Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2021, T. 501, № 1, стр. 31-37

Уравнения движения смесей вязкого сжимаемого газа даны, в частности, в [1–3]. Регуляризованные, или квазигазодинамические (КГД), системы уравнений однокомпонентного газа представлены в [4–6]. Их математические свойства, близкие рассматриваемым ниже, выведены в [6–8]. КГД системы уравнений бинарных смесей газов, в том числе гомогенных (с общей скоростью и температурой компонент), рассмотрены в [5, 9, 10].

В этом сообщении изучается агрегированная КГД система уравнений гомогенной многокомпонентной газовой смеси в отсутствие химических реакций. Для нее приводится уравнение баланса энтропии с неотрицательным производством энтропии при наличии потоков диффузии между компонентами. Устанавливаются также существование, единственность и L²-диссипативность слабых решений начально-краевой задачи для системы, линеаризованной на постоянном решении, и параболичность по Петровскому (на компактных множествах значений искомых функций) и локальная по времени классическая однозначная разрешимость задачи Коши для самой КГД системы.

Указанная КГД система уравнений состоит из следующих уравнений баланса массы компонент, суммарного импульса и суммарной полной энергии:

В ней основные искомые функции ρ₁ > 0, ..., ${{\rho }_{K}}\, > \,0$ – плотности компонент смеси, u = $({{u}_{1}}, \ldots ,{{u}_{n}})$, $\theta \, > \,0$ – общие скорость и абсолютная температура смеси, зависящие от $x = ({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}) \in {{\mathbb{R}}^{n}}$ и t ≥ 0, где K ≥ 2 и $n = 1,2,3$. Операторы div и $\nabla = ({{\partial }_{1}}, \ldots ,{{\partial }_{n}})$ берутся по x, а ${{\partial }_{t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}$, ${{\partial }_{i}} = \frac{\partial }{{\partial {{x}_{i}}}}$. Символы $ \otimes $ и $ \cdot $ обозначают тензорное и скалярное произведения векторов, а div от тензора берется по его первому индексу.

Компоненты смеси – совершенные политропные газы с уравнениями состояния

где ${{p}_{\alpha }}$ и ${{\varepsilon }_{\alpha }}$ – давление и удельная внутренняя энергия компоненты α, с постоянными ${{\gamma }_{\alpha }} > 1$, ${{R}_{\alpha }} > 0$ и ${{c}_{{V\alpha }}} > 0$. Кроме того, ${{h}_{\alpha }} = {{\varepsilon }_{\alpha }} + \frac{{{{p}_{\alpha }}}}{{{{\rho }_{\alpha }}}} = {{c}_{{p\alpha }}}\theta $ – удельная энтальпия компоненты $\alpha $, а ${{c}_{{V\alpha }}}$ и ${{c}_{{p\alpha }}} = {{c}_{{V\alpha }}} + {{R}_{\alpha }}$ – ее удельные теплоемкости.

Суммарные плотность, давление, удельная внутренняя энергия и полная энергия смеси задаются формулами

с функциями $R: = \langle {{c}_{\alpha }}{{R}_{\alpha }}\rangle $, ${{c}_{V}}: = \langle {{c}_{\alpha }}{{c}_{{V\alpha }}}\rangle $ (а не постоянными как в однокомпонентном случае) и ${{c}_{\alpha }}: = \frac{{{{\rho }_{\alpha }}}}{\rho }$ – массовыми концентрациями компонент смеси.

Используются регуляризующие скорости компоненты $\alpha $ и суммарные скорости вида

где $\tau = \tau ({\mathbf{\rho }},{\mathbf{u}},\theta ) > 0$ – параметр регуляризации, а ${\mathbf{\rho }}: = ({{\rho }_{1}}, \ldots ,{{\rho }_{K}})$.

Тензор вязкости имеет вид $\Pi = {{\Pi }^{{NS}}} + {{\Pi }^{\tau }}$, а поток тепла – вид ${\mathbf{q}} = {{{\mathbf{q}}}^{F}} + {{{\mathbf{q}}}^{d}} + {{{\mathbf{q}}}^{\tau }}$. Здесь тензор вязкости Навье–Стокса и поток тепла Фурье задаются стандартными формулами

где $\mu > 0$, $\lambda \geqslant 0$ и $\kappa > 0$ – суммарные коэффициенты динамической и объемной вязкости и теплопроводности (они могут зависеть от $({\mathbf{\rho }},{\mathbf{u}},\theta )$), $\nabla {\mathbf{u}} = \{ {{\partial }_{i}}{{u}_{j}}\} _{{i,j = 1}}^{n}$, $\mathbb{I}$ – единичный тензор порядка n. Регуляризующие тензор вязкости и поток тепла задаются формулами

Плотность массовой силы ${\mathbf{f}}(x,t)$ и мощности тепловых источников ${{Q}_{\alpha }}(x,t) \geqslant 0$ заданы.

Указанная модель является регуляризованной системой уравнений Навье–Стокса гомогенной смеси вязких теплопроводных сжимаемых газов и переходит в нее при $\tau = 0$. Случай регуляризованных уравнений Эйлера, когда физические коэффициенты вязкости и теплопроводности равны 0, охватывается посредством использования искусственных коэффициентов $\mu $, $\lambda $, $\kappa $, пропорциональных $\tau $, см. [4–6]; ниже их конкретный вид несуществен. Для бинарной смеси (K = 2) при ${{d}_{\alpha }} = 0$ и ${{q}^{d}} = 0$ эти уравнения были выведены в [10] агрегированием по $\alpha $ КГД уравнений негомогенных смесей из [9].

Потоки диффузии и дополнительный поток тепла введем формулами

где ${{G}_{\alpha }} = {{\varepsilon }_{\alpha }} - {{s}_{\alpha }}\theta + \frac{{{{p}_{\alpha }}}}{{{{\rho }_{\alpha }}}} = ({{c}_{{p\alpha }}} - {{s}_{\alpha }})\theta $ – потенциал Гиббса и ${{s}_{\alpha }} = {{s}_{{\alpha 0}}} - {{R}_{\alpha }}\ln {{\rho }_{\alpha }} + {{c}_{{V\alpha }}}\ln \theta $ – удельная энтропия компоненты $\alpha $, с ${{s}_{{\alpha 0}}} = {\text{const}}$. Величины ${{d}_{0}} \geqslant 0$ и ${{b}_{\alpha }}$ здесь не конкретизируются; существенно, что они могут зависеть от искомых функций и предполагается, что $\langle {{b}_{\alpha }}\rangle = 0$. Здесь и ниже ${{\overline \varphi }_{\alpha }}: = {{\varphi }_{\alpha }} - {{K}^{{ - 1}}}\langle {{\varphi }_{\alpha }}\rangle $; ясно, что $\langle {{\overline \varphi }_{\alpha }}\rangle = 0$. Важное свойство $\langle {{{\mathbf{d}}}_{\alpha }}\rangle = 0$ непосредственно следует из (8) и $\langle {{b}_{\alpha }}\rangle $=0.

Замена ${{\tilde {b}}_{\alpha }}: = {{b}_{\alpha }} - K{{\overline s }_{\alpha }}$ позволяет переписать потоки (8) и (9) без явного использования ${{s}_{\alpha }}$:

поскольку $\langle {{{\mathbf{d}}}_{\alpha }}\rangle = 0$. Кроме того, так как ${{\rho }_{\alpha }} = \frac{{{{c}_{\alpha }}p}}{{R\theta }}$ и $R = \langle {{R}_{\alpha }}{{c}_{\alpha }}\rangle $, то верна также формула

При K = 2 формулы (8), (9) принимают вид, эквивалентный указанному в [1, гл. VI]

а формулы (11), (10) преобразуются к более стандартному для бинарных смесей виду

В частном случае ${{\tilde {b}}_{1}} = 0$ (т.е. в отсутствие термодиффузии) их вид упрощается.

Из уравнений (1)–(3) следует важное уравнение баланса суммарной массы

Ниже важны также эквивалентные (2), (3) (с учетом (1)) уравнения баланса скорости

и температуры где символ $:$ обозначает скалярное произведение тензоров.

Введем суммарную удельную энтропию $S: = \langle {{c}_{\alpha }}{{s}_{\alpha }}\rangle $.

Т е о р е м а 1. Пусть ${{d}_{0}} > 0$. Верно следующее регуляризованное уравнение баланса энтропии гомогенной многокомпонентной смеси при наличии потоков диффузии:

с производством энтропии ${{\mathcal{P}}^{{NS}}} + \langle \mathcal{P}_{\alpha }^{\tau }\rangle $, где причем $\mathcal{P}_{\alpha }^{\tau } \geqslant 0$ при условии $\tau ({{\gamma }_{\alpha }} - 1){{Q}_{\alpha }} \leqslant 4{{p}_{\alpha }}$, $\alpha = 1,...,K$.

Уравнение баланса энтропии (14) сохраняет силу при ${{{\mathbf{d}}}_{\alpha }} = 0$, $\alpha = 1,...,K$ (при K = 2 см. также [10]) и/или $\tau = 0$. В этих существенно более простых случаях следует отбросить слагаемые соответственно с ${{{\mathbf{d}}}_{\alpha }}$ и ${{{\mathbf{w}}}_{\alpha }}$, ${{{\mathbf{q}}}^{\tau }}$, $\mathcal{P}_{\alpha }^{\tau }$ в его левой и правой частях.

Ниже полагаем, что ${{{\mathbf{d}}}_{\alpha }} = 0$ и (за исключением теоремы 3) f = 0, ${{Q}_{\alpha }} = 0$, $\alpha = 1,...,K$. Введем вектор искомых функций ${\mathbf{z}} = ({\mathbf{\rho }},{\mathbf{u}},\theta )$ и выполним вспомогательную редукцию уравнений (1), (12) и (13) с точностью $O({\text{|}}\nabla {\mathbf{z}}{{{\text{|}}}^{2}})$:

где $\Delta = {\text{div}}\nabla $ — оператор Лапласа, $\chi : = \frac{1}{3}\mu + \lambda $. Эта система уравнений удобна ниже как для линеаризации исходной КГД системы, так и при анализе ее параболичности.

При f = 0, ${{Q}_{1}} = \ldots = {{Q}_{K}} = 0$ КГД система уравнений (1)–(3) имеет постоянные решения $({\mathbf{\rho }},{\mathbf{u}},\theta )(x,t) \equiv {{{\mathbf{z}}}_{0}}$ = $({{\rho }_{{10}}}, \ldots ,{{\rho }_{{K0}}},{{{\mathbf{u}}}_{0}},{{\theta }_{0}})$ с ρ₁₀ > 0, ..., ${{\rho }_{{K0}}} > 0$, ${{\theta }_{0}} > 0$. Положим ${\mathbf{z}} = {{{\mathbf{z}}}_{0}} + {{D}_{*}}{\mathbf{\tilde {z}}}$, где ${{D}_{*}}: = {\text{diag}}\{ {{\rho }_{{1*}}}, \ldots ,{{\rho }_{{K*}}},{{u}_{*}}, \ldots ,{{u}_{*}},{{\theta }_{*}}\} $ – диагональная матрица порядка $K + n + 1$ положительных обезразмеривающих параметров, выбираемых ниже, а ${\mathbf{\tilde {z}}}: = ({\mathbf{\tilde {\rho }}},{\mathbf{\tilde {u}}},\widetilde \theta )$ – вектор безразмерных возмущений, с ${\mathbf{\tilde {\rho }}}: = ({{\tilde {\rho }}_{1}}, \ldots ,{{\tilde {\rho }}_{K}})$ и ${\mathbf{\tilde {u}}}: = ({{\tilde {u}}_{1}}, \ldots ,{{\tilde {u}}_{n}})$.

Линеаризуем КГД систему на таком фоновом решении z₀. Введем фоновые нормированное решение $({{\hat {\rho }}_{{10}}}, \ldots ,{{\hat {\rho }}_{{K0}}},{{{\mathbf{\hat {u}}}}_{0}},{{\widehat \theta }_{0}}): = D_{*}^{{ - 1}}{{{\mathbf{z}}}_{0}}$ с ${{{\mathbf{\hat {u}}}}_{0}} = ({{\hat {u}}_{{10}}}, \ldots ,{{\hat {u}}_{{n0}}})$ и значения $\rho $, ${{c}_{\alpha }}$, R и ${{c}_{V}}$, а также фоновые средние значения ${{R}_{\alpha }}{{\gamma }_{\alpha }}$ и $R_{\alpha }^{2}$:

Подставим решение в форме ${\mathbf{z}} = {{{\mathbf{z}}}_{0}} + {{D}_{*}}{\mathbf{\tilde {z}}}$ в редуцированную систему (15)–(17) и после отбрасывания членов 2-го порядка малости относительно вектор-функции ${\mathbf{\tilde {z}}}$ и ее производных 1-го и 2-го порядка легко получим линеаризованную систему уравнений

Здесь ${{\tau }_{0}}$, ${{\mu }_{0}}$, ${{\chi }_{0}}$, ${{\kappa }_{0}}$ – значения $\tau $, $\mu $, $\chi $, $\kappa $ на фоновом решении. Возник оператор ${{({{{\mathbf{\hat {u}}}}_{0}} \cdot \nabla )}^{2}}$ = = $({{{\mathbf{\hat {u}}}}_{0}} \cdot \nabla )({{{\mathbf{\hat {u}}}}_{0}} \cdot \nabla ) = {{\hat {u}}_{{0i}}}{{\hat {u}}_{{0j}}}{{\partial }_{i}}{{\partial }_{j}}$, где по индексам i, j предполагается суммирование от 1 до $n$.

В последней системе уравнений возможна одновременная симметризация как конвективных слагаемых (с производными ${{\partial }_{i}}$), так и диссипативных слагаемых (с производными ${{\partial }_{i}}{{\partial }_{j}}$), реализуемая при выполнении условий

которые ниже предполагаем выполненными (в них остается один свободный параметр). Это позволяет существенно упростить вид коэффициентов системы: где для удобства записи введены постоянные

Пусть Ω – область в ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Введем скалярные произведения и нормы ${{( \cdot , \cdot )}_{\Omega }}\, = \,{{( \cdot , \cdot )}_{{{{L}^{2}}(\Omega )}}}$, ${\text{||}} \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{\Omega }}\, = \,{\text{||}} \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{2}}(\Omega )}}}$ и ${{( \cdot , \cdot )}_{{\mathbf{\Omega }}}} = ( \cdot , \cdot {{)}_{{{{{\mathbf{L}}}^{2}}(\Omega )}}}$, ${\text{||}} \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{\mathbf{\Omega }}}} = {\text{||}}\, \cdot \,{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{{\mathbf{L}}}^{2}}(\Omega )}}}$ в пространствах Лебега функций и вектор-функций соответственно. Пусть ${{{\mathbf{H}}}^{1}}(\Omega )$ – пространство Соболева вектор-функций, а ${\mathbf{H}}_{0}^{1}(\Omega )$ – замыкание в нем пространства гладких финитных в Ω вектор-функций.

Рассмотрим симметризованную линеаризованную систему уравнений (18)–(20) в цилиндре $Q: = \Omega \times (0,\infty )$ при краевых и начальных условиях ${\mathbf{\tilde {z}}}{{{\text{|}}}_{{\partial \Omega \times (0,\infty )}}} = 0$ и ${\mathbf{\tilde {z}}}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{\tilde {z}}}}^{{(0)}}}(x)$. Уравнениям (18)–(20) при ${{\partial }_{t}}{\mathbf{\tilde {z}}}( \cdot ,t),\nabla {\mathbf{\tilde {z}}}( \cdot ,t) \in {{{\mathbf{L}}}^{2}}(\Omega )$ отвечает интегральное тождество

В нем $t > 0$, ${\mathbf{z}} = ({\mathbf{\rho }},{\mathbf{u}},\theta )(x)$ — вектор-функция (ее не следует не путать с решением КГД системы (1)—(3)) и стоят билинейные формы

и (после выноса вперед слагаемых без множителя ${{\tau }_{0}}$) где тензоры $\nabla {\mathbf{\tilde {u}}},\nabla {\mathbf{u}}$ берутся как векторы длины n². Нетрудно видеть, что верны свойства

Соответствующая ${{\mathcal{A}}_{\Omega }}({\mathbf{\tilde {z}}},{\mathbf{z}})$ квадратичная форма для любой ${\mathbf{z}} \in {{{\mathbf{H}}}^{1}}(\Omega )$ такова:

Для обоснования ее положительной определенности важна следующая

Л е м м а 1. Справедлива поточечная формула

где ${{g}_{0}}\,: = \,\langle \widehat \rho _{{\alpha 0}}^{2}\rangle \, + \,a_{0}^{2}\, - \,{{\widehat \theta }_{0}}{{(a\gamma )}_{0}}\, = \,\frac{{{{\theta }_{0}}}}{{u_{*}^{2}}}\langle {{c}_{{\alpha 0}}}{{c}_{{V\alpha }}}{{({{\gamma }_{\alpha }}\, - \,{{\widetilde \gamma }_{0}})}^{2}}\rangle \, \geqslant \,0$, ${{\widetilde \gamma }_{0}}: = \frac{{{{R}_{0}}}}{{{{c}_{{V0}}}}} - 1$, ${{\widehat \theta }_{0}}{{a}_{\alpha }} = \frac{{\widehat \rho _{{\alpha 0}}^{2}}}{{{{c}_{{\alpha 0}}}}}$.

Форма ${{\mathcal{A}}_{\Omega }}({\mathbf{z}},{\mathbf{z}})$ приводима к сумме квадратов и положительно определена на ${\mathbf{H}}_{0}^{1}(\Omega )$.

Л е м м а 2. Пусть ${\mathbf{z}} \in {{{\mathbf{H}}}^{1}}(\Omega )$, причем ${\mathbf{u}} \in {\mathbf{H}}_{0}^{1}(\Omega )$. Справедливы формула и неравенство

где ${{\delta }_{1}}: = \frac{1}{2}{{(1 + \max \{ 2{{\delta }_{0}} - 1,0\} )}^{{ - 1}}}{{\widehat \theta }_{0}}{{\min }_{{\alpha = \overline {1,K} }}}{{a}_{\alpha }}$, δ₀ := ${{\tau }_{0}}\max \left\{ {\frac{{{\text{|}}{{{{\mathbf{\hat {u}}}}}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}}}}{{{{{\bar {\mu }}}_{0}}}},\frac{{{{{({{a}^{2}})}}_{0}}}}{{{{{\bar {\kappa }}}_{0}}}}} \right\}$.

Введем пространство V(Q_T) := $\{ {\mathbf{\tilde {z}}} \in {{L}^{2}}((0,T)$; ${\mathbf{H}}_{0}^{1}(\Omega ));{{\partial }_{t}}{\mathbf{\tilde {z}}}\, \in \,{{L}^{2}}($(0, T); H^–1(Ω))}, где ${{Q}_{T}}\, = \,\Omega \, \times \,(0,T)$, область $\Omega $ ограничена и ${{{\mathbf{H}}}^{{ - 1}}}(\Omega ) = ({\mathbf{H}}_{0}^{1}(\Omega )){\text{*}}$, и напомним, что ${\mathbf{V}}({{Q}_{T}}) \subset C([0,T];{{{\mathbf{L}}}^{2}}(\Omega ))$, см., например, [11]. Для начально-краевой задачи для системы уравнений (18)–(20) в Q с условиями ${\mathbf{\tilde {z}}}{{{\text{|}}}_{{\partial \Omega \times (0,\infty )}}}$ = = 0, ${\mathbf{\tilde {z}}}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{\tilde {z}}}}^{{(0)}}} \in {{{\mathbf{L}}}^{2}}(\Omega )$ введем слабое решение ${\mathbf{\tilde {z}}} \in {\mathbf{V}}({{Q}_{T}})$ для всех $T > 0$, удовлетворяющее интегральному тождеству

для всех $T > 0$. Формально это тождество получается из (21) при ${\mathbf{z}} = {\mathbf{z}}( \cdot ,t)$ интегрированием по $(0,T)$. Здесь в билинейных формах ${{\mathcal{B}}_{{{{Q}_{T}}}}}$ и ${{\mathcal{A}}_{{{{Q}_{T}}}}}$ скалярные произведения берутся по ${{Q}_{T}}$, а не Ω как выше.

Т е о р е м а 2. 1. Слабое решение ${\mathbf{\tilde {z}}} \in {\mathbf{V}}({{Q}_{T}})$ с любым $T > 0$ начально-краевой задачи для системы уравнений (18)–(20) существует и единственно и для него верно энергетическое равенство

2. Существует производная ${{\partial }_{t}}({\text{||}}{\mathbf{\tilde {z}}}{\text{||}}_{{\mathbf{\Omega }}}^{2}) \in {{L}^{1}}(0,\infty )$, верны свойство ${{{\mathbf{L}}}^{2}}(\Omega )$-диссипативности ${{\partial }_{t}}({\text{||}}{\mathbf{\tilde {z}}}( \cdot ,t){\text{||}}_{{\mathbf{\Omega }}}^{2}) \leqslant 0$ п.в. на $(0,\infty )$ (и поэтому $\mathop {{\text{max}}}\limits_{t \geqslant 0} {\text{||}}{\mathbf{\tilde {z}}}( \cdot ,t){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{\mathbf{\Omega }}}} = {\text{||}}{{{\mathbf{\tilde {z}}}}^{{(0)}}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{\mathbf{\Omega }}}}$) и оценка

Пункт 1 вытекает из свойств (22), леммы 2 и [11], а п. 2 следует из п. 1 и леммы 2.

Для анализа параболичности системы (1)–(3) в уравнениях редуцированной системы (15)–(17) отбросим конвективные слагаемые слева и остаточные члены $O({\text{|}}\nabla {\mathbf{z}}{{{\text{|}}}^{2}})$ справа. В полученной однородной системе уравнений, содержащей только производные ${{\partial }_{t}}$ и ${{\partial }_{i}}{{\partial }_{j}}$, следует “заморозить” зависящие от решения z коэффициенты перед ${{\partial }_{i}}{{\partial }_{j}}$ в некоторой (любой) точке ${{{\mathbf{z}}}_{0}} = ({{\rho }_{{10}}}, \ldots ,{{\rho }_{{K0}}},{{{\mathbf{u}}}_{0}},{{\theta }_{0}})$, уже бравшейся как фоновое решение. Применив к результату интегральное преобразование Фурье $\mathcal{F}\, = {{\mathcal{F}}_{{x \to \zeta }}}$ по x, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида

с параметром $\zeta \in {{\mathbb{R}}^{n}}\backslash \{ 0\} $ и вещественной матрицей $A({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )$ порядка $K + n + 1$ с вектором-столбцом $\xi = \frac{\zeta }{{{\text{|}}\zeta {\text{|}}}}$. Пусть $\lambda [A({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )]$ — собственные значения введенной матрицы.

Выполним замену ${\mathbf{z}} = {{D}_{*}}{\mathbf{\tilde {z}}}$ с введенной выше матрицей ${{D}_{*}} = {{D}_{*}}({{{\mathbf{z}}}_{0}})$. Тогда $\mathcal{F}{\mathbf{z}} = {{D}_{*}}\mathcal{F}{\mathbf{\tilde {z}}}$ и после умножения системы (23) слева на $D_{*}^{{ - 1}}$ получим эквивалентную систему

с матрицей $\hat {A}({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi ) = D_{*}^{{ - 1}}A({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi ){{D}_{*}}$, подобной матрице $A({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )$. Нетрудно видеть, что матрица $ - \hat {A}({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )$ непосредственно возникает и в результате приме-нения $\mathcal{F}$ к правым частям уравнений (18)–(20). Поэтому      $\hat {A}({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi ) = [\hat {A}({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi {{)]}^{T}}$ и $\lambda [\hat {A}({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )]$ = = $\lambda [A({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )] \in \mathbb{R}$.

Пусть $\Lambda = {\text{diag}}\{ {{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{K}}\} $, ${{I}_{k}}$ – единичная матрица порядка $k$, ${{{\mathbf{\hat {\rho }}}}_{0}}: = ({{\widehat \rho }_{{10}}}, \ldots ,{{\widehat \rho }_{{K0}}}{{)}^{T}}$, $s = s(\xi ): = {{{\mathbf{\hat {u}}}}_{0}} \cdot \xi $. Явный (3 × 3)-блочный вид матрицы $\hat {A}({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )$ таков:

Квадратичная форма с матрицей $\hat {A}({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )$ имеет вид

для любого блочного вектора ${\mathbf{b}}: = ({{{\mathbf{r}}}^{T}},{\mathbf{v}},q{{)}^{T}}$ с r^T = $({{r}_{1}}, \ldots ,{{r}_{K}}) \in {{\mathbb{R}}^{K}}$, ${\mathbf{v}} \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $q \in \mathbb{R}$.

Эта квадратичная форма положительно определена. Пусть ${{\delta }_{2}} = \frac{1}{2}\min \{ {{\delta }_{1}}{{\tau }_{0}},{{\bar {\mu }}_{0}},{{\bar {\kappa }}_{0}}\} > 0$.

Л е м м а 3. Для любого блочного вектора ${\mathbf{b}} \in {{\mathbb{R}}^{{K + n + 1}}}$ верны формула и неравенства

Можно показать, что лемма 2 для $\Omega = {{\mathbb{R}}^{n}}$ и лемма 3 эквивалентны.

Сформулируем теорему о локальной по времени однозначной разрешимости задачи Коши для КГД системы уравнений (1)–(3), рассматриваемой в слое ${{\Pi }_{T}}: = {{\mathbb{R}}^{n}} \times (0,T)$, при начальных условиях ${\mathbf{\rho }}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{\rho }}}^{{(0)}}}(x)$, ${\mathbf{u}}{{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{{\mathbf{u}}}^{{(0)}}}(x)$, $\theta {{{\text{|}}}_{{t = 0}}} = {{\theta }^{{(0)}}}(x)$ для $x \in {{\mathbb{R}}^{n}}$.

Пусть $\mathcal{D}: = ({{\underline \rho }_{1}},{{\overline \rho }_{1}})$ × ... × $({{\underline \rho }_{K}},{{\overline \rho }_{K}}) \times ( - {{\bar {u}}_{1}},{{\bar {u}}_{1}})$ × ... × $( - {{\bar {u}}_{n}},{{\bar {u}}_{n}}) \times (\underline \theta ,\overline \theta )$ лежит в ${{(0,\infty )}^{K}} \times {{\mathbb{R}}^{n}} \times (0,\infty )$. При $\tau ,\mu ,\lambda ,\kappa \in C(\bar {\mathcal{D}})$ по лемме 3 имеем $\mathop {\inf }\limits_{|\xi | = 1} \lambda [A({{{\mathbf{z}}}_{0}},\xi )] \geqslant \mathop {{\text{min}}}\limits_{{{{\mathbf{z}}}_{0}} \in \bar {\mathcal{D}}} {{\delta }_{2}} > 0$, и в итоге эквивалентная квазилинейная КГД система из уравнений (1), (12) и (13) удовлетворяет в $\mathcal{D}$ условию равномерной параболичности по Петровскому [12, 13].

Т е о р е м а  3. Пусть $\tau ,\mu ,\lambda ,\kappa \in {{C}^{2}}(\mathcal{D})$ и $0\, < \,\beta \, < \,1$ – параметр. Пусть начальные данные ρ⁽⁰⁾, u⁽⁰⁾, ${{\theta }^{{(0)}}} \in {{C}^{{(2,\beta )}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$, причем их значения $({{{\mathbf{\rho }}}^{{(0)}}},{{{\mathbf{u}}}^{{(0)}}},{{\theta }^{{(0)}}})(x)$ принадлежат какому-либо компакту в $\mathcal{D}$, а $f,{{Q}_{\alpha }} \in {{C}^{{(1,\beta ,0)}}}({{\bar {\Pi }}_{T}})$, $\alpha = 1,...,K$.

Тогда при достаточно малом $T > 0$ задача Коши для КГД системы уравнений (1)–(3) в слое ${{\Pi }_{T}}$ имеет единственное классическое решение ${\mathbf{\rho }},{\mathbf{u}},\theta \in {{C}^{{(2,\beta ,\beta /2)}}}({{\bar {\Pi }}_{T}})$ с ${{\partial }_{t}}{\mathbf{\rho }},{{\partial }_{t}}{\mathbf{u}},{{\partial }_{t}}\theta \in {{C}^{{(0,\beta ,0)}}}({{\bar {\Pi }}_{T}})$, и его значения $({\mathbf{\rho }},{\mathbf{u}},\theta )(x,t)$ принадлежат $\mathcal{D}$.

Здесь ${{C}^{{(m,\beta ,{{\beta }_{t}})}}}({{\bar {\Pi }}_{T}})$ с $m = 0,1,2$, $0 \leqslant {{\beta }_{t}} < 1$ – пространства функций, имеющих непрерывные и ограниченные в ${{\bar {\Pi }}_{T}}$ производные порядка $k = 0, \ldots ,m$ по x, удовлетворяющие условию Гёльдера порядка $\beta $ по x и ${{\beta }_{t}}$ по $t$ (при $0 < {{\beta }_{t}} < 1$) равномерно в ${{\bar {\Pi }}_{T}}$, а ${{C}^{{(2,\beta )}}}({{\mathbb{R}}^{n}})$ – стандартные пространства Гёльдера. Указанная теорема следует из общего результата о локальной по времени однозначной разрешимости задачи Коши для квазилинейных параболических по Петровскому систем, см. [13 теорема 6.3 и замечание 1 к ней в гл. 3, ${{\S}}$ 4].