Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 16-21

О СПЕКТРЕ НЕСАМОСОПРЯЖЕННОГО КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА

Д. И. Борисов^{1, 2, 3, *}, А. А. Федотов^4, **

¹ Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра Российской академии наук
Уфа, Россия

² Башкирский государственный университет
Уфа, Россия

³ Университет Градца Кралове
Градец Кралове, Чешская Республика

⁴ Санкт-Петербургский государственный университет
Санкт-Петербург, Россия

^* E-mail: borisovdi@yandex.ru
^** E-mail: a.fedotov@spbu.ru

Поступила в редакцию 30.09.2021
После доработки 18.11.2021
Принята к публикации 18.11.2021

DOI: 10.31857/S2686954321060059

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследуется оператор $\mathcal{A}$, действующий в ${{l}^{2}}(\mathbb{Z})$ по формуле ${{(\mathcal{A}u)}_{l}} = {{u}_{{l + 1}}} + {{u}_{{l - 1}}} + \lambda {{e}^{{ - 2\pi i(\theta + \omega l)}}}{{u}_{l}}$. Здесь l – целочисленная переменная, а $\lambda > 0$, $\theta \in [0,1)$ и $\omega \in (0,1)$ – параметры. При он является простейшим несамосопряженным квазипериодическим оператором. С помощью перенормировочного подхода описана геометрия его спектра, на спектре вычислен показатель Ляпунова, описаны условия, при которых спектр является чисто непрерывным либо дополнительно возникает точечный спектр.

Ключевые слова: квазипериодический оператор, несамосопряженный оператор, показатель Ляпунова, спектр

1. ВВЕДЕНИЕ

Здесь мы исследуем спектральные свойства семейства несамосопряженных разностных операторов Шредингера, действующих в ${{l}^{2}}(\mathbb{Z})$ по формуле

(1)

${{({{\mathcal{A}}_{\theta }}u)}_{l}} = {{u}_{{l + 1}}}\, + \,{{u}_{{l - 1}}}\, + \,\lambda {\text{exp}}( - 2\pi i(\theta + \omega l)){{u}_{l}},\,\,\,l \in \mathbb{Z},$

где $\omega \in (0,1)$ и $\lambda > 0$ – частота и константа связи – заданные числа, а $\theta \in [0,1)$ – параметр, индексирующий уравнения семейства. Для краткости мы часто не указываем зависимость оператора от частоты и константы связи.

Если , то функция $l \to {{e}^{{2\pi i(\theta + \omega l)}}}$ – квазипериодическая, и семейство операторов ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ – эргодическое (метрически транзитивное), см. [2]. Квазипериодические операторы возникают в различных задачах современной физики и привлекают интерес математиков благодаря своим богатым и нетривиальным спектральным свойствам и широкому кругу математических инструментов и идей, необходимых для их изучения. Хотя на сегодняшний день накопилось много результатов о спектральных свойствах самосопряженных квазипериодических дифференциальных и разностных операторов, общая теория еще далека от завершения. Ее важной лабораторией всегда было и остается изучение нескольких конкретных моделей, и многие результаты, полученные для них, обобщаются на широкие классы операторов. Пожалуй, главные и наиболее активно изучаемые модели – оператор почти-Матье и мэрилендская модель. Они отличаются от оператора ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ заменой в (1) экспоненты на косинус и тангенс соответственно. Их спектральные свойства существенно зависят от арифметических свойств частоты, величины константы связи и значений эргодического параметра. Исследование этих операторов началось около 40 лет назад и активно ведется до сих пор. Среди исследователей – A. Avila, J. Bellissard, В. Буслаев, B. Helffer, С. Житомирская, И. Качковский, И. Красовский, R. Krikorian, Y. Last, W. Liu, Л. Парновский, Л. Пастур, J. Puig, B. Simon, Я. Синай, J. Sjöstrand и многие другие. Имеющаяся литература очень обширна, и мы упомянем лишь две ставшие классическими книги [1, 2], пару из последних работ [3, 4] и обзор [5], которые помогут заинтересованному читателю войти в проблематику.

Оператор ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ введен в [7]. Наш интерес к нему связан с тем, что в его случае очень эффективно работают идеи перенормировочного подхода – метода монодромизации, впервые возникшие в работах Буслаева и Федотова при попытке обобщить теорию Блоха–Флоке на периодические разностные операторы на вещественной оси, см. раздел 5.

Свойства несамосопряженных почти периодических операторов мало изучены, наш подход не зависит от самосопряженности, и нам представляется, что спектральные свойства ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ – нетривиального почти периодического несамосопряженного оператора – допускают весьма полный детальный анализ, а сам оператор может стать важной моделью.

Как для оператора почти-Матье и мэрилендской модели, свойства ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ нетривиально зависят от параметров. Значение $\lambda = 1$ оказывается критическим. Для спектр, вещественный при $\lambda \;\leqslant \;1$, становится комплексным при $\lambda > 1$. Физики называют этот эффект $\mathcal{P}\mathcal{T}$-фазовым переходом. Значение $\lambda = 1$ оказывается критическим и для природы спектра. Так, точечный спектр возникает лишь при $\lambda > 1$ для “достаточно” иррациональных $\omega $.

В [13] для диофантовых $\omega $ спектр описан как множество и показано, что при $\lambda < 1$ он непрерывен, а при $\lambda > 1$ есть плотный точечный спектр. В [8] результат o геометрии спектра был обобщен на все . Мы существенно полнее опишем геометрическую структуру спектра и условия на параметры, при которых возникают разные типы спектра.

Эта статья – первый шаг нашего исследования. Дальнейшие планы включают, в частности, эффективное описание (обобщенных) собственных функций.

Мы также обсудим разностный оператор Шрёдингера, действующий в ${{L}_{2}}(\mathbb{R})$ по формуле

(2)

$(\mathcal{B}u)(x): = u(x + \omega ) + u(x - \omega ) + \lambda {{e}^{{ - 2\pi ix}}}u(x).$

Легко видеть, что $\mathcal{B}$ может быть разложен прямым интегралом по $\theta $ со слоями ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$.

Операторы ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ и $\mathcal{B}$ – ограниченные несамосопряженные операторы. Спектр $\sigma ( \cdot )$ таких операторов вводится как дополнение в комплексной плоскости к резольвентному множеству. Точечный спектр ${{\sigma }_{p}}( \cdot )$ определяется как множество всех собственных значений, а непрерывный спектр ${{\sigma }_{c}}( \cdot )$ – в терминах характеристических последовательностей (последовательностей Вейля). Для остаточного спектра ${{\sigma }_{r}}( \cdot )$ – оставшейся части спектра – справедлива общая формула [9, Гл. 1, § 1]:

(3)

${{\sigma }_{r}}(\mathcal{H}) = \overline {{{\sigma }_{p}}(\mathcal{H}{\kern 1pt} *)} {{\backslash }}{{\sigma }_{p}}(\mathcal{H}),$

где $\mathcal{H}$ – оператор, а черта над множеством означает взятие комплексного сопряжения для всех его элементов.

2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ

Здесь мы обсудим свойства операторов ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ и $\mathcal{B}$, которые нам помогут прокомментировать спектральные результаты. Из свойств прямого интеграла вытекает

Лемма 1. $\sigma (\mathcal{B}) = \bigcup\limits_{\theta \in (0,1)} \sigma ({{\mathcal{A}}_{\theta }})$.

Эта лемма связывает спектры как множества.

На пространстве ${{l}^{2}}(\mathbb{Z})$ зададим линейную и антилинейную инволюции $\mathcal{P}$ и $\mathcal{T}$ по правилам:

${{(\mathcal{P}u)}_{k}} = {{u}_{{ - k}}},\quad {{(\mathcal{T}u)}_{k}} = \overline {{{u}_{k}}} ,\quad k \in \mathbb{Z}.$

Теми же символами, но уже на пространстве ${{L}_{2}}(\mathbb{R})$, обозначим операторы, определенные формулами:

$(\mathcal{P}u)(x) = u( - x),\quad (\mathcal{T}u)(x) = \overline {u(x)} ,\quad x \in \mathbb{R}.$

Лемма 2. Справедливы соотношения

$\begin{gathered} \mathcal{P}\mathcal{B}{\kern 1pt} * = \mathcal{B}\mathcal{P},\quad \mathcal{T}\mathcal{B}{\kern 1pt} * = \mathcal{B}\mathcal{T}, \\ \mathcal{P}\mathcal{A}_{\theta }^{*} = {{\mathcal{A}}_{{ - \theta }}}\mathcal{P},\quad \mathcal{T}\mathcal{A}_{\theta }^{*} = {{\mathcal{A}}_{\theta }}\mathcal{T}. \\ \end{gathered} $

С помощью этой леммы легко устанавливаются

Следствие 1. ${{\sigma }_{r}}({{\mathcal{A}}_{\theta }}) = {{\sigma }_{r}}(\mathcal{B}) = \emptyset $ для всех $\theta \in [0,1)$.

Следствие 2. Операторы ${{\mathcal{A}}_{0}}$ и $\mathcal{B}$ являются $\mathcal{P}\mathcal{T}$-симметричными, т.е.

(4)

$\mathcal{P}\mathcal{T}\mathcal{B} = \mathcal{B}\mathcal{P}\mathcal{T},\quad \mathcal{P}\mathcal{T}{{\mathcal{A}}_{0}}, = {{\mathcal{A}}_{0}}\mathcal{P}\mathcal{T}.$

3. ГЕОМЕТРИЯ СПЕКТРА

3.1. Случай иррационального ω

С помощью перенормировочного подхода, сразу для всех и очень естественно доказывается (см. раздел 5)

Теорема 1. Пусть . Тогда спектр (как множество) оператора ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ не зависит от $\theta $. Если при этом $0 < \lambda \;\leqslant \;1$, то спектр – отрезок вещественной оси,

(5)

$\sigma ({{\mathcal{A}}_{\theta }}) = \sigma (\mathcal{B}) = [ - 2,2],$

a если $\lambda > 1$, то спектр – эллипс,

(6)

$\begin{gathered} \sigma ({{\mathcal{A}}_{\theta }}) = \left\{ {E \in \mathbb{C}:\frac{{{{{({\text{Re}}E)}}^{2}}}}{{{\text{c}}{{{\text{h}}}^{2}}\xi }} + \frac{{{{{(\operatorname{Im} E)}}^{2}}}}{{{\text{s}}{{{\text{h}}}^{2}}\xi }} = 4} \right\}, \\ \xi = \ln \lambda . \\ \end{gathered} $

Заметим, что совпадение спектров ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ и $\mathcal{B}$ следует из леммы 1 и из того, что спектр ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ не зависит от $\theta $.

То, что спектры либо вещественны, либо симметричны относительно вещественной оси, вытекает из леммы 2.

В условиях теоремы спектр непрерывно зависит от $\lambda $. При $\lambda \to 1 + 0$ эллипс (6) стягивается к отрезку (5).

Наконец, согласно следствию 2, операторы ${{\mathcal{A}}_{0}}$ и $\mathcal{B}$ являются $\mathcal{P}\mathcal{T}$-симметричными. Понятие $\mathcal{P}\mathcal{T}$-симметрии было введено физиками, см., напр., краткий обзор [10]. Если такой оператор зависит от параметра и при его изменении спектр оператора из вещественного превращается в комплексный, то говорят, что происходит $\mathcal{P}\mathcal{T}$-фазовый переход. Мы наблюдаем это явление при $\lambda = 1$.

3.2. Случай рационального $\omega $

Ниже через Arccos мы будем обозначать ветвь арккосинуса, определенную на комплексной плоскости c разрезами вдоль лучей $( - \infty , - 1]$ и $[1,\infty )$ и на их верхних берегах и $[1,\infty )$, аналитическую на разрезанной полуплоскости, отображающая ее на полосу $S = \{ z \in \mathbb{C}: - \pi < {\text{Re}}\,z < 0\} $ и непрерывную вплоть до берегов разрезов.

В этом разделе мы будем иногда указывать зависимость операторa ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ от частоты. Справедлива

Теорема 2. Пусть $\omega = \frac{p}{q}$, где $p,q \in \mathbb{N}$ – взаимно простые числа. Спектр ${{\mathcal{A}}_{\theta }}(p{\text{/}}q)$ описывается формулами

$\sigma ({{\mathcal{A}}_{\theta }}(p{\text{/}}q)) = \left\{ {2\cos \left( {{{s}_{\theta }} + \frac{{2\pi l}}{q}} \right),\;l = 0,1, \ldots ,q - 1} \right\},$

${{s}_{\theta }} = \frac{1}{q}{\text{Arccos}}\frac{{{{\lambda }^{q}}{{e}^{{ - 2i\pi q\theta }}} + I}}{2},\quad I = [ - 2,2].$

Пусть , а $p,q \in \mathbb{N}$ – взаимно простые числа. Для того чтобы величина ${\text{|}}\omega - p{\text{/}}q{\text{|}}$ была достаточно мала, $q$ должно быть достаточно велико. Теорема 2 позволяет детально асимптотически описать $\sigma ({{\mathcal{A}}_{\theta }}(p{\text{/}}q))$ при $q \to \infty $, но мы ограничимся несколькими замечаниями.

Спектр ${{\mathcal{A}}_{\theta }}(p{\text{/}}q)$ концентрируется около спектра этого оператора с тем же $\lambda $ и иррациональной частотой (по теореме 1 при спектр ${{\mathcal{A}}_{\theta }}(\omega )$ от $\omega $ и $\theta $ не зависит). Пусть ${{u}_{\theta }} = \bigcup\limits_{l = 0}^{q - 1} {\left( {{{s}_{\theta }} + \frac{{2\pi l}}{q}} \right)} $.

Если $\lambda \;\leqslant \;1$, то множество ${{u}_{\theta }}$ оказывается расположенным в $O({{\lambda }^{{q/2}}}{\text{/}}q)$-окрестности отрезка $[ - \pi ,0]$, который отображение $k \mapsto 2\cos (k)$ переводит в отрезок $[ - 2,2]$ – отрезок из (5). При , множество ${{u}_{\theta }}$ состоит из гладких кривых, расположенных в полосах $\frac{1}{q}S + \frac{{2\pi l}}{q}$, $l = 0,1, \ldots ,q - 1$, по одной в полосе. При $\theta \in \left\{ {0,{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right\}$ эти кривые становятся частью границ полос.

Если $\lambda > 1$, то множество ${{u}_{\theta }}$ расположенo в $O({{\lambda }^{{ - q}}}{\text{/}}q)$-окрестностях точек $2\pi \theta + i\ln \lambda + \frac{{2\pi l}}{q}$, l = 0, $1, \ldots ,q - 1$. В каждой из них ${{u}_{\theta }}$ состоит из одного отрезка гладкой кривой. Отображение $k \mapsto 2\cos (k)$ переводит прямую Im$k = \ln \lambda $ в эллипс из (6).

При изменении $\theta $ от нуля до $1{\text{/}}q$ каждая из упомянутых кривых заметает область, симметричную относительно вещественной оси. Отображение $k \mapsto 2\cos (k)$ переводит объединение этих областей в область, замыкание которой согласно лемме 1 и является спектром оператора $\mathcal{B}(p{\text{/}}q)$. Спектр является одно-, дву- или $(q + 1)$-связным в зависимости от величины ${{\lambda }^{q}}$. Для рациональных и иррациональных $\omega $ спектры оператора $\mathcal{B}$ качественно отличаются: если для спектр – либо отрезок прямой, либо эллипс, то для $\omega \in \mathbb{Q}$ он является множеством положительной меры на плоскости. Вид этого множества не зависит от числителя дроби $\omega = p{\text{/}}q$.

На рис. 1 мы последовательно (слева направо сверху вниз) изобразили спектры оператора $\mathcal{B}(p{\text{/}}q)$ c $q = 7$ для $\lambda = 0.1,\;0.5,\;1.0,1.2,\;1.3$ и $3.0$. Отметим, каждый из рисунков масштабирован соответствующим образом вдоль вертикальной оси, чтобы продемонстрировать форму спектра.

Рис. 1.

Спектры оператора $\mathcal{B}$.

4. ПРИРОДА СПЕКТРА

Здесь мы сначала обсудим спектр оператора ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$, а затем поговорим о спектре $\mathcal{B}$. Для формулировки и обсуждения результатов нам потребуется информация о показателе Ляпунова, играющем важную роль в спектральной теории самосопряженных эргодических операторов.

4.1. Показатель Ляпунова

Сначала, следуя [1, 2], напомним определение и важное свойство показателя Ляпунова. Рассмотрим уравнение

(7)

${{u}_{{l + 1}}} + {{u}_{{l - 1}}} + {v}(\theta + \omega l){{u}_{l}} = E{{u}_{l}},\quad l \in \mathbb{Z},$

где ${v}$ – ограниченная измеримая 1-периодическая функция. Хотя книги [1, 2] посвящены самосопряженным операторам, определение показателя Ляпунова корректно и для комплекснозначных ${v}$.

Перепишем (7) в виде

(8)

${{U}_{{l + 1}}} = M(\theta + \omega l){{U}_{l}},\quad l \in \mathbb{Z},$

где

(9)

$M(\theta ) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {E - {v}(\theta )}&{\,\, - 1} \\ 1&0 \end{array}} \right),\quad {{U}_{l}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{l}}} \\ {{{u}_{{l - 1}}}} \end{array}} \right).$

Для каждого для почти всех $\theta $ предел

(10)

$\gamma = \mathop {\lim }\limits_{l \to \infty } \frac{1}{l}\ln \left\| {M(\theta + \omega l) \ldots M(\theta + \omega )M(\theta )} \right\|$

существует и принимает значение, не зависящее от $\theta $. Оно называется значением в точке $E$ показателя Ляпунова для эргодического семейства операторов ${{\mathcal{H}}_{\theta }}$, определенных в ${{l}^{2}}(\mathbb{Z})$ левой частью (7). Показатель Ляпунова меряет скорость роста на бесконечности решений (7).

Из теории Флоке следует, что предел в (10) существует для рациональных $\omega $, но в этом случае он может зависеть от $\theta $. Мы по-прежнему будем называть этот предел показателем Ляпунова.

Вернемся к оператору ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$. Нами доказана

Теорема 3. Для $\omega \in (0,1){{\backslash }}\mathbb{Q}$ показатель Ляпунова $\gamma $ оператора ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ на спектре описывается формулой

(11)

$\gamma (E,\omega ,\lambda ) = \max \{ {\text{|}}\log \lambda {\text{|}},0\} .$

При $\omega \in (0,1) \cap \mathbb{Q}$ показатель Ляпунова на спектре равен нулю. Вне спектра $\gamma > 0$ для всех $\omega \in (0,1)$.

Отметим, что формула (11) совпадает с хорошо известной для оператора почти-Матье [5, Теорема 9.1].

4.2. Непрерывный спектр ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ при $0 < \lambda \;\leqslant \;1$

Теорема 4. При $0 < \lambda \;\leqslant \;1$ для всех $\omega \in (0,1)$ и $\theta \in [0,1)$ спектр оператора ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ непрерывен,

$\sigma ({{\mathcal{A}}_{\theta }}) = {{\sigma }_{c}}({{\mathcal{A}}_{\theta }}),\quad {{\sigma }_{p}}({{\mathcal{A}}_{\theta }}) = {{\sigma }_{r}}({{\mathcal{A}}_{\theta }}) = \emptyset .$

Удивительно, но для оператора почти-Матье имеются почти такие же результаты, см. [5, Теоремы 9.1 и 9.5].

Из теорем 3–4 вытекает, что для множество нулей показателя Ляпунова состоит только из непрерывного спектра несамосопряженного оператора ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$.

4.3. Точечный спектр ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ при $\lambda > 1$

Пусть , а $\frac{{{{p}_{k}}}}{{{{q}_{k}}}}$, $k \in \mathbb{N}$, – подходящие дроби цепной дроби, изображающей $\omega $, см. [11]. Положим $\beta (\omega ) = \mathop {\limsup }\limits_{n \to \infty } \frac{{\ln {{q}_{{n + 1}}}}}{{{{q}_{n}}}}$. Чем меньше $\beta (\omega )$, тем хуже число $\omega $ приближается рациональными числами. Ниже $\gamma $ – показатель Ляпунова на спектре ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$.

Теорема 5. Пусть $\lambda > 1$. Если $\omega \in \mathbb{Q}$ или $\beta (\omega ) > \gamma $, то спектр оператора ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$ чисто непрерывен. Если $\beta (\omega ) < \gamma $, то есть и точечный спектр.

Похожие результаты хорошо известны для оператора почти-Матье и мэрилендской модели [5].

Фактически, случай, когда возникает точечный спектр, изучен нами лучше. Для описания результатов, считая, что , определим последовательность чисел:

(12)

${{\omega }_{{n + 1}}} = \left\{ {\frac{1}{{{{\omega }_{n}}}}} \right\},\quad n \in \mathbb{N} \cup \{ 0\} ,\quad {{\omega }_{0}} = \omega .$

Теорема 6. Пусть $\lambda > 1$, , и выполнено условие

(13)

$\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{1}{{{{\omega }_{{n + 1}}}}}\exp \left( { - \frac{\xi }{{{{\omega }_{0}}{{\omega }_{1}} \ldots {{\omega }_{n}}}}} \right) < \infty ,\quad \xi = \ln \lambda .$

Тогда для всех $\theta \in [0,1)$ мы имеем ${{\sigma }_{c}}({{\mathcal{A}}_{\theta }}) = \sigma ({{\mathcal{A}}_{\theta }})$ и

${{\sigma }_{p}}({{\mathcal{A}}_{\theta }}) = \left\{ {{{E}_{n}} = 2\cos (\theta + i\xi + n\omega ),\;n \in \mathbb{Z}} \right\}.$

Собственные значения можно описать и формулой

${{E}_{n}} = 2(\cos (\theta + n\omega ){\text{ch}}\xi - i\sin (\theta + n\omega )\xi ),\quad n \in \mathbb{Z}.$

Поэтому все E_n принадлежат эллипсу (6).

Обсудим условие (13). Прежде всего отметим, что ${{\omega }_{0}}{{\omega }_{1}} \ldots {{\omega }_{{2m - 1}}}\;\leqslant \;{{2}^{{ - m}}}$ для всех $m \in \mathbb{N}$.

Далее, можно показать, что условие (13) гораздо слабее условия $\beta (\omega ) < \gamma (\lambda )$ из теоремы 5. Точнее, при выполнении последнего, ряд в (13) сходится сверхэкспоненциально быстро. С другой стороны, обозначим n-ый член этого ряда через ${{f}_{n}}$. Если ${{\omega }_{0}}{{\omega }_{1}} \ldots {{\omega }_{n}}\ln {\text{|}}{{f}_{{n + 1}}}{\text{|}} \to 0$ при $n \to \infty $, то $\beta (\omega )$ = = γ(λ).

При выполнении условия (13) собственные функции оператора ${{A}_{\theta }}$ можно построить в терминах бесконечного произведения матриц, скорость сходимости которого оказывается не меньше, чем скорость сходимости ряда в (13). Такая конструкция собственных функций для квазипериодических операторов является новой. Мы посвятим ей отдельную работу.

4.4. Спектр оператора $\mathcal{B}$

Теорема 7. Для всех $\lambda > 0$ и $\omega \in (0,1)$ выполнены равенства: ${{\sigma }_{c}}(\mathcal{B}) = \sigma (\mathcal{B})$ и ${{\sigma }_{p}}(\mathcal{B})\, = \,{{\sigma }_{r}}(\mathcal{B})\, = \,\emptyset $.

Аналогичный результат верен и в самосопряженном случае. При этом для его доказательство использует разложение исследуемого оператора прямым интегралом и непрерывность плотности состояний для операторов-слоев. Но последняя – объект самосопряженной теории.

5. КОРОТКО О МЕТОДАХ

Основной метод работы – метод монодромизации – перенормировочный подход, упомянутый во введении. В рамках него возникает бесконечная цепочка квазипериодических разностных уравнений. По решениям любого из них можно построить решения исходного уравнения. Удивительное и нетривиальное свойство уравнения Шрёдингера, соответствующего оператору ${{\mathcal{A}}_{\theta }}$, состоит в том, что все уравнения такой цепочки отличаются от исходного лишь значениями параметров [12]. В частности, для $n$-го уравнения частота равна ${{\omega }_{n}}$ из (12), a константа cвязи равна ${{\lambda }^{{\frac{1}{{{{\omega }_{0}}{{\omega }_{1}} \ldots {{\omega }_{{n - 1}}}}}}}}$. Это и позволяет эффективно описать геометрию спектра, вычислить показатель Ляпунова на спектре и исследовать точечный спектр. Доказательство теоремы 4 использует оригинальный метод. Доказательство второго утверждения теоремы 5 основано на идеях Гордона, Саймона и Житомирской, см., например, [13, 14]. Доказательство теоремы 7 основано на аккуратном анализе пространства решений разностных уравнений на оси с периодическими коэффициентами.

Список литературы

Cycon H.L., Froese R.G., Kirsch W., Simon B. Schrödinger operators with applications to quantum mechanics and global geometry., Berlin: Springer-Verlag, 1987. 329 p.
Pastur L., Figotin A. Spectra of random and almost-periodic operators. Berlin: Springer-Verlag, 1992. 587 p.
Jitomirskaya S., Yang F. // Ergodic Theory Dynam. Systems, in press (2020).
Jitomirskaya S., Konstantinov L., Krasovsky I. // Preprint: arXiv:2007.01005 (2007).
Marx C.A., Jitomirskaya S. // Ergod. Theor. Dynam. Syst. 2017. V. 37. № 8. P. 2353–2393.
Fedotov A. // St. Petersburg Math. J. 2014. V. 25. № 2. P. 303–325.
Sarnak P. // Comm. Math. Phys. 1982. V. 84. No 3. P. 377–401.
Boca F.P. // Duke Math. 2000. J. V. 101. № 3. P. 515–528.
Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: ГИФМЛ, 1963. 339 с.
Bender C.V. // Europhys. News. 2016. V. 47. № 2. P. 17–20.
Хинчин А.Я. Цепные дроби. M.: ГИФМЛ, 1978. 112 с.
Fedotov A. // J. Math. Sci. 2019. V. 238. № 5. 750–761.
Simon B. // Ann. Phys. 1985. V. 159. № 1. P. 157–183.
Jitomirskaya S., Liu W. // Comm. Pure Appl. Math. 2017. V. 70. № 6. P. 1025–1051.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал