Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 46-51

ВВЕДЕНИЕ

Дифференциальное уравнение с запаздыванием и финитной нелинейностью

является математической моделью генератора с нелинейной запаздывающей обратной связью с RC-фильтром нижних частот первого порядка [1] и описывает многие биологические процессы, в которых переменная состояния $u$ распадается со скоростью, пропорциональной $u$ в настоящее время, и создается со скоростью, зависящей от значения $u$ некоторое время в прошлом [2]. Кроме того, модели с финитной нелинейностью представляют общенаучный интерес [3–7].

В работах [8–10] изучалась асимптотика решений двух связанных генераторов вида (1)

в предположении $\lambda \gg 1$ при различных величинах связи между осцилляторами $\gamma $. В них показано, что при $\gamma > 0$, начиная с некоторого момента времени, осцилляторы синхронизируются, при асимптотически малых по $\lambda $ значениях $\gamma $ сосуществуют различные устойчивые неоднородные релаксационные циклы, а при $ - \frac{1}{2} < \gamma < 0$ найдены синхронные неоднородные режимы.

Мы рассмотрим систему, описывающую $N$ ($N \geqslant 4$) связанных осцилляторов вида (1):

Здесь ${{u}_{j}}$ $(j = 1,2, \ldots ,N)$ – скалярные переменные, параметры $\lambda $ и $T$ положительные, $\gamma $ отлична от нуля и такова, что $\gamma > - \frac{1}{4}$ (это условие необходимо для диссипативности системы (2)), а ограниченная нелинейная кусочно-гладкая функция $F$ вне отрезка $[ - p,p]$ (где $p$ – некоторая положительная константа) тождественно равна нулю. Кроме того, от функции $F(u)$ на отрезке $u \in [ - p,p]$ мы требуем выполнения условий

Также предполагаем, что параметр $\lambda $ является достаточно большим: $\lambda \gg 1$.

В этой работе мы будем строить асимптотику релаксационных решений модели (2) при условиях (3), $\lambda \gg 1$ для ненулевых значений параметра $\gamma $ для всех начальных условий из некоторого множества $S$.

Изучение нелокальной динамики модели (2) при условии $\lambda \gg 1$ будет проводиться методом большого параметра [11]. Вначале будет выбрано множество начальных условий $S$. Для всех начальных условий из этого множества будет построена асимптотика решений при $\lambda \to + \infty $, далее будет построен оператор сдвига по траекториям, переводящий множество начальных условий в множество такого же типа, и найдены главные части этого оператора при положительных и отрицательных значениях параметра $\gamma $ (они будут иметь вид конечномерных отображений). По динамике этих отображений будет сделан вывод о динамике исходной модели.

1. ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЙ

Запишем систему (2) в векторном виде:

где

Рассмотрим линейную часть системы (4) – систему 

где $u = ({{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{N}}{{)}^{T}}$.

Ее решение имеет вид

Рассмотрим отрезок $[{{t}_{1}} - T,{{t}_{1}}]$ и введем на нем множество начальных условий для системы (4). Обозначим это множество через $S({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{N}})$. В $S({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{N}})$ содержатся вектора $({{u}_{1}}(s), \ldots ,{{u}_{N}}(s))$ непрерывных на отрезке $s \in [{{t}_{1}} - T,{{t}_{1}}]$ функций таких, что:

при этом существует такая положительная константа $\delta $, что при $t \in ({{t}_{1}},{{t}_{1}} + \delta )$ выполняется неравенство $|{{u}_{i}}(t)| < p$. Заметим, что это множество непусто и невыпукло.

Построим асимптотику всех решений системы (4) с начальными условиями из множества $S({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{N}})$ при $\lambda \to + \infty $. Будем интегрировать систему (4) методом шагов.

Пусть $t \in [{{t}_{1}},{{t}_{1}} + T]$. На рассматриваемом отрезке система (4) принимает вид (6), и ее решение имеет вид (7), где $\tau = {{t}_{1}}$, $u({{t}_{1}}) = ({{x}_{1}}p, \ldots ,{{x}_{N}}p{{)}^{{\text{T}}}}$.

Пусть $t\, \in \,[{{t}_{1}}\, + \,T,{{t}_{1}}\, + \,2T]$, тогда функции $F({{u}_{j}}(t\, - \,T))$ $(j = 1, \ldots ,N)$ известны с прошлого шага, поэтому на рассматриваемом временном отрезке будем считать их неоднородностью в системе (4). Тогда получаем, что решение системы (4) на отрезке $t \in [{{t}_{1}} + T,{{t}_{1}} + 2T]$ имеет вид

где

Пусть выполняется следующее утверждение.

Предположение 1. Для каждого $r$ $(r = 1, \ldots ,N)$ верно ${{g}_{r}}({{t}_{1}} + T,{{t}_{1}} + 2T,{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{N}}) \ne 0$, и количество точек $t* \in [{{t}_{1}} + T,{{t}_{1}} + 2T)$, при которых ${{g}_{r}}({{t}_{1}} + T,t{\text{*}},{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{N}}) = 0$, конечно. Для каждой точки t* такой, что ${{g}_{r}}({{t}_{1}} + T,t*,{{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{N}}) = 0$, существует $j \in \mathbb{N}$ такое, что

Тогда в предположении 1 при достаточно больших $\lambda > 0$ в точке $t = {{t}_{1}} + 2T$ верно равенство

Для решений системы (4) на отрезке $t \in [{{t}_{1}} + 2T$, t₁ + 3T] верен следующий результат.

Лемма 1. При выполнении предположения 1 на отрезке $t \in [{{t}_{1}} + 2T,{{t}_{1}} + 3T]$ асимптотика решения системы (4) при достаточно больших $\lambda > 0$ будет иметь вид

Формула (12) верна потому, что при условии выполнения предположения 1 главную часть асимптотики решения модели (4) задает решение линейной задачи (6) c начальными условиями (11), а нелинейность дает вклад, имеющий порядок $o(\lambda )$ при $\lambda \to + \infty $.

Обозначим собственные значения матрицы $\mathbb{A}$ как ${{\sigma }_{k}}$, а соответствующие им собственные вектора как ${{a}_{k}}$. Приведем явный вид ${{\sigma }_{k}}$ и ${{a}_{k}}$:

где $[ \cdot ]$ обозначает взятие целой части числа.

Заметим, что для всех N выполняются равенства ${{\sigma }_{N}} = - 1$, ${{a}_{N}} = (1,1, \ldots ,1)$. При четных N = 2m верно ${{\sigma }_{k}} = {{\sigma }_{{N - k}}}$ при $k = 1, \ldots ,m - 1$, значение ${{\sigma }_{m}}$ равняется $ - 1 - 4\gamma $, а соответствующий ему собственный вектор имеет вид ${{a}_{m}} = ( - 1,1, \ldots , - 1,1)$. При нечетных $N = 2m - 1$ равенство ${{\sigma }_{k}} = {{\sigma }_{{N - k}}}$ также выполняется при $k = 1, \ldots ,m - 1$.

Выпишем решение системы (4) на отрезке $t \in [{{t}_{1}} + 2T,{{t}_{1}} + 3T]$ в другом виде:

Здесь $z_{k}^{1} = (\mathbb{G}({{t}_{1}} + T,\,\,{{t}_{1}} + 2T),{{b}_{k}})$, где $\mathbb{A}{\text{*}}{{b}_{k}} = {{\sigma }_{k}}{{b}_{k}}$, $({{a}_{k}},{{b}_{k}}) = 1$, $({{a}_{k}},{{b}_{{n - k}}}) = 0$ (если $k \ne n - k$).

Пусть выполняются условия невырожденности:

где $a_{{m - 1}}^{i}$ и $a_{m}^{i}$ – $i$-е координаты векторов ${{a}_{{m - 1}}}$ и ${{a}_{m}}$. Тогда из формулы (15) следует, что при $t > {{t}_{1}} + 3T$ решение системы (4) будет иметь вид (12) до тех пор, пока одна (или несколько) функций ${{u}_{i}}$ не попадет впервые внутрь полосы ${\text{|}}{{u}_{i}}{\text{|}} \leqslant p$ в точке $t = {{t}_{2}} > {{t}_{1}} + 3T$ такой, что ${\text{|}}{{\dot {u}}_{i}}{\text{|}} = O(1)$ при $\lambda \to + \infty $.

Для t₂ выполняются следующие соотношения:

Из формул (8), (9) и (18), (19), легко видеть, что в точке ${{t}_{2}}$ мы вернулись к исходной ситуации, поскольку решение снова принадлежит множеству $S$ (но с другими значениями параметров). Следовательно, существует оператор последования, переводящий множество начальных условий $S({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{N}})$ в множество $S({{\bar {x}}_{1}}, \ldots ,{{\bar {x}}_{N}})$. Если, начиная с точки $t = {{t}_{2}}$, проделать все построения, описанные выше, и при этом выполнятся условия предположения 1 с заменой ${{t}_{1}}$ на ${{t}_{2}}$ и при новых значениях параметров ${{x}_{i}}$, то мы получим асимптотику решения системы (4) на отрезке $[{{t}_{2}},{{t}_{3}}]$, потом на отрезке $[{{t}_{3}},{{t}_{4}}]$ и так далее. Таким образом с помощью оператора последования можно получить отображение на параметры $x_{1}^{n}, \ldots ,x_{N}^{n}$, где $n = 2,3$, ... . По динамике этого отображения мы можем судить о динамике исходной задачи, поскольку параметры $x_{i}^{n}$ $(i = 1, \ldots ,N)$ определяют решение системы (4).

2. ПОСТРОЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ДИНАМИКА ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ

В этом разделе мы построим отображения на параметры $(x_{1}^{n}, \ldots ,x_{N}^{n})$ для положительных и отрицательных значений параметра связи $\gamma $ и на основе их динамики сделаем вывод о динамике исходной системы.

Рассмотрим сначала случай $\gamma > 0$. Будем действовать, как описано в разделе 1. Пусть на отрезках $[{{t}_{i}},{{t}_{{i + 1}}}]$ при $i = 1,2, \ldots ,n$ выполнялось предположение 1 для значений $x_{1}^{i},x_{2}^{i}, \ldots ,x_{N}^{i}$ и ${{t}_{i}}$, а также неравенства

где значение $z_{N}^{i}$ получаем из $z_{N}^{1}$ заменой ${{t}_{1}}$ на ${{t}_{i}}$: $z_{N}^{i} = (\mathbb{G}({{t}_{i}} + T,{{t}_{i}} + 2T),{{b}_{N}})$.

При выполнении этих предположений при положительной связи между осцилляторами для значений ${{u}_{j}}({{t}_{{n + 1}}})$ выполняются соотношения

Следовательно, при $\gamma > 0$ для значений ${{t}_{n}}$ ($n = 1,2,3, \ldots $) имеем

при $\lambda \to + \infty $. Из асимптотики решения мы получаем главную часть значений параметров $x_{i}^{{n + 1}}$:

Заметим, что, согласно определению множества начальных условий, модуль хотя бы одной из величин $x_{i}^{{n + 1}}$ в точности равен единице, а остальные модули больше или равны единице. Кроме того, из формулы (22) следует, что при всех $n \geqslant 2$ верно $x_{i}^{n} = x_{1}^{n} + o(1)$ ($i = 2, \ldots ,N$).

Введем в рассмотрение функцию

где параметр k принимает одно из двух значений: $1$ или $ - 1$.

Приведем формулировку утверждения, гарантирующего выполнение предположения 1 и неравенства (20) при положительных значениях параметра $\gamma $ при всех $n \geqslant 2$.

Предположение 2. Верно неравенство $d(2T,k) \ne 0$, и количество точек $\tilde {t}{\text{*}} \in [T,2T)$, при которых $d(\tilde {t}{\text{*}},k) = 0$, конечно. Для каждой точки $\tilde {t}{\text{*}}$ такой, что $d(\tilde {t}{\text{*}},k) = 0$, существует $j \in \mathbb{N}$ такое, что

Из построений, приведенных выше, вытекает следующая

Теорема 1. Пусть $\gamma > 0$ и для начальных значений $x_{1}^{1}, \ldots ,x_{N}^{1}$ выполнено предположение 1 и неравенство (16). Пусть выполнено предположение 2. Тогда для каждого достаточно большого $\lambda $ существует такое положительное значение ${{t}_{2}}$, зависящее от ${{(x_{1}^{1}, \ldots ,x_{N}^{1})}^{T}}$, что при $t > {{t}_{2}}$ все компоненты решения уравнения (4) будут иметь одинаковую главную часть асимптотики.

Таким образом, с некоторого момента времени все решения синхронизируются.

Теперь перейдем к рассмотрению случая отрицательных значений параметра $\gamma $. Заметим, что в силу строения спектра матрицы $A$ в случае отрицательных значений параметра связи $\gamma $ выделяются два принципиально различных случая: количество осцилляторов $N$ четно ($N = 2m$) и количество осцилляторов $N$ нечетно ($N = 2m - 1$).

Пусть $N$ четно ($N = 2m$). Тогда при условии выполнения на отрезках $[{{t}_{i}},{{t}_{{i + 1}}}]$ при $i = 1,2, \ldots ,n$ предположения 1 для значений $x_{1}^{i},x_{2}^{i}, \ldots ,x_{N}^{i}$ и ${{t}_{i}}$, а также неравенства

где $z_{m}^{i}\, = \,(\mathbb{G}({{t}_{i}}\, + \,T,{{t}_{i}}\, + \,2T),{{b}_{m}})$, для значений ${{u}_{j}}({{t}_{{n + 1}}})$ выполняются соотношения

Отсюда следует, что при $n \geqslant 1$ выполняются равенства

при $\lambda \to + \infty $,

Из равенства (25) следует, что при $n \geqslant 1$ все $x_{j}^{{n + 1}}$ с четными индексами $j$ и $x_{j}^{{n + 1}}$ с нечетными индексами $j$ асимптотически близки между собой.

Из построений, приведенных выше, и симметричности исходной системы уравнений вытекает следующая.

Теорема 2. Пусть $ - \frac{1}{4} < \gamma < 0$ и $N$ четно ($N = 2m$). Пусть для $i = 1,2, \ldots ,q$ выполнено предположение 1 и неравенство (23). Тогда для каждого достаточно большого $\lambda $ на отрезке $t \in [{{t}_{2}},{{t}_{q}}]$ все компоненты решения уравнения (4) с четными номерами будут иметь одинаковую главную часть асимптотики, и все компоненты решения с нечетными номерами тоже будут иметь одинаковую (другую) главную часть асимптотики.

Из теоремы следует, что наблюдается двухкластерная синхронизация.

Теперь рассмотрим случай нечетного числа $N$ осцилляторов ($N = 2m - 1$).

В этом случае при условии выполнения на отрезках $[{{t}_{i}},{{t}_{{i + 1}}}]$ при $i = 1,2, \ldots ,n$ предположения 1 для значений $x_{1}^{i},x_{2}^{i}, \ldots ,x_{N}^{i}$ и ${{t}_{i}}$, а также неравенства

где $z_{l}^{i} = (\mathbb{G}({{t}_{i}} + T,{{t}_{i}} + 2T),{{b}_{l}})$, компоненты решения u_j ($j = 1, \ldots ,N$) в точке ${{t}_{{n + 1}}}$ принимают вид

Отсюда получаем

и где

На следующем отрезке $t \in [{{t}_{{n + 1}}},{{t}_{{n + 2}}}]$ мы по значениям $x_{j}^{{n + 1}}$ найдем новые значения $z_{{m - 1}}^{{n + 1}}$ и $z_{m}^{{n + 1}}$, которые, согласно формуле (28), будут выражаться как линейная комбинация величин $z_{{m - 1}}^{n}$ и $z_{m}^{n}$. Таким образом, мы получим значения величин $x_{j}^{{i + 1}}$ ($j = 1,2, \ldots ,N$) в виде линейной комбинации величин $z_{{m - 1}}^{i}$, $z_{m}^{i}$, $i = 1,2, \ldots $, и двумерное отображение, связывающее величины $z_{{m - 1}}^{{i + 1}}$, $z_{m}^{{i + 1}}$ с величинами $z_{{m - 1}}^{i}$, $z_{m}^{i}$.

Из построений, приведенных выше, получается следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть $ - \frac{1}{4} < \gamma < 0$ и $N$ нечетно ($N = 2m - 1$). Пусть для $i = 1,2, \ldots ,q$ выполнено предположение 1 и неравенство (26). Тогда при всех достаточно больших $\lambda $ параметры $x_{j}^{{n + 1}}$ ($j = 1,2, \ldots ,N$, $n = 1,2, \ldots ,q$) находятся асимптотически близко к двумерному подпространству, являющемся линейной оболочкой векторов ${{a}_{{m - 1}}}$ и ${{a}_{m}}$, а точные их значения определяются по формуле (28).

ВЫВОДЫ

В работе исследована динамика модели, описывающей $N$ связанных осцилляторов с запаздыванием. Построены асимптотика решений с начальными условиями из множества $S$ и конечномерные отображения, помогающие уточнить значения параметров, фигурирующих в формулах для асимптотики решения. Доказано, что при положительных значениях параметра $\gamma $, начиная с некоторого момента времени, все осцилляторы синхронизируются. В случае отрицательной связи между осцилляторами – $ - \frac{1}{4} < \gamma < 0$ и четного числа осцилляторов показано, что синхронизируются все осцилляторы с четными номерами и все осцилляторы с нечетными номерами; а в случае нечетного числа осцилляторов показано, что при каждом $n = 1,2, \ldots ,q$ все N параметров $x_{j}^{{n + 1}}$ ($j = 1,2, \ldots ,N$) находятся вблизи одного и того же двумерного подпространства исходного $N$-мерного пространства.