Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 11-15

В этом сообщении мы исследуем стационарное уравнение Колмогорова

на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ и доказываем, что в случае, когда матрица диффузии удовлетворяет условию Дини, а коэффициент сноса локально интегрируем в степени выше размерности, отношение двух вероятностных решений входит в класс Соболева, а при наличии функции Ляпунова или глобальной интегрируемости коэффициентов относительно решения вероятностное решение единственно.

Предположим, что коэффициенты удовлетворяют следующим условиям.

$({{{\mathbf{H}}}_{{\mathbf{a}}}})$ Матрица $A(x) = ({{a}^{{ij}}}(x{{))}_{{i,j \leqslant d}}}$ симметрична и положительно определена, причем для всякого шара $B \subset {{\mathbb{R}}^{d}}$ есть такая возрастающая непрерывная функция ${{\omega }_{B}}$ на $[0, + \infty )$, что $\omega (0) = 0$ и

Кроме того, для каждого шара $B$ есть такое число ${{\nu }_{B}} > 0$, что

где I – единичный оператор.

$({{{\mathbf{H}}}_{{\mathbf{b}}}})$ Для всякого шара $B$ есть такое число $p = p(B) > d$, что ${\text{|}}b{\text{|}} \in {{L}^{p}}(B)$.

Матричный след обозначим через tr и положим

где $\nabla u\, = \,{{({{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}u)}_{{i \leqslant d}}}$, ${{\nabla }^{2}}u\, = \,{{({{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\partial }_{{{{x}_{j}}}}}u)}_{{i,j \leqslant d}}}$. Функция $\varrho $ ∈ ∈ $L_{{{\text{loc}}}}^{1}({{\mathbb{R}}^{d}})$ является решением уравнения (1), если

Решение $\varrho $ называется вероятностным, если $\varrho \geqslant 0$ и интеграл от $\varrho $ равен 1. Через ${{W}^{{p,1}}}(B)$ и ${{W}^{{p,2}}}(B)$ обозначим классы Соболева на открытом шаре B, состоящие из функций, лежащих в ${{L}^{p}}(B)$ вместе с обобщенными частными производными первого и второго порядка соответственно, наделенные их стандартными соболевскими нормами. Через $W_{0}^{{p,1}}(B)$ обозначим замыкание $C_{0}^{\infty }(B)$ в ${{W}^{{p,1}}}(B)$.

Проблеме единственности вероятностного решения посвящены, в частности, работы [1–3]. В них предполагается, что функции ${{a}^{{ij}}}$ входят в локальный класс Соболева $W_{{{\text{loc}}}}^{{p,1}}({{\mathbb{R}}^{d}})$ с некоторым $p > d$. Это условие существенно используется при обосновании единственности. Благодаря ему удается применить неравенство Харнака для решений дивергентных уравнений и получить положительность непрерывной версии вероятностного решения. Доказательство единственности в цитированных работах основано на рассмотрении функции ${v}$, равной отношению двух вероятностных решений $\sigma $ и $\varrho $, и анализе дивергентного эллиптического уравнения

которому удовлетворяет ${v}$. Ключевым наблюдением является равенство где $\psi \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{d}})$ и $f \in {{C}^{2}}([0, + \infty ))$. Здесь существенно используется соболевость элементов матрицы A и соболевость функции ${v}$. Если матрица A удовлетворяет лишь условию Дини, то приведенные выше рассуждения невозможны. Кроме того, даже в одномерном случае функция $\varrho $ может не иметь соболевской производной. Например, так будет, если $b = 0$ и $A = 1{\text{/}}\varrho $, причем $\varrho > 0$ гёльдерова и недифференцируема. Возникают проблемы с непрерывностью и положительностью вероятностных решений. Полученные в недавних работах [4–6] результаты о регулярности решений дважды дивергентных эллиптических уравнений позволяют работать с вероятностными решениями уравнения Колмогорова, предполагая лишь выполнение условия Дини для $A$. В настоящей работе мы обобщаем достаточные условия единственности из [3, гл. 4]. Более того, получен интересный новый результат о принадлежности к классу Соболева $W_{{{\text{loc}}}}^{{2,1}}({{\mathbb{R}}^{d}})$ отношения двух положительных решений уравнения Колмогорова. Напомним, что сами эти решения при наших условиях могут не иметь соболевских производных. Тем самым перенормированные решения могут быть более регулярными, чем исходные решения, что уже отмечалось для отношения функций Грина в работе [7]. Существенную роль ниже играет анализ задачи Дирихле для дважды дивергентного эллиптического уравнения, исследованию которой посвящены работы [6, 8]. Нам потребуется несколько вспомогательных лемм.

Пусть $B$ – открытый единичный шар в ${{\mathbb{R}}^{d}}$, $\overline B $ – его замыкание и $p = p(B) > d$ – показатель интегрируемости из условия ${\text{(}}{{{\mathbf{H}}}_{{\mathbf{b}}}}{\text{)}}$. Следующее утверждение известно в случае ограниченных коэффициентов и в случае нулевого сноса (см. [9, 10]), для полноты изложения приведем доказательство.

Лемма 1. Для всякой функции $f \in {{L}^{p}}(B)$ в ${{W}^{{p,2}}}(B) \cap W_{0}^{{p,1}}(B) \cap {{C}^{1}}(\overline B )$ существует решение уравнения $Lu = f$.

Доказательство. Пусть ${{L}_{A}}u = {\text{tr(}}A{{\nabla }^{2}}u)$. Тогда в силу [9, лемма 9.17] для всякого u ∈ ∈ ${{W}^{{p,2}}}(B) \cap W_{0}^{{p,1}}(B)$ верна оценка

где ${{C}_{1}}$ не зависит от $u$. По теореме вложения ${\text{|}}\nabla u{\text{|}} \in {{L}^{\infty }}(B)$. Тогда

При этом верна оценка (см. [11, глава 5])

из которой с помощью [9, теорема 7.28] выводится неравенство

По принципу максимума (см. [9, теорема 9.1]) величина ${{\left\| u \right\|}_{{{{L}^{\infty }}(B)}}}$ оценивается сверху через ${{C}_{3}}{{\left\| {Lu} \right\|}_{{{{L}^{p}}(B)}}}$. Значит, для всех $u \in {{W}^{{p,2}}}(B) \cap W_{0}^{{p,1}}(B)$ имеем

В силу [9, теорема 9.15] существует единственная функция u из пространства ${{W}^{{p,2}}}(B) \cap W_{0}^{{p,1}}(B)$, удовлетворяющая уравнению ${{L}_{A}}u = f$. Теперь стандартным методом продолжения по параметру выводятся существование и единственность решения уравнения $Lu = f$. Из теоремы вложения получаем $u \in {{C}^{1}}(\overline B )$.

В следующем утверждении мы доказываем единственность решения задачи Дирихле на $B$ для дважды дивергентного уравнения

где $g \in C(\partial B)$ и под решением понимается функция $u \in C(\overline B )$, которая на $\partial B$ совпадает с $g$ и для всякой функции $\varphi \in C_{0}^{\infty }(B)$ удовлетворяет равенству

Отметим, что это определение решения отличается от определения в [8] и не включает в интегральное тождество граничные слагаемые.

Лемма 2. Решение задачи Дирихле (2) единственно.

Доказательство. Покажем, что в случае g = 0 задача Дирихле имеет лишь нулевое решение. Пусть $f \in C_{0}^{\infty }(B)$. По лемме 1 существует решение ${v} \in {{W}^{{p,2}}}(B) \cap W_{0}^{{p,1}}(B)$ уравнения

Положим ${{r}_{k}} = 1 - {{k}^{{ - 1}}}$. Рассмотрим последовательность таких функций ${{\zeta }_{k}} \in C_{0}^{\infty }(B)$, что ${{\zeta }_{k}}(x)$ = 1 при ${\text{|}}x{\text{|}} < {{r}_{k}}$, $0 \leqslant {{\zeta }_{k}} \leqslant 1$, ${\text{|}}\nabla {{\zeta }_{k}}{\text{|}} \leqslant {{C}_{1}}k$ и $\left\| {{{\nabla }^{2}}{{\zeta }_{k}}} \right\| \leqslant {{C}_{1}}{{k}^{2}}$. Имеем

где правая часть равна

Так как ${v} \in {{C}^{1}}(\overline B )$ и ${v} = 0$ на $\partial B$, то ${\text{|}}{v}(x){\text{|}} \leqslant {{C}_{2}}{{k}^{{ - 1}}}$ при ${{r}_{k}} < {\text{|}}x{\text{|}} < 1$. Заметим, что объем множества $\{ x:{{r}_{k}} < {\text{|}}x{\text{|}} < 1\} $ оценивается через ${{C}_{3}}{{k}^{{ - 1}}}$. Кроме того, ${\text{|}}\nabla {{\zeta }_{k}}(x){\text{|}} = 0$ и ${{\nabla }^{2}}{{\zeta }_{k}}(x) = 0$ при ${\text{|}}x{\text{|}} < {{r}_{k}}$. Следовательно,

Таким образом,

где константа ${{C}_{4}}$ не зависит от $k$. При $k \to \infty $ получаем из которого следует, что $u = 0$.

В дальнейших рассуждениях важную роль будет играть процедура приближения решения уравнения (1) последовательностью решений аналогичных уравнений, но с гладкими матрица-ми A. Пусть $\varrho $ – непрерывное решение урав-нения (1) на ${{\mathbb{R}}^{d}}$. Пусть $\psi \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{d}})$, $\psi \geqslant 0$, $\psi (x) = 0$ при ${\text{|}}x{\text{|}} > 1$ и ${{\left\| \psi \right\|}_{{{{L}^{1}}({{\mathbb{R}}^{d}})}}} = 1$. Положим ${{\psi }_{k}}(x) = {{k}^{d}}\psi (kx)$, где $k \in \mathbb{N}$. Пусть

Обозначим через $B{\kern 1pt} '$ шар $2B$. Для всех $x,y \in B$ имеем

Кроме того, равномерно на $\overline B $ отображения A_k сходятся к A, а функции ${{\varrho }_{k}}$ сходятся к $\varrho $. Поскольку уравнение

можно переписать в виде дивергентного эллиптического уравнения, то согласно [3, следствие 1.7.6] задача Дирихле имеет единственное решение ${{u}_{k}} \in {{W}^{{p,1}}}(B)$, которое в силу теоремы вложения принадлежит $C(\overline B )$.

Замечание 1. Из доказательства [6, теоре- ма 1.8] можно усмотреть, что

где $M$ и $\tilde {\omega }$ зависят от $d$, ${{\nu }_{{B'}}}$, ${{\omega }_{{B'}}}$, ${{\left\| b \right\|}_{{{{L}^{p}}(B)}}}$, модуля непрерывности $\varrho $ на $B{\kern 1pt} '$ и $\mathop {\sup }\nolimits_{B{\kern 1pt} '} {\text{|}}\varrho {\text{|}}$, но не зависят от k. Отметим, что аналогичные оценки для шара Q, замыкание которого лежит в $B$, получены в работах [4, 5].

Лемма 3. Функции ${{u}_{k}}$ равномерно на $\overline B $ сходятся к $\varrho $.

Доказательство. В силу [6, теорема 1.8] (см. замечание 1) функции ${{u}_{k}}$ равномерно ограничены и равностепенно непрерывны на $\overline B $. Следовательно, есть подпоследовательность $\{ {{u}_{{{{k}_{j}}}}}\} $, которая сходится равномерно на $\overline B $ к функции $u \in C(\overline B )$. Ясно, что $u = \varrho $ на $\partial B$. Пусть $\varphi \in C_{0}^{\infty }(B)$. Имеем

Полагая ${{k}_{j}} \to \infty $, получаем аналогичное равенство с $A$ и $u$ вместо ${{A}_{k}}$ и ${{u}_{k}}$. Итак, функция $u$ является решением задачи Дирихле (2) на $B$ с граничным условием $u{{{\text{|}}}_{{\partial B}}} = \varrho $. Другим решением этой задачи является функция $\varrho $. По лемме 2 имеем $u = \varrho $. Так как предел для всякой сходящейся подпоследовательности $\{ {{u}_{{{{k}_{j}}}}}\} $ равен $\varrho $, то вся последовательность $\{ {{u}_{k}}\} $ сходится к $\varrho $.

Пусть $\varrho $ и $\sigma $ – вероятностные решения уравнения (1). Согласно [4, теорема 3.1] функции $\varrho $ и $\sigma $ непрерывны на ${{\mathbb{R}}^{d}}$. Кроме того, для всякого шара $B$ есть такое число $C(B) > 0$, что $\varrho (x) > C(B)$ и $\sigma (x) > C(B)$ при $x \in B$. Это следует из неравенства Харнака. Если выполнено условие $({{H}_{a}})$, а $b$ – локально ограниченное векторное поле, то нужное неравенство Харнака доказано в [4, следствие 3.6]. В готовящейся к публикации работе условие локальной ограниченности $b$ заменено на $({{H}_{b}})$.

Положим $v = \frac{\sigma }{\varrho }$. Пусть $f \in {{C}^{2}}([0, + \infty ))$ и $f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} ' \geqslant 0$.

Теорема 1. Верно включение $v \in W_{{{\text{loc}}}}^{{2,1}}({{\mathbb{R}}^{d}})$, причем для всякой неотрицательной функции $\psi \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{d}})$ выполнено неравенство

Доказательство. Пусть $B = B({{x}_{0}},r)$ – шар, содержащий носитель функции $\psi $ и $B{\kern 1pt} ' = B({{x}_{0}},r + 1)$. Как отмечено выше, существует такое число $C(B) > 0$, что $\sigma > C(B)$ и $\varrho > C(B)$ на $B$. Пусть $\{ {{u}_{k}}\} $ и $\{ {{w}_{k}}\} $ – построенные перед леммой 3 последовательности решений уравнения

которые сходятся равномерно на $\overline B $ к $\varrho $ и $\sigma $ соответственно. Можно считать, что ${{u}_{k}} > C(B){\text{/}}2$ и ${{w}_{k}} > C(B){\text{/}}2$. Ясно, что функции ${{v}_{k}} = {{w}_{k}}{\text{/}}{{u}_{k}}$ равномерно сходятся к $v$. Согласно [3, лемма 4.1.4 и замечание 4.1.5] применительно к ${{u}_{k}}$ и ${{w}_{k}}$ для всякой неотрицательной функции $\psi \in C_{0}^{\infty }(B)$ выполнено равенство

Пусть $f(t) = {{t}^{2}}$. Тогда

Заметим, что правая часть оценивается некоторой константой $C(\psi )$, которая не зависит от $k$. Пусть $Q$ – шар, причем $\overline Q \subset B$ и $\psi = 1$ на $Q$. Тогда

Следовательно, существует подпоследовательность $\{ {{v}_{{{{k}_{j}}}}}\} $, слабо сходящаяся в ${{W}^{{2,1}}}(Q)$ к некоторой  функции $v$.  Таким  образом,  $v \in {{W}^{{2,1}}}(Q)$. Из-за равномерной сходимости вся последовательность $\{ {{v}_{k}}\} $ сходится слабо в ${{W}^{{2,1}}}(Q)$ к $v$. Пусть теперь $\psi $ – произвольная неотрицательная функция из $C_{0}^{\infty }(B)$. Можно считать, что $Q$ содержит носитель $\psi $. Функции $f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '({{v}_{k}})$ равномерно на $B$ сходятся к $f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '(v)$. Так как

то

Используя слабую сходимость ${{{v}}_{k}}$ в ${{W}^{{2,1}}}(Q)$ и равномерную сходимость ${{A}_{k}}$, ${{u}_{k}}$, ${{v}_{k}}$, $f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '({{{v}}_{k}})$ и $f({{v}_{k}})$, с учетом (4) при $k \to \infty $ получаем (3).

Замечание 2. Из доказательства видно, что теорема верна для произвольных положительных решений на области $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{d}}$, при условии, что в определяющее равенство подставляются функции $\psi $ с носителем в $\Omega $. Таким образом, для всяких положительных решений $\varrho $ и $\sigma $ уравнения Колмогорова на области $\Omega $ их отношение $\sigma {\text{/}}\varrho $ лежит в $W_{{{\text{loc}}}}^{{2,1}}(\Omega )$, хотя сами функции $\varrho $ и $\sigma $ могут не иметь соболевских производных.

Теперь, используя неравенство (3) и дословно повторяя рассуждения из [3, теорема 4.1.6], приходим к нашему основному результату.

Теорема 2. Пусть $\varrho $ – вероятностное решение уравнения (1) и выполнено одно из следующих условий:

(i) ${{(1 + \left| x \right|)}^{{ - 2}}}{\text{|}}{{a}^{{ij}}}(x){\text{|}},(1 + \left| x \right|{{)}^{{ - 1}}}{\text{|}}{{b}^{i}}(x){\text{|}} \in {{L}^{1}}(\varrho dx)$,

(ii) найдется функция $V \in {{C}^{2}}({{\mathbb{R}}^{d}})$ с $\mathop {\lim }\limits_{|x| \to \infty } V(x)\, = \, + \,\infty $ и $LV \leqslant {{C}_{1}} + {{C}_{2}}V$.

Тогда $\varrho $ – единственное вероятностное решение.

Например, это верно, если коэффициенты оцениваются через $C + C{\text{|}}x{\text{|}}$.

Замечание 3. Условие Дини является значительно более общим по сравнению с включением ${{a}^{{ij}}} \in W_{{{\text{loc}}}}^{{p,1}}$, $p > d$, поскольку последнее влечет гёльдеровость решения. Однако нам неизвестно, оптимально ли данное условие единственности. В частности, неизвестен ответ на следующий вопрос. Пусть $\nu \cdot I \leqslant A(x) \leqslant {{\nu }^{{ - 1}}} \cdot I$ для всех $x$, ${{a}^{{ij}}}$ – непрерывные функции и $b(x) = - x$. Может ли стационарное уравнение Колмогорова с такими коэффициентами иметь несколько вероятностных решений? О неединственности см. [12].