Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 500, № 1, стр. 5-9

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ЗАРЕМБЫ

С. Д. Алгазин 1*

1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: algazinsd@mail.ru

Поступила в редакцию 29.03.2021
После доработки 28.04.2021
Принята к публикации 10.08.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача на собственные значения для двумерного оператора Лапласа со смешанными краевыми условиями (задача Зарембы), которая (предположительно) имеет внутри области гладкое решение. Вычисления показывают, что у оператора –Δ есть отрицательное собственное значение, т.е. он не положительно определен.

Ключевые слова: численные алгоритмы без насыщения, задача Зарембы, задачи на собственные значения со смешанными краевыми условиями

ВВЕДЕНИЕ

Для решения рассматриваемой задачи используется метод без насыщения К.И. Бабенко [1], который автоматически настраивается на гладкость решения (его точность тем выше, чем большим условиям гладкости удовлетворяет решение). A priori гладкость решения может быть неизвестна. Подробнее с многочисленными примерами расчета собственных значений для оператора Лапласа с однородными краевыми условиями см. [2].

Задача Зарембы опубликована в 1910 г. [3]. Современные исследования этой задачи проводили Н. Тарханов, А.А. Шлапунов и др., см. [49]. В этих работах задача Зарембы рассматривается аналитически в круге. В настоящей работе задача Зарембы исследуется численно. Задача рассматривается в произвольной гладкой области, для которой известно конформное отображение этой области на круг (аналитическое или численное). В последнем случае достаточно знать параметрические уравнения границы.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В произвольной области G R2 с достаточно гладкой границей ∂G рассмотрим задачу (1)–(3):

(1)
$\Delta u(z) + F\left( z \right) = 0,\quad z \in G,$
(2)
${{\left. u \right|}_{{\partial {{G}_{1}}}}} = 0,$
${{\left. {Au + \frac{{\partial u}}{{\partial n}}} \right|}_{{\partial {{G}_{2}}}}} = 0.$

Здесь функция F(z) либо задана, либо F(z) = = [Q(z) + λP(z)]u(z), где Q(z) и P(z) заданные функции, $\partial G = \partial {{G}_{1}} \cup \partial {{G}_{2}}$, и в этом случае имеем задачу на собственные значения для оператора Лапласа; A – заданная на границе ∂G2 гладкая функция; n единичный вектор внешней нормали к ∂G2. В дальнейшем будем считать, что F, Q и P – гладкие функции, P(z) ≥ δ > 0. Пусть z = φ(ζ), |ζ| ≤ 1 – конформное отображение единичного круга на область G, тогда в плоскости ζ формально получаем те же соотношения (1)–(3), где, однако, вместо u(z) и F(z) следует писать u(ζ) = u(z(ζ)) и |φ'(ζ)|2F(z(ζ)), а вместо A – α(θ) = $A(z({{e}^{{i\theta }}})){\text{|}}\varphi {\kern 1pt} '({{e}^{{i\theta }}}){\text{|}}.$

Обозначим через $K(\varsigma ,\xi ) = - \frac{1}{{2\pi }}{\text{ln|}}(1 - \varsigma \bar {\xi }){\text{/}}(\varsigma - \xi ){\text{|}}$ функцию Грина оператора Лапласа в круге с краевым условием Дирихле. Из (1)–(3) имеем

(4)
$\begin{gathered} \Delta u(\varsigma ) + \,{\text{|}}\varphi {\kern 1pt} '(\varsigma ){{{\text{|}}}^{2}}(q(\varsigma ) + \lambda p(\varsigma ))u(\varsigma ) = 0,\quad \varsigma = r \cdot {{e}^{{i\theta }}}, \\ q(\varsigma ) = Q(z(\varsigma )),\quad p(\varsigma ) = P(z(\varsigma ), \\ \end{gathered} $
(5)
${{\left. u \right|}_{{r = 1}}} = 0,\quad \theta \in {{g}_{1}}.$
(6)
$\alpha {{\left. {u + \frac{{\partial u}}{{\partial r}}} \right|}_{{r = 1}}} = 0,\quad \theta \in {{g}_{2}}.$

Из (4)–(6) следует

(7)
$\begin{gathered} u(\varsigma ) = - \int\limits_{|\xi | \leqslant 1} {K(\varsigma ,\xi ){\text{|}}\varphi {\kern 1pt} '(\xi ){{{\text{|}}}^{2}}[q(\xi ) + \lambda p(\xi )]u(\xi )d\xi } + \\ + \int\limits_{{{\theta }_{1}}}^{{{\theta }_{2}}} {{{K}_{0}}(\varsigma ,\theta )\psi (\theta )d\theta } , \\ \end{gathered} $
где ${{g}_{2}} = \left[ {{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}} \right].$ Здесь ψ(θ) – значение u на границе. Для задачи Дирихле ψ(θ) = 0, а для задачи Зарембы должна быть выбрана с учетом краевого условия (6):

$\begin{gathered} {{K}_{0}}(\varsigma ,\theta ) = \frac{{1 - {{\rho }^{2}}}}{{2\pi (1 + {{\rho }^{2}} - 2\rho {\text{cos}}(\theta - \varphi ))}} = \\ = \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {{{\rho }^{{\left| n \right|}}}{{e}^{{in(\theta - \varphi )}}}} , \\ \varsigma = \rho {{e}^{{i\varphi }}},\quad 0 \leqslant \rho < 1. \\ \end{gathered} $

Для интерполяции функции |φ'(x)|2[q(ξ) + + $\lambda p(\xi )]u(\xi )$11 применяется глобальная интерполяционная формула К.И. Бабенко для функции двух переменных в круге, см. [10, формула 3.2.1]. Для погрешности этой формулы ρM(⋅; f ) справедлива

Теорема (К. И. Бабенко). Рассмотрим класс функций $H_{\infty }^{M}(K;D) \subset C(D),$ удовлетворяющих в круге D условиям $\left| {\frac{{{{\partial }^{{k + l}}}f}}{{\partial {{x}^{k}}\partial {{y}^{l}}}}} \right| \leqslant K,k + l \leqslant \mu ,$ тогда, если f$H_{\infty }^{M}(K;D)$, то

(8)
${\text{|}}{{\rho }_{M}}( \cdot {\text{ }};f){{{\text{|}}}_{\infty }} \leqslant {{c}_{\mu }}K{{M}^{{ - \mu 2}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}^{2}}M,$
где cμконстанта, зависящая от μ.

Таким образом, из рассмотрения формулы (8) видно, что при одинаковом числе узлов интерполяции M скорость убывания погрешности интерполяционной формулы (8) возрастает с ростом μ, т.е. с ростом гладкости интерполируемой функции f. Это означает, что полученная интерполяционная формула не имеет насыщения.

2. ДИСКРЕТИЗАЦИЯ

В силу граничного условия (6) последний интеграл в (7) принимает вид

(8)
$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H} _{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}) = \int\limits_{{{\theta }_{1}}}^{{{\theta }_{2}}} {{{K}_{0}}(\varsigma ,\theta )\psi (\theta )d\theta } .$

Здесь ψ(θ) на части границы ${{g}_{2}} = \left[ {{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}} \right]$ неизвестно и должно быть определено из граничного условия (6). Сделаем в интеграле (8) замену:

(9)
$\theta = \frac{{{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}}}{2}x + \frac{{{{\theta }_{2}} + {{\theta }_{1}}}}{2}.$

Тогда получаем $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H} _{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})$ = $\frac{2}{{{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}}}\int\limits_{ - 1}^{ + 1} {{{K}_{0}}(\varsigma ,\theta )\psi (x)dx} $, где θ определено в (9). Для функции ψ(x) применим интерполяционную формулу Лагранжа с узлами в нулях полинома Чебышева степени l [1]:

$\begin{gathered} \psi (x) \sim \sum\limits_{i = 1}^l {\frac{{{{T}_{l}}(x){{\psi }_{i}}}}{{T_{l}^{'}({{x}_{i}})(x - {{x}_{i}})}},} \\ {{x}_{i}} = \cos \frac{{(2i - 1)\pi }}{{2l}},\quad {{T}_{l}}(x) = \cos (l\arccos (x)), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \psi (x) = \sum\limits_{k = 0}^{l - 1} {{\kern 1pt} '{\kern 1pt} a_{k}^{{(l)}}T{{{(x)}}_{k}},\quad a_{k}^{{(l)}} = \sum\limits_{j = 1}^l {{{\psi }_{j}}{{T}_{k}}({{x}_{j}}),} } \\ {{x}_{j}} = \cos \frac{{(2j - 1)\pi }}{{2l}},\quad T_{l}^{'}({{x}_{i}}) = l\frac{{{{{( - 1)}}^{{i - 1}}}}}{{\sin \frac{{(2i - 1)\pi }}{{2l}}}}. \\ \end{gathered} $

Дело сводится к вычислению интегралов

(10)
${{h}_{k}}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}) = \frac{2}{{{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}}}\int\limits_{ - 1}^{ + 1} {{{K}_{0}}(\varsigma ,\theta ){{T}_{k}}(x)dx} ,$
где θ определено в (9), ${{T}_{{k + 1}}}(x) = 2x{{T}_{k}}(x) - {{T}_{{k - 1}}}(x)$. Отсюда следует

(11)

$\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{H} _{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}) = \sum\limits_{j = 1}^l {H_{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})} {{\psi }_{j}}.$ Далее, подставляя в (7), получаем:

(12)
$u(\varsigma ) = \sum\limits_i {{{H}_{i}}(\varsigma ){{f}_{i}} + } \sum\limits_{j = 1}^l {H_{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})} {{\psi }_{j}},\quad \varsigma = \rho {{e}^{{i\varphi }}}.$

Обозначим

(13)
$\begin{gathered} {{\theta }_{i}} = \frac{{{{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}}}}{2}{{x}_{i}} + \frac{{{{\theta }_{2}} + {{\theta }_{1}}}}{2}, \\ {{x}_{i}} = \cos \frac{{(2i - 1)\pi }}{{2l}},\quad i = 1,2,...,l. \\ \end{gathered} $

Тогда из (12) следует

$\begin{gathered} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sum\limits_{j = 1}^l {{{B}_{{ij}}}{{\psi }_{j}} + \sum\limits_p {H_{p}^{'}({{\theta }_{i}}} ){{f}_{p}},} \\ {\text{где}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,H_{p}^{'}({{\theta }_{i}}) = {{\left. {\frac{{\partial {{H}_{p}}(\rho {{e}^{{i\varphi }}})}}{{\partial \rho }}} \right|}_{\begin{subarray}{l} \rho = 1 \\ \varphi = {{\theta }_{i}} \end{subarray} }}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{B}_{{ij}}} = {{\alpha }_{i}}{{\delta }_{{ij}}} + H{{_{j}^{0}}^{'}}({{\theta }_{i}};{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}),\quad {{\alpha }_{i}} = \alpha ({{\theta }_{i}}), \\ H{{_{j}^{0}}^{'}}({{\theta }_{i}};{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}) = {{\left. {\frac{{\partial H_{j}^{0}(\rho {{e}^{{i\varphi }}};{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})}}{{\partial \rho }}} \right|}_{\begin{subarray}{l} \rho = 1 \\ \varphi = {{\theta }_{i}} \end{subarray} }}. \\ \end{gathered} $

Пусть C = ${{B}^{{ - 1}}}\, \Rightarrow \,{{\psi }_{j}}\, = \, - {\kern 1pt} \sum\limits_{i = 1}^l {{{C}_{{ji}}}\left( {\sum\limits_p {H_{p}^{'}({{\theta }_{i}}){{f}_{p}}} } \right).} $ Подставляем в соотношение (12), тогда имеем

(14)
$\begin{gathered} u(\varsigma ) = \\ = \sum\limits_i {{{H}_{{_{i}}}}(\varsigma ){{f}_{i}} + } \sum\limits_{j = 1}^l {H_{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})} \sum\limits_{i = 1}^l {{{C}_{{ji}}}} \sum\limits_p {H_{p}^{'}({{\theta }_{i}}){{f}_{p}}.} \\ \end{gathered} $

Пусть в (14) ς пробегает узлы интерполяции внутри круга, тогда имеем

$\begin{gathered} u = (H - E)Z(Q + \lambda P)u, \\ {{E}_{{pq}}} = \sum\limits_{j = 1}^l {H_{j}^{0}({{\varsigma }_{q}};{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})\,} \sum\limits_{i = 1}^l {{{C}_{{ji}}}} \sum\limits_p {H_{p}^{'}({{\theta }_{i}}),} \\ \end{gathered} $
где θi определено в (13).

Рис. 1.

λ1 = –1.828.

Рис. 2.

λ2 = 5.194.

Рис. 3.

λ3 =14.681970642.

3. РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА

Формулы для $H_{j}^{0}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})$ (cм. (11)) $ \Rightarrow $ требуются формулы для ${{h}_{k}}(\varsigma ;{{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})$ (см. (10)), K0(ς, θ) = = $\frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{n = - m}^{n = + m} {{{\rho }^{{\left| n \right|}}}{{e}^{{in(\theta - \varphi )}}}} $, ς = ρeiφ. Следовательно, нужны формулы для интегралов ${{g}_{{\ln }}} = \int\limits_{ - 1}^{ + 1} {{{e}^{{in\theta }}}} {{T}_{l}}(x)dx$, где θ определено в (9). Обозначим:

$\begin{gathered} e_{n}^{{(1)}} = {{e}^{{in{{\theta }_{1}}}}},\quad e_{n}^{{(2)}} = {{e}^{{in{{\theta }_{2}}}}},\quad c_{n}^{{(1,2)}} = \frac{2}{{in({{\theta }_{2}} - {{\theta }_{1}})}}, \\ {{f}_{n}}({{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}) = c_{n}^{{(1,2)}}(e_{n}^{{(2)}} - e_{n}^{{(1)}}), \\ \end{gathered} $

1) ${{g}_{{0n}}} = {{f}_{n}}({{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}}),\,{{g}_{{00}}} = 2;$

2) ${{g}_{{1n}}} = \,c_{n}^{{(1,2)}}(\,e_{n}^{{(2)}} + e_{n}^{{(1)}} - {{f}_{n}}({{\theta }_{1}},{{\theta }_{2}})),\,{{g}_{{10}}} = 0;$

3) ${{g}_{{2n}}} = \,c_{n}^{{(1,2)}}(e_{n}^{{(2)}} - e_{n}^{{(1)}} - 4{{g}_{{1n}}}),\,{{g}_{{20}}} = - 2{\text{/}}3;$

4) gl + 1, n = $\frac{1}{{l - 1}}{{g}_{{l - 1,n}}}$$2c_{n}^{{(1,2)}}{{g}_{{l,n}}}$$\frac{2}{{l - 1}}(e_{n}^{{(1)}}{{( - 1)}^{l}}$ + + $e_{n}^{{(2)}})$, l ≥ 2.

4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ

Расчеты проводились для круга единичного радиуса (A = 1, ${{\theta }_{1}} = 0,\,{{\theta }_{2}} = \pi $, Q ≡ 0, P ≡ 1) и области, получающейся из круга конформным отображением: z = ς(1 + 0.0625 · ς12) при тех же параметрах граничных условий (A = 1, ${{\theta }_{1}} = 0,\,\,{{\theta }_{2}} = \pi $). Граница этой области имеет в 12 точках кривизну, равную –2710, т.е. порядка 103. В круге выбиралась сетка из 9 окружностей с расположением точек по окружностям (начиная с первой, ближайшей к границе): /27,25,23,21,17,9,7,3,3/. Второй расчет проводится на сетке из 15 окружностей по 31 точке на каждой окружности (это максимальная допустимая методикой сетка).

Таблица 1.

Собственные значения задачи Зарембы для круга и эпитрохоиды, λi, i = 1, 2, 3, 4

i Круг Эпитрохоида, ε = 0.0625, n = 12
/27,25,23,21,17,9,7,3,3/ 15 × 31 /27,25,23,21,17,9,7,3,3/ 15 × 31
1 –2.308 –1.828 –2.389 –1.423
2 5.072 5.194 5.313 5.463
3 14.681970642 14.681970642 14.650 14.648504095
4 25.820 22.465 20.705 17.674421255
Рис. 4.

λ3 =14.681970642.

Из рассмотрения табл. 1 видим, что у оператора –Δ есть отрицательное собственное значение, т.е. он не положительно определен. Третье собственное значение в круге совпадает со всеми знаками на двух сетках. Видимо, это объясняется строением собственной формы (рис. 4). Собственные формы для трех первых собственных значений в круге приведены на рис. 1–3.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На доступных для описанной методики сетках с приемлемой точностью вычислены по четыре собственных значения задач Заремба в круге и в области, ограниченной эпитрохоидой (эпитрохоида кривая, которую описывает точка малого круга, катящегося по большому кругу, в данном случае по кругу радиуса 1; для этой области известно конформное круга отображение на эту область). Третье собственное значение для круга определено с 9-ю знаками после запятой, а для эпитрохоиды с 3-мя знаками после запятой. Погрешность определения остальных собственных значений легко найти из табл. 1. Из рассмотрения таблицы видим, что у оператора –Δ есть отрицательное собственное значение, т.е. он не положительно определен.

Список литературы

  1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.; 2-е изд., испр. и доп. / Под ред. А.Д. Брюно. М.; Ижевск: РХД, 2002. 847 с.

  2. Бабенко К.И., Алгазин С.Д. Об одном численном алгоритме решения задачи на собственные значения для линейных дифференциальных операторов. М., 1978 (препринт ИПМ АН СССР, № 46).

  3. Zaremba S. Sur un problème mixte relatifà l’èquation de Laplace // Bull. Acad. Sci. Cracovie. 1910. P. 314–344.

  4. Пейчева А.С. О спектральных свойствах операторов, ассоциированных с некоэрцитивными смешанными задачами для эллиптических систем // 01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ, Дисс. … канд. физ.-мат. наук. Красноярск, 2018, 138 с.

  5. Laptev Ari, Peicheva A., Shlapunov A. Finding Eigenvalues and Eigenfunctions of the Zaremba Problem for the Circle // Complex Anal. Oper. Theory. 2017. V. 11(4). P. 895–926.

  6. Shlapunov A., Tarkhanov N. On completeness of root functions of Sturm–Liouville problems with discontinuous boundary operators // J. Differential Equations. 2013. V. 255. P. 3305–3337.

  7. Shlapunov A., Tarkhanov N. Mixed Problems with Parameter // Russian J. Math. Phys. 2005. V. 12. No. 1. P. 97–119.

  8. Тарханов Н., Шлапунов А.А. Задачи Штурма–Лиувилля в весовых пространствах в областях с негладкими ребрами. I // Математические труды. 2015. Т. 18. № 1. Р. 118–189. DOI: 10.17377.

  9. Тарханов Н., Шлапунов А.А. Задачи Штурма–Лиувилля в весовых пространствах в областях с негладкими ребрами. II // Математические труды. 2015. Т. 18. № 2. С. 133–204.

  10. Алгазин С.Д. Численные алгоритмы классической математической физики. М.: Диалог-МИФИ, 2010. 240 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления