)$ = = (x, x).

Введем оператор

(2)
$\Omega = (U{\kern 1pt} * + \,I)(U - I).$

С учетом условий ортогональности (1)

$\Omega = U - U{\kern 1pt} {\text{*}}{\text{.}}$

Следовательно, $\Omega $ – кососамосопряженный оператор. Ввиду (1) его также можно представить в виде

(3)
$\Omega = (U - I)(U{\kern 1pt} * + \,\,I) = - \,(U{\kern 1pt} * - \,\,I)(U + I).$

Оператору (2) отвечает билинейная кососимметрическая форма

(4)
$[x,y] = (\Omega x,y) = - \,(x,\Omega y).$

Напомним, что эта форма называется невырожденной, если из $[x,y] = 0$ для всех $y \in \mathcal{H}$ вытекает, что x = 0. При условии невырожденности 2-форма (4) задает симплектическую структуру в $\mathcal{H}$ (ее саму обычно называют симплектической структурой).

Как известно, спектр ортогонального преобразования лежит на единичной окружности. Из (2) и (3) вытекает вырожденность оператора $\Omega $, если $\lambda = \pm 1$ является собственным значением оператора U. Отметим простое

Предложение 1. Если оператор U2не имеет ненулевых собственных векторов с единичным собственным значением, то 2-форма [ , ] невырождена.

Действительно, пусть [ , ] вырождена и пусть $(\Omega x,y) = 0$ для всех $y \in \mathcal{H}$. Тогда $\Omega x = 0$ хотя бы для одного $x \ne 0$. Это означает, что $Ux = {{U}^{{ - 1}}}x$. Но это эквивалентно равенству ${{U}^{2}}x = x$.

Теорема 1. Оператор U сохраняет 2-форму [ , ].

Надо доказать, что

$U{\kern 1pt} *\Omega U = \Omega .$

С учетом (1) левая часть равна

$U{\kern 1pt} *(U - I)(U{\kern 1pt} * + I)U = (I - U{\kern 1pt} *)(I + U) = \Omega .$

Что и требовалось.

Таким образом, если 2-форма [ , ] невырождена, то $(\mathcal{H},[\,,])$ – симплектическое пространство и (по теореме 1) оператор $U$ будет симплектическим. В конечномерном случае этот факт отмечен в [3]. В частности, $dim\mathcal{H}$ четно.

Если $U$ – оператор Купмана из п. 1, то 2-форма [ , ] вырождена: оператор $U$ оставляет на месте постоянные функции. Чтобы поправить дело, надо рассмотреть гильбертово пространство ${{\hat {L}}_{2}} \subset {{L}_{2}}$, ортогональное одномерному подпространству, состоящему из постоянных функций. Другими словами, ${{\hat {L}}_{2}}$ составляют квадратично суммируемые функции с нулевым средним значением. Ясно, что оператор $U$ отображает ${{\hat {L}}_{2}}$ в ${{\hat {L}}_{2}}$.

В частности, справедливо

Предложение 2. Пусть отображение ${{T}^{2}}{\kern 1pt} :\;M \to M$ эргодично. Тогда 2-форма [ , ] невырождена на ${{\hat {L}}_{2}}$.

Действительно, тогда λ = 1 является простым собственным значением соответствующего оператора Купмана ${{U}^{2}}{\kern 1pt} :\;{{L}_{2}} \to {{L}_{2}}$. Значит, оператор U2 в ${{\hat {L}}_{2}}$ не имеет ненулевых собственных векторов с собственным значением λ = 1. Остается воспользоваться предложением 1.

Не стоит думать, что квадрат эргодического преобразования всегда эргодичен. Однако в двух примерах из п. 1 это заведомо так.

Итак, в общем случае (для каскадов с эргодическим квадратом) оператор Купмана ${{U}^{2}}{\kern 1pt} :\;{{\hat {L}}_{2}} \to {{\hat {L}}_{2}}$ будет симплектическим оператором. Правда, инвариантная симплектическая структура зависит от этого оператора.

Хорошо известно, что вещественный ортогональный оператор, который одновременно является симплектическим преобразованием, будет унитарным оператором. Это означает, что в вещественном ${{\hat {L}}_{2}}$ можно ввести комплексную структуру так, что действие U будет эквивалентно действию унитарного оператора в комплексном пространстве ${{\hat {L}}_{2}}$. Такая конструкция особенно просто выглядит для операторов с дискретным спектром. Этот круг вопросов обсуждается в [4] для вещественных линейных систем дифференциальных уравнений с квадратичным инвариантом в гильбертовом пространстве с целью их представления в виде уравнения Шрёдингера.

3. КВАДРАТИЧНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

Квадратичная форма $(Bx,x)$, $B{\kern 1pt} * = B$ – инвариант линейного отображения $x \mapsto Ux$ тогда и только тогда, когда

$U{\kern 1pt} {\text{*}}BU = B.$

Оказывается, кроме исходного квадратичного инварианта (когда $B = I$), это отображение допускает целую серию квадратичных инвариантов, которые находятся попарно в инволюции относительно симплектической структуры из п. 2.

Невырожденная кососимметрическая 2-форма $[\,,]$ позволяет ввести скобку Пуассона на векторном пространстве непрерывных квадратичных форм. Пусть

$f = (Fx,x){\text{/}}2\quad {\text{и}}\quad g = (Gx,x){\text{/}}2$
суть две такие формы (самосопряженные операторы $F$ и $G$ ограничены). Их скобкой Пуассона $\{ f,g\} $ называется квадратичная форма

(5)
$h = (Hx,x){\text{/}}2,\quad {\text{где}}\quad H = F\Omega G - G\Omega F.$

Оператор $H$ (как и операторы $F$ и $G$) самосопряженный (симметрический и ограниченный). В частности, квадратичная форма $h$ также будет непрерывной.

Скобка { ,  } билинейна, кососимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби. В работах [5, 6] скобка Пуассона определяется при более общих предположениях.

Введем самосопряженные операторы

$\begin{gathered} {{B}_{n}} = {{[(U + I)(U{\kern 1pt} * + \;I)]}^{n}} = {{(U + I)}^{n}}{{(U{\kern 1pt} * + \;I)}^{n}}, \\ n \geqslant 0. \\ \end{gathered} $

Теорема 2. Непрерывные квадратичные формы

(6)
${{F}_{n}} = ({{B}_{n}}x,x){\text{/}}2$
суть инварианты отображения $x \mapsto Ux$, причем
(7)
$\{ {{F}_{k}},{{F}_{l}}\} = 0$
для всех $k,l \geqslant 0$.

Для доказательства инвариантности Fn надо проверить равенство $U{\kern 1pt} {\text{*}}{{B}_{n}}U = {{B}_{n}}$, или

(8)
$U{\kern 1pt} *{{(U + I)}^{n}}{{(U{\kern 1pt} * + \;I)}^{n}}U = {{(U + I)}^{n}}{{(U{\kern 1pt} * + \;I)}^{n}}.$

Действительно, ввиду ортогональности $U$,

$U{\kern 1pt} *(U + I) = U{\kern 1pt} * + \;I,\quad (U{\kern 1pt} * + \;I)U = U + I.$

Следовательно, левая часть (8) равна

$\begin{gathered} (U{\kern 1pt} * + \;I){{(U + I)}^{{n - 1}}}{{(U{\kern 1pt} * + \;I)}^{{n - 1}}}(U + I) = \\ \, = {{(U + I)}^{n}}{{(U{\kern 1pt} * + \;I)}^{n}}. \\ \end{gathered} $

Для доказательства инволютивности этих инвариантов надо проверить равенство

(9)
$\begin{gathered} {{[(U + I)(U{\kern 1pt} * + \;I)]}^{k}}(U{\kern 1pt} * + \;I)(U + I) \times \\ \, \times {{[(U + I)(U{\kern 1pt} * + \;I)]}^{l}} = {{[(U + I)(U{\kern 1pt} * + \;I)]}^{l}} \times \\ \, \times (U{\kern 1pt} * + \;I)(U + I){{[(U + I)(U{\kern 1pt} * + \;I)]}^{k}}. \\ \end{gathered} $

Так как операторы $U{\kern 1pt} * + \;I$, $U + I$ и $U - I$ коммутируют между собой, то обе части равенства (9) симметричны относительно $k$ и $l$. Что доказывает равенства (7).

Квадратичные инварианты Fn могут оказаться зависимыми. Вот простой пример: если U = I, то все они пропорциональны $(x,x)$.

Пусть $N = dim\mathcal{H}$ конечна и ортогональный оператор U не имеет собственных значений $\lambda = \pm 1$. Тогда $N$ четно. Кроме того, как отмечено в [3], если среди собственных чисел оператора $U$ нет кратных, то квадратичные формы ${{F}_{1}}, \ldots ,{{F}_{{N/2}}}$ функционально независимы. Поскольку они находятся попарно в инволюции, то их непустые совместные уровни

$\{ x \in \mathcal{H}{\kern 1pt} :\;{{F}_{1}}(x) = {{c}_{1}}, \ldots ,{{F}_{{N/2}}}(x) = {{c}_{{N/2}}}\} $
для почти всех значений ${{c}_{1}}, \ldots ,{{c}_{{N/2}}}$ будут торами размерности N/2, инвариантными относительно действия оператора U. Далее, на этих торах можно так ввести угловые координаты
${{\varphi }_{1}}, \ldots ,{{\varphi }_{{N/2}}}\quad mod2\pi ,$
что действие оператора $U$ сводится к отображению Кронекера–Вейля

${{\varphi }_{j}} \mapsto {{\varphi }_{j}} + {{\alpha }_{j}},\quad {{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{{N/2}}} = {\text{const}}.$

В силу линейности оператора $U$ числа {αj} не меняются от тора к тору.

Отметим, что полная интегрируемость линейного симплектического отображения имеет место и без предположения о простоте спектра. Этот результат выводится из теории нормальных форм Вильямсона [7]. Однако в случае простого спектра полный набор инволютивных инвариантов предъявляется без предварительного решения алгебраической задачи о собственных значениях и собственных векторах симплектического оператора.

В бесконечномерном случае ситуация более сложная. Мы рассмотрим два (в определенном смысле противоположных) случая, когда оператор U имеет простой дискретный спектр и когда его спектр непрерывный.

4. ДИСКРЕТНЫЙ СПЕКТР

Хорошо известно, что спектр ортогонального оператора лежит на единичной окружности комплексной плоскости. Мы исключаем возможность наличия двух вещественных точек спектра $\lambda = \pm 1$.

Итак, пусть

(10)
$U(\xi + i\eta ) = (\alpha + i\beta )(\xi + i\eta ),$
где $\xi $, $\eta $ – векторы из вещественного гильбертова пространства $\mathcal{H}$, а ${{\alpha }^{2}} + {{\beta }^{2}} = 1$. Равенство (10) эквивалентно двум вещественным соотношениям

$U\xi = \alpha \xi - \beta \eta ,\quad U\eta = \beta \xi + \alpha \eta .$

Следовательно, вещественная плоскость $\pi $, натянутая на векторы $\xi $, $\eta $, будет инвариантной относительно действия ортогонального оператора U. Легко показать, что при этом

$(\xi ,\xi ) = (\eta ,\eta )\quad {\text{и}}\quad (\xi ,\eta ) = 0.$

Так что можно считать векторы $\xi $ и $\eta $ единичной длины; они составляют ортонормированный базис на плоскости $\pi $.

Пусть

$x = p\xi + q\eta ,\quad p,q \in \mathbb{R}$
суть точки инвариантной плоскости $\pi $ и x' = Ux = = $p{\kern 1pt} '\xi + q{\kern 1pt} '\eta $. Тогда
(11)
$p{\kern 1pt} ' = \alpha p + \beta q,\quad q{\kern 1pt} ' = - \beta p + \alpha q$
суть ортогональное преобразование плоскости $\pi $; это поворот на угол

$\varphi = {\text{arctg}}\frac{\beta }{\alpha }.$

Ясно, что линейное преобразование допускает квадратичный инвариант

(12)
${{p}^{2}} + {{q}^{2}}.$

Последнему наблюдению можно придать инвариантный смысл, если ввести оператор ортогонального проектирования P гильбертова пространства на плоскость $\pi $. Это ограниченный самосопряженный оператор: $P{\kern 1pt} * = P$ и ${{P}^{2}} = P$. Инвариант (12) представляется в следующем виде:

$f = (Px,Px),\quad x \in \mathcal{H}.$

Предположим теперь, что оператор U имеет бесконечно много различных собственных значений

${{\alpha }_{1}} + i{{\beta }_{1}},\;{{\alpha }_{2}} + i{{\beta }_{2}},\; \ldots $
с собственными векторами

${{\xi }_{1}} + i{{\eta }_{1}},\;{{\xi }_{2}} + i{{\eta }_{2}},\; \ldots $

Двумерные плоскости

${{\pi }_{n}} = \{ x \in \mathcal{H}{\kern 1pt} :\;x = p{{\xi }_{n}} + q{{\eta }_{n}},p,q \in \mathbb{R}\} $
снова будут инвариантными для оператора $U$. Можно показать, что плоскости ${{\pi }_{k}}$ и ${{\pi }_{l}}$ ортогональны, если, конечно, $k \ne l$ (см., например, [6]).

Таким образом, в $\mathcal{H}$ имеется ортонормированная система векторов

(13)
${{\xi }_{1}},{{\eta }_{1}},{{\xi }_{2}},{{\eta }_{2}}, \ldots $

Кроме того, оператор U допускает бесконечно много квадратичных инвариантов

(14)
${{f}_{n}} = ({{P}_{n}}x,{{P}_{n}}x),\quad n \geqslant 1,$
где ${{P}_{n}}$ – оператор ортогонального проектирования на ${{\pi }_{n}}$.

С другой стороны, плоскости ${{\pi }_{n}}$ инвариантны также относительно действия кососамосопряженного оператора $\Omega $. На инвариантной плоскости ${{\pi }_{n}}$ он представляется кососимметрической матрицей

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{2{{\beta }_{n}}} \\ { - 2{{\beta }_{n}}}&0 \end{array}} \right].$

Все эти матрицы невырождены, поскольку ${{\beta }_{n}} \ne 0$. В противном случае оператор $U$ будет иметь собственные значения ±1.

Теорема 3. Предположим, что ортонормированная система векторов (13) полна. Тогда

a) квадратичные формы (14) составляют полный набор независимых квадратичных инвариантов оператора $U$, находящихся попарно в инволюции относительно симплектической структуры в $\mathcal{H}$, которая задается кососамосопряженным оператором $\Omega $,

б) совместные уровни этих инвариантов

$\left\{ {x \in \mathcal{H}{\kern 1pt} :\;{{f}_{n}}(x) = {{c}_{n}},\;n \geqslant 1;\;{{c}_{n}} > 0\;и\;\sum {c_{j}^{2} < \infty } } \right\}$
будут бесконечномерными торами

$\mathbb{T}_{c}^{\infty } = \mathop {\text{X}}\limits_{n = 1}^\infty \mathbb{T}_{n}^{1},$

в) на этих торах можно выбрать угловые переменные ${{\varphi }_{1}},{{\varphi }_{2}}, \ldots mod2\pi $ так, что в этих переменных действие оператора U на $\mathbb{T}_{c}^{\infty }$ задается формулами

(15)
${{\varphi }_{n}} \mapsto {{\varphi }_{n}} + \varphi _{n}^{0},\quad {\text{tg}}\varphi _{n}^{0} = \frac{{{{\beta }_{n}}}}{{{{\alpha }_{n}}}};\quad n \geqslant 1.$

Это утверждение указывает на свойство полной интегрируемости отображения $x \mapsto Ux$ (как и в конечномерном случае, о котором упоминалось в п. 3). Полнота семейства инволютивных инвариантов (14) означает, что к этому набору нельзя добавить еще одну квадратичную форму, которая была бы независима от набора (14) и находилась бы с ними в инволюции. Отображение (15) – это бесконечномерный вариант отображения Кронекера–Вейля. Его свойства вполне аналогичны эргодическим свойствам непрерывных потоков Кронекера–Вейля на бесконечномерных торах (они обсуждаются в [8, 9]; там же можно найти дальнейшие ссылки).

5. ЛЕБЕГОВСКИЙ СПЕКТР

Случай непрерывного спектра более сложный. Ограничимся рассмотрением каскадов с так называемым лебеговским спектром. Сюда, в частности, относятся автоморфизмы тора из примера 2 (п. 1). Такие системы заведомо обладают перемешиванием. Для простоты ограничимся случаем однократного лебеговского спектра.

В этом случае в $\mathcal{H} = {{\hat {L}}_{2}}$ имеется полный ортонормированный базис $\{ {{e}_{j}}\} $, $j \in \mathbb{Z}$ такой, что

(16)
$U{{e}_{j}} = {{e}_{{j + 1}}}.$

В определенном смысле общий случай сводится к этому частному (см., например, [2]).

Пусть $x = \sum {{{p}_{j}}{{e}_{j}}} $, $\sum {p_{j}^{2} < \infty } $. Тогда

$Ux = \sum {{{p}_{j}}{{e}_{{j + 1}}}} = \sum {{{p}_{{j - 1}}}{{e}_{j}}} .$

Таким образом, если отождествить $\mathcal{H}$ с l2 (пространство бесконечных в обе стороны последовательностей $\{ {{p}_{j}}\} $ с условием $\sum {p_{j}^{2} < \infty } $), то действие оператора U сводится к сдвигу элементов на единицу влево. При таком сдвиге, конечно, сохраняется скалярный квадрат $F = \sum {p_{j}^{2}} $. Теорема 2 дает бесконечный набор квадратичных инвариантов:

(17)
${{F}_{n}} = \sum {{{p}_{{j - n}}}{{p}_{j}}} + \sum {{{p}_{{j + n}}}{{p}_{j}}} .$

Более точно, инварианты (6) сводятся к конечным линейным комбинациям квадратичных форм (17).

Далее, $\Omega {{e}_{j}} = {{e}_{{j + 1}}} - {{e}_{{j - 1}}}$, $j \in \mathbb{Z}$. Значит,

(18)
$\Omega x = \sum {{{p}_{j}}\Omega {{e}_{j}}} = \sum {({{p}_{{j - 1}}} - {{p}_{{j + 1}}}){{e}_{j}}} .$

Соответствующая 2-форма $[x,y] = (\Omega x,y)$ будет невырожденной. Действительно, пусть $(\Omega x,y) = 0$ для всех $y$. Положим $y = {{e}_{j}}$. Тогда из (18) вытекает, что ${{p}_{{j - 1}}} = {{p}_{{j + 1}}}$. Следовательно, элементы вектора x с четными (нечетными) номерами равны между собой. Но тогда они все равны нулю, иначе будет расходиться ряд $\sum {p_{j}^{2}} $. Поэтому $x = 0$.

Значит, кососамосопряженный оператор Ω задает симплектическую структуру в $\mathcal{H} = {{\hat {L}}_{2}}$. Из формулы (18) вытекает инвариантность этой структуры относительно преобразования U. Из теоремы 2 также следует инволютивность квадратичных инвариантов (17) относительно скобки Пуассона, порожденной этой симплектической структурой.

Нетрудно показать, что квадратичные формы ${{F}_{0}},{{F}_{1}},{{F}_{2}}, \ldots $ независимы: их градиенты (как векторы из $\mathcal{H}$) линейно независимы (хотя бы в одной точке $\mathcal{H}$). Далее, можно показать, что любая непрерывная квадратичная форма на $\mathcal{H}$, инвариантная относительно действия оператора U, представляется в виде

$\sum\limits_{n = 0}^\infty \,{{\alpha }_{n}}{{F}_{n}}$
с некоторыми постоянными ${{\alpha }_{n}}$, $n \geqslant 0$. Все это свидетельствует о свойстве полной интегрируемости оператора Купмана для систем с лебеговским спектром. Однако вопрос о строении совместных уровней квадратичных инвариантов (17) остается открытым. Сводится ли действие оператора Купмана на этих бесконечномерных многообразиях к отображению Кронекера–Вейля?

Список литературы

  1. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории. М.: Изд-во иностр. лит., 1959.

  2. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республ. типография, 1999.

  3. Козлов В.В. // ДАН. 2017. Т. 477. № 6. С. 646–648.

  4. Козлов В.В. // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления. 2021. Т. 496. № 1. С. 48-52.

  5. Трещёв Д.В., Шкаликов А.А. // Матем. заметки. 2017. Т. 101. № 6. С. 911–918.

  6. Козлов В.В. // УМН. 2020. Т. 75. № 3. С. 55–106.

  7. Williamson J. // Amer. J. Math. 1936. V. 58. № 1. P. 141–163.

  8. Klimek S., Leśniewski A. Ergodic theorems for quantum Kroneker flows / Perspectives of quantization South Hadly, MA, 1996 Amer. Math. Soc. Providence, RI 1998 P. 71–80.

  9. Kozlov V.V. // Russian Journal of Math. Physics. 2021. V. 28. № 1. P. 74–84

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления