Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 500, № 1, стр. 5-9
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ЗАРЕМБЫ
1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия
* E-mail: algazinsd@mail.ru
Поступила в редакцию 29.03.2021
После доработки 28.04.2021
Принята к публикации 10.08.2021
Аннотация
Рассматривается задача на собственные значения для двумерного оператора Лапласа со смешанными краевыми условиями (задача Зарембы), которая (предположительно) имеет внутри области гладкое решение. Вычисления показывают, что у оператора –Δ есть отрицательное собственное значение, т.е. он не положительно определен.
ВВЕДЕНИЕ
Для решения рассматриваемой задачи используется метод без насыщения К.И. Бабенко [1], который автоматически настраивается на гладкость решения (его точность тем выше, чем большим условиям гладкости удовлетворяет решение). A priori гладкость решения может быть неизвестна. Подробнее с многочисленными примерами расчета собственных значений для оператора Лапласа с однородными краевыми условиями см. [2].
Задача Зарембы опубликована в 1910 г. [3]. Современные исследования этой задачи проводили Н. Тарханов, А.А. Шлапунов и др., см. [4–9]. В этих работах задача Зарембы рассматривается аналитически в круге. В настоящей работе задача Зарембы исследуется численно. Задача рассматривается в произвольной гладкой области, для которой известно конформное отображение этой области на круг (аналитическое или численное). В последнем случае достаточно знать параметрические уравнения границы.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В произвольной области G ∈ R2 с достаточно гладкой границей ∂G рассмотрим задачу (1)–(3):
Здесь функция F(z) либо задана, либо F(z) = = [Q(z) + λP(z)]u(z), где Q(z) и P(z) – заданные функции, $\partial G = \partial {{G}_{1}} \cup \partial {{G}_{2}}$, и в этом случае имеем задачу на собственные значения для оператора Лапласа; A – заданная на границе ∂G2 гладкая функция; n – единичный вектор внешней нормали к ∂G2. В дальнейшем будем считать, что F, Q и P – гладкие функции, P(z) ≥ δ > 0. Пусть z = φ(ζ), |ζ| ≤ 1 – конформное отображение единичного круга на область G, тогда в плоскости ζ формально получаем те же соотношения (1)–(3), где, однако, вместо u(z) и F(z) следует писать u(ζ) = u(z(ζ)) и |φ'(ζ)|2F(z(ζ)), а вместо A – α(θ) = $A(z({{e}^{{i\theta }}})){\text{|}}\varphi {\kern 1pt} '({{e}^{{i\theta }}}){\text{|}}.$
Обозначим через $K(\varsigma ,\xi ) = - \frac{1}{{2\pi }}{\text{ln|}}(1 - \varsigma \bar {\xi }){\text{/}}(\varsigma - \xi ){\text{|}}$ функцию Грина оператора Лапласа в круге с краевым условием Дирихле. Из (1)–(3) имеем
(4)
$\begin{gathered} \Delta u(\varsigma ) + \,{\text{|}}\varphi {\kern 1pt} '(\varsigma ){{{\text{|}}}^{2}}(q(\varsigma ) + \lambda p(\varsigma ))u(\varsigma ) = 0,\quad \varsigma = r \cdot {{e}^{{i\theta }}}, \\ q(\varsigma ) = Q(z(\varsigma )),\quad p(\varsigma ) = P(z(\varsigma ), \\ \end{gathered} $(6)
$\alpha {{\left. {u + \frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right|}_{{r = 1}}} = 0,\quad \theta \in {{g}_{2}}.$Из (4)–(6) следует
(7)
$\begin{gathered} u(\varsigma ) = - \int\limits_{|\xi | \leqslant 1} {K(\varsigma ,\xi ){\text{|}}\varphi {\kern 1pt} '(\xi ){{{\text{|}}}^{2}}[q(\xi ) + \lambda p(\xi )]u(\xi )d\xi } + \\ + \int\limits_{{{\theta }_{1}}}^{{{\theta }_{2}}} {{{K}_{0}}(\varsigma ,\theta )\psi (\theta )d\theta } , \\ \end{gathered} $Для интерполяции функции |φ'(x)|2[q(ξ) + + $\lambda p(\xi )]u(\xi )$11 применяется глобальная интерполяционная формула К.И. Бабенко для функции двух переменных в круге, см. [10, формула 3.2.1]. Для погрешности этой формулы ρM(⋅; f ) справедлива
Теорема (К. И. Бабенко). Рассмотрим класс функций $H_{\infty }^{M}(K;D) \subset C(D),$ удовлетворяющих в круге D условиям $\left| {\frac{{{{\partial }^{{k + l}}}f}}{{\partial {{x}^{k}}\partial {{y}^{l}}}}} \right| \leqslant K,k + l \leqslant \mu ,$ тогда, если f ∈ $H_{\infty }^{M}(K;D)$, то
(8)
${\text{|}}{{\rho }_{M}}( \cdot {\text{ }};f){{{\text{|}}}_{\infty }} \leqslant {{c}_{\mu }}K{{M}^{{ - \mu 2}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}^{2}}M,$Таким образом, из рассмотрения формулы (8) видно, что при одинаковом числе узлов интерполяции M скорость убывания погрешности интерполяционной формулы (8) возрастает с ростом μ, т.е. с ростом гладкости интерполируемой функции f. Это означает, что полученная интерполяционная формула не имеет насыщения.
2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ
В силу граничного условия (6) последний интеграл в (7) принимает вид
(8)
$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H} _{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}) = \int\limits_{{{\theta }_{1}}}^{{{\theta }_{2}}} {{{K}_{0}}(\varsigma ,\theta )\psi (\theta )d\theta } .$Здесь ψ(θ) на части границы ${{g}_{2}} = \left[ {{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}} \right]$ неизвестно и должно быть определено из граничного условия (6). Сделаем в интеграле (8) замену:
(9)
$\theta = \frac{{{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}}}{2}x + \frac{{{{\theta }_{2}} + {{\theta }_{1}}}}{2}.$Тогда получаем $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H} _{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})$ = $\frac{2}{{{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}}}\int\limits_{ - 1}^{ + 1} {{{K}_{0}}(\varsigma ,\theta )\psi (x)dx} $, где θ определено в (9). Для функции ψ(x) применим интерполяционную формулу Лагранжа с узлами в нулях полинома Чебышева степени l [1]:
Дело сводится к вычислению интегралов
(10)
${{h}_{k}}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}) = \frac{2}{{{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}}}\int\limits_{ - 1}^{ + 1} {{{K}_{0}}(\varsigma ,\theta ){{T}_{k}}(x)dx} ,$$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H} _{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}) = \sum\limits_{j = 1}^l {H_{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})} {{\psi }_{j}}.$ Далее, подставляя в (7), получаем:
(12)
$u(\varsigma ) = \sum\limits_i {{{H}_{i}}(\varsigma ){{f}_{i}} + } \sum\limits_{j = 1}^l {H_{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})} {{\psi }_{j}},\quad \varsigma = \rho {{e}^{{i\varphi }}}.$Обозначим
(13)
$\begin{gathered} {{\theta }_{i}} = \frac{{{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}}}{2}{{x}_{i}} + \frac{{{{\theta }_{2}} + {{\theta }_{1}}}}{2}, \\ {{x}_{i}} = \cos \frac{{(2i - 1)\pi }}{{2l}},\quad i = 1,2,...,l. \\ \end{gathered} $Тогда из (12) следует
Пусть C = ${{B}^{{ - 1}}}\, \Rightarrow \,{{\psi }_{j}}\, = \, - {\kern 1pt} \sum\limits_{i = 1}^l {{{C}_{{ji}}}\left( {\sum\limits_p {H_{p}^{'}({{\theta }_{i}}){{f}_{p}}} } \right).} $ Подставляем в соотношение (12), тогда имеем
(14)
$\begin{gathered} u(\varsigma ) = \\ = \sum\limits_i {{{H}_{{_{i}}}}(\varsigma ){{f}_{i}} + } \sum\limits_{j = 1}^l {H_{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})} \sum\limits_{i = 1}^l {{{C}_{{ji}}}} \sum\limits_p {H_{p}^{'}({{\theta }_{i}}){{f}_{p}}.} \\ \end{gathered} $Пусть в (14) ς пробегает узлы интерполяции внутри круга, тогда имеем
где θi определено в (13).3. РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
Формулы для $H_{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})$ (cм. (11)) $ \Rightarrow $ требуются формулы для ${{h}_{k}}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})$ (см. (10)), K0(ς, θ) = = $\frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n = - m}^{n = + m} {{{\rho }^{{\left| n \right|}}}{{e}^{{in(\theta - \varphi )}}}} $, ς = ρeiφ. Следовательно, нужны формулы для интегралов ${{g}_{{\ln }}} = \int\limits_{ - 1}^{ + 1} {{{e}^{{in\theta }}}} {{T}_{l}}(x)dx$, где θ определено в (9). Обозначим:
1) ${{g}_{{0n}}} = {{f}_{n}}({{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}),\,{{g}_{{00}}} = 2;$
2) ${{g}_{{1n}}} = \,c_{n}^{{(1,2)}}(\,e_{n}^{{(2)}} + e_{n}^{{(1)}} - {{f}_{n}}({{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})),\,{{g}_{{10}}} = 0;$
3) ${{g}_{{2n}}} = \,c_{n}^{{(1,2)}}(e_{n}^{{(2)}} - e_{n}^{{(1)}} - 4{{g}_{{1n}}}),\,{{g}_{{20}}} = - 2{\text{/}}3;$
4) gl + 1, n = $\frac{1}{{l - 1}}{{g}_{{l - 1,n}}}$ – $2c_{n}^{{(1,2)}}{{g}_{{l,n}}}$ – $\frac{2}{{l - 1}}(e_{n}^{{(1)}}{{( - 1)}^{l}}$ + + $e_{n}^{{(2)}})$, l ≥ 2.
4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
Расчеты проводились для круга единичного радиуса (A = 1, ${{\theta }_{1}} = 0,\,{{\theta }_{2}} = \pi $, Q ≡ 0, P ≡ 1) и области, получающейся из круга конформным отображением: z = ς(1 + 0.0625 · ς12) при тех же параметрах граничных условий (A = 1, ${{\theta }_{1}} = 0,\,\,{{\theta }_{2}} = \pi $). Граница этой области имеет в 12 точках кривизну, равную –2710, т.е. порядка 103. В круге выбиралась сетка из 9 окружностей с расположением точек по окружностям (начиная с первой, ближайшей к границе): /27,25,23,21,17,9,7,3,3/. Второй расчет проводится на сетке из 15 окружностей по 31 точке на каждой окружности (это максимальная допустимая методикой сетка).
Таблица 1.
i | Круг | Эпитрохоида, ε = 0.0625, n = 12 | ||
---|---|---|---|---|
/27,25,23,21,17,9,7,3,3/ | 15 × 31 | /27,25,23,21,17,9,7,3,3/ | 15 × 31 | |
1 | –2.308 | –1.828 | –2.389 | –1.423 |
2 | 5.072 | 5.194 | 5.313 | 5.463 |
3 | 14.681970642 | 14.681970642 | 14.650 | 14.648504095 |
4 | 25.820 | 22.465 | 20.705 | 17.674421255 |
Из рассмотрения табл. 1 видим, что у оператора –Δ есть отрицательное собственное значение, т.е. он не положительно определен. Третье собственное значение в круге совпадает со всеми знаками на двух сетках. Видимо, это объясняется строением собственной формы (рис. 4). Собственные формы для трех первых собственных значений в круге приведены на рис. 1–3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На доступных для описанной методики сетках с приемлемой точностью вычислены по четыре собственных значения задач Заремба в круге и в области, ограниченной эпитрохоидой (эпитрохоида кривая, которую описывает точка малого круга, катящегося по большому кругу, в данном случае по кругу радиуса 1; для этой области известно конформное круга отображение на эту область). Третье собственное значение для круга определено с 9-ю знаками после запятой, а для эпитрохоиды с 3-мя знаками после запятой. Погрешность определения остальных собственных значений легко найти из табл. 1. Из рассмотрения таблицы видим, что у оператора –Δ есть отрицательное собственное значение, т.е. он не положительно определен.
Список литературы
Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.; 2-е изд., испр. и доп. / Под ред. А.Д. Брюно. М.; Ижевск: РХД, 2002. 847 с.
Бабенко К.И., Алгазин С.Д. Об одном численном алгоритме решения задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов. М., 1978 (препринт ИПМ АН СССР, № 46).
Zaremba S. Sur un problème mixte relatifà l’èquation de Laplace // Bull. Acad. Sci. Cracovie. 1910. P. 314–344.
Пейчева А.С. О спектральных свойствах операторов, ассоциированных с некоэрцитивными смешанными задачами для эллиптических систем // 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ, Дисс. … канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2018, 138 с.
Laptev Ari, Peicheva A., Shlapunov A. Finding Eigenvalues and Eigenfunctions of the Zaremba Problem for the Circle // Complex Anal. Oper. Theory. 2017. V. 11(4). P. 895–926.
Shlapunov A., Tarkhanov N. On completeness of root functions of Sturm–Liouville problems with discontinuous boundary operators // J. Differential Equations. 2013. V. 255. P. 3305–3337.
Shlapunov A., Tarkhanov N. Mixed Problems with Parameter // Russian J. Math. Phys. 2005. V. 12. No. 1. P. 97–119.
Тарханов Н., Шлапунов А.А. Задачи Штурма–Лиувилля в весовых пространствах в областях с негладкими ребрами. I // Математические труды. 2015. Т. 18. № 1. Р. 118–189. DOI: 10.17377.
Тарханов Н., Шлапунов А.А. Задачи Штурма–Лиувилля в весовых пространствах в областях с негладкими ребрами. II // Математические труды. 2015. Т. 18. № 2. С. 133–204.
Алгазин С.Д. Численные алгоритмы классической математической физики. М.: Диалог-МИФИ, 2010. 240 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления