Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 502, № 1, стр. 11-18

ОБ УСРЕДНЕНИИ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ОБЛАСТИ, ПЕРФОРИРОВАННОЙ МНОЖЕСТВАМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ И КРИТИЧЕСКОГО РАЗМЕРА

Ж. И. Диаз^1, *, А. В. Подольский², Т. А. Шапошникова^2, **

¹ Instituto de Matematica Interdisciplinar, Universidad Complutense
Madrid, Spain

² Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

^* E-mail: ji_diaz@mat.ucm.es
^** E-mail: shaposh.tan@mail.ru

Поступила в редакцию 30.08.2021
После доработки 27.11.2021
Принята к публикации 02.12.2021

EDN: ZXSMXU
DOI: 10.31857/S2686954322010039

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучено асимптотическое поведение оптимального управления для уравнения Пуассона, заданного в области, периодически перфорированной множествами произвольной формы. На границе полостей рассматривается краевое условие типа Робина. Функционал стоимости зависит от интеграла энергии и ${{L}^{2}}$-нормы управления. Рассматривается так называемое критическое соотношение между параметрами задачи и периодом структуры $\varepsilon \to 0$. Два “странных” члена появляются в предельной задаче. Данная статья обобщает на случай полостей произвольной формы предыдущие работы авторов, посвященные усреднению задач оптимального управления в областях перфорированных шарами.

Ключевые слова: усреднение, оптимальное управление, “странный член”, перфорированная область, критический случай

1. ВВЕДЕНИЕ

В данной работе рассматривается усреднение задачи оптимального управления для уравнения Пуассона в области, перфорированной множествами произвольной формы, c функционалом стоимости, зависящим от интеграла энергии и ${{L}^{2}}$-нормы управления. На границе полостей задается краевое условие Робина, содержащее большой параметр, зависящий от периода структуры. Предполагается, что параметры задачи принимают так называемые критические значения. В работах [4, 7] изучена аналогичная задача управления в области, перфорированной шарами критического радиуса. Как известно, исследование подобных задач в областях, перфорированных множествами произвольной формы, сталкивается с трудностями при определении “странных” членов, что было показано в [2, 3, 11]. Следуя данным работам, для определения “странных” членов в предельной задаче и в предельном функционале стоимости мы используем вспомогательные функции, являющиеся решениями задач, аналогичных тем, которые появляются при определении емкости выбрасываемых множеств. Более того, в работе показано, что данный подход может применяться для доказательства сходимости энергии в задаче без управления. Это позволяет улучшить предыдущие оценки, полученные в [2].

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. СОПРЯЖЕННАЯ ЗАДАЧА

Пусть $\Omega $ – ограниченная область в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, $n \geqslant 3$, с гладкой границей $\partial \Omega $. В кубе $Y = {{\left( { - \frac{1}{2},\frac{1}{2}} \right)}^{n}}$ рассмотрим подобласть ${{G}_{0}}$, $\overline {{{G}_{0}}} \subset Y$, которая является звездной относительно шара $T_{\rho }^{0} \subset Y$ радиуса $\rho $ с центром в начале координат. Пусть δB = $\{ x{\kern 1pt} :\;{{\delta }^{{ - 1}}}x \in B\} $, $\delta > 0$. Для $\varepsilon > 0$ положим

$\widetilde {{{\Omega }_{\varepsilon }}} = \{ x \in \Omega {\kern 1pt} :\;\rho (x,\partial \Omega ) > 2\varepsilon \} .$

Через ${{\mathbb{Z}}^{n}}$ обозначим множество всех векторов $j = ({{j}_{1}}, \ldots ,{{j}_{n}})$ с целочисленными координатами ${{j}_{k}}$, $k = 1, \ldots ,n$. Рассмотрим множество

${{G}_{\varepsilon }} = \bigcup\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} ({{a}_{\varepsilon }}{{G}_{0}} + \varepsilon j) = \bigcup\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} G_{\varepsilon }^{j},$

где ${{\Upsilon }_{\varepsilon }} = \{ j \in {{\mathbb{Z}}^{n}}{\kern 1pt} :\;\overline {G_{\varepsilon }^{j}} \subset Y_{\varepsilon }^{j} = \varepsilon Y + \varepsilon j,G_{\varepsilon }^{j} \cap \widetilde {{{\Omega }_{\varepsilon }}} \ne \emptyset \} $, ${{a}_{\varepsilon }} = {{C}_{0}}{{\varepsilon }^{\alpha }}$, $\alpha = \frac{n}{{n - 2}}$. Легко видеть, что ${\text{|}}{{\Upsilon }_{\varepsilon }}{\text{|}} \cong d{{\varepsilon }^{{ - n}}}$, $d = {\text{const}} > 0$. Заметим, $\overline {G_{\varepsilon }^{j}} \subset T_{{С{{a}_{\varepsilon }}}}^{j} \subset T_{{\varepsilon /4}}^{j} \subset Y_{\varepsilon }^{j}$, где $T_{r}^{j}$ – шар в ${{\mathbb{R}}^{n}}$ радиуса r с центром в точке $P_{\varepsilon }^{j} = \varepsilon j$, C = const > 0.

Определим множества

${{\Omega }_{\varepsilon }} = \Omega {{\backslash }}\overline {{{G}_{\varepsilon }}} ,\quad {{S}_{\varepsilon }} = \partial {{G}_{\varepsilon }},\quad \partial {{\Omega }_{\varepsilon }} = {{S}_{\varepsilon }} \cup \partial \Omega .$

В ${{\Omega }_{\varepsilon }}$ мы рассматриваем задачу оптимального управления: для данного управления $v \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})$ и функций $f \in {{L}^{2}}(\Omega )$, $a \in {{C}^{\infty }}(\overline \Omega )$, $a(x) \geqslant {{a}_{0}} > 0$ и при $\gamma = \frac{n}{{n - 2}}$, $n \geqslant 3$, мы обозначаем через ${{u}_{\varepsilon }}(v) \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }}$, ∂Ω) единственное обобщенное решение задачи

(1)

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{\varepsilon }}(v) = f + v,\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ {{\partial }_{\nu }}{{u}_{\varepsilon }}(v) + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x){{u}_{\varepsilon }}(v) = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }}, \\ {{u}_{\varepsilon }}(v) = 0,\quad x \in \partial \Omega , \\ \end{gathered} $

где $\nu $ – вектор внешней единичной нормали к ${{S}_{\varepsilon }}$. Введем функционал стоимости ${{J}_{\varepsilon }}{\kern 1pt} :\;{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})\, \to \,\mathbb{R}$ вида

(2)

${{J}_{\varepsilon }}(v) \equiv \frac{\eta }{2}\left\| {\nabla ({{u}_{\varepsilon }}(v) - {{u}_{T}})} \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}^{2} + \frac{N}{2}\left\| v \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}^{2},$

где ${{u}_{T}}$ – целевая функция, ${{u}_{T}} \in H_{0}^{1}(\Omega )$, $\eta ,N$ – положительные постоянные. Отметим, что если параметр $\eta $ принимает достаточно большое значение, то мы получаем аппроксимативную управляемость в ${{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$ (в том смысле, что состояние ${{u}_{\varepsilon }}(v)$ может быть на столько близким к целевой функции, насколько требуется, т.е. ${{\left\| {\nabla ({{u}_{\varepsilon }}(v) - {{u}_{T}})} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}}$ ≤ δ, для произвольно малого $\delta > 0$ (см. [5, Параграф 1.6]). Надо найти такое ${{v}_{\varepsilon }} \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})$, что выполнено

(3)

${{J}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }}) = \mathop {\inf }\limits_{v \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})} {{J}_{\varepsilon }}(v).$

Известно (см. [6]), что существует единственное управление ${{v}_{\varepsilon }} \in {{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})$, такое что имеет место (3). Такое управление называется оптимальным. Цель настоящей работы – изучение предела при $\varepsilon \to 0$ оптимального управления ${{v}_{\varepsilon }}$ и функционала стоимости ${{J}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }})$.

Будем говорить, что функция ${{u}_{\varepsilon }} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$ является обобщенным решением задачи (1), если она удовлетворяет интегральному тождеству

(4)

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}(v)\nabla \phi dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}(v)\phi ds = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} (f + v)\phi dx,$

где $\phi $ – произвольная функция из ${{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$. Через ${{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$ обозначено замыкание по норме пространства ${{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }})$ множества бесконечно дифференцируемых функций в ${{\overline \Omega }_{\varepsilon }}$, обращающихся в нуль в окрестности границы $\partial \Omega $.

Сопряженная задача, связанная с оптимальным управлением ${{v}_{\varepsilon }}$, имеет вид (см. [4, 7])

(5)

$\begin{gathered} \Delta {{p}_{\varepsilon }} = \Delta ({{u}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }}) - {{u}_{T}}),\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ {{\partial }_{\nu }}({{p}_{\varepsilon }} - {{u}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }}) + {{u}_{T}}) + {{\varepsilon }^{{ - k}}}a(x){{p}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }}, \\ {{p}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in \partial \Omega , \\ \end{gathered} $

где ${{p}_{\varepsilon }} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$ – обобщенное решение приведенной задачи. Известно, что

(6)

${{v}_{\varepsilon }} = - \frac{\eta }{N}{{p}_{\varepsilon }}.$

Таким образом, оптимальная пара $\left( {{{u}_{\varepsilon }}, - \frac{\eta }{N}{{p}_{\varepsilon }}} \right)$ ∈ ∈ H¹(Ω_ε, $\partial \Omega ) \times {{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$ – обобщенное решение системы

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{\varepsilon }} = f - \frac{\eta }{N}{{p}_{\varepsilon }},\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ \Delta {{p}_{\varepsilon }} = \Delta ({{u}_{\varepsilon }} - {{u}_{T}}),\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ \end{gathered} $

(7)

${{\partial }_{\nu }}{{u}_{\varepsilon }} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x){{u}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }},$

$\begin{gathered} {{\partial }_{\nu }}({{p}_{\varepsilon }} - {{u}_{\varepsilon }} + {{u}_{T}}) + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x){{p}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }}, \\ {{u}_{\varepsilon }} = {{p}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Для ${{u}_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }}$ справедливы оценки (см. [4, 7])

(8)

${{\left\| {{{u}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )}}} + {{\left\| {{{p}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )}}} \leqslant K\left( {{{{\left\| f \right\|}}_{{{{L}^{2}}(\Omega )}}} + {{{\left\| {{{u}_{T}}} \right\|}}_{{H_{0}^{1}(\Omega )}}}} \right),$

где $K$ здесь и далее не зависит от $\varepsilon $. Из оценки (8) получим

(9)

${{\left\| {{{P}_{\varepsilon }}{{u}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{H_{0}^{1}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}} \leqslant K,\quad {{\left\| {{{P}_{\varepsilon }}{{p}_{\varepsilon }}} \right\|}_{{H_{0}^{1}(\Omega )}}} \leqslant K,$

где ${{P}_{\varepsilon }}{\kern 1pt} :\;{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega ) \to H_{0}^{1}(\Omega )$ – оператор H¹-продолжения, такой что

(10)

$\begin{gathered} {{\left\| {{{P}_{\varepsilon }}u} \right\|}_{{H_{0}^{1}(\Omega )}}} \leqslant K{{\left\| u \right\|}_{{{{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )}}}, \\ {{\left\| {\nabla {{P}_{\varepsilon }}u} \right\|}_{{{{L}^{2}}(\Omega )}}} \leqslant K{{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}}. \\ \end{gathered} $

Из оценок (8)–(10) получаем, что существует подпоследовательность (сохраним за ней обозначение исходной), такая что при $\varepsilon \to 0$

(11)

${{P}_{\varepsilon }}{{u}_{\varepsilon }} \rightharpoonup {{u}_{0}},\quad {{P}_{\varepsilon }}{{p}_{\varepsilon }} \rightharpoonup {{p}_{0}}\;\;{\text{слабо в}}\;\;H_{0}^{1}(\Omega ).$

Формулировка результатов усреднения оптимальной задачи требует введения ряда вспомогательных функций. Отметим, что данные функции могут быть записаны в явном виде в том случае, когда перфорации являются шарами.

3. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Пусть $w_{\varepsilon }^{j}(x) \in {{H}^{1}}(T_{{\varepsilon /4}}^{j}{{\backslash }}\overline {G_{\varepsilon }^{j}} ,\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}),$ $j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }},$ – обобщенное решение краевой задачи

(12)

$\begin{gathered} \Delta w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in T_{{\varepsilon /4}}^{j}{{\backslash }}\overline {G_{\varepsilon }^{j}} , \\ {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x)(w_{\varepsilon }^{j} - 1) = 0,\quad x \in \partial G_{\varepsilon }^{j}, \\ w_{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in \partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}. \\ \end{gathered} $

Введем функцию

(13)

${{W}_{\varepsilon }}(x) = \left\{ \begin{gathered} w_{\varepsilon }^{j}(x),\quad x \in T_{{\varepsilon /4}}^{j}{{\backslash }}\overline {G_{\varepsilon }^{j}} ,\quad j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 0,\quad x \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\overline {\bigcup\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} T_{{\varepsilon /4}}^{j}} . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Ниже формулируются некоторые результаты, полученные в работах [2, 3, 11].

Лемма 1. Для ${{W}_{\varepsilon }} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$ выполнены оценки

(14)

$\left\| {\nabla {{W}_{\varepsilon }}} \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}^{2} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\left\| {{{W}_{\varepsilon }}} \right\|_{{{{L}^{2}}({{S}_{\varepsilon }})}}^{2}\, \leqslant \,K,\quad \left\| {{{W}_{\varepsilon }}} \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}^{2}\, \leqslant \,K{{\varepsilon }^{2}},$

(15)

$0 \leqslant {{W}_{\varepsilon }} \leqslant 1,\quad \forall x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}.$

Следовательно, для некоторой подпоследовательности при $\varepsilon \to 0$ имеем

(16)

$\begin{gathered} {{P}_{\varepsilon }}{{W}_{\varepsilon }} \rightharpoonup 0\;\;{\text{слабо в}}\;\;H_{0}^{1}(\Omega ), \\ {{P}_{\varepsilon }}{{W}_{\varepsilon }} \to 0\;\;{\text{сильно в}}\;\;{{L}^{2}}(\Omega ). \\ \end{gathered} $

Пусть ${{w}_{0}}(x,y)$ – обобщенное решение внешней задачи

(17)

$\begin{gathered} {{\Delta }_{y}}{{w}_{0}} = 0,\quad y \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\overline {{{G}_{0}}} , \\ {{\partial }_{\nu }}{{w}_{0}} + {{C}_{0}}a(x)({{w}_{0}}(x,y) - 1) = 0,\quad y \in \partial {{G}_{0}}, \\ {{w}_{0}}(x,y) \to 0,\quad {\text{|}}y{\text{|}} \to \infty , \\ \end{gathered} $

где $x \in \Omega $ рассматривается в качестве параметра. Следуя работам [2, 3, 11], обозначим через $\mathcal{C}$ пространство функций $\phi \in {{C}^{\infty }}(\overline {{{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\overline {{{G}_{0}}} } )$, для которых существует положительная константа $R > 0$, такая что $\phi = 0$ вне $T_{R}^{0}$, где $T_{R}^{0}$ – шар радиуса $R$ с центром в начале координат. Для произвольной функции $u \in \mathcal{C}$ имеем

(18)

${{\left\| {{{{\left| y \right|}}^{{ - 1}}}u} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}\backslash \overline {{{G}_{0}}} )}}} \leqslant K(n){{\left\| {\nabla u} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}\backslash \overline {{{G}_{0}}} )}}}.$

В пространстве $\mathcal{C}$ мы можем ввести норму

(19)

${{\left\| v \right\|}_{\mathcal{C}}} \equiv {{\left\| {\nabla v} \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{n}}\backslash \overline {{{G}_{0}}} )}}}.$

Обозначим через $\mathcal{V}$ – замыкание пространства функций $\mathcal{C}$ по норме (19). Легко видеть, что $\mathcal{V}$ является гильбертовым пространством.

Будем говорить, что функция ${{w}_{0}} \in \mathcal{V}$ – обобщенное решение внешней задачи (17), если она удовлетворяет интегральному тождеству

(20)

$\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}\backslash \overline {{{G}_{0}}} } \nabla {{w}_{0}}\nabla \phi dy + {{C}_{0}}a(x)\int\limits_{\partial {{G}_{0}}} ({{w}_{0}} - 1)\phi ds = 0,$

для произвольной функции $\phi \in \mathcal{V}$.

Имеем (см. [2, 3, 11]) следующее утверждение.

Лемма 2. Существует единственное обобщенное решение ${{w}_{0}} \in \mathcal{V}$ задачи (17) и оно удовлетворяет оценкам

(21)

$\begin{gathered} 0 \leqslant {{w}_{0}} \leqslant 1,\quad \mathop {\max }\limits_{x \in \overline \Omega } \left| {{{w}_{0}}(x,y)} \right| \leqslant \frac{K}{{{\text{|}}y{{{\text{|}}}^{{n - 2}}}}}, \\ \forall y \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\overline {{{G}_{0}}} . \\ \end{gathered} $

Следующая лемма описывает соотношение между функциями $w_{\varepsilon }^{j}$ и ${{w}_{0}}\left( {P_{\varepsilon }^{j},\frac{{x - P_{\varepsilon }^{j}}}{{{{a}_{\varepsilon }}}}} \right)$ на ячейке (см. [2, 3, 11]).

Лемма 3. Положим $v_{\varepsilon }^{j}(x)\, = \,w_{\varepsilon }^{j}\, - \,{{w}_{0}}\left( {P_{\varepsilon }^{j},\frac{{x\, - \,P_{\varepsilon }^{j}}}{{{{a}_{\varepsilon }}}}} \right)$. Тогда

(22)

$\begin{gathered} \left\| {\nabla v_{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} )}}^{2} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\left\| {v_{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(\partial G_{\varepsilon }^{j})}}^{2} \leqslant K{{\varepsilon }^{{n + 2}}}, \\ \left\| {v_{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} )}}^{2} \leqslant K{{\varepsilon }^{{n + 2}}}, \\ \end{gathered} $

(23)

$\left| {v_{\varepsilon }^{j}} \right| \leqslant \mathop {\max }\limits_{x \in \partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} \left| {{{w}_{0}}\left( {P_{\varepsilon }^{j},\frac{{x - P_{\varepsilon }^{j}}}{{{{a}_{\varepsilon }}}}} \right)} \right|.$

Определим функцию

(24)

$\begin{gathered} {{H}_{0}}(x) = \int\limits_{\partial {{G}_{0}}} {{\partial }_{\nu }}{{w}_{0}}(x,y)d{{s}_{y}} = \\ \, = {{C}_{0}}{\text{|}}\partial {{G}_{0}}{\text{|}}a(x)(1 - {{\langle {{w}_{0}}(x,y)\rangle }_{{\partial {{G}_{0}}}}}), \\ \end{gathered} $

где через ${{\langle w\rangle }_{{\partial {{G}_{0}}}}}$ обозначено среднее значение функции w на $\partial {{G}_{0}}$. Заметим, что функция ${{H}_{0}}(x)$ неявно зависит от функции a и поверхности полостей $\partial {{G}_{0}}$, т.е. ${{H}_{0}}(x:\partial {{G}_{0}},a)$.

Введем в рассмотрение еще одну вспомогательную функцию $\theta _{\varepsilon }^{j}$ как решение краевой задачи

(25)

$\begin{gathered} \Delta \theta _{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in T_{{\varepsilon /4}}^{j}{{\backslash }}\overline {G_{\varepsilon }^{j}} , \\ {{\partial }_{\nu }}\theta _{\varepsilon }^{j} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x)(\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j}) = 0,\quad x \in \partial G_{\varepsilon }^{j}, \\ \theta _{\varepsilon }^{j} = 0,\quad x \in \partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}. \\ \end{gathered} $

Положим

(26)

${{\Theta }_{\varepsilon }}(x) = \left\{ \begin{gathered} \theta _{\varepsilon }^{j}(x),\quad x \in T_{{\varepsilon /4}}^{j}{{\backslash }}\overline {G_{\varepsilon }^{j}} ,\quad j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}, \hfill \\ 0,\quad x \in \Omega {{\backslash }}\overline {\bigcup\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} T_{{\varepsilon /4}}^{j}} . \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Легко видеть, что ${{\Theta }_{\varepsilon }} \in {{H}^{1}}({{\Omega }_{\varepsilon }},\partial \Omega )$.

Лемма 4. Функция ${{\Theta }_{\varepsilon }}$, определенная в (26), удовлетворяет следующим оценкам:

(27)

$\left\| {\nabla {{\Theta }_{\varepsilon }}} \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}^{2} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\left\| {{{\Theta }_{\varepsilon }}} \right\|_{{{{L}^{2}}({{S}_{\varepsilon }})}}^{2} \leqslant K,\quad \left\| {{{\Theta }_{\varepsilon }}} \right\|_{{{{L}^{2}}({{\Omega }_{\varepsilon }})}}^{2} \leqslant K{{\varepsilon }^{2}},$

(28)

$0 \leqslant {{\Theta }_{\varepsilon }} \leqslant {{W}_{\varepsilon }}.$

Доказательство. Возьмем $\theta _{\varepsilon }^{j}$ в качестве пробной функции в интегральном тождестве для задачи (25) и получим

(29)

$\begin{gathered} \int\limits_{T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} } {\text{|}}\nabla \theta _{\varepsilon }^{j}{{{\text{|}}}^{2}}dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x){\text{|}}\theta _{\varepsilon }^{j}{{{\text{|}}}^{2}}ds = \\ \, = {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x)\theta _{\varepsilon }^{j}w_{\varepsilon }^{j}ds. \\ \end{gathered} $

Отсюда следует, что

(30)

$\left\| {\nabla \theta _{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} )}}^{2} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\left\| {\theta _{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(\partial G_{\varepsilon }^{j})}}^{2} \leqslant K{{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\left\| {w_{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(\partial G_{\varepsilon }^{j})}}^{2}.$

Тогда, из леммы 1 получаем оценки (27).

Покажем, что ${{\Theta }_{\varepsilon }} \leqslant {{W}_{\varepsilon }}$. Возьмем в интегральном тождестве для задачи (25) ${{(\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j})}^{ + }}$ = = $\sup (\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j},0) \in {{H}^{1}}(T_{{\varepsilon /4}}^{j}{{\backslash }}\overline {G_{\varepsilon }^{j}} ,\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j})$ в качестве пробной функции и получим

$\begin{gathered} \int\limits_{T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} } \nabla \theta _{\varepsilon }^{j}\nabla {{(\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j})}^{ + }}dx + \\ \, + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x)((\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j}{{)}^{ + }}{{)}^{2}}ds = 0. \\ \end{gathered} $

Возьмем эту же функцию в интегральном тождестве для $w_{\varepsilon }^{j}$, тогда

$\begin{gathered} \int\limits_{T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} } \nabla w_{\varepsilon }^{j}\nabla {{(\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j})}^{ + }}dx = \\ \, = - {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x)(w_{\varepsilon }^{j} - 1)(\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j}{{)}^{ + }}ds \geqslant 0. \\ \end{gathered} $

Объединяя полученные тождества, выводим

$\begin{gathered} 0 \leqslant \int\limits_{T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} } {\text{|}}\nabla {{(\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j})}^{ + }}{{{\text{|}}}^{2}}dx + \\ \, + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x)((\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j}{{)}^{ + }}{{)}^{2}}ds = \\ \, = {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x)(w_{\varepsilon }^{j} - 1)(\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j}{{)}^{ + }}ds \leqslant 0. \\ \end{gathered} $

Таким образом, ${{(\theta _{\varepsilon }^{j} - w_{\varepsilon }^{j})}^{ + }} \equiv 0$ в $T_{{\varepsilon /4}}^{j}{{\backslash }}\overline {G_{\varepsilon }^{j}} $. Оставшиеся неравенства могут быть получены аналогичным способом.

Из леммы 4 следует, что при $\varepsilon \to 0$

(31)

${{P}_{\varepsilon }}{{\Theta }_{\varepsilon }} \rightharpoonup 0,\;\;{\text{слабо в}}\;\;H_{0}^{1}(\Omega ).$

Также рассмотрим функцию $\theta (x,y)$, являю-щуюся решением внешней задачи

(32)

$\begin{gathered} {{\Delta }_{y}}\theta = 0,\quad y \in {{\mathbb{R}}^{n}}{{\backslash }}\overline {{{G}_{0}}} , \\ {{\partial }_{\nu }}\theta + {{C}_{0}}a(x)(\theta (x,y) - {{w}_{0}}(x,y)) = 0,\quad y \in \partial {{G}_{0}}, \\ \theta (x,y) \rightharpoonup 0,\quad {\text{|}}y{\text{|}} \to \infty , \\ \end{gathered} $

где $x \in \Omega $ рассматривается в качестве параметра.

Аналогично лемме 2 имеем, что существует единственное обобщенное решение задачи (32) в пространстве $\mathcal{V}$, которое удовлетворяет оценкам (21). Более того, справедлива оценка $0 \leqslant \theta \leqslant {{w}_{0}}$ и утверждение

Лемма 5. Функция $h_{\varepsilon }^{j} = \theta _{\varepsilon }^{j} - \theta \left( {P_{\varepsilon }^{j},\frac{{x - P_{\varepsilon }^{j}}}{{{{a}_{\varepsilon }}}}} \right)$ удовлетворяет следующим оценкам:

(33)

$\begin{gathered} \left\| {\nabla h_{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} )}}^{2} + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\left\| {h_{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(\partial G_{\varepsilon }^{j})}}^{2} \leqslant K{{\varepsilon }^{{n + 2}}}, \\ \left\| {h_{\varepsilon }^{j}} \right\|_{{{{L}^{2}}(T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \bar {G}_{\varepsilon }^{j})}}^{2} \leqslant K{{\varepsilon }^{{n + 2}}}. \\ \end{gathered} $

Определим функцию

(34)

$\begin{gathered} {{H}_{1}}(x) = \int\limits_{\partial {{G}_{0}}} {{\partial }_{\nu }}\theta d{{s}_{y}} = \\ \, = {{C}_{0}}{\text{|}}\partial {{G}_{0}}{\text{|}}a(x)({{\langle {{w}_{0}}(x,y)\rangle }_{{\partial {{G}_{0}}}}} - {{\langle \theta (x,y)\rangle }_{{\partial {{G}_{0}}}}}). \\ \end{gathered} $

Отметим, что так же, как и для ${{H}_{0}}$, имеем H₁(x) = = ${{H}_{1}}(x:\partial {{G}_{0}},a)$.

4. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Следующая теорема дает описание предельных функций ${{u}_{0}},{{p}_{0}}$, определенных в (11).

Теорема 1. Пусть $n \geqslant 3$, $\alpha = \gamma = \frac{n}{{n - 2}}$ и пара $({{u}_{\varepsilon }},{{p}_{\varepsilon }})$ является обобщенным решением системы (7). Тогда пара $({{u}_{0}},{{p}_{0}})$, определенная в (11), является обобщенным решением системы

(35)

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{0}} + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{0}}(x){{u}_{0}} = f - \frac{\eta }{N}{{p}_{0}},\quad x \in \Omega , \\ - \Delta {{p}_{0}} + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{0}}(x){{p}_{0}} = - \Delta ({{u}_{0}} - {{u}_{T}}) + \\ \, + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{1}}(x){{u}_{0}},\quad x \in \Omega , \\ {{u}_{0}} = {{p}_{0}} = 0,\quad x \in \partial \Omega , \\ \end{gathered} $

где ${{H}_{0}}(x)$, ${{H}_{1}}(x)$ – функции, определенные в (24) и (34) соответственно.

Замечание 1. Если ${{G}_{0}} = \{ {\text{|}}y{\text{|}} < 1\} $, мы можем найти функции ${{w}_{0}}(x,y)$ и $\theta (x,y)$ в явном виде, а значит, и вспомогательные функции ${{H}_{0}}(x)$, ${{H}_{1}}(x)$:

(36)

$\begin{gathered} {{w}_{0}}(x,y) = \frac{{a(x)}}{{a(x) + \frac{{n - 2}}{{{{C}_{0}}}}}}{\text{|}}y{{{\text{|}}}^{{2 - n}}}, \\ \theta (x,y) = {{\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + \frac{{n - 2}}{{{{C}_{0}}}}}}} \right)}^{2}}{\text{|}}y{{{\text{|}}}^{{2 - n}}}, \\ \end{gathered} $

(37)

$\begin{gathered} {{H}_{0}}(x) = (n - 2){{\omega }_{n}}\frac{{a(x)}}{{a(x) + \frac{{n - 2}}{{{{C}_{0}}}}}}, \\ {{H}_{1}}(x) = (n - 2){{\omega }_{n}}{{\left( {\frac{{a(x)}}{{a(x) + \frac{{n - 2}}{{{{C}_{0}}}}}}} \right)}^{2}}, \\ \end{gathered} $

где ${{\omega }_{n}}$ – площадь поверхности единичной сферы в ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Этот частный случай был рассмотрен в [7] для перфорированной области и в [4] для области, перфорированной вдоль многообразия.

Доказательство. Во-первых, покажем, что функция u₀ является обобщенным решением задачи

(38)

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{0}} + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{0}}(x){{u}_{0}} = f - \eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{0}},\quad x \in \Omega , \\ {{u}_{0}} = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Возьмем функцию $\phi = \psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi $, где ${{W}_{\varepsilon }}$ определена в (13), $\psi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$, в качестве пробной в интегральном тождестве для функции ${{u}_{\varepsilon }}$. Получим

(39)

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla (\psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi )dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}(\psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi )ds = \\ \, = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} (f - \eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{\varepsilon }})(\psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi )dx. \\ \end{gathered} $

Используя (16), выводим

$\begin{gathered} - \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla ({{W}_{\varepsilon }}\psi )dx = - \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla ({{u}_{\varepsilon }}\psi )\nabla {{W}_{\varepsilon }}dx + {{\alpha }_{\varepsilon }} = \\ \, = - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} } \nabla ({{u}_{\varepsilon }}\psi )\nabla w_{\varepsilon }^{j}dx + {{\alpha }_{\varepsilon }} = \\ \, = - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j} \cup \partial G_{\varepsilon }^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds + {{\alpha }_{\varepsilon }} = \\ \end{gathered} $

(40)

$\, = {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x)w_{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds - {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x){{u}_{\varepsilon }}\psi ds - $

$\begin{gathered} \, - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds\, + \,{{\alpha }_{\varepsilon }}\, = \, - {\kern 1pt} {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}(\psi \, - \,{{W}_{\varepsilon }}\psi )ds - \\ \, - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds + {{\alpha }_{\varepsilon }}, \\ \end{gathered} $

где ${{\alpha }_{\varepsilon }} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$.

Из (39) и (40) следует

(41)

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla \psi dx - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds = \\ \, = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} (f - \eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{\varepsilon }})(\psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi )dx + {{\alpha }_{\varepsilon }}. \\ \end{gathered} $

Далее, справедливо равенство (см. работы [2, 3, 11])

(42)

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}\psi {{u}_{\varepsilon }}ds = \\ \, = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}{{w}_{0}}\left( {P_{\varepsilon }^{j},\frac{{x - P_{\varepsilon }^{j}}}{{{{a}_{\varepsilon }}}}} \right)\psi {{u}_{\varepsilon }}ds = \\ \, = - C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{0}}(x){{u}_{0}}\psi (x)dx. \\ \end{gathered} $

Тогда из (41) и (42) получаем интегральное тождество для функции u₀

(43)

$\begin{gathered} \int\limits_\Omega \nabla {{u}_{0}}\nabla \psi dx + C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{0}}(x){{u}_{0}}\psi (x)dx = \\ \, = \int\limits_\Omega (f - \eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{0}})\psi dx. \\ \end{gathered} $

Во-вторых, покажем, что функция ${{p}_{0}}$ является обобщенным решением задачи

(44)

$\begin{gathered} - \Delta {{p}_{0}} + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{0}}(x){{p}_{0}} = - \Delta ({{u}_{0}} - {{u}_{T}}) + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{1}}(x){{u}_{0}}, \\ x \in \Omega , \\ {{p}_{0}} = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

В интегральном тождестве для задачи (5) в качестве пробной функции возьмем $\phi = \psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi $. Получим

(45)

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{p}_{\varepsilon }}\nabla (\psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi )dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x)(\psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi ){{p}_{\varepsilon }}ds = \\ \, = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla ({{u}_{\varepsilon }} - {{u}_{T}})\nabla (\psi - {{W}_{\varepsilon }}\psi )dx = \\ \, = \int\limits_\Omega \nabla ({{u}_{0}} - {{u}_{T}})\nabla \psi dx - \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla ({{W}_{\varepsilon }}\psi )dx + {{\beta }_{\varepsilon }}, \\ \end{gathered} $

где ${{\beta }_{\varepsilon }} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$.

Используя свойства функции ${{W}_{\varepsilon }}$ и формулу Грина, имеем

$\begin{gathered} - \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{p}_{\varepsilon }}\nabla ({{W}_{\varepsilon }}\psi )dx = - \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{W}_{\varepsilon }}\nabla ({{p}_{\varepsilon }}\psi )dx + {{{\hat {\alpha }}}_{\varepsilon }} = \\ \, = - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{p}_{\varepsilon }}\psi ds - \\ \end{gathered} $

(46)

$\, - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{p}_{\varepsilon }}\psi ds + {{\hat {\alpha }}_{\varepsilon }} = $

$\, = {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{p}_{\varepsilon }}\psi ({{W}_{\varepsilon }}\, - \,1)ds\, - \,\sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{p}_{\varepsilon }}\psi ds + {{\hat {\alpha }}_{\varepsilon }}.$

Из (45) и (46) выводим, что левая часть равенства (45) есть

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{p}_{\varepsilon }}\nabla \psi dx - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}w_{\varepsilon }^{j}{{p}_{\varepsilon }}\psi ds + {{\hat {\alpha }}_{\varepsilon }},$

где ${{\hat {\alpha }}_{\varepsilon }} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$.

Следовательно, предел при $\varepsilon \to 0$ левой части равенства (45) равен

(47)

$\int\limits_\Omega \nabla {{p}_{0}}\nabla \psi dx + C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{0}}(x){{p}_{0}}\psi dx.$

В силу (45) и (47), чтобы получить интегральное тождество для функции ${{p}_{0}}$, достаточно найти предел выражения

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla ({{W}_{\varepsilon }}\psi )dx.$

Из свойств функции ${{W}_{\varepsilon }}$ следует, что

(48)

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla ({{W}_{\varepsilon }}\psi )dx = - {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}{{W}_{\varepsilon }}\psi ds + {{\kappa }_{\varepsilon }},$

где ${{\kappa }_{\varepsilon }} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$.

Беря в интегральном тождестве для ${{u}_{\varepsilon }}$ в качестве пробной функции ${{\Theta }_{\varepsilon }}\psi $, получим

(49)

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla ({{\Theta }_{\varepsilon }}\psi )dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}{{\Theta }_{\varepsilon }}\psi ds = \\ \, = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} (f - \eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{\varepsilon }}){{\Theta }_{\varepsilon }}\psi dx. \\ \end{gathered} $

Так как $\theta _{\varepsilon }^{j}$ – обобщенное решение задачи (25), то с помощью формулы Грина заключаем

(50)

$\begin{gathered} \int\limits_{T_{{\varepsilon /4}}^{j}\backslash \overline {G_{\varepsilon }^{j}} } \nabla \theta _{\varepsilon }^{j}\nabla ({{u}_{\varepsilon }}\psi )dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x)\theta _{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds - \\ \, - \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}\theta _{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds = {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{\partial G_{\varepsilon }^{j}} a(x)w_{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds. \\ \end{gathered} $

Суммирую по всем $j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}$, выводим

(51)

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{\Theta }_{\varepsilon }}\nabla ({{u}_{\varepsilon }}\psi )dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{\Theta }_{\varepsilon }}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds - \\ \, - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}\theta _{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds = {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}{{W}_{\varepsilon }}\psi ds. \\ \end{gathered} $

Учитывая (31), вычтем из (51) тождество (49). Получим

(52)

${{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{W}_{\varepsilon }}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds = - \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}\theta _{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds + \widetilde {{{\alpha }_{\varepsilon }}},$

где $\widetilde {{{\alpha }_{\varepsilon }}} \to 0$ при $\varepsilon \to 0$.

Из (48) и (52) следует, что

(53)

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla {{W}_{\varepsilon }}\psi dx = - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{W}_{\varepsilon }}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds = \\ \, = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \sum\limits_{j \in {{\Upsilon }_{\varepsilon }}} \int\limits_{\partial T_{{\varepsilon /4}}^{j}} {{\partial }_{\nu }}\theta _{\varepsilon }^{j}{{u}_{\varepsilon }}\psi ds = \\ \, = - C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{1}}(x){{u}_{0}}(x)\psi (x)dx. \\ \end{gathered} $

Тогда предел при $\varepsilon \to 0$ правой части равенства (45) равен

$\int\limits_\Omega \nabla ({{u}_{0}} - {{u}_{T}})\nabla \psi dx + C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{1}}(x){{u}_{0}}\psi dx.$

Из (47) и (54) мы заключаем, что функция ${{p}_{0}} \in H_{0}^{1}(\Omega )$ является обобщенным решением задачи (44).

5. СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛА СТОИМОСТИ

Перейдем к нахождению предела функционала стоимости

(55)

$\begin{gathered} {{J}_{\varepsilon }}({{{v}}_{\varepsilon }}) = {{J}_{\varepsilon }}(\eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{\varepsilon }}) \equiv \\ \, \equiv \frac{\eta }{2}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} {\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }} - \nabla {{u}_{T}}{{{\text{|}}}^{2}}dx + \frac{{{{\eta }^{2}}}}{{2N}}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} p_{\varepsilon }^{2}dx \\ \end{gathered} $

при $\varepsilon \to 0$.

Теорема 2. Имеет место равенство

(56)

$\begin{gathered} \mathop {\lim \,}\limits_{\varepsilon \to 0} {{J}_{\varepsilon }}({{v}_{\varepsilon }}) = \frac{\eta }{2}\int\limits_\Omega {\text{|}}\nabla ({{u}_{0}} - {{u}_{T}}){{{\text{|}}}^{2}}dx + \\ \, + \frac{{\eta C_{0}^{{n - 2}}}}{2}\int\limits_\Omega {{H}_{1}}(x)u_{0}^{2}dx + \frac{N}{2}\int\limits_\Omega v_{0}^{2}dx \equiv {{J}_{0}}({{v}_{0}}), \\ \end{gathered} $

где ${{v}_{0}} = - \eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{0}}$ – оптимальное управление в задаче

(57)

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{0}}({{v}_{0}}) + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{0}}(x){{u}_{0}}({{v}_{0}}) = f + {{v}_{0}}, \\ x \in \Omega ,\quad {{u}_{0}}({{v}_{0}}) = 0,\quad x \in \partial \Omega , \\ \end{gathered} $

(58)

${{J}_{0}}({{v}_{0}}) = \mathop {\inf }\limits_{v \in {{L}^{2}}(\Omega )} {{J}_{0}}(v).$

Доказательство. Возьмем в интегральном тождестве для ${{p}_{\varepsilon }}$ в качестве пробной функции ${{u}_{\varepsilon }}$. Получим

(59)

$\begin{gathered} \eta \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla ({{u}_{\varepsilon }} - {{u}_{T}})\nabla {{u}_{\varepsilon }}dx = \\ \, = \eta \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{p}_{\varepsilon }}\nabla {{u}_{\varepsilon }}dx + \eta {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{p}_{\varepsilon }}{{u}_{\varepsilon }}ds. \\ \end{gathered} $

Аналогично, используя ${{p}_{\varepsilon }}$ в качестве пробной функции в интегральном тождестве для ${{u}_{\varepsilon }}$, имеем

(60)

$\begin{gathered} \eta \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla {{p}_{\varepsilon }}dx + \eta {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}{{p}_{\varepsilon }}ds = \\ \, = \eta \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} (f - \eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{\varepsilon }}){{p}_{\varepsilon }}dx. \\ \end{gathered} $

Из (59), (60) выводим

(61)

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{\eta }{2}\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla ({{u}_{\varepsilon }}\, - \,{{u}_{T}})\nabla {{u}_{\varepsilon }}dx = \frac{\eta }{2}\int\limits_\Omega (f\, - \,\eta {{N}^{{ - 1}}}{{p}_{0}}){{p}_{0}}dx = \\ \, = \frac{\eta }{2}\int\limits_\Omega \nabla {{u}_{0}}\nabla {{p}_{0}}dx + \frac{\eta }{2}C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{0}}(x){{u}_{0}}{{p}_{0}}dx = \\ \, = \frac{\eta }{2}\int\limits_\Omega \nabla ({{u}_{0}} - {{u}_{T}})\nabla {{u}_{0}}dx + \frac{\eta }{2}C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{1}}(x)u_{0}^{2}dx. \\ \end{gathered} $

Принимая во внимание, что

$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{\eta }{2}\int\limits_\Omega \nabla ({{u}_{\varepsilon }} - {{u}_{T}})\nabla {{u}_{T}}dx = \frac{\eta }{2}\int\limits_\Omega \nabla ({{u}_{0}} - {{u}_{T}})\nabla {{u}_{T}}dx,$

и используя (61), получим утверждение теоремы 2.

6. СХОДИМОСТЬ ЭНЕРГИИ В ОТСУТСТВИИ УПРАВЛЕНИЯ

В последнем разделе мы воспользуемся результатами, полученными выше, для доказательства сходимости энергии в отсутствии управления. Как мы увидим ниже, предельная энергия содержит некоторый “странный” член, ассоциированный с усредненной задачей. Чтобы это показать, мы будем рассматривать вспомогательную задачу (5), в которой положим $v = 0$ и ${{u}_{T}} = 0$. Полученные ниже результаты улучшают результаты о сходимости энергии, приведенные в [2].

Теорема 3. Пусть ${{u}_{\varepsilon }}$ – обобщенное решение (1) с $v \equiv 0$ и параметры задачи принимают критические значения, и пусть ${{u}_{0}} \in H_{0}^{1}(\Omega )$ – слабый предел последовательности продолжений ${{P}_{\varepsilon }}{{u}_{\varepsilon }}$. Тогда имеет место сходимость

(62)

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} {\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx \to \int\limits_\Omega {\text{|}}\nabla {{u}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}}dx + C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{1}}(x)u_{0}^{2}dx.$

Доказательство. Хорошо известно (см. [2, 3, 11]), что ${{u}_{0}} \in H_{0}^{1}(\Omega )$ – обобщенное решение следующей задачи:

(63)

$\begin{gathered} - \Delta {{u}_{0}} + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{0}}(x){{u}_{0}} = f,\quad x \in \Omega , \\ {{u}_{0}}(x) = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Пусть ${{p}_{\varepsilon }}$ – обобщенное решение задачи

(64)

$\begin{gathered} \Delta {{p}_{\varepsilon }} = \Delta {{u}_{\varepsilon }},\quad x \in {{\Omega }_{\varepsilon }}, \\ {{\partial }_{\nu }}({{p}_{\varepsilon }} - {{u}_{\varepsilon }}) + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}a(x){{p}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in {{S}_{\varepsilon }}, \\ {{p}_{\varepsilon }} = 0,\quad x \in \partial \Omega . \\ \end{gathered} $

Как мы показали выше, ${{P}_{\varepsilon }}{{p}_{\varepsilon }} \rightharpoonup {{p}_{0}}$ слабо в $H_{0}^{1}(\Omega )$ при $\varepsilon \to 0$, и ${{p}_{0}}$ – обобщенное решение задачи

(65)

$\begin{gathered} - \Delta {{p}_{0}} + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{0}}(x){{p}_{0}} = - \Delta {{u}_{0}} + C_{0}^{{n - 2}}{{H}_{1}}(x){{u}_{0}}, \\ x \in \Omega , \\ {{p}_{0}} = 0,\quad x \in \partial \Omega , \\ \end{gathered} $

где ${{H}_{0}}$ и ${{H}_{1}}$ – функции, определенные в (24) и (34) соответственно.

Из интегрального тождества для задачи (1) с $v \equiv 0$ имеем

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{u}_{\varepsilon }}\nabla {{p}_{\varepsilon }}dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{u}_{\varepsilon }}{{p}_{\varepsilon }}ds = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} f{{p}_{\varepsilon }}dx.$

Аналогично, из интегрального тождества для задачи ${{p}_{\varepsilon }}$, заключаем

$\int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} \nabla {{p}_{\varepsilon }}\nabla {{u}_{\varepsilon }}dx + {{\varepsilon }^{{ - \gamma }}}\int\limits_{{{S}_{\varepsilon }}} a(x){{p}_{\varepsilon }}{{u}_{\varepsilon }}ds = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} {\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx.$

Таким образом, при $\varepsilon \to 0$ получим

$\begin{gathered} \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} {\text{|}}\nabla {{u}_{\varepsilon }}{{{\text{|}}}^{2}}dx = \int\limits_{{{\Omega }_{\varepsilon }}} f{{p}_{\varepsilon }}dx \to \int\limits_\Omega f{{p}_{0}}dx = \\ \, = \int\limits_\Omega \nabla {{u}_{0}}\nabla {{p}_{0}}dx + C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{0}}(x){{u}_{0}}{{p}_{0}}dx = \\ \, = \int\limits_\Omega {\text{|}}\nabla {{u}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}}dx + C_{0}^{{n - 2}}\int\limits_\Omega {{H}_{1}}(x)u_{0}^{2}dx, \\ \end{gathered} $

что завершает доказательство.

Список литературы

Cioranescu D., Murat F. Un terme e’trange venu d’ailleurs // Nonlinear Partial Diff. Eq. and their Applications. V. II. College de France Seminar. Paris. France. V. 60. Research Notes in Mathematics. London: Pitman, 1982. P. 98–138.
Díaz J.I., Gómez-Castro D., Shaposhnikova T.A. Nonlinear Reaction-Diffusion Processes for Nanocomposites. Anomalous improved homogenization. Berlin: De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. 2021. V. 39. 184 p.
Díaz J.I., Gómez-Castro D., Shaposhnikova T.A., Zubova M.N. Change of homogenized absorption term in diffusion processes with reaction on the boundary of periodically distributed asymmetric particles of critical size // Electronic Journal of Differential Equations. 2017. V. 178. P. 1–25.
Díaz J.I., Podolskiy A.V., Shaposhnikova T.A. On the convergence of controls and cost functionals in some optimal control hereroheneous problems when the homogenization process gives rise to some strange term // J. Math. Anal. Appl. 2021. https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2021.125559
Glowinski R., Lions J.-L., He J. Exact and Approximate Controllability for Distributed parameter Systems. A Numerical Approach. Cambridge: Cambridge University Press, 2008. 458 p.
Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.
Подольский А.В., Шапошникова Т.А. Оптимальное управление и “странный член”, возникающий при усреднении уравнения Пуассона в перфорированной области с краевыми условиями типа Робина в критическом случае // ДАН. Т. 495. С. 59–64.
Rajesh M. Convergence of some energies for the Dirichlet problem in perforated domains // Rendiconti di Matematica. Ser. VII. 2001. V. 21. P. 259–274.
Saint Jean Paulin J., Zoubairi H. Optimal control and “strange term” for a Stokes problem in perforated domains // Portugaliae Mathematica. 2002. V. 59. Fasc. 2. P. 161–178.
Kesavan S., Saint Jean Paulin J. Homogenization of an Optimal Control Problem // SIAM J. Contr. Optim.1997. V. 35. P. 1557–1573.
Зубова М.Н., Шапошникова Т.А. Усреднение краевой задачи в области, перфорированной множествами произвольной формы, с неоднородным нелинейным краевым условием общего вида на границе полостей в случае критического значения параметров // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2019. Т. 32. С. 191–219.
Martin H. Strömqvist. Optimal Control of the obstacle Problem in a Perforated Domain // Appl. Math. Optim. 2012. V. 66. P. 239–255.
Kesavan S. and Saint Jean Paulin J. Optimal Control on Perforated Domains // J. Math. Anal. Appl. 1999. V. 229 (2). P. 563–586.
Attouch H. and Picard C. Variational inequalities with varying obstacles: the general form of the limit problem // J. Funct. Anal. 1983. V. 50 (3). P. 329–386.
Raymond J.-P. Optimal control of Partial Differential Equations. Bookficus, Institut de Mathematique de Toulouse, Universite Paul Sabatier, 2015.
C. D’Apice and U. De Maio. On homogenization of a mixed boundary optimal control problem // Differential Integral Equations. 2008. V. 21 (3-4). P. 201–234.
Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 350 с.
Troltzsch F. Optimal control of partial differential equations. American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics. 2010. 418 p.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал