Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 500, № 1, стр. 40-44
Математическое моделирование 3D-динамических процессов вблизи трещины с использованием модели Шонберга
Член-корреспондент РАН И. Б. Петров 1, 2, *, П. В. Стогний 1, **, Н. И. Хохлов 1, 2
1 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Долгопрудный, Московская обл., Россия
2 Федеральный научный центр “Научно-исследовательский институт системных исследований Российской академии наук”
Москва, Россия
* E-mail: petrov@mipt.ru
** E-mail: stognii@phystech.edu
Поступила в редакцию 18.06.2021
После доработки 18.06.2021
Принята к публикации 08.08.2021
Аннотация
Трещиноватые среды являются важным объектом для исследования, так как в них скапливается нефть, практический интерес представляют трещины гидроразрыва пласта. Исследование таких неоднородностей с помощью методов математического моделирования позволяет рассмотреть различные постановки задач с трещинами различной формы, размеров и другими характеристиками. Модель трещины Шонберга позволяет учесть характеристики флюида внутри трещины, что является крайне важным при проведении геологоразведочных работ. В работе разработан алгоритм расчета параметров среды на границе трещины, заданной моделью Шонберга, с использованием сеточно-характеристического метода. Приводятся результаты применения разработанного алгоритма к решению задачи сейсмического мониторинга трещины гидроразрыва пласта, где наполняющий трещину флюид является необходимой частью для наблюдения.
ВВЕДЕНИЕ
Трещиноватые среды – важная часть геологических структур для исследования. Трещины являются зонами скопления нефти и газа, что представляет особый интерес для геологического сообщества [1, 2]. Однако трещины различаются по форме, размеру, характеристикам содержащегося внутри флюида и другим параметрам, поэтому достаточно сложно разработать одну универсальную модель для описания всех типов трещин [3].
Одной из наиболее распространенных моделей трещин является модель бесконечно тонкой трещины (БТТ) [4]. Такая модель подходит для описания трещин, заполненных газом, что равнозначно использованию контактного условия свободной границы на границах трещины. С точки зрения построения расчетной области с такими трещинами, модель БТТ не требует дополнительных преобразований расчетной сетки, что является большим преимуществом данной модели. Однако модель БТТ не способна корректно описывать трещины, заполненные различным типом флюида (с различными параметрами плотности, скоростью распространения звука), что ограничивает область прикладных задач для решения. Для учета характеристик флюида внутри трещины существует модель трещины Шонберга [5], в которой трещина определяется через так называемые параметры раскрытости трещины.
В данной работе был разработан подход к моделированию трещиноватых геологических сред для двумерных и трехмерных постановок задач сеточно-характеристическим методом [6] с использованием модели трещины Шонберга. Проведено моделирование распространения сейсмических волн от точечного источника в геологической среде с трещиной с нулевыми параметрами раскрытости, в результате которого волна должна полностью отражаться от трещины, что и достигнуто с применением разработанного алгоритма. Было проведено моделирование для задачи сейсмического мониторинга трещины гидроразрыва пласта с использованием разработанного алгоритма трещины Шонберга и трещины БТТ, которые продемонстрировали качественное совпадение результатов, но расхождение в количественном соотношении.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Для моделирования геологической среды, в работе использовалась система уравнений для описания поведения сейсмических волн в линейно-упругих средах [7]:
(2)
$\frac{\partial }{{\partial t}}\sigma = \lambda (\nabla \cdot u)l + \mu ((\nabla \times u) + {{(\nabla \times u)}^{T}}),$Cистему (1)–(2) можно привести к виду
(3)
$\frac{{\partial q}}{{\partial t}} + {{A}_{x}}\frac{{\partial q}}{{\partial x}} + {{A}_{y}}\frac{{\partial q}}{{\partial y}} + {{A}_{z}}\frac{{\partial q}}{{\partial z}} = 0,$После применения метода расщепления по пространственным координатам получаем три одномерные системы уравнений:
(4)
$\frac{{\partial q}}{{\partial t}} + {{A}_{i}}\frac{{\partial q}}{{\partial i}} = 0,\quad i = x,y,z.$Рассмотрим систему (4), например, для координаты x:
Система (5) – гиперболическая, поэтому ее можно представить в виде
(6)
$\frac{{\partial \,q}}{{\partial t}} + {{\Omega }_{x}}{{\Lambda }_{x}}\Omega _{x}^{{ - 1}}\frac{{\partial \,q}}{{\partial x}} = 0.$(7)
${{c}_{p}} = \sqrt {(\lambda + 2\mu ){\text{/}}\rho } ,\quad {{c}_{s}} = \sqrt {\mu {\text{/}}\rho } .$После замены переменных ω = $\Omega _{x}^{{ - 1}}q$, система (6) принимает вид
(8)
$\frac{{\partial \omega }}{{\partial t}} + {{\Lambda }_{x}}\frac{{\partial \omega }}{{\partial x}} = 0.$Система уравнений (8) решалась с помощью сеточно-характеристического метода на основе схемы Лакса–Вендроффа [8, 9]:
(9)
$\begin{gathered} u_{i}^{{n + 1}} = u_{i}^{n} - \frac{{c \cdot t}}{{2h}}(u_{{i + 1}}^{n} - u_{{i - 1}}^{n}) + \\ + \frac{{{{c}^{2}} \cdot {{t}^{2}}}}{{2{{h}^{2}}}}(u_{{i + 1}}^{n} + u_{{i - 1}}^{n} - 2u_{i}^{n}). \\ \end{gathered} $На границе трещины дополнительно были введены условия, описывающие модель трещины Шонберга:
Условия (10)–(12) обозначают равенство нормальных компонент тензора напряжений на границе трещины, условия (13)–(15) – способ вычисления данных компонент. Индексы l и r означают смежные ячейки слева и справа от трещины соответственно. Параметры KT, KN – так называемые параметры раскрытости трещины, характеризующие трещину. Их можно вычислить аналитически (с помощью параметров Ляме, плотности и ширины трещины) или с помощью лабораторных экспериментов [10].
Таким образом, после решения уравнений (13)–(15), неизвестными остаются значения трех компонент скорости (Vx, Vy, Vz) и трех компонент тензора напряжений (σyy, σzz, σyz). Для их нахождения на границе трещины совместно решалась система уравнений (8)–(12).
ОТРАЖЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ ОТ ТРЕЩИНЫ С НУЛЕВЫМИ ПАРАМЕТРАМИ РАСКРЫТОСТИ
Для проверки разработанного алгоритма был проведен расчет отражения волны, исходящей от сферического источника, от трещины с нулевыми параметрами раскрытости, что соответствует случаю полного отражения волны от трещины. Трехмерная модель состояла из однородной среды с трещиной в плоскости YZ. Результирующий отклик от трещины (волновое поле распределения компоненты тензора напряжений σxx) показан на рис. 1 после отражения от трещины, наблюдается полное отражение волны от трещины, что соответствует постановке задачи.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ОТКЛИКА ОТ ТРЕЩИНЫ ГИДРОРАЗРЫВА ПЛАСТА
Была решена прямая задача получения сейсмического отклика от трещины гидроразрыва пласта. Данная искусственно созданная трещина часто применяется в реальных сейсмических работах для увеличения притока флюида в скважину [11, 12]. Наблюдение за состоянием трещины осуществляется с помощью приемников сигнала, расположенных перед трещиной.
Параметры геологической среды с трещиной были следующими: плотность – 2500 кг/м3, продольная скорость звука – 5000 м/с, поперечная скорость звука – 3000 м/с. Трещина была расположена на расстоянии 300 м от источника, моделирующего подземные сейсмы (естественные колебания, возникающие в толще геологической среды). Высота трещины составляла 30 м, ширина – 30 см. Расчетная область составляла 1200 × × 1200 м. Параметры флюида, наполняющего трещину, были следующими: плотность – 830 кг/м3, продольная скорость звука – 1290 м/с, поперечная скорость звука – 1290 м/с. В соответствии с данными характеристиками трещины [10], параметры KN и KT были равны 4.6 × 109 .
На рис. 2а и 2б представлены аномальные волновые отклики от трещины для модели трещины Шонберга и для модели трещины БТТ. Качественно результаты совпадают, однако количественно значения модуля скорости оказываются больше для откликов от трещины по модели LSM (рис. 2в), что существенно при наблюдении трещины и контроля наполняющего ее флюида.
ВЫВОДЫ
В работе представлен подход к моделированию трещиноватых геологических сред для двумерных и трехмерных постановок задач сеточно-характеристическим методом с использованием модели трещины Шонберга. Описан алгоритм расчета точек на границе трещины. Проведено моделирование распространения сейсмических волн от сферического источника в геологической среде с трещиной с нулевыми параметрами раскрытости. Результаты показали полное отражение волны от трещины, что соответствует постановке задачи. Также была решена задача сейсмического мониторинга для моделирования трещины гидроразрыва пласта с использованием разработанного алгоритма по модели трещины Шонберга и модели трещины БТТ. Результаты продемонстрировали качественное совпадение, но расхождение в количественном соотношении.
Список литературы
Zhan Q., Sun Q., Ren Q. A discontinuous Galerkin method for simulating the effects of arbitrary discrete fractures on elastic wave propagation // Geophys. J. Int. 2017. V. 210. № 2. P. 1219–1230.
Petrov I. Problems of modeling natural and anthropogenic processes in the arctic zone of the Russian Federation // Math. Models Comput. Simul. 2019. V. 11. P. 226–246.
Petrov I.B., Muratov M.V. The application of grid-characteristic method in solution of fractured formations exploration seismology direct problems (review article) // Matem. Mod. 2019. V. 31. № 4. P. 33–56.
Stognii P., Khokhlov N., Zhdanov M. Novel approach to modelling the elastic waves in a cluster of subvertical fractures // 81st EAGE Conference and Exhibition 2019.
Schoenberg M. Elastic wave behavior across linear slip interfaces // J. Acoust. Soc. Amer. 1980.V. 68. № 5. P. 1516–1521.
Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М.: Наука, 1988.
Новацкий В.К. Теория упругости. М., 1975.
Ivanov A.M., Khokhlov N.I. Parallel implementation of the grid-characteristic method in the case of explicit contact boundaries // Comput. Res. Model. 2018. V. 10. № 5. P. 667–678.
Голубев В.И., Петров И.Б., Хохлов Н.И. Компактные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка точности для трехмерного линейного уравнения переноса // Матем. Моделирование. 2016. Т. 28. № 2. С. 123–132.
Santos J.E., Picotti S., Carcione J. Evaluation of the stiffness tensor of a fractured medium with harmonic experiments // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2012. V. 247–248. P. 130–145.
Esipov D.V., Kuranakov D.S., Lapin V.N., Cherny S.G. Mathematical models of hydraulic fracturing // Comput. Technologies. 2014. V. 19. № 2. P. 33–61.
Howarth R. Methane emissions and climatic warming risk from hydraulic fracturing and shale gas development: implications for policy // Energy and Emission Control Technologies. 2015. V. 3. P. 45–54.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления