Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 38-41

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ КОМПЛЕКСНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Академик РАН И. А. Ибрагимов 12*, Н. В. Смородина 12**, М. М. Фаддеев 2*

1 Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова Российской Академии наук
Санкт-Петербург, Россия

2 Санкт-Петербургский государственный университет
Санкт-Петербург, Россия

* E-mail: ibr32@pdmi.ras.ru
** E-mail: smorodina@pdmi.ras.ru
* E-mail: ibr32@pdmi.ras.ru

Поступила в редакцию 14.08.2021
После доработки 14.08.2021
Принята к публикации 08.09.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе вводится семейство ${{r}_{\lambda }},\lambda \in \mathbb{C}$ комплексных стохастических процессов, дающих возможность строить вероятностное представление резольвенты оператора $ - \frac{1}{2}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}}$. При $\lambda = 0$ процесс ${{r}_{\lambda }}$ является вещественным и совпадает с процессом броуновского локального времени.

Ключевые слова: случайные процессы, локальное время

1. ВВЕДЕНИЕ

Пусть $w(t),t \geqslant 0$ – стандартный винеровский процесс. Хорошо известно, что с помощью винеровского процесса $w(t)$ строится вероятностное представление классического решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Именно, для каждой непрерывной ограниченной функции f функция

(1)
$u(t,x) = {\mathbf{E}}f(x - w(t))$
удовлетворяет уравнению теплопроводности
(2)
$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}}$
и начальному условию $u(0,x) = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} u(t,x) = f(x)$.

Если мы хотим строить вероятностное представление не только классического, но и обобщенного (см. [1, гл. III]) решения задачи Коши для уравнения (2), то для начальной функции $f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})$ вместо (1) можно использовать следующее выражение:

(3)
$u(t,x) = ({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } {\mathbf{E}}{{f}_{M}}(x - w(t)),$
где функция ${{f}_{M}}$ определяется через преобразование Фурье $\widehat f$ функции f как

${{f}_{M}}(x) = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - M}^M {{e}^{{ - ipx}}}\widehat f(p)dp.$

В этом случае удобнее говорить не в терминах уравнений, а в терминах функций от операторов. Далее через $W_{2}^{k}(\mathbb{R})$ мы будем обозначать пространство Соболева функций (подробнее см. [2, гл. 1]), определенных на $\mathbb{R}$. В пространстве $W_{2}^{k}(\mathbb{R})$ мы выберем норму

$\left\| \psi \right\|_{{W_{2}^{k}(\mathbb{R})}}^{2} = \int\limits_\mathbb{R} \,(1 + {{\left| p \right|}^{{2k}}}){{\left| {\widehat \psi (p)} \right|}^{2}}dp,$
где через $\widehat \psi $ обозначено прямое преобразование Фурье функции $\psi $, которое в данной работе определяется как $\widehat \psi (p) = \int\limits_\mathbb{R} \,{{e}^{{ipx}}}\psi (x)dx.$

Рассмотрим самосопряженный оператор

(4)
${\kern 1pt} \mathcal{A} = - \frac{1}{2}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{x}^{2}}}},$
заданный на области определения $\mathcal{D}(\mathcal{A}) = W_{2}^{2}(\mathbb{R})$. Хорошо известно (см., например, [3, гл. 7]), что спектр $\sigma (\mathcal{A})$ оператора $\mathcal{A}$ является абсолютно непрерывным и совпадает с полупрямой $[0,\infty )$. Преобразование Фурье осуществляет унитарную эквивалентность оператора $\mathcal{A}$ и оператора умножения на ${{p}^{2}}{\text{/}}2$. В силу спектральной теоремы оператор ${{e}^{{ - t\mathcal{A}}}}$ при всех положительных $t$ определен уже на всем ${{L}_{2}}(\mathbb{R})$, а из (3) вытекает, что для любого $f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})$ справедливо

$\begin{gathered} {{e}^{{ - t\mathcal{A}}}}f(x) = ({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } {\mathbf{E}}{{f}_{M}}(x - w(t)) = \\ \, = \frac{1}{{2\pi }}({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } {\mathbf{E}}\int\limits_{ - M}^M \,{{e}^{{ - ipx}}}{{e}^{{ipw(t)}}}\widehat f(p)dp. \\ \end{gathered} $

Другими словами, с помощью винеровского процесса строится вероятностное представление оператора ${{e}^{{ - t\mathcal{A}}}}$.

В настоящей работе мы построим случайные процессы, дающие аналогичное представление, но не для экспоненты, а для резольвенты оператора $\mathcal{A}$. Именно, мы построим семейство ${{r}_{\lambda }}(t,x)$, t > 0 комплекснозначных случайных процессов, параметризованных спектральным параметром $\lambda \in \mathbb{C}$, таких, что при каждых $t > 0$ и $\alpha \in [0,1{\text{/}}2)$ с вероятностью единица выполнено

${{r}_{\lambda }}(t, \cdot ) \in W_{2}^{\alpha }(\mathbb{R}),$
и при каждых $\lambda \in \mathbb{C}{{\backslash }}[0,\infty )$ и $f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})$ выполнено

(5)
$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\mathbf{E}}f * {{r}_{\lambda }} = (\mathcal{A} - \lambda I{{)}^{{ - 1}}}f.$

В случае, когда $\lambda \in [0,\infty )$ (т.е., когда $\lambda \in \sigma (\mathcal{A})$) равенство (5) выполнено для всех

$f \in \mathcal{D}((\mathcal{A} - \lambda I{{)}^{{ - 1}}}).$

Построенный класс процессов мы будем называть резольвентными процессами. При $\lambda = 0$ резольвентный процесс ${{r}_{\lambda }}(t,x)$ совпадает с процессом броуновского локального времени (про броуновское локальное время см., например, [4]). Таким образом, указанный подход дает еще один взгляд на броуновское локальное время, как на одного представителя целого семейства процессов. Для построения резольвентных процессов мы использовали метод, предложенный в [5, 6].

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА РЕЗОЛЬВЕНТНОГО ПРОЦЕССА

Пусть, как и выше, $w(t),t \geqslant 0$ – стандартный винеровский процесс. Для каждого фиксированного $\lambda \in \mathbb{C}$ мы определим случайную функцию ${{r}_{\lambda }}(t,x)$ переменных $t \geqslant 0,$ $x \in \mathbb{R}$, причем так, что при каждых $t > 0$, $\alpha \in \left[ {0,\,\,\frac{1}{2}} \right)$ с вероятностью единица было выполнено

${{r}_{\lambda }}(t, \cdot ) \in W_{2}^{\alpha }(\mathbb{R}).$

Для этого определим сначала процесс $\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p)$, который будет являться преобразованием Фурье (по переменной x) искомого процесса ${{r}_{\lambda }}(t,x)$.

Итак, пусть

$\lambda = a + bi.$

При $a = {\text{Re}}\lambda \;\leqslant \;0$ для всех $p \in \mathbb{R}$ положим

(6)
$\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p) = \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}{{e}^{{ipw(\tau )}}}d\tau .$

Далее, пусть $a = {\text{Re}}\lambda > 0$. Тогда при ${\text{|}}p{\text{|}} > \sqrt {2a} $ или при ${\text{|}}p{\text{|}} = \sqrt {2a} $ и $b = {\text{Im}}\lambda = 0$, как и выше, определим $\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p)$ формулой (6).

При ${\text{|}}p{\text{|}} < \sqrt {2a} $ положим

(7)
$\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p) = - \int\limits_0^t \,{{e}^{{ - \lambda \tau }}}{{e}^{{pw(\tau )}}}d\tau .$

При ${\text{|}}p{\text{|}} = \sqrt {2a} $ и $b = {\text{Im}}\lambda > 0$ положим

(8)
$\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p) = i\int\limits_0^t \,{{e}^{{i\lambda \tau }}}{{e}^{{ip{{e}^{{i\pi /4}}}w(\tau )}}}d\tau .$

Наконец, при ${\text{|}}p{\text{|}} = \sqrt {2a} $ и $b = {\text{Im}}\lambda < 0$ положим

(9)
$\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p) = - i\int\limits_0^t \,{{e}^{{ - i\lambda \tau }}}{{e}^{{ip{{e}^{{ - i\pi /4}}}w(\tau )}}}d\tau .$

Введем обозначение. Через ${{h}_{\lambda }}(t,p)$ обозначим функцию, заданную следующим образом (a = = ${\text{Re}}\lambda ,$ $b = {\text{Im}}\lambda $ ):

(10)
${{h}_{\lambda }}(t,p) = \left\{ \begin{gathered} {{e}^{{\lambda t}}}{{e}^{{ipw(t)}}},\quad {\text{при}}\,\,\,a \leqslant 0, \hfill \\ {\text{или}}\;{\text{при}}\quad a > 0\;{\text{и}}\;\left| p \right| > \sqrt {2a} , \hfill \\ {\text{или}}\;{\text{при}}\,\,\,a > 0,\,\,\,\left| p \right| = \sqrt {2a} \,\,\,{\text{и}}\,\,\,b = 0, \hfill \\ {{e}^{{ - \lambda t}}}{{e}^{{pw(t)}}},\quad {\text{при}}\quad a > 0\;{\text{и}}\;\left| p \right| < \sqrt {2a} , \hfill \\ i{{e}^{{i\lambda t}}}{{e}^{{ip{{e}^{{i\pi /4}}}w(t)}}},\quad {\text{при}}\quad a > 0, \hfill \\ \left| p \right| = \sqrt {2a} \;{\text{и}}\;b > 0, \hfill \\ - i{{e}^{{ - i\lambda t}}}{{e}^{{ip{{e}^{{ - i\pi /4}}}w(t)}}},\quad {\text{при}}\quad a > 0, \hfill \\ \left| p \right| = \sqrt {2a} \;{\text{и}}\;b < 0. \hfill \\ \end{gathered} \right.$

В этих обозначениях

$\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p) = \int\limits_0^t \,{{h}_{\lambda }}(\tau ,p)d\tau .$

Покажем теперь, что для любых фиксированных $\lambda ,t$ с вероятностью единица выполнено ${{r}_{\lambda }}(t, \cdot ) \in W_{2}^{\alpha }(\mathbb{R})$, где ${{r}_{\lambda }}(t, \cdot )$ – обратное преобразование Фурье функции $\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t, \cdot )$.

Для этого введем пространство $\mathcal{W}_{2}^{\alpha }$ измеримых случайных функций $g(x)$ с нормой

(11)
$\left\| g \right\|_{\alpha }^{2} = {\mathbf{E}}\int\limits_\mathbb{R} \,(1 + {{p}^{{2\alpha }}}){\text{|}}\widehat g(p){{{\text{|}}}^{2}}dp,$
где $\widehat g$ есть преобразование Фурье функции $g$ по переменной $x$.

Справедлива следующая

Теорема 1. 1.  Для любого $\alpha \in \left[ {0,\,\,\frac{1}{2}} \right)$ при фиксированных $t > 0,$ $\lambda \in \mathbb{C}$ существует предел

${{r}_{\lambda }}(t, \cdot ) = (\mathcal{W}_{2}^{\alpha })\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } {{r}_{\lambda }}(t, \cdot ,M),$
где функция ${{r}_{\lambda }}(t, \cdot ,M)$ задается своим преобразованием Фурье

$\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p,M) = {{{\mathbf{1}}}_{{[ - M,M]}}}(p) \cdot \int\limits_0^t \,{{h}_{\lambda }}(\tau ,p)d\tau .$

2. Если ${\text{Re}}\lambda < 0$, то для любого $\alpha \in \left[ {0,\,\,\frac{1}{2}} \right)$ существует предел

(12)
$r_{\lambda }^{\infty }( \cdot ) = (\mathcal{W}_{2}^{\alpha })\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{r}_{\lambda }}(t, \cdot ).$

Из теоремы 1 немедленно следует, что с вероятностью единица

${{r}_{\lambda }}(t, \cdot ) \in W_{2}^{\alpha }(\mathbb{R}),$
а при ${\text{Re}}\lambda < 0$

$r_{\lambda }^{\infty }( \cdot ) \in W_{2}^{\alpha }(\mathbb{R}).$

Заметим, что процессы ${{r}_{\lambda }}(t, \cdot )$ у нас пока заданы только своим преобразованием Фурье $\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t, \cdot )$. Найдем теперь явное выражение для функций ${{r}_{\lambda }}(t, \cdot )$ как функционалов от траекторий винеровского процесса.

Пусть сначала $a = {\text{Re}}\lambda \leqslant 0$. Тогда

$\widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p) = \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}{{e}^{{ipw(\tau )}}}d\tau ,$
и, значит,
$\begin{gathered} {{r}_{\lambda }}(t,x) = \frac{1}{{2\pi }}({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \int\limits_{ - M}^M \,{{e}^{{ - ipx}}}\int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}{{e}^{{ipw(\tau )}}}d\tau dp = \\ \, = \frac{1}{{2\pi }}({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}\int\limits_\mathbb{R} \,{{{\mathbf{1}}}_{{[ - M,M]}}}(p){{e}^{{ - ip(x - w(\tau ))}}}d\tau dp = \\ \, = ({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}{{D}_{M}}(x - w(\tau ))d\tau , \\ \end{gathered} $
где ${{D}_{M}}$ – ядро Дирихле

${{D}_{M}}(x) = \frac{{\sin Mx}}{{\pi x}}.$

Таким образом, при $a = {\text{Re}}\lambda \leqslant 0$ мы имеем

(13)
${{r}_{\lambda }}(t,x) = ({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}{{D}_{M}}(x - w(\tau ))d\tau .$

Пользуясь тем, что в смысле обобщенных функций

$\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } {{D}_{M}} = \delta ,$
где $\delta $ – дельта-функция Дирака, здесь и ниже будем для сокращения записи использовать удобную формулу
(14)
${{r}_{\lambda }}(t,x) = \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}\delta (x - w(\tau ))d\tau ,$
понимая ее так, что правая часть (13) есть определение правой части (14).

В случае $a < 0$ в этом же смысле мы имеем

$r_{\lambda }^{\infty }(x) = \int\limits_0^\infty \,{{e}^{{\lambda \tau }}}\delta (x - w(\tau ))d\tau .$

Пусть теперь $a = {\text{Re}}\lambda > 0$. Тогда

$\begin{gathered} \widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p) = \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}{{e}^{{ipw(\tau )}}}d\tau \cdot {{{\mathbf{1}}}_{{(\sqrt {2a} ,\infty )}}}(\left| p \right|) - \\ \, - \int\limits_0^t \,{{e}^{{ - \lambda \tau }}}{{e}^{{pw(\tau )}}}d\tau \cdot {{{\mathbf{1}}}_{{(0,\sqrt {2a} )}}}(\left| p \right|), \\ \end{gathered} $
и, соответственно,

$\begin{gathered} {{r}_{\lambda }}(t,x)\, = \,\frac{1}{{2\pi }}({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{M \to \infty } \int\limits_{[ - M,M]\backslash [ - \sqrt {2a} ,\sqrt {2a} ]} {{e}^{{ - ipx}}}\int\limits_0^t {{e}^{{\lambda \tau }}}{{e}^{{ipw(\tau )}}}d\tau dp - \\ \, - \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \sqrt {2a} }^{\sqrt {2a} } \,{{e}^{{ - ipx}}}\int\limits_0^t \,{{e}^{{ - \lambda \tau }}}{{e}^{{pw(\tau )}}}d\tau dp = \\ = \,({{L}_{2}})\mathop {{\text{lim}}}\limits_{M \to \infty } \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}({{D}_{M}}(x - w(\tau ))\, - \,{{D}_{{\sqrt {2a} }}}(x - w(\tau )))d\tau = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} = \,\, - \int\limits_0^t \,{{e}^{{ - \lambda \tau }}}{{D}_{{\sqrt {2a} }}}(x + iw(\tau )) = \\ \, = \int\limits_0^t \,{{e}^{{\lambda \tau }}}(\delta (x - w(\tau )) - \frac{{\sin (\sqrt {2a} (x - w(\tau )))}}{{\pi x}})d\tau - \\ \, - \int\limits_0^t \,{{e}^{{ - \lambda \tau }}}\frac{{\sin (\sqrt {2a} (x + iw(\tau )))}}{{\pi x}}d\tau . \\ \end{gathered} $

Заметим еще, что в случае $\lambda = 0$ процесс ${{r}_{\lambda }}(t,x)$ совпадает с броуновским локальным временем (см. [4, гл. 1, § 4]).

3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕЗОЛЬВЕНТЫ

Для каждого $\lambda \in \mathbb{C}$ определим случайный ограниченный оператор

$\mathcal{R}_{\lambda }^{t}{\text{:}}\,\,{{L}_{2}}(\mathbb{R}) \to {{L}_{2}}(\mathbb{R}),$
полагая для $f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})$

(15)
$\mathcal{R}_{\lambda }^{t}f(x) = ({{r}_{\lambda }} * f)(t,x).$

В случае $a = {\text{Re}}\lambda < 0$ определим еще случайный оператор ${{\mathcal{R}}_{\lambda }}$, полагая

(16)
${{\mathcal{R}}_{\lambda }}f(x) = (r_{\lambda }^{\infty } * f)(x).$

Преобразования Фурье операторов $\mathcal{R}_{\lambda }^{t},\;{{\mathcal{R}}_{\lambda }}$ действуют следующим образом:

(17)
$\widehat {\mathcal{R}_{\lambda }^{t}}\widehat f(p) = \widehat {{{r}_{\lambda }}}(t,p) \cdot \widehat f(p),$
(18)
$\widehat {{{\mathcal{R}}_{\lambda }}}\widehat f(p) = \widehat {r_{\lambda }^{\infty }}(p) \cdot \widehat f(p).$

Далее, для $f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})$ определим функцию $u(t,x)$, полагая

$u(t,x) = {\mathbf{E}}\mathcal{R}_{\lambda }^{t}f(x) = {\mathbf{E}}({{r}_{\lambda }} * f)(t,x).$

Теорема 2. Пусть ${\text{Re}}\lambda \leqslant 0$. Тогда функция $u(t,x)$ является обобщенным решением уравнения

$\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = \frac{1}{2}\frac{{{{\partial }^{2}}u}}{{\partial {{x}^{2}}}} + \lambda u + f(x),$
удовлетворяющим условию $u(0,x) = 0$.

Пусть, как и выше, $\mathcal{A}$ – самосопряженный оператор в ${{L}_{2}}(\mathbb{R})$, заданный на области определения

$\mathcal{D}(\mathcal{A}) = W_{2}^{2}(\mathbb{R}) = \{ f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R}):{{p}^{2}}\widehat f(p) \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})\} $
и действующий на этой области определения по правилу

$\mathcal{A}f = - \frac{1}{2}f{\kern 1pt} '{\kern 1pt} '.$

Как уже было отмечено, $\sigma (\mathcal{A})$ = ${{\sigma }_{{ac}}}(\mathcal{A}) = [0,\infty ),$ причем для $\lambda \in \sigma (\mathcal{A})$ область определения оператора ${{(\mathcal{A} - \lambda I)}^{{ - 1}}}$ имеет вид

$\mathcal{D}{{(\mathcal{A} - \lambda I)}^{{ - 1}}} = \left\{ {f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R}):\frac{{\widehat f(p)}}{{\frac{{{{p}^{2}}}}{2} - \lambda }} \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})} \right\}.$

Теорема 3. 1. Пусть ${\text{Re}}\lambda < 0$. Тогда для любого $f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})$ справедливо

${\mathbf{E}}f * r_{\lambda }^{\infty }(x) = (\mathcal{A} - \lambda I{{)}^{{ - 1}}}f(x).$

2. Пусть ${\text{Re}}\lambda \geqslant 0$ и $\lambda \notin \sigma (\mathcal{A})$. Тогда для любого $f \in {{L}_{2}}(\mathbb{R})$ справедливо

(19)
$({{L}_{2}})\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {\mathbf{E}}f * {{r}_{\lambda }}(t,x) = (\mathcal{A} - \lambda I{{)}^{{ - 1}}}f(x).$

3. Пусть $\lambda \, \in \,\sigma (\mathcal{A})$. Тогда для любого $f\, \in \,\mathcal{D}{{(\mathcal{A} - \lambda I)}^{{ - 1}}}$ справедливо (19).

Список литературы

  1. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

  2. Агранович М.С. Соболевские пространства, их обобщения и эллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М.: МЦНМО, 2013. 378 с.

  3. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Лань, Санкт-Петербург, Москва, Краснодар, 2010.

  4. Бородин А.Н., Ибрагимов И.А. Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий // Тр. МИАН СССР. 1994. Т. 195. С. 3–286.

  5. Berman S. Gaussian processes with stationary increments: local times and sample function properties // Ann. Math. Stat. 1970. V. 41. № 4. P. 1260–1272.

  6. Berman S. Local times and sample function properties of stationary Gaussian process // Trans. Amer. Math. Soc. 1969. V. 137. P. 277–299.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления