Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 22-25

Рассмотрим серию случайных матриц X_n,m = = $\{ X_{{jk}}^{{(n,m)}}\} $, $1 \leqslant j \leqslant n,\,\,1 \leqslant k \leqslant m$, элементы которых – независимые одинаково распределенные вещественные случайные величины, определенные на одном и том же вероятностном пространстве. Будем полагать, что $\mathbb{E}X_{{jk}}^{{(n,m)}} = 0$ и $\mathbb{E}{\text{|}}X_{{jk}}^{{(n,m)}}{{{\text{|}}}^{2}} = 1$. Назовем выборочной ковариационной матрицей матрицу вида

Впервые выборочные ковариационные матрицы были рассмотрены в работе Вишарта [1]. В контексте задач многомерного статистического анализа строки матрицы ${{{\mathbf{X}}}_{{n,m}}}$ представляют собой выборку объема $n$, состоящую из m-мерных векторов наблюдений. При росте размеров матрицы ${{{\mathbf{X}}}_{{n,m}}}$ к бесконечности таким образом, что отношение n/m сходится к некоторой константе, эмпирическая спектральная функция распределения матрицы $Z$ (функция равномерного распределения на множестве сингулярных чисел) сходится к некоторой неслучайной функции распределения, плотность которой была явно найдена в работе Марченко и Пастура [2]. Факт такой сходимости принято называть законом Марченко–Пастура, а само предельное распределение – распределением Марченко–Пастура.

Важным частным случаем выборочных ковариационных матриц являются так называемые прореженные выборочные ковариационные матрицы (sparse sample covariance matrices). Пусть $\xi _{{jk}}^{{(n,m)}}$ – семейство независимых бернуллиевских случайных величин, независимых от $X_{{jk}}^{{(n,m)}}$, с $\mathbb{E}\xi _{{ij}}^{{(n,m)}}$ = = p_n. Везде далее мы будем опускать верхний индекс ${{ \cdot }^{{(n,m)}}}$. Для прореженной матрицы W = $\{ {{X}_{{jk}}}{{\xi }_{{jk}}}\} $, $1 \leqslant j \leqslant n,\,\,1 \leqslant k \leqslant m$, рассмотрим прореженную выборочную ковариационную матрицу

В дальнейшем мы будем рассматривать только параметр $n$, а про параметр $m$ будем предполагать, что он меняется так, что

Особый интерес в моделях с прореженными выборочными ковариационными матрицами представляет случай, когда вероятность прореживания ${{p}_{n}}$ стремится к нулю, с ростом $n$. В частности, если ${{p}_{n}}$ убывает так, что $n{{p}_{n}} \to \infty $, то для прореженной выборочной ковариационной матрицы остается справедливым упомянутый выше закон Марченко–Пастура.

Прореженные выборочные ковариационные матрицы возникают во многих прикладных задачах, например, при исследовании свойств двудольного случайного графа – графа, вершины которого можно разделить на две группы, в каждой из которых вершины не соединены друг с другом, а наличие ребер – случайно, с некоторой вероятностью ${{p}_{n}}$.

Прореженные случайные матрицы изучались разными авторами (см. [3–8] и литературу к ним). Поведение сингулярных чисел и собственных векторов прореженных случайных матриц значимо зависит от вероятности прореживания, и это не позволяет простым образом распространить на них результаты, полученные ранее для непрореженного (${{p}_{n}} = 1$) случая. В частности, непростой задачей является изучение поведения минимального сингулярного числа. Прогресс в решении этой проблемы для случая вигнеровских матриц был достигнут в работе [9].

Обозначим через $s_{1}^{2} \geqslant s_{2}^{2} \geqslant \ldots \geqslant s_{n}^{2}$ собственные числа матрицы ${\mathbf{Z}}$ (соответственно, ${{s}_{1}}, \ldots ,{{s}_{n}}$ – сингулярные числа матрицы $\frac{1}{{\sqrt {m{{p}_{n}}} }}{\mathbf{W}}$).

Назовем “симметризацией” некоторой положительной случайной величины η² случайную величину $\varepsilon {\text{|}}\eta {\text{|}}$, где $\varepsilon $ – независимая от $\eta $ случайная величина, равновероятно принимающая значения 1 и –1. Симметризованная эмпирическая спектральная функция распределения матрицы Z имеет вид

и является спектральной функцией распределения эрмитовой матрицы где ${\mathbf{O}}$ – матрица с нулевыми элементами.

Для произвольного $\delta > 0$ определим величину $\kappa = \kappa (\delta ): = \frac{\delta }{{2(4 + \delta )}}$. Мы будем предполагать, что вероятность прореживания ${{p}_{n}}$ и моменты элементов матрицы ${{X}_{{ij}}}$ удовлетворяют ряду условий:

• условие $(C0)$: для некоторого ${{c}_{0}} > 0$ и всех $n \geqslant 1$,

$n{{p}_{n}} \geqslant {{c}_{0}}\mathop {\log }\nolimits^{\frac{2}{\kappa }} \,n;$

• условие $(C1)$: для некоторого $\delta > 0$,

μ_{4 + δ} := $\mathbb{E}{\text{|}}{{X}_{{11}}}{{{\text{|}}}^{{4 + \delta }}} < \infty ;$

• условие $(C2)$: существует такая константа ${{c}_{1}} > 0$, что для всех $1 \leqslant j \leqslant n$, $1 \leqslant k \leqslant m$ выполнено

${\text{|}}{{X}_{{jk}}}{\text{|}} \leqslant {{c}_{1}}{{(n{{p}_{n}})}^{{\frac{1}{2} - \kappa }}}.$

Важной задачей в изучении свойств случайной матрицы является оценивание ее наименьшего положительного и наибольшего сингулярных чисел. Подобные задачи решались в ряде работ, посвященных прореженным матрицам. Так, в [6], в предположении $n{{p}_{n}} \geqslant {{n}^{\delta }}$, для сколь угодно малого $\delta > 0$, и $\mathbb{E}{\text{|}}{{X}_{{jk}}}{{{\text{|}}}^{q}} \leqslant {{({{C}_{1}}q)}^{{{{C}_{2}}q}}}$, для всех $q \geqslant 3$, показано, что найдутся такие положительные константы $K = K(\delta ,{{C}_{1}},{{C}_{2}})$, $Q = Q(\delta ,{{C}_{1}},{{C}_{2}})$ и ${{C}_{3}} = {{C}_{3}}(\delta ,{{C}_{1}},{{C}_{2}})$, что выполнено неравенство $\Pr \{ {{s}_{1}} \geqslant K\} \leqslant {{C}_{3}}{{n}^{{ - Q}}}$. В работе [7], в предположении субгауссовости элементов матрицы и $n{{p}_{n}} \geqslant {{C}_{1}}\log n$, получена оценка $\Pr \{ {{s}_{n}} \leqslant {{n}^{{ - {{C}_{2}}}}}\} \leqslant {{C}_{3}}{{n}^{{ - Q}}}$, для некоторых положительных констант $Q = Q({{C}_{1}})$, ${{C}_{2}} = {{C}_{2}}({{C}_{1}})$ и C₃ = = ${{C}_{3}}({{C}_{1}})$. В нашей работе доказаны следующие результаты.

Теорема 1. Предположим, что условия $(C0)$–$(C2)$ выполнены. Тогда для любого $Q \geqslant 1$ найдутся такие положительные константы

K₁ = ${{K}_{1}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}}$, c₀, c₁), ${{K}_{2}} = {{K}_{2}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$ и C₀ = ${{C}_{0}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}}$, c₀, c₁),

что

Рассмотрим преобразование Стилтьеса симметризованной эмпирической функции распределения ${{F}_{n}}(x)$:

Преобразование Стилтьеса симметризованного распределения Марченко–Пастура имеет вид

где $a = 1 - \sqrt y $, $b = 1 + \sqrt y $.

Следуя работам Х.-Ц. Яу, мы будем называть локальным законом Марченко–Пастура равномерную по $z = u + i{v}$ сходимость

в области $v \geqslant {{n}^{{ - 1}}}{{\alpha }_{n}}$, ${{u}_{ - }} \leqslant {\text{|}}u{\text{|}} \leqslant {{u}_{ + }}$, где α_n “медленно” растет к бесконечности с ростом $n$ (${{\alpha }_{n}}\sim {{\log }^{\beta }}n$ или ${{\alpha }_{n}} \ll {{n}^{\gamma }}$, с некоторыми $\beta ,\gamma > 0$), а ${{u}_{ - }}$ и ${{u}_{ + }}$ – некоторые положительные числа.

Введем обозначения ${{\Lambda }_{n}}(z): = {{s}_{n}}(z) - {{S}_{y}}(z)$, b(z) = = z – $\frac{{1 - y}}{z} + 2y{{S}_{y}}(z)$, $x \wedge y = \min \{ x,y\} $.

Теорема 2. Предположим, что условия $(C0)$–$(C2)$ выполнены. Тогда для любого $Q \geqslant 1$ существуют такие константы ${{C}_{0}} = {{C}_{0}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, C₁ = = ${{C}_{1}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, $K = K(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, что для всех $z = u + iv$ из области ${{(a - v)}_{ + }} \leqslant {\text{|}}u{\text{|}} \leqslant b + {v}$ и $v \geqslant {{C}_{1}}{{n}^{{ - 1}}}{{\log }^{4}}n$ выполнено

Следующий результат относится к ${\text{Im}}{{\Lambda }_{n}}(z)$.

Теорема 3. Предположим, что условия $(C0)$–$(C2)$ выполнены. Тогда для любого $Q \geqslant 1$ существуют такие константы ${{C}_{0}} = {{C}_{0}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, C₁ = = ${{C}_{1}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, ${{C}_{2}} = {{C}_{2}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, K = = $K(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, что для всех $\alpha ,{{u}_{0}} > 0$ и $z = u + iv$ из области $0 < \alpha \leqslant {\text{|}}u{\text{|}} \leqslant {{u}_{0}}$, $v \geqslant {{C}_{1}}{{n}^{{ - 1}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}^{4}}n$ и ${\text{|}}b(z){\text{|}} \geqslant {{C}_{2}}{\text{/}}(nv)$ выполнено

Следствие 1. Обозначим через u_j собственный вектор матрицы Z, отвечающий собственному значению $s_{j}^{2}$. Тогда, в предположениях $(C0)$–$(C2)$, для любого $Q \geqslant 1$ найдутся такие константы ${{C}_{0}} = {{C}_{0}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, ${{C}_{1}} = {{C}_{1}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},{{c}_{1}})$, что

Теорема 5. Предположим, что выполнены только условия $(C0)$ и $(C1)$. Тогда для любого $0 < \gamma < \frac{{b - a}}{2}$ существуют такие константы C₀ = = ${{C}_{0}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},\gamma )$, ${{C}_{1}} = {{C}_{1}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},\gamma )$, C₂ = = ${{C}_{2}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},\gamma )$, что

для всех $z = u + iv$ из области $v \geqslant {{C}_{2}}{{n}^{{ - 1}}}{{\log }^{4}}n$, $a + \gamma \leqslant {\text{|}}u{\text{|}} \leqslant b - \gamma $.

Замечание 1. В работе [6], в предположении, что моменты элементов матрицы удовлетворяют условию $\mathbb{E}{\text{|}}{{X}_{{jk}}}{{{\text{|}}}^{q}} \leqslant {{({{C}_{1}}q)}^{{{{C}_{2}}q}}}$, для всех $q \geqslant 3$, в области $\{ z = u + iv{\text{:}}\,\,{{a}^{2}}{\text{/}}2 \leqslant u \leqslant {{b}^{2}} + 1,\,\,0 < v < 3\} $ показано, что для несимметризованных преобразований Стилтьеса, для сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ и произвольного $D > 0$ найдется такая положительная константа ${{C}_{3}} = {{C}_{3}}(\varepsilon ,D,{{C}_{1}},{{C}_{2}})$, что для достаточно больших $n$ выполнено неравенство

Следствие 2. В условиях теоремы 4 найдутся такие константы ${{C}_{0}} = {{C}_{0}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},\gamma )$, C₁ = = ${{C}_{1}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},{{c}_{0}},\gamma )$, что

Следствие 3. Предположим, что выполнены условия $(C1)$, $(C2)$ и $n{{p}_{n}} \geqslant c_{0}^{'}{{n}^{{2/3}}}$, $c_{0}^{'} > 0$. Пусть ${{\gamma }_{j}}$, $j = 1, \ldots ,n$, – квантили порядка $(1 - j{\text{/}}n)$ распределения ${{G}_{y}}(x)$. Тогда для некоторого малого $\alpha > 0$ и $b - \alpha \leqslant {{\gamma }_{j}} \leqslant b$, для любого $Q \geqslant 1$ найдутся такие константы ${{C}_{0}} = {{C}_{0}}(Q,\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},c_{0}^{'},{{c}_{1}},\alpha )$, C₁ = C₁(Q, $\delta ,{{\mu }_{{4 + \delta }}},c_{0}^{'},{{c}_{1}},\alpha )$, что

Замечание 2. В работе [6], в предположении, что моменты элементов матрицы удовлетворяют условию $\mathbb{E}{\text{|}}{{X}_{{jk}}}{{{\text{|}}}^{q}} \leqslant {{({{C}_{1}}q)}^{{{{C}_{2}}q}}}$, для всех $q \geqslant 3$, при $n{{p}_{n}} \geqslant {{C}_{3}}{{n}^{{2/3}}}$ показано, что для сколь угодно малого $\varepsilon > 0$ и произвольного $D > 0$ найдется такая положительная константа ${{C}_{4}} = {{C}_{4}}(\varepsilon ,D,{{C}_{1}},{{C}_{2}},{{C}_{3}})$, что для достаточно больших $n$, при $b - \alpha \leqslant {{\gamma }_{j}} \leqslant b$, выполнено неравенство

Схема доказательства. Для оценки спектральной нормы матрицы $\frac{1}{{\sqrt {m{{p}_{n}}} }}{\mathbf{W}}$ используется результат Сегинера [10].

В оценке наименьшего сингулярного числа мы следуем методу Рудельсона и Вершинина (см. [11]), разработанному для прямоугольных матриц, дополняя его рекуррентной процедурой (см. [12]), которая позволяет получить необходимую оценку.

Для доказательства неравенства делокализации используется представление

где ${{F}_{{nj}}}(x) = \sum\nolimits_{k = 1}^n {{\text{|}}{{u}_{{jk}}}{{{\text{|}}}^{2}}\mathbb{I}\{ {{s}_{j}} \leqslant x\} } .$ Отсюда, для произвольного $v > 0$, имеем

Для исследования преобразования Стилтьеса прореженной матрицы используется стандартное представление диагональных элементов резольвентной матрицы ${\mathbf{R}}(z) = ({\mathbf{Z}} - z{\mathbf{I}}{{)}^{{ - 1}}}$:

с некоторыми (см. [13]) поправочными членами ${{\varepsilon }_{j}}$, $j = 1, \ldots ,n$, и ${{\varepsilon }_{{l + n}}}$, $l = 1, \ldots ,m$. На первом этапе получаем оценку $\mathbb{E}{\text{|}}{{R}_{{jk}}}{{{\text{|}}}^{q}} \leqslant {{C}^{q}}$, для некоторого $C > 0$, при $q \sim \log n$. Для этого используется так называемый “метод мультипликативного спуска”, основанный на неравенстве

Для оценки величины ${{\Lambda }_{n}}$ используется представление ${{\Lambda }_{n}}(z) = {{T}_{n}}(z){\text{/}}{{b}_{n}}(z)$, где