Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 84-88

Факторы поверхностей Севери–Брауэра

А. С. Трепалин 12*

1 Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук
Москва, Россия

2 Лаборатория алгебраической геометрии, Национальный исследовательский университет “Высшая школа экономики”
Москва, Россия

* E-mail: trepalin@mccme.ru

Поступила в редакцию 05.08.2021
После доработки 26.10.2021
Принята к публикации 27.10.2021

Полный текст (PDF)

Аннотация

Показано, что фактор нетривиальной поверхности Севери–Брауэра S над произвольным полем $\Bbbk $ характеристики 0 по конечной группе автоморфизмов $\Bbbk $-рационален тогда и только тогда, когда |G| делится на 3. Иначе фактор бирационально эквивалентен S.

Ключевые слова: поверхности Севери–Брауэра, проблемы рациональности, группа Брауэра, программа минимальных моделей

Пусть $\Bbbk $ – произвольное поле характеристики ноль, а $\overline \Bbbk $ – его алгебраическое замыкание. Многообразие X размерности d называется многообразием Севери–Брауэра, если $\overline X = X \otimes \overline \Bbbk $ изоморфно $\mathbb{P}_{{\overline \Bbbk }}^{d}$. Если d = 1, то X является коникой, а если d = 2, то X называется поверхностью Севери–Брауэра.

Многообразие Севери–Брауэра называется нетривиальным, если оно не изоморфно $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{d}$. Хорошо известно, что многообразие Севери–Брауэра тривиально тогда и только тогда, когда на нем имеется $\Bbbk $-точка. Кроме того, если X нетривиальное d-мерное многообразие Севери–Брауэра и d + 1 – простое число, то степень каждой точки на X делится на d + 1 (см. [1, Theorem 53]).

Полная классификация конечных подгрупп автоморфизмов нетривиальной поверхности Севери–Брауэра получена в работах К. Шрамова и В. Вологодского [2–5]. Пусть ${{{\mathbf{\mu }}}_{n}}$ – циклическая группа порядка $n$. Тогда верна следующая

Теорема 1 (ср. [Theorem 1.3(ii)]). Пусть $S$нетривиальная поверхность Севери–Брауэра над полем $\Bbbk $ характеристики ноль. Тогда любая конечная группа автоморфизмов изоморфна ${{{\mathbf{\mu }}}_{n}}$, ${{{\mathbf{\mu }}}_{{3n}}}$, ${{{\mathbf{\mu }}}_{n}} \rtimes {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$ или ${{{\mathbf{\mu }}}_{3}} \times ({{{\mathbf{\mu }}}_{n}} \rtimes {{{\mathbf{\mu }}}_{3}})$, где $n$натуральное число, делящееся только на простые числа, равные 1 по модулю $3$ (включая случай $n = 1$), а ${{{\mathbf{\mu }}}_{n}} \rtimes {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$ — полупрямое произведение, соответствующее внешнему автоморфизму ${{{\mathbf{\mu }}}_{n}}$ порядка $3$, нетривиально действующего на любом нетривиальном элементе ${{{\mathbf{\mu }}}_{n}}$.

Более того, для любой группы G, упомянутой выше, существует поле $\Bbbk $ характеристики ноль и нетривиальная поверхность Севери–Брауэра $S$ над этим полем такая, что $G \subset {\text{Aut(}}S)$.

Целью данной статьи является получение бирациональной классификации факторов нетривиальных поверхностей Севери–Браэра по конечным группам автоморфизмов. В частности, мы хотим дать ответ на вопрос, для каких поверхностей Севери–Брауэра S и групп $G \subset {\text{Aut}}(S)$ фактор S/G является $\Bbbk $-рациональным (т.е. бирационально эквивалентным $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$). Стоит отметить, что для алгебраически замкнутого поля $\overline \Bbbk $ характеристики ноль факторы $\overline \Bbbk $-рациональных поверхностей по конечной группе автоморфизмов всегда $\overline \Bbbk $-рациональны по критерию рациональности Кастельнуово (см. [6]). Кроме того, для произвольного поля $\Bbbk $ характеристики ноль факторы $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$ по конечным группам автоморфизмов также всегда $\Bbbk $-рациональны (см. [7, Theorem 1.3]). Некоторые другие результаты о рациональности факторов $\Bbbk $-рациональных поверхностей по конечным группам автоморфизмов можно найти в статье [8]. Основной результат этой статьи следующая

Теорема 2. Пусть $S$ – нетривиальная поверхность Севери–Брауэра над полем $\Bbbk $ характеристики ноль, а $G$ – конечная подгруппа в ${\text{Aut}}(S)$.

Тогда фактор S/G является $\Bbbk $-рациональным тогда и только тогда, когда |G| делится на $3$. Иначе фактор S/G бирационально эквивалентен $S$.

Эта теорема является обобщением следующего предложения.

Предложение 1. Пусть $C$– коника над полем $\Bbbk $ характеристики ноль, на которой нет $\Bbbk $-точек, а $G$ – конечная подгруппа в ${\text{Aut}}(C)$. Тогда фактор C/G изоморфен $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{1}$ тогда и только тогда, когда порядок $G$ четен.

Доказательство. Степень любой точки на C четна. Предположим, что порядок G нечетный. Тогда любая $G$-орбита на множестве геометрических точек $C$ состоит из нечетного количества точек. Значит, образ такой орбиты на C/G не определен над $\Bbbk $, а на факторе C/G нет $\Bbbk $-точек. Следовательно, этот фактор не изоморфен $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{1}$.

Теперь предположим, что порядок $G$ четный. В этом случае найдется элемент $g \in G$ порядка $2$. Антиканоническое отображение, заданное линейной системой ${\text{|}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{K}_{C}}{\text{|}}$, определяет вложение С$\mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$ такое, что действие g на $C$ продолжается до действия g на $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$. Можно выбрать координаты $(x:y:z)$ в $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$ такие, что действие g будет следующим: $(x:y:z) \mapsto (x:y: - z)$. Тогда отображение факторизации $C \to C{\text{/}}\langle g\rangle $ является ограничением проекции $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$$\mathbb{P}_{\Bbbk }^{1}$, заданной формулой $(x:y:z) \mapsto (x:y)$, на $C \subset \mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$.

Следовательно, некоторые $\langle g\rangle $-орбиты определены над $\Bbbk $, а значит, некоторые G-орбиты также определены над $\Bbbk $. Таким образом, на факторе C/G есть $\Bbbk $-точки, а значит, этот фактор изоморфен $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{1}$, поскольку $\mathbb{P}_{{\overline \Bbbk }}^{1}{\text{/}}G \cong \mathbb{P}_{{\overline \Bbbk }}^{1}$ для любой конечной группы $G \subset {\text{Aut}}(\mathbb{P}_{{\overline \Bbbk }}^{1})$.

Доказательство теоремы 2 устроено более сложно, поэтому мы разобьем его на несколько лемм.

Лемма 1. Пусть $S$нетривиальная поверхность Севери–Брауэра над полем $\Bbbk $ характеристики ноль, а $G$конечная подгруппа в ${\text{Aut}}(S)$, изоморфная μn. Тогда множество $G$-неподвижных точек на $S$ состоит из трех изолированных геометрических точек. Если $n > 3$, то эти точки определены над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени $3$.

Доказательство. Рассмотрим действие $G$ на $\overline S \cong \mathbb{P}_{{\overline \Bbbk }}^{2}$. Это действие диагонализуется в ${\text{PG}}{{{\text{L}}}_{3}}(\overline \Bbbk )$. Заметим, что множество неподвижных точек $G$ либо состоит из изолированной неподвижной точки и прямой, либо состоит из трех изолированных точек ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ и ${{p}_{3}}$. В первом случае изолированная неподвижная точка уникальна, а значит, определена над $\Bbbk $, но на S нет $\Bbbk $-точек. Следовательно, $G$ имеет три изолированные неподвижные точки на S.

Изолированные неподвижные точки группы $G$ транзитивно переставляются группой Галуа ${\text{Gal}}(\overline \Bbbk {\text{/}}\Bbbk )$. Поэтому эти точки определены либо над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени 3 с группой Галуа ${\text{Gal}}(K{\text{/}}\Bbbk )\, \cong \,{{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$, либо над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени 6 с группой Галуа ${\text{Gal}}(K{\text{/}}\Bbbk ) \cong {{\mathfrak{S}}_{3}}$, где ${{\mathfrak{S}}_{3}}$ – неабелева группа порядка 6. В частности, найдется элемент $\gamma \in {\text{Gal}}(\overline \Bbbk {\text{/}}\Bbbk )$ порядка 3 такой, что $\gamma {{p}_{1}} = {{p}_{2}}$, $\gamma {{p}_{2}} = {{p}_{3}}$, $\gamma {{p}_{3}} = {{p}_{1}}$.

Если $n > 3$, то найдется подгруппа ${{{\mathbf{\mu }}}_{p}} \subset G$, где p – простое число, равное 1 по модулю 3. Действие образующей μp на $\overline S \cong \mathbb{P}_{{\overline \Bbbk }}^{2}$ можно записать, как ${\text{diag}}({{\xi }_{p}};\xi _{p}^{a};1)$, где ${{\xi }_{p}}$ – корень из единицы p-ой степени. Образующая действует на касательных пространствах ${{T}_{{{{p}_{1}}}}}\overline S $, ${{T}_{{{{p}_{2}}}}}\overline S $ и ${{T}_{{{{p}_{3}}}}}\overline S $ как ${\text{diag}}({{\xi }_{p}};\xi _{p}^{a})$, ${\text{diag}}(\xi _{p}^{{a - 1}};\xi _{p}^{{ - 1}})$ и ${\text{diag}}(\xi _{p}^{{ - a}};\xi _{p}^{{1 - a}})$ соответственно.

Поскольку $\gamma {{p}_{1}} = {{p}_{2}}$, получаем $\gamma \left( {{{\xi }_{p}}} \right) = \xi _{p}^{{a - 1}}$, а значит,

$\xi _{p}^{{ - 1}} = \gamma (\xi _{p}^{a}) = \gamma {{\left( {{{\xi }_{p}}} \right)}^{a}} = \xi _{p}^{{a(a - 1)}}.$

Следовательно, ${{a}^{2}} - a + 1 = 0$ по модулю p. В частности, $a \ne 1$ и $a \ne - 1$ по модулю p.

Предположим, что группа Галуа ${\text{Gal}}(\overline \Bbbk {\text{/}}\Bbbk )$ содержит элемент δ такой, что $\delta {{p}_{1}} = {{p}_{1}}$, $\delta {{p}_{2}} = {{p}_{3}}$ и $\delta {{p}_{3}} = {{p}_{2}}$. Тогда $\delta \left( {{{\xi }_{p}}} \right) = \xi _{p}^{a}$ и $\delta (\xi _{p}^{a}) = {{\xi }_{p}}$. Значит, ${{a}^{2}} = 1$ по модулю p. Но $a \ne \pm 1$ по модулю p. Получаем противоречие. Следовательно, если $n > 3$, то три точки ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ и ${{p}_{3}}$ определены над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени 3.

Лемма 2. Пусть $S$нетривиальная поверхность Севери–Брауэра над полем $\Bbbk $ характеристики ноль, а $G$ конечная подгруппа в ${\text{Aut(}}S)$, изоморфная μn, где $n$натуральное число, делящееся только на простые числа, равные $1$ по модулю $3$. Тогда фактор $S{\text{/}}G$ бирационально эквивалентен $S$.

Доказательство. Степень любой точки на нетривиальной поверхности Севери–Брауэра делится на 3. Значит, на S/G нет $\Bbbk $-точек, поскольку   количество геометрических точек в $G$-орбитах не делится на $3$.

Для $n = 1$ утверждение леммы тривиально. Поэтому предположим, что $n > 1$.

По лемме 4 множество $G$-неподвижных точек на S состоит из трех изолированных геометрических точек, определенных над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени 3. Любая циклическая группа, действующая на $\overline S \cong \mathbb{P}_{{\overline \Bbbk }}^{2}$, является подгруппой тора, действующего на $\overline S $. Значит, фактор S/G – это $\Bbbk $-форма торической поверхности с тремя особыми точками, являющимися образами $G$-неподвижных точек на S. Группа Галуа ${{{\mathbf{\mu }}}_{3}} \cong {\text{Gal(}}K{\text{/}}\Bbbk )$ действует на веере соответствующей торической поверхности. Разрешим особенности S/G и воспользуемся μ3-эквивариантной программой минимальных моделей. В результате мы получим μ3-минимальную поверхность дель Пеццо или расслоение на коники $S'$ такую, что $\overline S \,'$ – торическая поверхность. Для любой торической поверхности дель Пеццо или расслоения на коники $X$ выполняется неравенство $K_{X}^{2} \geqslant 6$. Несложно заметить, что для таких поверхностей группа μ3 может эффективно действовать только на веере поверхности дель Пеццо степени 9 или 6. Кроме того, поверхность дель Пеццо степени 6 не может быть μ3-минимальной, поскольку на ней можно μ3-эквивариантно стянуть тройку непересекающихся (–1)-кривых. Следовательно, $S'$ – поверхность дель Пеццо степени 9 без $\Bbbk $-точек, т.е. нетривиальная поверхность Севери–Браэура.

Класс поверхности $S'$ в группе Брауэра ${\text{Br}}\left( \Bbbk \right)$ лежит в циклической подгруппе, порожденной классом поверхности $S$, поскольку между поверхностями Севери–Браэура $S$ и $S'$ есть рациональное отображение S$S'$ (см. [9, Упражнение 3.3.8(iii)]). Значит, $S'$ либо изоморфна $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$, что невозможно, поскольку на $S'$ нет $\Bbbk $-точек, либо изоморфна $S$, либо изоморфна Sop, где Sop – поверхность Севери–Брауэра, соответствующая центральной простой алгебре, противоположной центральной простой алгебре, соответствующей $S$. Поверхность Sop бирационально эквивалентна S (см. [10]). Следовательно, S/G бирационально эквивалентен S.

Замечание 1. Заметим, что доказательство леммы 5 несложно обобщить на случай, когда $N \cong {{{\mathbf{\mu }}}_{n}}$ – нормальная подгруппа в конечной группе $G$, изоморфной ${{{\mathbf{\mu }}}_{{3n}}}$, ${{{\mathbf{\mu }}}_{n}} \rtimes {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$ или ${{{\mathbf{\mu }}}_{3}} \times \left( {{{{\mathbf{\mu }}}_{n}} \rtimes {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}} \right)$. В этом случае фактор S/N будет G/N-бирационально эквивалентным поверхности СевериБрауэра $S'$, поскольку действие G/N на веере, соответствующем S/N, либо тривиально, либо совпадает с действием ${{{\mathbf{\mu }}}_{3}} \cong {\text{Gal}}\left( {K{\text{/}}\Bbbk } \right)$.

Теперь предположим, что группа μ3 действует на нетривиальной поверхности Севери–Брауэра S. Тогда по лемме 4 группа μ3 имеет три изолированные неподвижные геометрические точки, определенные над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени 3 с группой Галуа ${\text{Gal}}\left( {K{\text{/}}\Bbbk } \right) \cong {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$ или над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени 6 с группой Галуа ${\text{Gal}}\left( {K{\text{/}}\Bbbk } \right) \cong {{\mathfrak{S}}_{3}}$. Мы рассмотрим эти случаи отдельно и покажем, что в каждом из них фактор $S{\text{/}}{{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$ является $\Bbbk $-рациональным.

Лемма 3. Пусть $S$нетривиальная поверхность Севери–Брауэра, а $G$конечная подгруппа в ${\text{Aut}}(S)$, изоморфная μ3. Предположим, что изолированные неподвижные точки группы $G$ определены над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени $3$ с группой Галуа ${\text{Gal}}\left( {K{\text{/}}\Bbbk } \right) \cong {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$. Тогда S/G является $\Bbbk $-рациональным.

Доказательство. Пусть ${{p}_{1}}$, ${{p}_{2}}$ и ${{p}_{3}}$ – изолированные неподвижные геометрические точки группы $G$ на $S$. Раздуем $G$-эквивариантно эту тройку точек и получим поверхность дель Пеццо $\widetilde S$ степени $6$. Заметим, что каждая из шести (–1)-кривых $G$-инвариантна, поэтому шесть точек пересечения этих кривых неподвижны для $G$. Легко проверить, что на касательном пространстве к $\overline {\widetilde S} $ в каждой из этих точек группа $G$ действует как $\langle {\text{diag}}(\omega ;\omega )\rangle $, где $\omega $ – корень третьей степени из единицы.

Группа ${\text{Gal}}\left( {K{\text{/}}\Bbbk } \right) \cong {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$ не сохраняет ни одну $G$-неподвижную точку на $\widetilde S$. Поэтому можно раздуть любую тройку $G$-неподвижных точек, определенную над $\Bbbk $, и получить поверхность $\widetilde X$. Для получившейся поверхности $K_{{\widetilde X}}^{2} = 3$, исключительный дивизор раздутия $\widetilde X \to \widetilde S$ – это тройка поточечно $G$-неподвижных (–1)-кривых ${{E}_{1}}$, ${{E}_{2}}$ и ${{E}_{3}}$, а собственные прообразы шести (–1)-кривых на $\widetilde S$ являются (–2)-кривыми на $\widetilde X$. Можно проверить, что $\widetilde X$ – слабая поверхность дель Пеццо, а антиканоническое отображение

${{\varphi }_{{| - {{K}_{{\tilde {X}}}}|}}}:\widetilde X \to X$
стягивает шесть (–2)-кривых в три особенности типа ${{A}_{2}}$. Кроме того, $X$ – особая кубическая поверхность, а образы ${{E}_{1}}$, ${{E}_{2}}$ и ${{E}_{3}}$ – это прямые, проходящие через пары особых точек.

Линейные системы ${\text{|}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{K}_{{\widetilde S}}}{\text{|}}$, ${\text{|}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{K}_{{\widetilde X}}}{\text{|}}$ и ${\text{|}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{K}_{X}}{\text{|}}$ являются $G$-инвариантными, поскольку морфизмы $\widetilde S \to S$, $\widetilde X \to \widetilde S$ и $\widetilde X \to X$ являются $G$-эквивариантными. Значит, действие $G$ на $X$ индуцирует действие $G$ на $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{3}$. Кроме того, $G$ поточечно фиксирует плоскость в $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{3}$, поскольку она фиксирует три пересекающиеся прямые. Следовательно, можно выбрать координаты $(x:y:z:t)$ в $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{3}$ такие, что действие $G$ задается отображением $(x:y:z:t) \mapsto (x:y:z:\omega t)$. Тогда отображение факторизации $X \to X{\text{/}}G$ является ограничением проекции $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{3} \to \mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$, заданной формулой

$(x:y:z:t) \mapsto (x:y:z)$
(ср. с доказательством предложения 3). Значит, $X{\text{/}}G \cong \mathbb{P}_{\Bbbk }^{2}$ и S/G является $\Bbbk $-рациональным, поскольку S/G и X/G бирационально эквивалентны.

Для оставшегося случая ${\text{Gal}}(K{\text{/}}\Bbbk ) \cong {{\mathfrak{S}}_{3}}$ нам понадобится следующая

Лемма 4. Пусть $S'$ поверхность дель Пеццо степени 6 над произвольным полем $\Bbbk $ характеристики ноль. Если на $S'$ найдется точка степени 2 и точка степени 3, то $S'$ является $\Bbbk $-рациональной.

Доказательство. Пусть $L$ – расширение поля $\Bbbk $ степени 2 такое, что на $S'\, \otimes L$ есть $L$-точка. Тогда $S'\, \otimes L$ является $L$-рациональной, поэтому можно найти пару геометрических точек ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{2}}$ на $S'$, определенных над $L$ и не лежащих на (–1)-кривых.

Рассмотрим раздутие $X \to S'$ точек ${{p}_{1}}$ и ${{p}_{2}}$. Можно проверить, что $X$ – поверхность дель Пеццо (возможно, слабая) степени 4, на которой есть точка степени 3. Антиканоническое отображение, заданное ${\text{|}}{\kern 1pt} - {\kern 1pt} {{K}_{X}}{\text{|}}$, отображает X в $X{\kern 1pt} '\, \subset \mathbb{P}_{\Bbbk }^{4}$, где $X'$ – поверхность дель Пеццо (возможно, особая) степени 4. В доказательстве [11, Lemma 2.4] показано, что в этом случае на $X'$ есть гладкая $\Bbbk $-точка. Для удобства читателя мы приведем другое доказательство этого факта.

Пусть ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ и ${{q}_{3}}$ – три геометрические точки на $X'$ такие, что эта тройка определена над $\Bbbk $. Такая тройка существует, поскольку на $S'$ есть точка степени 3. Рассмотрим плоскость $\Pi $, определенную над $\Bbbk $ и проходящую через ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ и ${{q}_{3}}$. Получаем $\Pi \cdot X' = 4$ и кратность пересечения одинакова в каждой из точек ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ и ${{q}_{3}}$. Следовательно, если $\Pi \cap X'$ имеет размерность ноль, то найдется другая гладкая $\Bbbk $-точка q на $\Pi \cap X'$.

Если $\Pi \cap X'$ одномерно, то пересечение $C = X'\, \cap \Pi $ — коника, поскольку $X'$ – пересечение двух квадрик в $\mathbb{P}_{\Bbbk }^{4}$. Если $C$ гладкая, то на ней бесконечно много $\Bbbk $-точек, поскольку на ней есть точка степени 3. Если $C$ – объединение двух прямых, то точки ${{q}_{1}}$, ${{q}_{2}}$ и ${{q}_{3}}$ должны лежать на одной из них. Тогда эта прямая определена над $\Bbbk $. Если $C$ – двойная прямая, то эта прямая определена над $\Bbbk $. В любом случае на $C$ бесконечно много $\Bbbk $‑точек, поэтому на $X'$ есть гладкая $\Bbbk $-точка.

Образ любой $\Bbbk $-точки на $X'$ при отображении $X' \to S'$ – это $\Bbbk $-точка на $S'$. Значит, $S'$ является $\Bbbk $‑рациональной по [12, параграф 4].

Лемма 5. Пусть $S$нетривиальная поверхность Севери–Брауэра, а $G$конечная подгруппа в ${\text{Aut}}(S)$, изоморфная μ3. Предположим, что изолированные неподвижные точки группы $G$ определены над расширением полей $K{\text{/}}\Bbbk $ степени 6 с группой Галуа ${\text{Gal}}(K{\text{/}}\Bbbk ) \cong {{\mathfrak{S}}_{3}}$. Тогда S/G является $\Bbbk $-рациональным.

Доказательство. Группа $G$ имеет три изолированные неподвижные точки на $S$, определенные над K. Значит, фактор S/G является $\Bbbk $-формой особой торической поверхности такой, что три особые точки не определены над $\Bbbk $, но определены над K. Группа Галуа ${{\mathfrak{S}}_{3}}\, \cong \,{\text{Gal(}}K{\text{/}}\Bbbk )$ действует на веере этой торической поверхности. Разрешим особенности S/G и воспользуемся ${{\mathfrak{S}}_{3}}$‑эквивариантной программой минимальных моделей. В результате мы получим ${{\mathfrak{S}}_{3}}$-минимальную поверхность дель Пеццо или расслоение на коники $S'$ такую, что $\overline {S\,} '$ – торическая поверхность. Для любой торической поверхности дель Пеццо или расслоения на коники X выполняется неравенство $K_{X}^{2} \geqslant 6$. Несложно заметить, что для таких поверхностей группа ${{\mathfrak{S}}_{3}}$ может эффективно действовать только на веере поверхности дель Пеццо степени 9 или 6.

Покажем, что $S'$ является $\Bbbk $-рациональной. Заметим, что в группе ${{\mathfrak{S}}_{3}} \cong {\text{Gal}}\left( {K{\text{/}}\Bbbk } \right)$ есть нормальная подгруппа μ3, поэтому существует расширение $L = {{K}^{{{{{\mathbf{\mu }}}_{3}}}}}$ поля $\Bbbk $ степени 2 такое, что изолированные неподвижные точки группы $G$ не определены над $L$, но определены над расширением K/L степени 3. Значит, $S{\kern 1pt} '\, \otimes L \cong (S \otimes L){\text{/}}G$ является $L$-рациональной по лемме 3. Следовательно, на $S'$ есть точка степени 2. Если $S'$ – поверхность дель Пеццо степени 9, то $S'$ является $\Bbbk $‑рациональной, поскольку прямая, проходящая через точку степени 2 определена над $\Bbbk $.

Если $S'$ – поверхность дель Пеццо степени 6, то на ней есть точка степени 3, поскольку образ любой точки степени 3 на $S$ при отображении факторизации либо $\Bbbk $-точка, либо точка степени 3. Значит, $S'$ является $\Bbbk $-рациональной по лемме 4.

Теперь докажем теорему 2.

Доказательство теоремы 2. Конечная подгруппа $G$ в ${\text{Aut}}(S)$ изоморфна μn, ${{{\mathbf{\mu }}}_{{3n}}}$, ${{{\mathbf{\mu }}}_{n}} \rtimes {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$ или ${{{\mathbf{\mu }}}_{3}} \times \left( {{{{\mathbf{\mu }}}_{n}} \rtimes {{{\mathbf{\mu }}}_{3}}} \right)$ по теореме 1.

Если в $G$ есть подгруппа $N \cong {{{\mathbf{\mu }}}_{n}}$, где n – натуральное число, делящееся только на простые числа, равные 1 по модулю 3, то N нормальна в G и фактор S/N будет G/N-бирационально эквивалентным нетривиальной поверхности Севери–Браэра $S'$, на которой действует группа G/N, по лемме 2 и замечанию 1. В частности, если $G \cong {{{\mathbf{\mu }}}_{n}}$, то S/G бирационально эквивалентен $S$ по лемме 2.

Три других случая сводятся к случаю, когда на нетривиальной поверхности Севери–Брауэра действует группа μ3 или ${\mathbf{\mu }}_{3}^{2}$, поскольку S/N и $S'{\text{/}}(G{\text{/}}N)$ бирационально эквивалентны.

Фактор поверхности Севери–Брауэра по μ3 будет $\Bbbk $-рациональным по леммам 3 и 4, а фактор $S{\text{/}}{\mathbf{\mu }}_{3}^{2}$ бирационально эквивалентен фактору торической поверхности $S{\text{/}}{{{\mathbf{\mu }}}_{3}}$ по циклической группе μ3. Этот фактор $\Bbbk $-рационален по [7, Proposition 4.5].

Список литературы

  1. Kollár J. Severi–Brauer varieties; a geometric treatment, (2016). preprint, arXiv:1606.04368

  2. Shramov C., Vologodsky V. Boundedness for finite subgroups of linear algebraic groups, (2020). preprint, arXiv:2009.14485

  3. Шрамов К.А. Бирациональные автоморфизмы поверхностей Севери–Брауэра // Матем. сб. 2020. Т. 211. № 3. С. 169–184.

  4. Шрамов К.А. Неабелевы группы, действующие на поверхностях Севери–Брауэра // Матем. заметки. 2020. Т. 108. № 6. С. 952–953.

  5. Shramov C. Finite groups acting on Severi–Brauer surfaces // Eur. J. Math. 2021. V. 7 . № 2. P. 591–612.

  6. Castelnuovo G. Sulla razionalità delle involuzioni piane // Math. Ann. 1894. № 44. P. 125–155.

  7. Trepalin A.S. Rationality of the quotient of ${{\mathbb{P}}^{2}}$ by finite group of automorphisms over arbitrary field of characteristic zero // Cent. Eur. J. Math. 2014. V. 12. № 2. P. 229–239.

  8. Trepalin A. Quotients of del Pezzo surfaces // Int. J. Math. 2019. V. 30. № 11. 1950068, 40 pp.

  9. Горчинский С.О., Шрамов К.А. Неразветвленная группа Брауэра и ее приложения // МЦНМО, М., 2018. 200 с.

  10. Amitsur S.A. Generic splitting fields of central simple algebras // Ann. Math. 1955. V. 62. № 2. P. 8–43.

  11. Shramov C. Automorphisms of cubic surfaces without points // Int. J. Math. 2020. V. 21. № 11. 2050083. 15 p.

  12. Исковских В.А. Факторизация бирациональных отображений рациональных поверхностей с точки зрения теории Мори // УМН. 1996. Т. 51. № 4 (310). С. 3–72.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления