Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 500, № 1, стр. 10-15

В теореме 1 работы А.С. Холево [1] (см. также [2]) установлено, что всякий феллеровский линейный оператор T в пространстве $M({{\mathbb{R}}^{n}})$ ограниченных борелевских мер на ${{\mathbb{R}}^{n}}$, переводящий гауссовские меры в гауссовские, представляет собой свертку фиксированной гауссовской меры с образом меры при линейном операторе, т. е. имеет вид

где ${{\gamma }_{0}}$ – некоторая гауссовская мера, $\mu \circ {{S}^{{ - 1}}}$ – образ меры $\mu $ при некотором линейном операторе S, задаваемый на борелевских множествах формулой

В нашей работе теорема 1 работы [1] обобщена в нескольких направлениях: 1) показано, что достаточно иметь гауссовость образов при T лишь для гауссовских мер, сосредоточенных на аффинных прямых, 2) получен бесконечномерный аналог, 3) ослаблено условие феллеровости оператора T, в частности, достаточно его секвенциальной непрерывности в слабой топологии.

Сразу отметим, что оператор T указанного вида однозначно восстанавливается по образам дираковских мер ${{\delta }_{x}}$, ибо ${{\gamma }_{0}} = T{{\delta }_{0}}$ и $Sx$ есть разность средних гауссовских мер $T{{\delta }_{x}}$ и $T{{\delta }_{0}}$. Поэтому можно было бы предположить, что достаточно гауссовости образов мер Дирака. Однако это неверно уже на прямой: в качестве $T\mu $ можно взять образ меры $\mu $ при гомеоморфизме $x \mapsto {{x}^{3}}$. Тем не менее гауссовости образов одномерных гауссовских мер оказывается достаточно. Ниже приведены простые примеры, показывающие, что нельзя отказаться и от условия феллеровости T, хотя удается его ослабить.

Для вполне регулярного топологического пространства X обозначим через ${{C}_{b}}(X)$ пространство ограниченных непрерывных функций на X и через $M(X)$ пространство всех ограниченных (возможно знакопеременных) радоновских мер на X, см. [3]. Пространство $M(X)$ можно наделить нормой ||μ|| полной вариации, а также слабой топологией, порожденной двойственностью с пространством ${{C}_{b}}(X)$, см. [3].

Отображение $T{\text{:}}\,\,M(X) \to M(X)$ называется феллеровским, если существует такое отображение $T{\text{*:}}\,\,{{C}_{b}}(X) \to {{C}_{b}}(X)$, что

Феллеровость равносильна линейности и непрерывности в слабой топологии. При этом оператор T автоматически оказывается ограниченным относительно нормы полной вариации (это следует из теоремы Банаха–Штейнгауза).

Гауссовской мерой на $\mathbb{R}$ называется образ стандартной гауссовской меры с плотностью ${{(2\pi )}^{{ - 1/2}}}{{e}^{{ - {{x}^{2}}/2}}}$ при аффинной функции. В том числе гауссовской считается дираковская мера ${{\delta }_{a}}$ в точке $a$. Гауссовской мерой (см. [4]) на локально выпуклом пространстве X с топологическим сопряженным X* будем называть вероятностную радоновскую меру $\gamma $ на X, для которой одномерные образы $\gamma \circ {{f}^{{ - 1}}}$ гауссовы. Такая мера обладает средним $a(\gamma )$, для которого $f(a(\gamma ))$ есть интеграл от f по мере $\gamma $ для всякого $f \in X{\text{*}}$. Одномерной гауссовской мерой называется мера, сосредоточенная на одномерном аффинном подпространстве, т. е. образ стандартной гауссовской меры при аффинном отображении вида

с одномерным образом, где $x,y \in X$.

Теорема 1. Представление (1) феллеровских операторов в $M(X)$ остается в силе и для локально выпуклого пространства X, причем гауссовость образов при $T$ достаточно иметь лишь для одномерных гауссовских мер.

Ввиду этого обобщения доказательство из работы [1] для ${{\mathbb{R}}^{n}}$ становится заметно короче (ниже приведено это рассуждение). На самом деле нами доказано более общее утверждение, причем и для $\mathbb{R}$ оно несколько отличается от результата работы [1] (хотя при этом применен метод из [1]).

Обозначим через $LG(X)$ линейную оболочку множества гауссовских радоновских мер на локально выпуклом пространстве X.

Теорема 2. Пусть линейное отображение $T{\text{:}}\,\,LG(X) \to M(X)$ переводит все одномерные гауссовские меры в гауссовские, причем для всякого $f \in X{\text{*}}$ есть такая функция ${{g}_{f}}{\text{:}}\,\,X \to \mathbb{C}$, ограниченная и непрерывная на каждой аффинной прямой, что для всех одномерных гауссовских мер $\nu $ имеем

Тогда найдутся гауссовская мера ${{\gamma }_{0}}$ и линейный оператор $S{\text{:}}\,X \to X$ такие, что (1) верно для всех дираковских мер.

Если же, кроме того, оператор T задан и линеен на всем пространстве $M(X)$ и непрерывен в слабой топологии, то оператор $S$ непрерывен и $T$ имеет вид (1) для всех мер из $M(X)$.

Доказательство. Для $x,y \in X$ и $f \in X{\text{*}}$ положим ${{g}_{{x,y,f}}}(t) = {{g}_{f}}(tx + y)$,

Тогда ${{G}_{{x,y,f}}}$ по условию отображает гауссовские меры на прямой в гауссовские. Кроме того, для каждого $s \in \mathbb{R}$ выполнено равенство

Это означает, что экспоненте $exp(is( \cdot ))$ можно сопоставить функцию

интеграл от которой по мере ν равен интегралу от $exp(is( \cdot ))$ по мере ${{G}_{{x,y,f}}}\nu $. Значит, согласно теореме 3 ниже, ${{G}_{{x,y,f}}}$ имеет представление (1), т.е. где ${{\sigma }_{{x,y,f}}} = {{G}_{{x,y,f}}}{{\delta }_{0}} = T({{\delta }_{y}}) \circ {{f}^{{ - 1}}}$ и ${{S}_{{x,y,f}}}{\text{:}}\,\,\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ – линейная функция, ${{S}_{{x,y,f}}}(t) = {{s}_{{x,y,f}}}t,t \in \mathbb{R}$. Подставив в (2) меру Дирака $\nu = {{\delta }_{t}},t \in \mathbb{R}$, получим

Из (3) следует равенство средних

Положим

Докажем линейность S. В самом деле, равенство (4) принимает вид

Так как $S(0) = 0$, то при y = 0 получим в (5) для всех $t \in \mathbb{R}$ равенство

В силу произвольности $f \in X{\text{*}}$ заключаем, что

Теперь запишем (5) в виде

Воспользовавшись однородностью $S$, имеем

Поменяв $x,y$ в (6) местами, получим, что

Тогда, переходя к пределу при $t \to \infty $ в (7), заключаем, что для всех $x,y \in X$ и $f \in X{\text{*}}$ выполнено равенство

Поэтому $S$ аддитивно. Линейность $S$ доказана.

Теперь установим, что T имеет вид (1) для дираковских мер. Действительно, взяв в равенстве (3) вектор $y = 0$ и число t = 1 и учитывая, что

получим

Значит, $T{{\delta }_{x}} = {{\gamma }_{0}} * {{\delta }_{{Sx}}}$ для всех $x \in X$. Первое утверждение доказано. Перейдем к доказательству второго утверждения. Из непрерывности T следует, что для всякой направленности элементов ${{x}_{\alpha }} \in X$, сходящейся к нулю, имеет место слабая сходимость мер

Выведем из этого непрерывность S. Предположим, что S разрывно в нуле. Тогда найдутся направленность элементов ${{x}_{\alpha }} \in X$ и непрерывная полунорма q такие, что ${{x}_{\alpha }} \to 0$, но $q(S{{x}_{\alpha }}) > 1$ для всех α. Кроме того, существует R > 0 такое, что $\gamma (q\, < \,R)\, > \,1{\text{/}}2$. Положим $V\, = \,{\text{\{ }}q\, < \,R{\text{\} }}$. Тогда $S(2R{{x}_{\alpha }})\, \notin \,2V$ для всех $\alpha $. Поэтому V ∩ (V – $S(2R{{x}_{\alpha }}))$ = $\emptyset $, откуда

что противоречит слабой сходимости $\gamma * {{\delta }_{{S(2R{{x}_{\alpha }})}}}$ к мере γ. Так как $LG(X)$ плотно в $M(X)$ в слабой топологии, то T имеет вид (1) на $M(X)$.

Итак, теперь гауссовость образов достаточно проверять лишь для гауссовских мер на аффинных прямых. Осталось доказать теорему 2 для $\mathbb{R}$. Применим метод работы [1] с заметными упрощениями для n = 1. Гауссовскую меру на $\mathbb{R}$ со средним a и дисперсией $\sigma $ обозначим через ${{\mu }_{{a,\sigma }}}$.

Теорема 3. Пусть отображение T : $LG(\mathbb{R})$ → → $LG(\mathbb{R})$ переводит гауссовские меры в гауссовские, причем для каждого $\lambda \in \mathbb{R}$ есть такая функция ${{g}_{\lambda }} \in {{C}_{b}}(\mathbb{R})$, что

Тогда T линейно и найдутся такие гауссовская мера ${{\gamma }_{0}}$ и линейная функция $S:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, что (1) верно для всех $\mu \in LG(\mathbb{R})$.

Доказательство. Отображение $T$ линейно на $LG(\mathbb{R})$, ибо правая часть равенства выше линейна по $\mu $ и преобразование Фурье инъективно. Гауссовская мера ${{\mu }_{{x,t}}}$ с $t \geqslant 0$ отображается в гауссовскую меру $T{{\mu }_{{x,t}}} = {{\mu }_{{a(x,t),\sigma (x,t)}}}$. Функции $a(x,t)$ и $\sigma (x,t)$ непрерывны по совокупности переменных. Это следует из равносильности поточечной сходимости преобразований Фурье гауссовских мер и сходимости средних и дисперсий и того, что для всех $\lambda \in \mathbb{R}$ имеем

где через $F(\mu )$ обозначено преобразование Фурье меры $\mu $. В частности, откуда получаем

Рассмотрим задачу Коши для одномерного уравнения теплопроводности

Так как плотность меры ${{\mu }_{{x,t}}}$ является фундаментальным решением уравнения теплопроводности, то (8) означает, что функция

есть решение (9). Оно бесконечно дифференцируемо по $(x,t)$ при t > 0, что дает гладкость функций $a(x,t)$ и $\sigma (x,t)$ в той же области. Подставляя в уравнение теплопроводности и дифференцируя, получаем

Так как левая часть содержит члены не выше второго порядка по λ, то имеем ${{\partial }_{x}}\sigma = 0$. Учитывая это, приходим к двум уравнениям

Поскольку $\sigma $ не зависит от x, то второе уравнение в (10) дает равенство

т.е. функция $a(x,t)$ линейна по x. Тогда с учетом первого уравнения в (10) получим, что $a(x,t)$ не зависит от t. Таким образом,

Тогда снова из второго равенства в (10) видно, что функция $\sigma (x,t)$ линейна по t. Окончательно получаем

Положим $S(x) = Ax$. Тогда для всех $\lambda \in \mathbb{R}$ выполнено равенство преобразований Фурье

поэтому $T{{\mu }_{{x,t}}} = T{{\delta }_{0}} * ({{\mu }_{{x,t}}} \circ {{S}^{{ - 1}}})$.

Замечание 1. Хотя предыдущая теорема ослабляет условие феллеровости, полностью от него отказаться нельзя. Это ясно из того, что оператор вида (1) феллеров, причем легко указать примеры непрерывных операторов в $M(\mathbb{R})$, не являющихся феллеровскими, но переводящих гауссовские меры в гауссовские. Запишем $M(R)$ как прямую сумму трех замкнутых по норме подпространств: пространства M_a абсолютно непрерывных мер, пространства M_d мер, сосредоточенных на счетных множествах, и пространства M_s сингулярных мер без атомов. Оператор μ = μ_a + μ_d + + ${{\mu }_{s}} \mapsto {{\mu }_{a}} + {{\mu }_{d}}$ тождественен на гауссовских мер, но разрывен в слабой топологии, ибо равен нулю на плотном в слабой топологии множестве M_s. Оператор $\mu = {{\delta }_{1}} * {{\mu }_{a}} + {{\gamma }_{1}} * {{\mu }_{d}}$, где ${{\gamma }_{1}}$ – стандартная гауссовская мера, также переводит гауссовские меры в гауссовские, но не имеет вида (1) даже на гауссовских мерах.

Перейдем к аналогу теоремы 2 для секвенциально непрерывных операторов. В частности, мы увидим, что для метризуемого пространства X слабая непрерывность оператора в $M(X)$ равносильна секвенциальной непрерывности, хотя пространство $M(X)$ неметризуемо в слабой топологии. В общем локально выпуклом пространстве X секвенциально непрерывный оператор S задает отображение $LG(X)$ посредством (1), причем существуют секвенциально непрерывные разрывные операторы S.

Пусть $X$ – вполне регулярное пространство, ${{M}_{S}}(X)$ – множество мер из $M(X)$, сосредоточенных на счетных объединениях метризуемых компактов (или, что равносильно, на суслинских множествах); ${{M}_{S}}(X)$ – линейное подпространство в $M(X)$. Если $X$ – локально выпуклое пространство, то $LG(X) \subset {{M}_{S}}(X)$ (см. [4, теорема 3.4.1]) и $\mu * \nu \in {{M}_{S}}(X)$ при $\mu ,\nu \in {{M}_{S}}(X)$. Пусть $S{{C}_{b}}(X)$ – линейное пространство ограниченных секвенциально непрерывных функций на $X$. Функции из $S{{C}_{b}}(X)$ измеримы относительно всех мер из ${{M}_{S}}(X)$, поэтому на ${{M}_{S}}(X)$ и $LG(X)$ можно ввести топологию ${{\tau }_{{SC}}}$, порожденную двойственностью с $S{{C}_{b}}(X)$. Эта топология сильнее слабой, если на X есть разрывные секвенциально непрерывные функции (такое пространство не секвенциально, т.е. содержит незамкнутые секвенциально замкнутые множества).

Лемма 1. Линейное отображение T : ${{M}_{S}}(X)$ → → M_S(X) непрерывно в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$ в точности тогда, когда оно секвенциально непрерывно.

Если X метризуемо (или секвенциально), то это же верно и для операторов из $M(X)$ в $M(X)$.

Доказательство. Пусть T секвенциально непрерывно. Тогда оно ограничено как оператор на ${{M}_{S}}(X)$ с нормой полной вариации. Это следует из того, что T отображает сходящиеся по норме к нулю последовательности в ограниченные. Для $f \in S{{C}_{b}}(X)$ положим

Тогда $T{\text{*}}f \in S{{C}_{b}}(X)$, ибо при ${{x}_{n}} \to x$ в $X$ имеем ${{\delta }_{{{{x}_{n}}}}} \to {{\delta }_{x}}$ в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$, поэтому $T{{\delta }_{{{{x}_{n}}}}} \to T{{\delta }_{x}}$ в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$. Кроме того, $su{{p}_{{x \in X}}}{\text{|}}T{\text{*}}f(x){\text{|}}$ ≤ ${\text{||}}f{\text{||||}}T{\text{||}}$.

Для меры $\mu $, являющейся линейной комбинацией мер Дирака, имеем

Равенство верно и для всякой меры $\mu $ из ${{M}_{S}}(X)$ с компактным метризуемым носителем K, так как она есть предел в слабой топологии последовательности мер ${{\mu }_{n}}$ с конечными носителями в $K$. При этом имеет место и сходимость в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$, ибо для всякой функции $f \in S{{C}_{b}}(X)$ ее сужение на K непрерывно в силу метризуемости K, что дает функцию $g \in {{C}_{b}}(X)$, совпадающую с f на K, но интегралы от f и g по мерам, сосредоточенным на K, равны. Теперь равенство распространяется на все меры $\mu \in {{M}_{S}}(X)$ с помощью приближения по вариации мерами с метризуемыми компактными носителями. Это влечет непрерывность $T$ в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$.

Можно было использовать и то, что всякая мера $\mu $ из ${{M}_{S}}(X)$ есть предел последовательности линейных комбинаций мер Дирака в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$. В самом деле, $\mu $ сосредоточена на объединении $Y$ возрастающих метризуемых компактов ${{K}_{n}}$. Вложим $Y$ гомеоморфно в ${{\mathbb{R}}^{\infty }}$ и найдем меры ${{\nu }_{n}}$ с конечными носителями в ${{K}_{n}}$, слабо сходящиеся к $\mu $ на ${{\mathbb{R}}^{\infty }}$. Это даст сходимость в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$ на $M(Y)$ ввиду равномерной плотности мер ${{\nu }_{n}}$ на $Y$.

Теорема 4. Пусть линейный оператор $T{\text{:}}\,\,{{M}_{S}}(X)$ → M_S(X) отображает одномерные гауссовские меры в гауссовские и непрерывен в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$. Тогда найдутся гауссовская мера ${{\gamma }_{0}}$ и линейный секвенциально непрерывный оператор $S{\text{:}}\,\,X \to X$ такие, что (1) верно для всех мер из ${{M}_{S}}(X)$.

Доказательство. Непрерывность оператора в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$ равносильна тому, что для каждой функции $g \in S{{C}_{b}}(X)$ функция $T{\text{*}}g$ также принадлежит $S{{C}_{b}}(X)$, причем равенство

выполнено для всех $\mu \in {{M}_{S}}(X)$. Тогда, взяв точки $x,y \in X$ и функционал $f \in X{\text{*}}$, для всех $\nu \in LG(\mathbb{R})$ получим тождество причем функция $T{\text{*}}exp(if) \circ {{L}_{{x,y}}}$ лежит в ${{C}_{b}}(\mathbb{R})$. Таким образом, в обозначениях теоремы 2 экспоненте exp(if) соответствует функция

По первому утверждению теоремы 2 оператор $T$ на мерах Дирака имеет вид (1) с некоторыми гауссовской мерой ${{\gamma }_{0}}$ и линейным оператором $S{\text{:}}\,\,X \to X$. Заметим, что $S$ секвенциально непрерывен. Это видно из того же рассуждения, что и выше в случае непрерывности, а также следует из сходимости средних слабо сходящейся последовательности гауссовских мер (см. [3, предложение 2.7.19]). Так как $S$ секвенциально непрерывно, то оно измеримо для каждой меры $\mu $ из ${{M}_{S}}(X)$. Поэтому корректно определен линейный оператор

Отображение R непрерывно в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$. Действительно, для всякой функции $g \in S{{C}_{b}}(X)$ функция

секвенциально непрерывна и ограничена и при $\mu \in {{M}_{S}}(X)$ имеем

Операторы T и R равны на линейной оболочке дираковских мер и непрерывны в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$. Значит, они равны на ${{M}_{S}}(X)$, ибо эта линейная оболочка плотна в ${{M}_{S}}(X)$ в топологии ${{\tau }_{{SC}}}$.

Отметим, что для слабой топологии вместо ${{\tau }_{{SC}}}$ лемма неверна. Например, если $X$ – компактификация Стоуна–Чеха множества натуральных чисел $\mathbb{N}$, то из слабой сходимости в M(X) следует сходимость на всех борелевских множествах (см. [3, предложение 5.6.15]), поэтому функционал $\mu \mapsto \mu (B)$ секвенциально непрерывен, но разрывен в слабой топологии, если B – борелевское множество с разрывным индикатором (например, точка из $X{{\backslash }}\mathbb{N}$).

Заметим, что преобразования вида (1) сохраняют некоторые другие интересные классы мер (с ${{\gamma }_{0}}$ из соответствующего класса), в том числе логарифмически вогнутые (см. [3]) и устойчивые (см. [5]). Интересно изучить для них аналоги характеризации (1). В работе [6] показано, что диффузионные полугруппы, сохраняющие логарифмическую вогнутость, являются гауссовскими, их переходные операторы имеют вид (1).