Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 89-94

ТЕНЗОРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ, ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ И ДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ДВУМЕРНОГО МНОГООБРАЗИЯ

М. В. Шамолин^1, *

¹ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

Поступила в редакцию 14.10.2021
После доработки 14.10.2021
Принята к публикации 22.11.2021

DOI: 10.31857/S2686954321060163

Аннотация

В работе предъявлены тензорные инварианты (дифференциальные формы) для однородных динамических систем на касательных расслоениях к гладким двумерным многообразиям. Показана связь наличия данных инвариантов и полным набором первых интегралов, необходимых для интегрирования геодезических, потенциальных и диссипативных систем. При этом вводимые силовые поля делают рассматриваемые системы диссипативными с диссипацией разного знака и обобщают ранее рассмотренные.

Ключевые слова: динамическая система, интегрируемость, диссипация, трансцендентный первый интеграл, инвариантная дифференциальная форма

Как известно [1–3], наличие достаточного количества не только первых интегралов (скалярных инвариантов), но и других тензорных инвариантов позволяет полностью проинтегрировать систему дифференциальных уравнений. Так, например, наличие инвариантной формы фазового объема позволяет понизить порядок рассматриваемой системы. Для консервативных систем этот факт естественен. А вот для систем, обладающих притягивающими или отталкивающими предельными множествами, не только некоторые первые интегралы, но и коэффициенты имеющихся инвариантных дифференциальных форм должны, вообще говоря, состоять из трансцендентных (в смысле комплексного анализа) функций [4–6].

Так, например, задача о движении пространственного маятника на сферическом шарнире в потоке набегающей среды приводит к системе на касательном расслоении к двумерной сфере, при этом метрика специального вида на ней индуцирована дополнительной группой симметрий [7]. Динамические системы, описывающие движение такого маятника, обладают знакопеременной диссипацией, и полный список первых интегралов состоит из трансцендентных функций, выражающихся через конечную комбинацию элементарных функций. Известны также задачи о движении точки по двумерным поверхностям вращения, плоскости Лобачевского и т.д. Полученные результаты особенно важны в смысле присутствия в системе именно неконсервативного поля сил [5].

1. ПРИМЕР СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

Рассмотрим динамическую систему на плоскости с одной степенью свободы α следующего вида:

(1)

${{\alpha }^{ \bullet }} = - \omega + b\delta (\alpha ),\quad {{\omega }^{ \bullet }} = F(\alpha ),$

которая эквивалентна следующему уравнению:

${{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} - b\tilde {\delta }(\alpha ){{\alpha }^{ \bullet }} + F(\alpha ) = 0,\quad \tilde {\delta }(\alpha ) = d\delta (\alpha ){\text{/}}d\alpha .$

Пара гладких функций $(F(\alpha ),\delta (\alpha ))$ определяет силовое поле в системе: функция $F(\alpha )$ описывает консервативную составляющую поля, а функция $\delta (\alpha )$ – возможные рассеяние или подкачку энергии в системе. При b = 0 консервативная система (1) обладает гладким интегралом энергии, при этом ее фазовый поток сохраняет площадь на плоскости R²{α, ω}, т.е. сохраняется дифференциальная 2-форма $d\alpha \wedge d\omega $ площади с единичной плотностью. При интегрировании системы можно использовать или первый интеграл энергии, или факт сохранения фазовой площади.

Иначе обстоит дело в случае $b \ne 0$. Поскольку у системы (1) появляются, вообще говоря, притягивающие или отталкивающие (асимптотические) предельные множества, первый интеграл системы – трансцендентная (в смысле комплексного анализа) функция. Приведем ее для следующего важного случая:

$F(\alpha ) = \lambda \delta (\alpha )\tilde {\delta }(\alpha ),\quad \lambda \in {\mathbf{R}}.$

Действительно, первый интеграл имеет вид

${{\Phi }_{1}}(\alpha ,\omega ) = \delta (\alpha ){{e}^{{\Psi (t)}}} = {{C}_{1}} = {\text{const,}}$

$\Psi (t) = \int {\frac{{(t - b)dt}}{{{{t}^{2}} - bt + \lambda }}} ,\quad t = \frac{\omega }{{\delta (\alpha )}},$

при этом асимптотические предельные множества находятся из системы равенств $\delta (\alpha ) = 0$, $\omega = 0$ (см. также [8]).

Поскольку появляются асимптотические предельные множества, не существует никакой даже абсолютно непрерывной функции, являющейся плотностью меры фазовой плоскости. Но можно (наряду с первым интегралом) предъявить инвариантную дифференциальную 2-форму с коэффициентами, являющимися трансцендентными функциями.

Действительно, если ${{\mu }_{1}}$ – один (для простоты действительный) из корней уравнения ${{\mu }^{2}} - b\mu + \lambda $ = = 0, то искомая 2-форма имеет вид

${{{\rm T}}_{1}}(\alpha ,\omega ) = \exp \left\{ { - \frac{1}{{{{\mu }_{1}}}}\Psi (t)} \right\}d\alpha \wedge d\omega ,$

$\Psi (t) = \int {\frac{{(t - b)dt}}{{{{t}^{2}} - bt + \lambda }}} ,\quad t = \frac{\omega }{{\delta (\alpha )}}.$

2. ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЙ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ

Рассмотрим двумерное риманово многообразие M²{α, β} с аффинной связностью ${\text{Г}}_{{jk}}^{i}\left( {\alpha ,\beta } \right)$ и изучим структуру уравнений геодезических линий на касательном расслоении TM²$\{ {{\alpha }^{ \bullet }},{{\beta }^{ \bullet }};\alpha ,\beta \} $ (ср. с [5]). Для этого изучим далее достаточно общий случай задания кинематических соотношений в следующем виде:

(2)

${{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{2}}{{f}_{2}}(\alpha ),\quad \beta _{{}}^{ \bullet } = z_{1}^{{}}{{f}_{1}}(\alpha ),$

где ${{f}_{1}}(\alpha )$, ${{f}_{2}}(\alpha )$ – гладкие функции, не равные тождественно нулю. Такие координаты z₁, z₂ в касательном пространстве вводятся тогда, когда рассматриваются уравнения геодезических [5, 7], например, с тремя ненулевыми коэффициентами связности (в частности, на поверхностях вращения, плоскости Лобачевского и т.д.):

(3)

$\begin{gathered} {{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} + \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\alpha _{{}}^{{ \bullet 2}} + \Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{{}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{{}}^{{ \bullet \bullet }} + 2\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{{}}^{ \bullet } = 0, \\ \end{gathered} $

т.е. выполнены равенства

$\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) \equiv \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\beta }(\alpha $, $\beta ) \equiv \Gamma _{{\beta \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ) \equiv 0$.

В случае (2) соотношения на касательном расслоении TM² примут вид

(4)

$\begin{gathered} z_{1}^{ \bullet } = - {{f}_{2}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{1}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{2}}, \\ z_{2}^{ \bullet } = - {{f}_{2}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]z_{2}^{2} - \\ \, - \frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{2}}(\alpha )}}\Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2}, \\ \end{gathered} $

и уравнения (3) геодезических почти всюду эквивалентны составной системе (2), (4) на многообразии TM2$\{ {{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta \} $.

Для полного интегрирования системы (2), (4) необходимо знать, вообще говоря, три независимых тензорных инварианта [1]: или три первых интеграла, или три независимых дифференциальных формы, или какую-то комбинацию из интегралов и форм. При этом, конечно, первые интегралы (в частности, для уравнений геодезических) можно искать и в более общем виде, чем рассмотрено далее.

В [7] рассмотрены примеры систем геодезических на двумерной сфере с различными метриками, а в [5] – примеры систем геодезических на двумерных поверхностях вращения и на плоскости Лобачевского.

Теорема 1. Если выполнены условия

(5)

$\begin{gathered} \Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )f_{1}^{2}(\alpha ) + \\ \, + f_{2}^{2}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{1}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right] \equiv 0, \\ \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }} \equiv 0, \\ \end{gathered} $

(6)

$\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ) = \Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ),$

то система (2), (4) обладает полным набором, состоящим из трех первых интегралов вида

(7)

$\Phi _{1}^{{}}({{z}_{2}},{{z}_{1}}) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = C_{1}^{2} = {\text{const,}}$

$\Phi _{2}^{{}}({{z}_{1}};\alpha ) = z_{1}^{{}}\Phi _{0}^{{}}(\alpha ) = C_{2}^{{}} = {\text{const,}}$

(8)

$\begin{gathered} \Phi _{0}^{{}}(\alpha ) = {{f}_{1}}(\alpha )\exp \left\{ {2\int\limits_{{{\alpha }_{0}}}^\alpha {\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(b)db} } \right\}, \\ \Phi _{3}^{{}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta ) = \\ \end{gathered} $

$\, = \beta \pm \int\limits_{{{\alpha }_{0}}}^\alpha {\frac{{{{C}_{2}}{{f}_{1}}(b)}}{{{{f}_{2}}(b)\sqrt {C_{1}^{2}\Phi _{0}^{2}(b) - C_{2}^{2}} }}db} = C_{3}^{{}} = {\text{cosnt}}{\text{.}}$

Более того, после некоторого ее приведения (замен независимой переменной $\frac{d}{{dt}} = {{f}_{2}}(\alpha )\frac{d}{{d\tau }}$ и фазовой $z_{1}^{*} = \ln {\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$) фазовый поток системы (2), (4) сохраняет объем на касательном расслоении TM², т.е. сохраняется соответствующая дифференциальная форма.

Система равенств (5) может трактоваться как возможность преобразования квадратичной формы метрики к каноническому виду с законом сохранения энергии (7) (или см. ниже (10)) в зависимости от рассматриваемой задачи. История и текущее состояние рассмотрения данной более общей проблемы достаточно обширны (отметим лишь работы [9, 10]). Ну а поиск как интеграла (7), так и (8) опирается на наличие в системе дополнительных групп симметрий [5, 11].

3. ИНВАРИАНТЫ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

Несколько модифицируем систему (2), (4), вводя в нее консервативное гладкое силовое поле в проекциях на оси $z_{1}^{ \bullet }$ и $z_{2}^{ \bullet }$, соответственно:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{F}_{1}}(\beta ){{f}_{1}}(\alpha )} \\ {{{F}_{2}}(\alpha ){{f}_{2}}(\alpha )} \end{array}} \right).$

Рассматриваемая система на касательном расслоении TM²$\{ {{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta \} $ примет вид

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{2}}{{f}_{2}}(\alpha ), \\ z_{2}^{ \bullet } = {{F}_{2}}(\alpha ){{f}_{2}}(\alpha ) - \\ \, - {{f}_{2}}(\alpha )\left[ {\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]z_{2}^{2} - \\ \end{gathered} $

(9)

$\, - \frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{2}}(\alpha )}}\Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2},$

$\begin{gathered} z_{1}^{ \bullet } = {{F}_{1}}(\beta ){{f}_{1}}(\alpha ) - \\ \, - {{f}_{2}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{1}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{2}}, \\ \beta _{{}}^{ \bullet } = z_{1}^{{}}{{f}_{1}}(\alpha ), \\ \end{gathered} $

и она почти всюду эквивалентна следующей системе:

$\begin{gathered} {{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} - {{F}_{2}}(\alpha )f_{2}^{2}(\alpha ) + \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\alpha _{{}}^{{ \bullet 2}} + \Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{{}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \beta _{{}}^{{ \bullet \bullet }} - {{F}_{1}}(\beta )f_{1}^{2}(\alpha ) + 2\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ){{\alpha }^{ \bullet }}\beta _{{}}^{ \bullet } = 0, \\ \end{gathered} $

на касательном расслоении TM²$\{ {{\alpha }^{ \bullet }},{{\beta }^{ \bullet }};\alpha ,\beta \} $.

Теорема 2. Если выполнены условия (5), (6), то система (9) обладает полным набором, состоящим из трех первых интегралов вида:

(10)

$\begin{gathered} \Phi _{1}^{{}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ) = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + V(\alpha ,\beta ) = C_{1}^{{}} = {\text{const,}} \\ V(\alpha ,\beta ) = {{V}_{2}}(\alpha ) + {{V}_{1}}(\beta ) = \\ \, = - 2\int\limits_{{{\alpha }_{0}}}^\alpha {{{F}_{2}}(a)da} - 2\int\limits_{{{\beta }_{0}}}^\beta {{{F}_{1}}(b)db} , \\ \end{gathered} $

а также при ${{F}_{1}}(\beta ) \equiv 0$ – первым интегралом (8) и

$\begin{gathered} \Phi _{3}^{{}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta ) = \\ \, = \beta \pm \int\limits_{{{\alpha }_{0}}}^\alpha {\frac{{{{C}_{2}}{{f}_{1}}(b)}}{{{{f}_{2}}(b)\sqrt {\Phi _{0}^{2}(b)[{{C}_{1}} - V(b,{{\beta }_{0}})] - C_{2}^{2}} }}db} = \\ \, = C_{3}^{{}} = {\text{const}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

Более того, после некоторого ее приведения (замен независимой переменной $\frac{d}{{dt}} = {{f}_{2}}(\alpha )\frac{d}{{d\tau }}$ и фазовой $z_{1}^{*} = \ln {\text{|}}{{z}_{1}}{\text{|}}$) фазовый поток системы (9) сохраняет объем на касательном расслоении TM², т.е. сохраняется соответствующая дифференциальная форма.

4. ИНВАРИАНТЫ СИСТЕМ С ДИССИПАЦИЕЙ

Далее несколько модифицируем систему (9), вводя в нее гладкое силовое поле с диссипацией. Ее наличие (вообще говоря, знакопеременной) характеризует не только коэффициент $b\delta (\alpha )$, $b > 0$, в первом уравнении системы (11) (в отличие от системы (9)), но и следующая зависимость (внешнего) силового поля в проекциях на оси $z_{1}^{ \bullet }$ и $z_{2}^{ \bullet }$, соответственно:

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{F}_{1}}(\beta ){{f}_{1}}(\alpha )} \\ {{{F}_{2}}(\alpha ){{f}_{2}}(\alpha )} \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{z}_{1}}F_{1}^{1}(\alpha )} \\ {{{z}_{2}}F_{2}^{1}(\alpha )} \end{array}} \right).$

Рассматриваемая система на касательном расслоении TM²$\{ {{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta \} $ примет вид

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{2}}{{f}_{2}}(\alpha ) + b\delta (\alpha ), \\ z_{2}^{ \bullet } = {{F}_{2}}(\alpha ){{f}_{2}}(\alpha ) - \\ \, - {{f}_{2}}(\alpha )\left[ {\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]z_{2}^{2} - \\ \end{gathered} $

(11)

$\begin{gathered} \, - \frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{2}}(\alpha )}}\Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )z_{1}^{2} + {{z}_{2}}F_{2}^{1}(\alpha ), \\ z_{1}^{ \bullet } = {{F}_{1}}(\beta ){{f}_{1}}(\alpha ) - \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, - {{f}_{2}}(\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{1}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]{{z}_{1}}{{z}_{2}} + {{z}_{1}}F_{1}^{1}(\alpha ), \\ \beta _{{}}^{ \bullet } = z_{1}^{{}}{{f}_{1}}(\alpha ), \\ \end{gathered} $

и она почти всюду эквивалентна следующей системе:

$\begin{gathered} {{\alpha }^{{ \bullet \bullet }}} - \left\{ {\mathop {b\tilde {\delta }(\alpha ) + F_{2}^{1}(\alpha )}\limits_{_{{_{{}}}}} } \right. + \\ \left. {\, + b\delta (\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]} \right\}{{\alpha }^{ \bullet }} - \\ \, - {{F}_{2}}(\alpha )f_{2}^{2}(\alpha ) + b\delta (\alpha )F_{2}^{1}(\alpha ) + \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} \, + {{b}^{2}}{{\delta }^{2}}(\alpha )\left[ {\Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{2}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right] + \\ \, + \Gamma _{{\alpha \alpha }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\alpha _{{}}^{{ \bullet 2}} + \Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha ,\beta )\beta _{{}}^{{ \bullet 2}} = 0, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{\beta }^{{ \bullet \bullet }}} - \left\{ {F_{1}^{1}(\alpha ) + b\delta (\alpha )\left[ {2\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta ) + \frac{{d\ln \left| {{{f}_{1}}(\alpha )} \right|}}{{d\alpha }}} \right]} \right\}{{\beta }^{ \bullet }} - \\ \, - {{F}_{1}}(\beta )f_{1}^{2}(\alpha ) + 2\Gamma _{{\alpha \beta }}^{\beta }(\alpha ,\beta )\alpha _{{}}^{ \bullet }\beta _{{}}^{ \bullet } = 0, \\ \tilde {\delta }(\alpha ) = d\delta (\alpha ){\text{/}}d\alpha , \\ \end{gathered} $

на касательном расслоении TM²$\{ {{\alpha }^{ \bullet }},{{\beta }^{ \bullet }};\alpha ,\beta \} $.

Будем интегрировать систему четвертого порядка (11) при выполнении свойств (5), (6), а также при ${{F}_{1}}(\beta ) \equiv 0$. При этом происходит отделение независимой подсистемы третьего порядка:

(12)

$\begin{gathered} {{\alpha }^{ \bullet }} = {{z}_{2}}{{f}_{2}}(\alpha ) + b\delta (\alpha ), \\ z_{2}^{ \bullet } = {{F}_{2}}(\alpha ){{f}_{2}}(\alpha ) - \frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{2}}(\alpha )}}\Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha )z_{1}^{2} + {{z}_{2}}F_{2}^{1}(\alpha ), \\ z_{1}^{ \bullet } = \frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{{{f}_{2}}(\alpha )}}\Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha ){{z}_{1}}{{z}_{2}} + {{z}_{1}}F_{1}^{1}(\alpha ), \\ \end{gathered} $

(13)

$\beta _{{}}^{ \bullet } = z_{1}^{{}}{{f}_{1}}(\alpha ),$

Будем также предполагать, что для некоторого $\kappa \in {\mathbf{R}}$ выполнено равенство

(14)

$\Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha )\frac{{f_{1}^{2}(\alpha )}}{{f_{2}^{2}(\alpha )}} = \kappa \frac{d}{{d\alpha }}\ln \left| {\Delta (\alpha )} \right|,\quad \Delta (\alpha ) = \frac{{\delta (\alpha )}}{{{{f}_{2}}(\alpha )}},$

а для некоторых $\lambda _{2}^{0},\;\lambda _{s}^{1} \in {\mathbf{R}}$ выполнены равенства

(15)

$\begin{gathered} {{F}_{2}}(\alpha ) = \lambda _{2}^{0}\frac{d}{{d\alpha }}\frac{{{{\Delta }^{2}}(\alpha )}}{2}, \\ F_{s}^{1}(\alpha ) = \lambda _{s}^{1}{{f}_{2}}(\alpha )\frac{d}{{d\alpha }}\Delta (\alpha ),\quad s = {\text{ }}1,2. \\ \end{gathered} $

Условие (14) назовем “геометрическим”, а условия из группы (15) – “энергетическими”.

Условие (14) названо геометрическим в том числе потому, что накладывает условие на ключевой коэффициент связности $\Gamma _{{\beta \beta }}^{\alpha }(\alpha )$, приводя соответствующие коэффициенты системы к однородному виду относительно функции $\Delta (\alpha )$. Условия же группы (15) названы энергетическими в том числе потому, что силы становятся, в некотором смысле, “потенциальными” по отношению к функциям ${{\Delta }^{2}}(\alpha ){\text{/}}2$ и Δ(α), приводя соответствующие коэффициенты системы к однородному виду также относительно функции Δ(α).

Теорема 3. Пусть выполняются условия (14) и (15). Тогда система (12), (13) обладает тремя независимыми, вообще говоря, трансцендентными [12, 13] первыми интегралами.

В общем случае первые интегралы выписываются громоздко (поскольку приходится интегрировать уравнение Абеля [12]). В частности, если $\kappa = - 1$, $\lambda _{1}^{1} = \lambda _{2}^{1}$, явный вид ключевого первого интеграла таков:

(16)

$\begin{gathered} {{\Theta }_{1}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ) = {{G}_{1}}\left( {\frac{{{{z}_{2}}}}{{\Delta (\alpha )}},\frac{{{{z}_{1}}}}{{\Delta (\alpha )}}} \right) = \\ \, = \frac{{f_{2}^{2}(\alpha )(z_{2}^{2}\, + \,z_{1}^{2})\, + \,(b\, - \,\lambda _{1}^{1}){{z}_{2}}\delta (\alpha )f_{2}^{{}}(\alpha )\, - \,\lambda _{2}^{0}{{\delta }^{2}}(\alpha )}}{{{{z}_{1}}\delta (\alpha )f_{2}^{{}}(\alpha )}} = \\ \, = {{C}_{1}} = {\text{const}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

При этом дополнительные первые интегралы имеют следующие структуры:

(17)

${{\Theta }_{2}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ) = {{G}_{2}}\left( {\Delta (\alpha ),\frac{{{{z}_{2}}}}{{\Delta (\alpha )}},\frac{{{{z}_{1}}}}{{\Delta (\alpha )}}} \right) = {{C}_{2}} = {\text{const,}}$

(18)

$\begin{gathered} {{\Theta }_{3}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta ) = {{G}_{3}}\left( {\Delta (\alpha ),\beta ,\frac{{{{z}_{2}}}}{{\Delta (\alpha )}},\frac{{{{z}_{1}}}}{{\Delta (\alpha )}}} \right) = \\ \, = {{C}_{3}} = {\text{const}}{\text{.}} \\ \end{gathered} $

Выражение функций (16)–(18) через конечную комбинацию элементарных функций зависит и от явного вида функции Δ(α). Так, например, при $\kappa = - 1$, $\lambda _{1}^{1}$ = $\lambda _{2}^{1}$ дополнительный первый интеграл системы (12) найдется из дифференциального соотношения

$\begin{gathered} d\ln \left| {\Delta (\alpha )} \right| = \frac{{(b + {{u}_{2}})d{{u}_{2}}}}{{{{U}_{2}}({{C}_{1}},{{u}_{2}})}}, \\ {{u}_{2}} = \frac{{{{z}_{2}}}}{{\Delta (\alpha )}},\quad {{u}_{1}} = \frac{{{{z}_{1}}}}{{\Delta (\alpha )}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{U}_{1}}({{u}_{2}}) = u_{2}^{2} + (b - \lambda _{1}^{1}){{u}_{2}} - \lambda _{2}^{0}, \\ {{U}_{2}}({{C}_{1}},{{u}_{2}}) = 2{{U}_{1}}({{u}_{2}}) - {{C}_{1}}\left\{ {{{C}_{1}} \pm \sqrt {C_{1}^{2} - 4{{U}_{1}}({{u}_{2}})} } \right\}{\text{/}}2, \\ {{C}_{1}} \ne 0. \\ \end{gathered} $

Правая часть данного соотношения выражается через конечную комбинацию элементарных функций, а левая – в зависимости от функции Δ(α).

Теорема 4. Если для систем вида (12), (13) существуют первые интегралы вида (16)–(18), то у нее также существуют функционально независимые между собой следующие три инвариантные дифференциальные формы с трансцендентными коэффициентами:

$\begin{gathered} {{\rho }_{1}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha )d{{z}_{2}} \wedge d{{z}_{1}} \wedge d\alpha , \\ {{\rho }_{1}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ) = \exp \left\{ {(b + \lambda _{1}^{1})\int {\frac{{d{{u}_{2}}}}{{{{U}_{2}}({{C}_{1}},{{u}_{2}})}}} } \right\} \times \\ \, \times \frac{{u_{2}^{2} + u_{1}^{2} + (b - \lambda _{1}^{1}){{u}_{2}} - \lambda _{2}^{0}}}{{{{u}_{1}}}}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{\rho }_{2}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha )d{{z}_{2}} \wedge d{{z}_{1}} \wedge d\alpha , \\ {{\rho }_{2}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ) = \Delta (\alpha )\exp \left\{ {(b + \lambda _{1}^{1})\int {\frac{{d{{u}_{2}}}}{{{{U}_{2}}({{C}_{1}},{{u}_{2}})}}} } \right\} \times \\ \, \times \exp \left\{ { - \int {\frac{{(b + {{u}_{2}})d{{u}_{2}}}}{{{{U}_{2}}({{C}_{1}},{{u}_{2}})}}} } \right\}, \\ \end{gathered} $

$\begin{gathered} {{\rho }_{3}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta )d{{z}_{2}} \wedge d{{z}_{1}} \wedge d\alpha \wedge d\beta , \\ {{\rho }_{3}}({{z}_{2}},{{z}_{1}};\alpha ,\beta ) = \exp \left\{ {(b + \lambda _{1}^{1})\int {\frac{{d{{u}_{2}}}}{{{{U}_{2}}({{C}_{1}},{{u}_{2}})}}} } \right\} \times \\ \, \times {{G}_{3}}\left( {\Delta (\alpha ),\beta ,{{u}_{2}},{{u}_{1}}} \right), \\ \end{gathered} $

но зависимые с первыми интегралами (16)–(18).

Для полной интегрируемости системы (12), (13) можно использовать или три первых интеграла, или три независимых дифференциальных формы, или какую-то комбинацию (только независимых элементов) из интегралов и форм.

О строении первых интегралов для рассматриваемых систем с диссипацией см. также [5, 14]. Заметим лишь, что для систем с диссипацией трансцендентность функций (в смысле наличия существенно особых точек) как первых интегралов наследуется из нахождения в системе притягивающих или отталкивающих предельных множеств [12, 13].

В заключение можно сослаться на многочисленные приложения, касающиеся интегрирования систем с диссипацией, на касательном расслоении к двумерной сфере, а также более общих систем на расслоении двумерных поверхностей вращения и плоскости Лобачевского [14–16].

Список литературы

Poincaré H. Calcul des probabilités, Gauthier-Villars. Paris, 1912. 340 p.
Колмогоров А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // ДАН СССР. 1953. Т. 93. № 5. С. 763–766.
Козлов В.В. Тензорные инварианты и интегрирование дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. 2019. Т. 74. Вып. 1. С. 117–148.
Шамолин М.В. Об интегрируемости в трансцендентных функциях // Успехи матем. наук. 1998. Т. 53. Вып. 3. С. 209–210.
Шамолин М.В. Новые случаи однородных интегрируемых систем с диссипацией на касательном расслоении двумерного многообразия // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления, 2020. Т. 494. № 1. С. 105–111.
Шамолин М.В. Новые случаи интегрируемых систем нечетного порядка с диссипацией // Доклады РАН. Математика, информатика, процессы управления, 2020. Т. 491. № 1. С. 95–101.
Шамолин М.В. Новый случай интегрируемости в пространственной динамике твердого тела, взаимодействующего со средой, при учете линейного демпфирования // Доклады РАН, 2012. Т. 442. № 4. С. 479–481.
Козлов В.В. Рациональные интегралы квазиоднородных динамических систем // Прикл. матем. и механ. 2015. Т. 79. № 3. С. 307–316.
Клейн Ф. Неевклидова геометрия. Пер. с нем. Изд. 4, испр., обновл. – М.: URSS, 2017. 352 с.
Вейль Г. Симметрия. М.: URSS, 2007.
Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38. Вып. 1. С. 3–67.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М.: Наука, 1987.
Трофимов В.В., Шамолин М.В. Геометрические и динамические инварианты интегрируемых гамильтоновых и диссипативных систем // Фундам. и прикл. матем. 2010. Т. 16. Вып. 4. С. 3–229.
Трофимов В.В. Симплектические структуры на группах автоморфизмов симметрических пространств // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1984. № 6. С. 31–33.
Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Методика построения гамильтоновых потоков на симметрических пространствах и интегрируемость некоторых гидродинамических систем // ДАН СССР. 1980. Т. 254. № 6. С. 1349–1353.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал