Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 79-83

Рассмотрим систему уравнений Максвелла, которая соответствует немагнитной среде и периодическим по времени электромагнитным колебаниям с частотой $\omega $:

В уравнениях (1) ${\mathbf{E}} = ({{E}_{1}},{{E}_{2}},{{E}_{3}})$, ${\mathbf{H}}\, = \,({{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}})$ – векторы электрической и магнитной напряженности поля, $\sigma (x) = {\text{diag}}({{\sigma }_{1}}(x),{{\sigma }_{2}}(x),{{\sigma }_{3}}(x))$ – неотрицательно определенная диагональная матрица, $\varepsilon > 0$, $\mu > 0$ – некоторые постоянные. Предположим, что вне области $\Omega = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}|{\text{|}}x{\text{|}} < R\} $, $R > 0$, матрица $\sigma (x) = 0$.

Обозначим через $c = 1{\text{/}}\sqrt {\varepsilon \mu } $ – скорость распространения электромагнитных волн. Пусть ν = = $({{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}})$, ${\text{|}}\nu {\text{|}} = 1$, и $j$ – единичный вектор, ортогональный ν, т.е. $j \cdot \nu = 0$.

Равенства

описывают плоскую электромагнитную волну распространяющуюся в направлении ν, вектор j определяет ее поляризацию. Параметр ${{t}_{0}}$ выберем так, чтобы функция $\psi (x,\nu )$ была равна нулю в точках плоскости $\Sigma (\nu ): = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}|x \cdot \nu = - R\} $, касающейся границы области Ω в точке ${{y}_{0}} = - R\nu $. Для этого положим ${{t}_{0}} = - R{\text{/}}c$.

Определим рассеянное на неоднородности поле формулами

Функции ${{{\mathbf{E}}}^{{sc}}}(x,\omega ,\nu ,{\mathbf{j}})$ и ${{{\mathbf{H}}}^{{sc}}}(x,\omega ,\nu ,{\mathbf{j}})$ удовлетворяют уравнениям

и условиям излучения на бесконечности.

Ниже мы будем рассматривать функции E⁰ и H⁰, отвечающие трем различным векторам j^k, $k = 1,2,3$, и соответствующим им ортогональным векторам ${{\nu }^{k}}$, зависящим от углового параметра $\varphi $, а именно,

Обозначим через $S = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}|{\text{|}}x{\text{|}} = R\} $ границу области Ω и через ${{S}^{ + }}(\nu ) = \{ x \in S|x \cdot \nu > 0\} $ – ее теневую часть по отношению к потоку света, имеющего направление ν.

Сформулируем постановку задач об определении анизотропной проводимости $\sigma (x)$, которые мы будем рассматривать ниже.

Задача 1. Найти $\sigma (x)$ по заданным функциям ${\text{|}}{{E}_{k}}(x,t,{{\nu }^{k}}(\varphi ),{{{\mathbf{j}}}^{k}}){\text{|}}$, $k = 1,2,3$, известным для всех $x \in {{S}^{ + }}({{\nu }^{k}}(\varphi ))$, $\varphi \in [0,\pi ]$, и $\omega \geqslant {{\omega }_{0}}$, где ${{\omega }_{0}} > 0$ – произвольное фиксированное число. Другими словами, требуется найти $\sigma (x)$ по заданным функциям

Задача 2. Найти $\sigma (x)$ по функциям

Задачи 1 и 2 относятся к бесфазовым обратным задачам. В этих задачах в качестве информации задается только модуль комплекснозначных функций. Впервые постановка бесфазовой задачи для уравнения Шрёдингера была сформулирована в книге Шадана и Сабатье [1] более 40 лет назад. Исключительную важность решения этой проблемы также отметил в своей книге Р. Ньютон [2]. Возможность найти фазу по заданному модулю поля в этой задаче была установлена в работах [3–5]. Первые конструктивные результаты по исследованию безфазовой обратной задачи для уравнения Шрёдингера были получены в работах Р.Г. Новикова [6–8] и М.В. Клибанова, В.Г. Романова (см. обзорную работу [9] и обширную литературу в ней). Для уравнений электродинамики, отвечающих периодическим по времени электромагнитным колебаниям, бесфазовые обратные задачи об определении коэффициента диэлектрической проницаемости по модулю векторов электрической или магнитной напряженности поля, измеренному при высоких частотах, изучались в работах [10, 11]. В них установлено, что безфазовая задача об определении коэффициента диэлектрической проницаемости приводится к решению обратной кинематической задачи. Некоторые численные методы решения бесфазовых обратных задач для уравнений электродинамики представлены в работах [12, 13].

Задача 1 соответствует измерению модуля полного электромагнитного поля. Задание информации (5) позволяет свести исходную задачу к хорошо известной проблеме рентгеновской томографии. Задача 2 соответствует измерению модуля рассеянного на неоднородности среды поля. Оказывается, что задание (6) позволяет извлечь ту же информацию, что и в задаче 1, и свести задачу 2 к той же самой задаче томографии. Настоящая статья основана на работе автора [14], в которой рассмотрена обратная задача об определении анизотропной проводимости в динамической системе уравнений Максвелла.

Рассмотрим вспомогательную задачу Коши

в которой ${{{\mathbf{\tilde {E}}}}^{0}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ и ${{{\mathbf{\tilde {H}}}}^{0}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ находятся по формулам

Заметим, что плоскость $\Sigma (\nu ) = \left\{ {x \in {{\mathbb{R}}^{3}}|x \cdot \nu = c{{t}_{0}}} \right\}$ соответствует фронту плоской волны ${{{\mathbf{\tilde {E}}}}^{0}}$, ${{{\mathbf{\tilde {H}}}}^{0}}$ в момент времени t = 0, когда этот фронт касается области Ω. Основой исследования обратной задачи является изучение структуры решения задачи (7), (8). Для этой задачи справедлива следующая

Теорема 1. Пусть матрица $\sigma (x) \in {{C}^{{14}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и равна нулю вне Ω. Тогда решение задачи (7), (8) представимо при $t \geqslant 0$ в виде

в котором ${{\theta }_{0}}(t)$ – функция Хевисайда: ${{\theta }_{0}}(t) = 1$ для $t \geqslant 0$ и ${{\theta }_{0}}(t) = 0$ для $t < 0$, функция $\alpha (x,\nu ,j)$ является в ${{\mathbb{R}}^{3}}$ решением задачи: а функция $\beta (x,\nu ,{\mathbf{j}})$ вычисляется через нее по формуле

Функции $\alpha (x,\nu ,{\mathbf{j}})$ и $\beta (x,\nu ,{\mathbf{j}})$ принадлежат пространству ${{C}^{{14}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$, а функции ${\mathbf{\hat {E}}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ и ${\mathbf{\hat {H}}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ являются непрерывными функциями для всех $\{ (x,t)|{\text{|}}\psi (x,t){\text{|}} \leqslant t,t \in [0,T]\} $, вместе с частными производными по x и по t, при любом $T > 0$.

Схема доказательства этой теоремы следующая. Представим функции ${\mathbf{\tilde {E}}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ и ${\mathbf{\tilde {H}}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ в виде

в котором ${{\theta }_{{ - 1}}}(t) = \delta (t)$, ${{\theta }_{k}}(t) = \frac{{{{t}^{k}}}}{{k!}}{{\theta }_{0}}(t)$, $k = 1,2$, ..., r, а целое положительное число r выберем ниже. Подставляя представления (12) в уравнение (7) и приравнивания в полученном равенстве нулю коэффициенты при $\delta {\kern 1pt} '(t - \psi ({v},\nu ))$, $\delta (t - \psi ({v},\nu ))$ и ${{\theta }_{k}}(t - \psi (x,\nu ))$, $k = 0,1, \ldots ,r - 1$, и используя начальные данные, получим для функций ${{\alpha }^{k}}(x,\nu ,{\mathbf{j}})$ и ${{\beta }^{k}}(x,\nu ,{\mathbf{j}})$ следующие соотношения: в которых ${{\delta }_{{ - 1,k}}}$ – символ Кронекера: ${{\delta }_{{ - 1,k}}} = 1$, если $k = - 1$, и ${{\delta }_{{ - 1,k}}} = 0$, если $k \ne - 1$. В уравнениях (13) и в дальнейших формулах надо формально положить ${{\alpha }^{k}} = 0$ и ${{\beta }^{k}} = 0$ для целых отрицательных $k < - 1$.

Для функций ${{{\mathbf{E}}}^{r}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ и ${{{\mathbf{H}}}^{r}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ возникает следующая задача Коши:

Для проведения вычислений, уравнения (13) удобно преобразовать, найдя из второго уравнения ${{\beta }^{k}}$ и подставив его в первое. Тогда возникает рекуррентная система соотношений для ${{\alpha }^{k}}$ следующего вида:

Так как $\frac{1}{{{{c}^{2}}}} = \mu \varepsilon $ и ${{\alpha }^{k}} + ({{\alpha }^{k}} \times \nu ) \times \nu = ({{\alpha }^{k}} \cdot \nu )\nu $, это уравнение преобразуется к следующему

Используя равенства

${\text{rot}}({{\alpha }^{k}} \times \nu ) = (\nu \cdot \nabla ){{\alpha }^{k}}$ – νdivα^k, ${\text{rot}}{{\alpha }^{k}} \times \nu = (\nu \cdot \nabla ){{\alpha }^{k}} - \nabla ({{\alpha }^{k}} \cdot \nu )$,

запишем это уравнение в виде

Из уравнения (15) вытекает рекуррентное соотношение для определения проекции вектора ${{\alpha }^{k}}$ на единичный вектор ν:

Вычитая из равенства (15) равенство (16), умноженное на $\mu \varepsilon \nu $, и заменяя в полученном равенстве $k - 1$ на k, находим рекуррентное соотношение

в котором ${{({{\alpha }^{k}})}^{ \bot }} = {{\alpha }^{k}} - \nu ({{\alpha }^{k}} \cdot \nu )$, ${{\nabla }^{ \bot }} = \nabla - \nu (\nu \cdot \nabla )$ и скалярное произведение $({{\alpha }^{k}} \cdot \nu )$ вычисляется по формуле (16). Уравнение (17) является обыкновенным векторным линейным дифференциальным уравнением вдоль любого луча $x = {{x}^{0}} + s\nu $, $s \geqslant 0$, выходящего из произвольной точки ${{x}^{0}} \in \sum (\nu )$. Поэтому его решение с данными Коши на $\Sigma (\nu ) = \{ x|\psi (x,\nu ) = 0\} $ существует и единственно при любом $x \in {{D}_{ + }}(\nu ): = \{ x|\psi (x,\nu ) \geqslant 0\} $. Система уравнений (16), (17) решается последовательно, начиная со значения $k = - 1$. Заметим, что у вектора ${{\alpha }^{r}}$ при этом однозначно находится только его проекция на $\nu $, т.е. ${{\alpha }^{r}} \cdot \nu $, а проекция ${{({{\alpha }^{k}})}^{ \bot }}$ на плоскость, ортогональную вектору ν, может быть задана произвольно. Выберем ее равной нулю. Тогда ${{\alpha }^{r}} = \nu ({{\alpha }^{r}} \cdot \nu )$. После отыскания всех векторов ${{\alpha }^{k}}$, векторы ${{\beta }^{k}}$ вычисляются по формуле (13). В частности, полагая ${{\alpha }^{{ - 1}}} = \alpha $, ${{\beta }^{{ - 1}}} = \beta $, получаем, что $\alpha \cdot \nu = \beta \cdot \nu = 0$ и для вектора $\alpha $ из (17) следует уравнение (10), а для вектора $\beta $ из (13) следует равенство (11).

Гладкость векторов ${{\alpha }^{k}}$ и ${{\beta }^{k}}$ определяется гладкостью матрицы $\sigma (x)$. Так как $\sigma \in {{C}^{{14}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$, то $({{\alpha }^{k}},{{\beta }^{k}}) \in {{C}^{{12 - 2k}}}({{D}_{ + }}(\nu ))$, $k = - 1,0,1 \ldots ,r$. Кроме того, ${{\alpha }^{k}} = 0$ и ${{\beta }^{k}} = 0$, $k \geqslant 0$, на тех прямых, которые ортогональны $\sum (\nu )$ и не пересекают область $\Omega $.

Рассмотрим теперь задачу (14). Правые части уравнений (14) являются финитными функциями в слое ${{D}_{T}}: = \{ (x,t)|x \in {{\mathbb{R}}^{3}},t \in [0,T]\} $. Их носитель локализован внутри характеристического клина $K: = \{ (x,t)|t \geqslant |\psi (x,\nu )|\} $. Поэтому ${{{\mathbf{E}}}^{r}} = {{{\mathbf{H}}}^{r}} = 0$ вне этого клина. Правые части уравнений (14) являются функциями класса ${{H}^{\ell }}({{D}_{T}})$, $\ell = \min (12 - 2r,r)$. Выберем $r = 4$. Тогда $\ell = 4$ и из энергетических неравенств следует, что решение задачи (14) также принадлежит ${{H}^{4}}({{D}_{T}})$. В силу теорем вложения, отсюда вытекает, что решение принадлежит классу ${{C}^{1}}({{D}_{T}})$. Полагая для $t \geqslant |\psi (x,\nu )|$

приходим к представлению (9) с заявленными в теореме свойствами функций, входящих в это представление.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для функции ${\mathbf{E}}(x,\omega ,\nu ,{\mathbf{j}})$ справедлива асимптотическая формула

Действительно, из финитности $\sigma (x)$ и результатов Б.Р. Вайнберга [15] следует, что функции ${\mathbf{\tilde {E}}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$ и ${\mathbf{\tilde {H}}}(x,t,\nu ,{\mathbf{j}})$, а также их частные производные по x и по $t$ экспоненциально убывают при $t \to \infty $. Тогда для функций

выполнены соотношения (1). Используя представление (9), находим, что

Для поставленных выше обратных задач имеет место следующая

Теорема 3. Пусть матрица $\sigma (x) \in {{C}^{{14}}}({{\mathbb{R}}^{3}})$ и равна нулю вне Ω. Тогда информация (5) или (6) однозначно определяет все элементы матрицы $\sigma (x)$ в области Ω. При этом определение компонент матрицы $\sigma (x)$ сводится к решению трех идентичных задач рентгеновской томографии.

Используя данные обратной задачи 1 и формулу (18), находим, что

Именно эти компоненты векторов $\alpha (x,{{\nu }^{k}}(\varphi ),{{{\mathbf{j}}}^{k}})$, $\alpha = ({{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}})$, вычисляются из равенств (10) в явном виде, а именно,

Из этих формул следует, что известны интегралы

для всех $x \in {{S}^{ + }}({{\nu }^{k}}(\varphi ))$ и $\varphi \in [0,\pi ]$.

Таким образом, правая часть равенства (19) известна при каждом $k = 1,2,3$ вдоль любой прямой, пересекающей Ω и имеющей направление ${{\nu }^{k}}(\varphi )$. Варьируя $\varphi $, получаем, что в каждом сечении Ω плоскостью ${{x}_{k}} = {\text{const}}$ известны интегралы по всевозможным прямым, лежащим в этой плоскости. В результате мы приходим к задаче рентгеновской томографии для определения ${{\sigma }_{k}}(x)$, $k = 1,2,3$. Хорошо известно, что эта задача решается однозначно. Отсюда следуют теорема 3 о единственности решения обратной задачи 1 и алгоритм ее решения.

Из формул (2), (3), (18) следует, что для рассеянного на Ω поля верно асимптотическое равенство

С учетом того, что значения ${{\alpha }_{k}}(x,{{\nu }^{k}}(\varphi ),{{{\mathbf{j}}}^{k}}) \in (0,1]$, данные обратной задачи 2 приводят к формуле

Эта формула сводит задачу 2 к рассмотренной выше.