Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 57-61

1. МЕРЫ НА ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ И ОПЕРАТОРЫ ПЛОТНОСТИ

В аксиоматике квантовой механики, восходящей к Максу Борну, каждой квантовой системе сопоставляется комплексное сепарабельное гильбертово пространство (которое далее обозначается символом $H$); при этом каждое состояние квантовой системы, не являющееся вероятностной смесью отличных от него состояний (именно такие состояния называются чистыми), задается ненулевым вектором $h \in H$. Если каждый ненулевой вектор пространства $H$ задает состояние квантовой системы, то говорят, что в ней нет правил суперотбора. Считается, что множество физических величин, которые можно экспериментально измерить (они называются наблюдаемыми), находится во взаимно однозначном соответствии с множеством ${{\mathcal{L}}^{s}}(H)$ самосопряженных операторов в $H$, которые по этой причине в физической литературе также называются наблюдаемыми. Предполагается, что если $A \in {{\mathcal{L}}^{s}}(H)$ и $h \in H,\;h \ne 0$, то среднее значение $\overline A $ результатов измерений наблюдаемой $A$, проводимых над одинаковыми копиями квантовой системы, состояние каждой из которых задается вектором $h$, определяется равенством $\overline A = \frac{1}{{{\text{||}}h{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}}}(Ah,h)$. Отсюда следует, что если $\nu $ – вероятностная мера на $H{{\backslash }}\{ 0\} $, то среднее значение ${{\overline A }_{\nu }}$ результатов измерений наблюдаемой $A$, проводимых над элементами ансамбля, состоящего из квантовых систем с гильбертовым пространством $H$, распределение состояний которых описывается мерой $\nu $, определяется равенством ${{\overline A }_{\nu }} = \int\limits_{H\backslash \{ 0\} }^{} {\frac{{(Ah,h)}}{{{\text{||}}h{\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}}}\nu (dh)} $.

Отметим, что векторы ${{h}_{1}}$ и ${{h}_{2}}$ задают одно и то же состояние квантовой системы тогда и только тогда, когда они пропорциональны. Поэтому всегда можно предполагать, что ${\text{||}}h{\text{||}} = 1$; конечно, даже это предположение не позволяет определить вектор $h$ однозначно, так как его можно умножить на комплексное число, модуль которого равен 1.

Предложение 1. В гильбертовом пространстве $H$ существует такой (единственный) неотрицательный ядерный оператор ${{T}_{\nu }}$ с единичным следом, для которого равенство

Доказательство. Пусть $A \in {{\mathcal{L}}^{s}}(H)$; тогда значения функции $\{ h \mapsto |(h,\;Ah)|\;||h{{||}^{{ - 2}}}\} $ не превышают ||A|| одновременно для всех $h \ne 0$, так что интеграл из формулировки предложения корректно определен. При этом можно проверить, что все предположения теоремы Глиссона (см. [2, 8]) выполнены. Поэтому в пространстве $H$ существует неотрицательный ядерный оператор ${{T}_{\nu }}$ для которого равенство $\int_{H\backslash \{ 0\} } \frac{{(Ah,h)}}{{{\text{||}}\,h\,{\text{|}}{{{\text{|}}}^{{\text{2}}}}}}\nu (dh) = tr(A{{T}_{\nu }})$ справедливо. Предложение 1 доказано.

Предложение 2. Каков бы ни был неотрицательно определенный ядерный оператор $T$ в гильбертовом пространстве $H$, обладающий единичным следом, на пространстве $H$ существует вероятностная (борелевская) мера ${{\nu }_{T}}$ такая, что для каждой наблюдаемой $A \in {{\mathcal{L}}^{s}}(H)$ справедливо равенство

Доказательство. Пусть $\mu $ – (счетно аддитивная) гаусовская мера на $H$ с нулевым математическим ожиданием и корелляционным оператором $T$. Тогда мера ${{\nu }_{T}}$, определяемая равенством ${{\nu }_{T}} = (h,h)\mu $ – это та мера, существование которой утверждается в предложении 2. Предложение 2 доказано.

Замечание 1. В то время как оператор $T$ из предложения 1 определяется по мере ${{\nu }_{T}}$ единственным образом, мера ${{\nu }_{T}}$ не определяется однозначно по оператору $T$.

Предложения 1 и 2 делают естественным следующее определение квантового состояния.

Определение 1. Состоянием квантовой системы с (комплексным сепарабельным гильбертовым) пространством $H$ называется неотрицательный ядерный оператор в $H$, обладающий единичным следом.

Предложение 3. Для каждой ограниченной наблюдаемой $A$ (т.е. для каждого ограниченного самосопряженного оператора $A$ в гильбертовом пространстве $H$) среднее значение результатов измерений этой наблюдаемой, проводимых над находящимися в состоянии $T$ идентичными копиями квантовой системы, определяется равенством

Это предложение вытекает из двух предыдущих.

Замечание 2. В [3, с. 29] сказано, что определение оператора плотности (в этой книге он назван статистическим оператором) было впервые введено в квантовую механику фон Нейманом; однако фон Нейман ввел только определение 1; другое определение оператора плотности, введенное Л.Д. Ландау, (см. [4]) ему не было известно. Отметим еще раз, что в определении Ландау фактически впервые встречаются функции, играющие роль векторов Белла; они используются также при описании парадокса Эйнштейна–Подольского–Розина (см. [1] и имеющиеся там ссылки).

2. ОПЕРАТОРЫ ПЛОТНОСТИ КАК РЕДУКЦИИ СОСТОЯНИЙ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Как известно (см. [6]), если квантовая система состоит из двух подсистем с гильбертовыми пространствами ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$, то гильбертово пространство объединенной системы можно отождествить с гильбертовым тензорным произведением пространств ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$ (определение гильбертова тензорного произведения можно найти в книге [6]) или с его подпространствами (типичные примеры: замыкание подпространства симметричных тензоров и замыкание подпространства антисимметричных тензоров).

Определение 2 (см. [6, c. 607, аксиома 5]. ${{H}_{2}}$-редукцией оператора плотности $T$, действующего в пространстве ${{H}_{1}} \otimes {{H}_{2}}$, называется такой оператор плотности ${{T}_{1}}$ в пространстве ${{H}_{1}}$, что какова бы не была ограниченная наблюдаемая $A$ в пространстве ${{H}_{1}}$, справедливо равенство ${\text{t}}{{{\text{r}}}_{{{{H}_{1}}}}}(A{{T}_{1}}) = {\text{t}}{{{\text{r}}}_{H}}(A \otimes {{I}_{2}},T)$, где символ ${\text{t}}{{{\text{r}}}_{{{{H}_{1}}}}}$ обозначает след оператора в пространстве ${{H}_{1}}$, а символ tr_H обозначает след оператора в пространстве $H$. Далее вместо термина ${{H}_{2}}$-редукция используется термин редукция.

Замечание 3. Квантовые системы с гильбертовыми пространствами ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$, рассматриваемые как подсистемы их объединений, называются открытыми. Отметим еще, что термин редукция имеет два значения. Во-первых, то, о котором говорится в определении 2, и, во-вторых, редукцией квантового состояния называется его изменение после проведенного измерения.

Предложение 4. Пусть $T$ – оператор плотности в гильбертовом пространстве $H$, равном ${{H}_{1}} \otimes {{H}_{2}}$ (т.е. $T$ – это неотрицательный ядерный оператор в $H$ со следом, равным 1). Тогда в ${{H}_{1}}$ существует такой оператор плотности ${{T}_{1}}$, что для каждой ограниченной наблюдаемой $A$ в ${{H}_{1}}$ справедливо равенство ${\text{t}}{{{\text{r}}}_{{{{H}_{1}}}}}(A{{T}_{1}}) = {\text{t}}{{{\text{r}}}_{H}}(A \otimes {{I}_{2}},T)$.

Доказательство. Если $Ax = (x,a)b$, где $a,b \in {{H}_{1}}$, то равенство из предложения 4 проверяется непосредственно. Из выполнения этого равенства для таких $A$ вытекает его выполнение для произвольных ограниченных наблюдаемых. Предложение 4 доказано.

Предложение 5. Каждый неотрицательный ядерный оператор со следом 1 в пространстве ${{H}_{1}}$ является редукцией чистого состояния пространства ${{H}_{1}} \otimes {{H}_{2}}$, где ${{H}_{2}}$ – гильбертово пространство, размерность которого не меньше размерности гильбертова пространства ${{H}_{1}}$.

Доказательство. Пусть $T$ – неотрицательный ядерный оператор со следом $1$ в пространстве ${{H}_{1}}$, $\{ {{e}_{j}}\} $ – ортонормированный базис пространства ${{H}_{1}}$, состоящий из собственных векторов оператора $T$, ${{\lambda }_{j}}$ – соответствующие собственные значения. Пусть ${{H}_{2}}$ – гильбертово пространство, обладающее ортонормированным базисом $\{ {{h}_{k}}\} $, имеющим ту же мощность, что и базис $\{ {{e}_{j}}\} $, и пусть вектор $\varphi $ пространства ${{H}_{1}} \otimes {{H}_{2}}$ определяется равенством $\varphi = \sum\limits_k^{} {{{\lambda }_{k}}{{e}_{k}} \otimes {{h}_{k}}} $ (сумма справа называется вектором Белла). Тогда можно непосредственно проверить, что оператор $T$ является редукцией чистого состояния, заданного вектором $\varphi $. Предложение 5 доказано.

Из приведенных предложений вытекает следующая

Теорема 1. Следующие определения состояний квантовой системы равносильны:

(1) Состоянием квантовой системы называется ядерный неотрицательно определенный оператор со следом 1 в $H$ (называемый оператором плотности);

(2) Состоянием квантовой системы называется вероятностная мера на пространстве $H$;

(3) Состоянием квантовой системы с гильбертовым пространством ${{H}_{1}}$ называется редукция состояния $T$ квантовой системы c гильбертовым пространством ${{H}_{1}} \otimes {{H}_{2}}$, где размерность пространства ${{H}_{2}}$ не меньше размерности пространства ${{H}_{1}}$ (при этом состояние $T$ можно считать чистым).

3. АКСИОМЫ КОЛМОГОРОВА И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

В этом разделе обсуждается изменение состояний квантовых систем под влиянием экспериментов; при этом система, состояние которой меняется, может быть на любом расстоянии от системы, с которой производится эксперимент. Предполагается, что квантовая система с гильбертовым пространством $H$ состоит из двух подсистем с гильбертовыми пространствами ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$, так что $H = {{H}_{1}} \otimes {{H}_{2}}$; расстояние в физическом пространстве между первой и второй квантовыми системами может быть сколь угодно большим, и тем не менее эксперимент, произведенный над одной из систем, мгновенно меняет состояние другой. Отметим, что изменение состояния каждой системы зависит от результата эксперимента над другой системой, который заранее экспериментатору не известен, именно поэтому противоречия со специальной теорией относительности не возникает.

В аксиомах Колмогорова речь идет о вероятностных мерах на измеримых пространствах. Элементы этих пространств называются элементарными событиями; в квантовой теории вместо термина элементарные события используется термин скрытые параметры. Измеримые пространства, вероятностные меры на них и элементарные события (скрытые параметры) в аксиомах Колмогорова считаются не зависящими от результатов проводимых экспериментов.

Сейчас будет описана ситауция, о которой только что шла речь: когда после эксперимента над одной из систем одновременно меняется состояние обеих систем. Таким образом, можно сказать, что результат эксперимента над одной из систем мгновенно воздействует на вторую систему; однако этот результат, как только что было сказано, заранее не известен экспериментатору, так что экспериментатор заранее не знает, какая именно информация будет передана второй системе; это становится известно экспериментатору только после проведения эксперимента.

Описанная ситуация возникает в следующем эксперименте, предложенном Д. Бомом.

Пусть ${{H}_{1}} = {{\mathbb{C}}^{2}},\;{{H}_{2}} = {{\mathbb{C}}^{2}}$, так что ${{H}_{1}} \otimes {{H}_{2}} = {{\mathbb{C}}^{4}}$. Пусть $\{ {{e}_{1}},\;{{e}_{2}}\} $ и $\{ {{d}_{1}},{{d}_{2}}\} $ – ортонормированные базисы в ${{H}_{1}}$ и в ${{H}_{2}}$, $h = \frac{1}{{\sqrt 2 }}({{e}_{1}} \otimes {{d}_{1}} + {{e}_{2}} \otimes {{d}_{2}})$ (h называется вектором Белла). Состояние квантовой системы, задаваемое вектором $h \in H$, порождает смешанные состояния подсистем с гильбертовыми пространствами ${{H}_{1}}$ и ${{H}_{2}}$, задаваемые операторами плотности ${{S}_{1}}$ и ${{S}_{2}}$, определяемыми равенствами

Пусть $A_{{\alpha \beta }}^{1}$ – оператор в ${{H}_{1}}$ проектирования на подпространство, порожденное вектором $\alpha {{e}_{1}} + \beta {{e}_{2}}$, где $\alpha ,\beta \in \mathbb{R},\;{{\alpha }^{2}} + {{\beta }^{2}} = 1$ и $A_{{\alpha \beta }}^{2}$ – оператор в ${{H}_{2}}$ проектирования на подпространство, порожденное вектором $\alpha {{d}_{1}} + \beta {{d}_{2}}$. Так как состояние квантовой системы с гильбертовым пространством $H$ задается вектором $h$, то измерение наблюдаемой $A_{{\alpha \beta }}^{1}$ в подсистеме с гильбертовым пространством ${{H}_{1}}$ – это то же самое, что измерение наблюдаемой $A_{{\alpha \beta }}^{1} \otimes {{I}_{2}}$, где ${{I}_{2}}$ – тождественный оператор в ${{H}_{2}}$; аналогично измерение наблюдаемой $A_{{\alpha \beta }}^{2}$ – то же самое, что измерение наблюдаемой ${{I}_{1}} \otimes A_{{\alpha \beta }}^{2}$, где ${{I}_{1}}$ – тождественный оператор в ${{H}_{1}}$.

Предположим, что при измерении наблюдаемой получилось число 1; тогда согласно постулату Людерса фон Неймана, состояние системы с гильбертовым пространством $H$ сразу после измерения задается вектором, являющимся проекцией ${\text{p}}{{{\text{r}}}_{E}}h$ вектора h на двумерное собственное подпространство $E$ оператора, относящееся к собственному значению 1. Оно представляет собой тензорное произведение одномерного подпространства, порожденного вектором $\alpha {{e}_{1}} + \beta {{e}_{2}}$, и пространства ${{H}_{2}}$. Это означает, что

Из этой формулы следует, что если результатом измерения наблюдаемой $A_{{\alpha \beta }}^{1}$ стало число 1 $\left( {\left. {\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}} \right)} \right.$вероятность этого равна $\left. {\frac{1}{2}} \right)$, то состояние системы с пространством $H$ сразу после измерения задается вектором $(\alpha {{e}_{1}} + \beta {{e}_{2}}) \otimes (\alpha {{d}_{1}} + \beta {{d}_{2}})$. Это означает, что после измерения наблюдаемой $A_{{\alpha \beta }}^{1}$ смешанное состояние первой системы становится чистым и описывается вектором $\alpha {{e}_{1}} + \beta {{e}_{2}}$, и одновременно смешанное состояние второй системы также становится чистым и описывается вектором, координаты которого в базисе $\{ {{d}_{1}},{{d}_{2}}\} $ совпадают с координатами в базисе $\{ {{e}_{1}},{{e}_{2}}\} $ вектора, задающего состояние первой системы.

Поэтому можно считать, что измерение наблюдаемой $A_{{\alpha \beta }}^{1}$, одновременно является измерением наблюдаемой $A_{{\alpha \beta }}^{2}$. При этом, как уже отмечалось, расстояние в физическом пространстве между первой и второй системами может быть произвольным, и несмотря на это результат эксперимента над одной из систем мгновенно определяет состояние, в которое переходит вторая система сразу после этого эксперимента. Сравнительно недавно французский физик А. Аспе (A. Aspect) осуществил эксперимент, подтвердивший справедливость только что сказанного.

Существует тесная связь (см. [6]) между так называемым неравенством Бэлла, получаемым в рамках аксиоматики Колмогорова, и экспериментами над квантовыми системами, состоящими из двух подсистем.