Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 500, № 1, стр. 74-77

ВВЕДЕНИЕ

Обобщенные решения первой краевой задачи для функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа на конечном интервале (0, d) впервые рассматривались в работах [1, 2]. Было показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться во внутренних точках интервала даже при бесконечно дифференцируемой правой части и сохраняется лишь на подынтервалах, получаемых выбрасыванием из интервала (0, d) орбит его концов. В работах [3, 4] получены условия на правые части уравнения, обеспечивающие гладкость обобщенных решений первой краевой задачи для дифференциально-разностных уравнений на всем интервале (0, d). Вопрос о нахождении таких условий в случае второй краевой задачи является открытым. В работах [5, 6] в случаях как первой, так и второй краевых задач были получены условия на коэффициенты дифференциально-разностного уравнения, при выполнении которых гладкость обобщенных решений дифференциально-разностного уравнения сохраняется на всем интервале для любой правой части. Краевые задачи для функционально-дифференциальных уравнений возникают во многих важных приложениях, в частности в задачах теории управления системами с последействием [4, 7–10 ].

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Введем операторы R_Q: ${{L}_{2}}(Q)\, \to \,{{L}_{2}}(Q)$, R: ${{L}_{2}}(\mathbb{R})\, \to \,{{L}_{2}}(\mathbb{R})$, ${{I}_{Q}}{\text{:}}\,{{L}_{2}}(Q)\, \to \,{{L}_{2}}(\mathbb{R})$ и P_Q: ${{L}_{2}}(\mathbb{R})\, \to \,{{L}_{2}}(Q)$ следующим образом:

где $Q: = (0,d)$, $d = n + \theta $, $n \in \mathbb{N}$, $0 < \theta \leqslant 1$; ${{a}_{j}}(x) \in {{C}^{\infty }}(\mathbb{R})$ – комплекснозначные функции; $({{I}_{Q}}{v})(x) = {v}(x)$, $x \in Q$; $({{I}_{Q}}{v})(x) = 0$, $x \in \mathbb{R}{{\backslash }}Q$; $({{P}_{Q}}{v})(x) = {v}(x)$, $x \in Q;{{R}_{Q}} = {{P}_{Q}}R{{I}_{Q}}$.

Рассмотрим задачу

где $f \in {{L}_{2}}(Q)$.

Заметим, что сдвиги аргументов $x \mapsto x + j$ в операторе R могут отображать точки интервала $Q$ в $\mathbb{R}{{\backslash }}Q$. Поэтому краевые условия для уравнения (2) мы задаем не только в точках 0 и $d$, но и на множестве $\mathbb{R}{{\backslash }}Q$. Для этого используется оператор ${{I}_{Q}}$, который является оператором продолжения нулем функции из ${{L}_{2}}(Q)$ на $\mathbb{R}{{\backslash }}Q$. Для рассмотрения дифференциально-разностного уравнения (2) на интервале $Q$ вводится оператор ${{P}_{Q}}$, являющийся оператором сужения функции из ${{L}_{2}}(\mathbb{R})$ на $Q$.

Если $\theta = 1$, рассмотрим один класс непересекающихся подынтервалов: ${{Q}_{{1k}}} = (k - 1,k)$, $k = 1$, ..., n + 1. Если $0 < \theta < 1$, рассмотрим два класса непересекающихся подынтервалов: Q_1k = (k – 1, $k - 1 + \theta )$, $k = 1,...,n + 1$, и ${{Q}_{{2k}}} = (k - 1 + \theta ,k)$, $k = 1,...,n$.

Обозначим через ${{R}_{s}} = {{R}_{s}}(x)$, $x \in {{\bar {Q}}_{{s1}}}$, теплицеву матрицу порядка $N(s) \times N(s)$ с элементами

где $N(1) = n + 1$, $N(2) = n$; $s = 1,2$, если $0 < \theta < 1$; $s = 1$, если $\theta = 1$.

Очевидно, матрица ${{R}_{2}}(x)$ может быть получена из матрицы ${{R}_{1}}(x)$ вычеркиванием последней строки и последнего столбца. Свойства оператора ${{R}_{Q}}$ тесно связаны со свойствами матриц ${{R}_{s}}(x)$.

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что для всех $x \in {{\bar {Q}}_{{s1}}}$ и $Y \in {{\mathbb{C}}^{{N(s)}}}$ ($s = 1,2$, если $0 < \theta < 1$, и s = 1, если $\theta = 1$) выполняется неравенство

где $c > 0$ не зависит от x и Y, $( \cdot , \cdot )$ и ${\text{||}} \cdot \,, \cdot \,{\text{||}}$ – скалярное произведение и норма в ${{\mathbb{C}}^{{N(s)}}}$ соответственно.

2. РАЗРЕШИМОСТЬ ВТОРОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ

Пусть $W_{2}^{k}(Q)$ – пространство Соболева комплекснозначных функций из ${{L}_{2}}(Q)$, имеющих все обобщенные производные вплоть до k-го порядка из ${{L}_{2}}(Q)$. Скалярное произведение в $W_{2}^{k}(Q)$ вводится по формуле

Введем неограниченный оператор ${{\mathcal{A}}_{R}}$ : ${{L}_{2}}(Q)$ $ \supset $ $ \supset $ $D({{\mathcal{A}}_{R}})$ → L₂(Q) с областью определения $D({{\mathcal{A}}_{R}})$ = = $\{ u \in W_{2}^{1}(Q):Ru{\kern 1pt} ' \in W_{2}^{1}(Q),(Ru{\kern 1pt} ')(0) = (Ru{\kern 1pt} ')(d) = 0\} $, действующий по формуле

Определение 1. Функция $u \in D({{\mathcal{A}}_{R}})$ называется  обобщенным решением задачи (2), (3), если

Теорема 1. Пусть выполняется неравенство (5). Тогда вторая краевая задача (2), (3) имеет обобщенное решение $u \in D({{\mathcal{A}}_{R}})$ тогда и только тогда, когда

3. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НА ПОДЫНТЕРВАЛАХ

Теорема 2. Пусть выполняется неравенство (5), и пусть $u \in D({{\mathcal{A}}_{R}})$ – обобщенное решение задачи (2), (3). Тогда $u \in W_{2}^{2}(k - 1,k - 1 + \theta )$, k = 1, ..., $n + 1$, $u \in W_{2}^{2}(k - 1 + \theta ,k)$, $k = 1, \ldots ,n$, если $0 < \theta < 1$; $u \in W_{2}^{2}(k - 1,k)$, $k = 1, \ldots ,n + 1$, если θ = 1.

4. ГЛАДКОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ НА ВСЕМ ИНТЕРВАЛЕ (0, d)

Предположим, что θ = 1, т.е. $d = n + 1$. Введем матрицу R₁ порядка $(n + 2) \times (2n + 2)$ по формуле

Обозначим через ${\mathbf{R}}_{1}^{1}$$({\mathbf{R}}_{1}^{2})$ матрицу порядка $(n + 2) \times (2n + 1)$, полученную из матрицы R₁ вычеркиванием первого (последнего) столбца соответственно, а через ${\mathbf{R}}_{1}^{0}$ матрицу порядка $(n + 2) \times 2n$, полученную из R₁ вычеркиванием первого и последнего столбцов.

Будем предполагать, что выполняется условие

Лемма 1. Пусть выполнены условия (5) и (9). Тогда ${\text{rank}}{{{\mathbf{R}}}_{1}} = n + 2$ и ${\text{rank}}{\mathbf{R}}_{1}^{0} \geqslant n + 1$.

Обозначим через $G_{j}^{1} = G_{j}^{1}(x)$ $(G_{j}^{2} = G_{j}^{2}(x))$ j-й столбец матрицы порядка $n \times (n + 1)$, полученной из матрицы ${{R}_{1}} = {{R}_{1}}(x)$ вычеркиванием первой (последней) строки $(j = 1,...,n + 1)$.

Введем линейный ограниченный оператор $A_{R}^{0}:W_{2}^{2}(Q) \supset D(A_{R}^{0}) \to {{L}_{2}}(Q)$ с областью определения $D(A_{R}^{0}) = D({{\mathcal{A}}_{R}}) \cap W_{2}^{2}(Q)$, действующий по формуле

Теорема 3. Пусть выполнены условия (5) и (9), и пусть $\theta = 1$. Предположим, что столбцы $G_{1}^{1}(0)$ и $G_{{n + 1}}^{2}(1)$ линейно независимы. Тогда оператор $A_{R}^{0}:W_{2}^{2}(Q)$ $ \supset $ $D(A_{R}^{0})$ → L₂(Q) фредгольмов, $1 \in \mathcal{N}(A_{R}^{0})$ и ${\text{dim}}\mathcal{N}(A_{R}^{0})$ = 1. Если к тому же

то ${\text{codim}}\mathcal{R}$($A_{R}^{0}) = 3$; если жето ${\text{codim}}\mathcal{R}$($A_{R}^{0}) = 2$.

Из теорем 1 и 3 вытекает

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 3. Если к тому же справедливы равенства (10), то найдутся три линейно независимые функции ${{h}_{0}}$, ${{h}_{1}}$, ${{h}_{2}}$ $ \in {{L}_{2}}(Q)$ такие, что ${{h}_{0}}(x) \equiv 1$, и при выполнении условий ${{(f,{{h}_{j}})}_{{{{L}_{2}}(Q)}}} = 0$, $j = 0,1,2$, обобщенное решение задачи (2), (3) ${{u}_{f}} \in W_{2}^{1}(Q)$ существует и принадлежит пространству $W_{2}^{2}(Q)$. Если же справедливо неравенство (11), то найдутся две линейно независимые функции h₀, h₁$ \in {{L}_{2}}(Q)$ такие, что ${{h}_{0}}(x) \equiv 1$, и при выполнении условий ${{(f,{{h}_{j}})}_{{{{L}_{2}}(Q)}}} = 0$, j = 0, 1, обобщенное решение задачи (2), (3) ${{u}_{f}} \in W_{2}^{1}(Q)$ существует и принадлежит пространству $W_{2}^{2}(Q)$.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (5) и (9), и пусть $\theta = 1$. Предположим, что столбцы $G_{1}^{1}(0)$ и $G_{{n + 1}}^{2}(1)$ линейно зависимы и $G_{1}^{1}(0),G_{{n + 1}}^{2}(1) \ne 0$. Тогда оператор $A_{R}^{0}:W_{2}^{2}(Q) \supset D(A_{R}^{0})$ → L₂(Q) фредгольмов, $1\, \in \,\mathcal{N}(A_{R}^{0})$ и ${\text{dim}}\mathcal{N}(A_{R}^{0})$ = 1. Если при этом ${\text{rank}}{\mathbf{R}}_{1}^{0}$ = = ${\text{rank}}{\mathbf{R}}_{1}^{1}$ или ${\text{rank}}{\mathbf{R}}_{1}^{0}\, = \,{\text{rank}}{\mathbf{R}}_{1}^{2}$, то ${\text{codim}}\mathcal{R}(A_{R}^{0})$ = 2.

Из теорем 1 и 4 вытекает

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 4. Тогда найдутся две линейно независимые функции ${{h}_{0}}$, ${{h}_{1}}$ $ \in {{L}_{2}}(Q)$ такие, что ${{h}_{0}}(x) \equiv 1$, и при выполнении условий ${{(f,{{h}_{j}})}_{{{{L}_{2}}(Q)}}} = 0$, $j = 0,1$, обобщенное решение задачи (2), (3) ${{u}_{f}} \in W_{2}^{1}(Q)$ существует и принадлежит пространству $W_{2}^{2}(Q)$.

Пример 1. Рассмотрим оператор R_Q: ${{L}_{2}}(0,3)\, \to \,{{L}_{2}}(0$, 3), где $Q = (0,3)$, (Ru)(x) = a₀u(x) + + ${{a}_{1}}u(x + 1)$ + a_–1u(x – 1) + ${{a}_{2}}u(x + 2) + {{a}_{{ - 2}}}u(x - 2)$, ${{a}_{i}} \in \mathbb{R}$, $i = 0, \pm 1, \pm 2$. Тогда n = 2, $\theta = 1$, а матрица ${{R}_{1}}$ имеет вид

Следовательно,

Предположим, что выполняется условие (5), а столбцы $G_{1}^{1}$ и $G_{3}^{2}$ линейно независимы. Можно показать, что тогда ${\text{det}}{\mathbf{R}}_{1}^{0} \ne 0$. Следовательно, выполняется условие (10). Таким образом, в силу теоремы 3 оператор $A_{R}^{0}:W_{2}^{2}(0,3) \supset D(A_{R}^{0}) \to {{L}_{2}}(0$, 3) фредгольмов, $1 \in \mathcal{N}(A_{R}^{0})$ и ${\text{dim}}\mathcal{N}(A_{R}^{0}) = 1$, при этом ${\text{codim}}\mathcal{R}(A_{R}^{0})$ = 3.