1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 500, № 1, 2021

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 500, № 1, стр. 23-25

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ УЛЬТРАДИСКРЕТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ

Член-корреспондент РАН В. А. Быковский 1, *

1 Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наукХабаровское отделение
Хабаровск, Россия

* E-mail: vab@iam.khv.ru

Поступила в редакцию 06.07.2021
После доработки 06.07.2021
Принята к публикации 08.08.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе построены три новых периодических ультрадискретных преобразования плоскости. Ранее были известны два таких преобразования.

Ключевые слова: нелинейные рекуррентные последовательности, тропические последовательности, нелинейные периодические преобразования

В работе [1] были построены два периодических преобразования плоскости ${{\mathbb{R}}^{2}}$

${{T}_{1}}\left( {x,~y} \right) = \left( {y,z} \right)\quad {\text{c}}\quad z = {\text{min}}\left\{ { - x,~ - x - y} \right\},$
${{T}_{2}}\left( {x,~y} \right) = \left( {y,z} \right)\quad {\text{c}}\quad z = {\text{min}}\left\{ { - x - y,~ - x - 2y} \right\},$
периоды которых имеют длины 7 и 8 соответственно.

Процедура ультрадискретизации была введена в работах [2–4]. Ее смысл мы объясним на примере преобразования ${{T}_{1}}$. Для этого построим последовательность ${{u}_{1}}\left( n \right)~~\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)$ с помощью рекуррентного соотношения

${{u}_{1}}\left( {n + 2} \right){{u}_{1}}\left( {n + 1} \right){{u}_{1}}\left( n \right) = \alpha {{u}_{1}}\left( {n + 1} \right) + \beta .$

Она однозначно определяется коэффициентами α, β и любыми двумя соседними элементами за исключением случаев, когда среди элементов последовательности встречается нуль. Поэтому удобно считать начальные значения ${{u}_{1}}(0) = x$, ${{u}_{1}}(1) = y$ и коэффициенты α, β формальными переменными. В этом случае элементы последовательности ${{u}_{1}}\left( n \right)$ – рациональные функции от переменных $x,~y,~\alpha ,\beta $. Пусть

${{u}_{1}}\left( n \right) = {{x}^{{{{p}_{1}}\left( n \right)}}}\frac{{Q\left( n \right)}}{{R\left( n \right)}},$
где ${{p}_{1}}\left( n \right)$ – целые числа, а Q(n) и R(n) – полиномы, которые не делятся на переменную $x.$ Из рекуррентного соотношения для ${{u}_{1}}\left( n \right)$ следует, что
${{p}_{1}}\left( {n + 2} \right) + {{p}_{1}}\left( {n + 1} \right) + {{p}_{1}}\left( n \right) = \min \left\{ {{{p}_{1}}\left( {n + 1} \right),~0} \right\}$
или

${{p}_{1}}\left( {n + 2} \right) = \min \left\{ { - {{p}_{1}}\left( n \right),~ - {{p}_{1}}\left( n \right) - {{p}_{1}}\left( {n + 1} \right)} \right\}.$

Последовательность ${{p}_{1}}\left( n \right)$ однозначно определяется начальными значениями ${{p}_{1}}\left( 0 \right) = 1,~$ ${{p}_{1}}(1)$ = 0. Построим на плоскости последовательность точек

${{P}_{1}}\left( n \right) = \left( {{{p}_{1}}\left( n \right),~{{p}_{1}}\left( {n + 1} \right)} \right).$

Она определяется начальной точкой ${{P}_{1}}(0) = (1,~0)~$ и рекуррентным соотношением

${{P}_{1}}\left( n \right) = {{T}_{1}}\left( {P\left( n \right)} \right).$

Именно так в рассматриваемом случае выглядит процедура ультрадискретизации последовательности рациональных функций ${{u}_{1}}\left( n \right)$ и строится соответствующее ей преобразование плоскости ${{T}_{1}}.$

По аналогии с вышесказанным, рекуррентным соотношениям

${{u}_{2}}\left( {n + 2} \right)u_{2}^{2}\left( {n + 1} \right){{u}_{2}}\left( n \right) = \alpha {{u}_{2}}\left( {n + 1} \right) + \beta ,$
${{u}_{3}}\left( {n + 2} \right){{u}_{3}}\left( n \right) = \alpha {{u}_{3}}\left( {n + 1} \right) + \beta ,$
${{u}_{4}}\left( {n + 2} \right){{u}_{4}}\left( {n + 1} \right){{u}_{4}}\left( n \right) = \alpha u_{4}^{2}\left( {n + 1} \right) + \beta $,
${{u}_{5}}\left( {n + 2} \right)u_{5}^{3}\left( {n + 1} \right){{u}_{5}}\left( n \right) = \alpha u_{5}^{2}\left( {n + 1} \right) + \beta $,
после ультрадискретизации, сопоставляются следующие преобразования плоскости:

${{T}_{2}}\left( {x,~y} \right) = \left( {y,z} \right)$  с  $z = {\text{min}}\left\{ { - x - y,~ - x - 2y} \right\}$,
${{T}_{3}}\left( {x,~y} \right) = \left( {y,z} \right)$  с  $z = {\text{min}}\left\{ { - x,~ - x + y} \right\}$,
${{T}_{4}}\left( {x,~y} \right) = \left( {y,z} \right)$  с  $z = {\text{min}}\left\{ { - x - y,~ - x + y} \right\}$,
${{T}_{5}}\left( {x,~y} \right) = \left( {y,z} \right)$  с  $z = {\text{min}}\left\{ { - x - y,~ - x - 3y} \right\}$.

Теорема 1. Преобразования плоскости $~{{T}_{1}},~\,{{T}_{2}},~\,{{T}_{3}},~\,{{T}_{4}},~\,{{T}_{5}}~$ – периодические с длинами периодов 7, 8, 5, 9, 12 соответственно.

Доказательство. Для $0 \leqslant t \leqslant 1$ определим последовательность ${{P}_{k}}\left( t \right)\,~\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ на плоскости с помощью рекуррентного соотношения

${{P}_{{k + 1}}}\left( t \right) = T\left( {{{P}_{k}}\left( t \right)} \right)$
и начального значения

${{P}_{0}}\left( t \right) = \left( {1 - t,~\,t} \right).$

Легко проверить, что она периодическая с периодом

$\begin{gathered} (1 - t,\,\,t),~~(t,~ - 1),~~( - 1,~ - t),~~( - t,~\,1),~ \\ ~(1,~ - 1 + t),\,\,( - 1 + t,~ - 1),\,\,( - 1,~\,1 - t) \\ \end{gathered} $
длины 7. При этом
$\left\{ {{{P}_{k}}\left( t \right)~|~0 \leqslant t < 1} \right\}$
суть прямолинейные полуинтервалы. Для k = 0, 1, $2,~\,3,~\,4$ они не пересекаются и их объединение – выпуклый семиугольник с вершинами

$\left( {1,\,\,0} \right),\,\,\left( {0,~ - 1} \right),\,\,\left( { - 1,~\,0} \right),\,\,~\left( {0,\,~1} \right),~\,\,\left( {1,~ - 1} \right),\,\,\left( { - 1,~ - 1} \right),\,\,\left( { - 1,~\,1} \right).$

Преобразование ${{T}_{1}}$ отображает этот семиугольник на себя и при этом каждая его сторона переходит в некоторую другую. Отсюда следует, для любой начальной точки ${{P}_{0}}$ на семиугольнике последовательность точек, определяемая рекуррентным соотношением ${{P}_{{k + 1}}} = {{T}_{1}}\left( {{{P}_{k}}} \right)$ – периодическая с длиной периода 7. Так как для любого $r \geqslant 0$ последовательность $r{{p}_{1}}\left( n \right)$ удовлетворяет рекуррентному соотношению для ${{p}_{1}}\left( n \right)$, и точка (0, 0) лежит внутри пятиугольника, то утверждение теоремы для преобразования ${{T}_{1}}$ справедливо при любом выборе начальной точки.

Доказательство теоремы в остальных случаях проходит по той же схеме как для ${{T}_{1}}.$ Поэтому мы ограничимся выписыванием периодов.

Для преобразования ${{T}_{2}}$:

$\begin{gathered} \left( {1 - t,\,\,t} \right),\,\,~\left( {t,~ - 1 - t} \right),\,\,~\left( { - 1 - t,~\,1} \right),~\,\,\left( {1,~ - 1 + t} \right), \\ ~\left( { - 1 + t,~ - t} \right),~\,\,\left( { - t,~\,1} \right),~\,\,\left( {1,~\,t - 2} \right),~\,\,\left( {t - 2,~\,1 - t} \right)~ \\ \end{gathered} $
с длиной периода 8.

Для преобразования ${{T}_{3}}$:

$\left( {1 - t,\,\,t} \right),~~\left( {t,~ - 1 + t} \right),~~\left( { - 1 + t,~ - 1} \right),~~\left( { - 1,~ - t} \right),~~\left( { - t,~\,1 - t} \right)$
с длиной периода 5.

Для преобразования ${{T}_{4}}$:

$\begin{gathered} \left( {1, - t} \right),~~\left( { - t,~\,t~ - 1} \right),~~\left( {t - 1,~\,1} \right),~\,\,\left( {1,~2 - t} \right),~~\left( {2 - t,\,~1 - t} \right), \\ \left( {1 - t, - 1} \right),~\left( { - 1,\,~t} \right),~\,\left( {t,\,~1 + t} \right),\,~\left( {1 + t,~\,1} \right)~ \\ \end{gathered} $
с длиной периода 9.

Для преобразования ${{T}_{5}}$:

$\begin{gathered} \left( {1 - t,\,\,t} \right),~~\left( {t,~~ - 1 - 2t} \right),~~\left( { - 1 - 2t,\,\,~1 + t} \right), \\ ~~\left( {1 + t,~ - 2 - t} \right),~~\left( { - 2 - t,~\,1} \right),\left( {1, - 1 + t} \right),~~ \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \left( { - 1 + t,~ - t} \right),~\left( { - t,~\,1} \right),~\,\left( {1,\,\,t - 3} \right),~\,\left( {t - 3,~\,2 - t} \right), \\ ~\left( {2 - t,~ - 3 + 2t} \right),~\,\left( { - 3 + 2t,~\,1 - t} \right) \\ \end{gathered} $
с длиной периода 12.

Более громоздкие по сравнению с предложенным в настоящей работе доказательства периодичности ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ приведены в работе [5].

Отметим также, что последовательности ${{u}_{1}}\left( n \right),$ ${{u}_{2}}\left( n \right)$ и ${{u}_{3}}\left( n \right)$ интегрируемы в том смысле, что величины

${{u}_{1}}\left( n \right) + {{u}_{1}}\left( {n + 1} \right) + \frac{\alpha }{{{{u}_{1}}\left( n \right)}} + \frac{\alpha }{{{{u}_{1}}\left( {n + 1} \right)}} + \frac{\beta }{{{{u}_{1}}\left( n \right){{u}_{1}}\left( {n + 1} \right)}},$
${{u}_{2}}\left( n \right){{u}_{2}}\left( {n + 1} \right) + \frac{\alpha }{{{{u}_{2}}\left( n \right)}} + \frac{\alpha }{{{{u}_{2}}\left( {n + 1} \right)}} + \frac{\beta }{{{{u}_{2}}\left( n \right){{u}_{2}}\left( {n + 1} \right)}},$
$\begin{gathered} {{u}_{3}}\left( n \right) + {{u}_{3}}\left( {n + 1} \right) + \frac{{{{\alpha }^{2}} + \beta }}{{{{u}_{3}}\left( n \right)}} + \frac{{{{\alpha }^{2}} + \beta }}{{{{u}_{3}}\left( {n + 1} \right)}} + \\ + \,\alpha \frac{{{{u}_{3}}\left( n \right)}}{{{{u}_{3}}\left( {n + 1} \right)}} + \alpha \frac{{{{u}_{3}}\left( {n + 1} \right)}}{{{{u}_{3}}\left( n \right)}} + \frac{{\alpha \beta }}{{{{u}_{3}}\left( n \right){{u}_{3}}\left( {n + 1} \right)}} \\ \end{gathered} $
являются инвариантами, не зависящими от $n$ (см. [6–8] соответственно).

Список литературы

  1. Nobe A. Ultradiscrete QRT maps and tropical elliptic curves // J. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2008. V. 41. № 12. 125205, 12 p.

  2. Takahashi D., Satsuma J. A Soliton Cellular Automaton // Journal of the Physical Society of Japan. 1990. V. 59. № 10. P. 3514–3519.

  3. Tokihiro T., Takahashi D., Matsukidaira J, Satsuma J. A From Soliton Equations to Integrable Cellular Automata through a Limiting Procedure // Physical Review Letters. 1996. V. 76. 3247.

  4. Matsukidaira J., Satsuma J., Takahashi D., Tokihiro T., Torii M. Toda-type cellular automaton and its N-soliton solution // Physics Letters A. 1997. V. 225. Iss. 4–6. P. 287–295.

  5. Nakata Y. The solution to the initial value problem for the ultradiscrete Somos-4 and 5: arXiv:1701.04262. 2017.

  6. Fordy A.P., Hone A. Symplectic Maps from Cluster Algebras // SIGMA. 2011. V. 7. 091. P. 1–12.

  7. Swart C., Hone A. Integrality and the Laurent phenomenon for Somos 4 sequences: arXiv:math/0508094. 2006.

  8. Swart C., Hone A. Efficient ECM factorization in parallel with the Lyness map: arXiv:2002.03811. 2020.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал