Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 502, № 1, стр. 28-33

ВВЕДЕНИЕ

В случае если температуры поверхности пластины и набегающего потока различны, то вблизи поверхности формируется тепловой пограничный слой, в пределах которого температура изменяется от ее значения у стенки до температуры невозмущенного потока на границе теплового пограничного слоя. При этом между поверхностью пластины и потоком жидкости протекает процесс теплообмена, см. [1].

Таким образом, при обтекании тела потоком жидкости вблизи стенки образуются динамический и тепловой пограничные слои, которые представляют собой границы соответствующих фронтов возмущения, отделяющие возмущенный поток от невозмущенного.

В работе [2] рассмотрена система уравнений температурного пограничного слоя для плоскопараллельного, установившегося, вынужденного конвективного течения ньютоновской жидкости.

В данной работе изучается система уравнений температурного пограничного слоя для плоскопараллельного течения жидкости с реологией Ладыженской (см. рис. 1¹¹). При этом изучается тепловой пограничный слой, который образуется на границе двух жидкостей или жидкости и газа (пограничный слой Марангони).

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается система уравнений температурного пограничного слоя для плоскопараллельного течения жидкости с реологическим законом Ладыженской:

Система уравнений (1), (2) предполагается заданной в области

Вместе с системой уравнений (1), (2) рассматриваются граничные условия вида

В задаче (1)–(4) неизвестными являются продольная и поперечная компоненты скорости $u(x,y)$, $v(x,y)$ течения в точке (x, y), а также температура $T(x,y)$ среды в этой точке. Постоянные $\nu $, $a$ и $c$, являющиеся физическими параметрами рассматриваемой жидкости, считаются заранее известными. Постоянная ${{T}_{\infty }}$ является температурой внешнего потока. Также заранее известными считаются функции $U(x)$, $\widehat A(x)$, ${{v}_{0}}(x)$, ${{T}_{w}}(x)$, которые, соответственно, обозначают скорость внешнего течения жидкости, поверхностное натяжение на границе $\{ y = 0\} $, скорость вдува (отсоса) жидкости в поток (из потока) в точке $x$ нижней стенки области, температуру стенки в точке $x$.

Поскольку функции $u(x,y)$, $v(x,y)$ в задаче (1), (3) не зависят от температуры $T(x,y)$, то задача (1), (3) может быть решена отдельно.

Для задачи (1), (3) ранее установлена теорема единственности решения, см. [3]. Предположим, что функции $u$ и ${v}$ удовлетворяют уравнениям (1) в области

непрерывны в $\overline Q $ и удовлетворяют условиям (3); пусть, кроме того, выполняются неравенства где ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$, ${{C}_{3}}$, ${{C}_{4}}$ и ${{y}_{0}}$ – некоторые положительные постоянные. Тогда $u$, ${v}$ – единственное решение задачи (1), (3) с указанными свойствами.

2. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ

В этом разделе с учетом указанных условий на функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ приводится доказательство теоремы существования и единственности для классического решения $T(x,y) \in {{C}^{2}}(Q) \cup C(\overline Q )$ задачи (2), (4). Без ограничения общности предполагается, что коэффициент a равен единице. Для удобства обозначим правую часть уравнения (2) через $f(x,y)$.

Теорема 1. Пусть функции u(x, y), $v(x$, $y)\, \in \,$ $ \in \,C(\overline Q )$ удовлетворяют системе уравнений (1), условиям (3) и условиям единственности решения. Пусть также функция $f(x,y) \in C({{Q}_{X}})$ локально гёльдерова в $Q$ с некоторым показателем Гёльдера $0 < \gamma \leqslant 1$, функция ${{T}_{w}}$ является дифференцируемой на $[0,X]$ и ее производная ограничена на $[0,X]$. Пусть также

где $\beta (y)\, = \,\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant X} v(x,y)$, а для функции g(y) = $\mathop {\max }\limits_{0 \leqslant x \leqslant X} {\text{|}}f(x,y){\text{|}}$ выполнено

Тогда задача (2), (4) имеет в Q единственное классическое ограниченное решение $T(x,y)$.

Доказательство. С помощью замены переменных

область $Q = \{ (x,y) \in {{\mathbb{R}}^{2}}{\text{:}}\,\,0 < x < X,\,\,0 < y < \infty \} $ переводится в открытый прямоугольник D = = $\{ (x,\eta ) \in {{\mathbb{R}}^{2}}{\text{:}}\,\,0 < x < X,\,\,0 < \eta < 1\} $. Перепишем задачу (2), (4) в новых переменных, см. (5). Для этого выпишем частные производные, входящие в уравнение (2):

Далее всюду будем предполагать, что $u\, = \,u(x,y(\eta ))$, $v = v(x,y(\eta ))$, $f = f(x,y(\eta ))$. С учетом последних вычислений и замены (5) уравнение (2) принимает вид

Группируя слагаемые в последнем уравнении, имеем окончательно задачу в терминах замены из (5):

Здесь

Докажем единственность решения задачи (6), (7). Пусть ${{T}_{1}}(x,\eta )$, ${{T}_{2}}(x,\eta )$ – два решения задачи (6), (7). Обозначим разность этих решений за $T(x,\eta ) = {{T}_{1}}(x,\eta ) - {{T}_{2}}(x,\eta )$.

При произвольном $\varepsilon > 0$ выберем $\delta = \delta (\varepsilon ) > 0$ так, чтобы при $x \in [0,X]$, $\eta = 1 - \delta (\varepsilon )$ было выполнено ${\text{|}}T(x,\eta ){\text{|}} \leqslant \varepsilon $. Тогда функция V(x, η) = $T(x,\eta )$ – ε удовлетворяет уравнению $L(V) = 0$ в области D и  неравенству $V(x,\eta ) \leqslant 0$ при $x \in [0,X]$, $\eta = 0$, $\eta \, = \,1\, - \,\delta (\varepsilon )$. Покажем, что $V \leqslant 0$ в прямоугольнике

Положим

где функция $H(\eta )$ предполагается положительной и из класса ${{C}^{1}}([0,1 - \delta (\varepsilon )])$. Далее будем предполагать $H = H(\eta )$, $R = R(x,\eta )$. Рассмотрим оператор L(V). Выпишем частные производные, входящие в уравнение $L(v) = 0$. Имеем

С учетом вычисленных производных получаем следующий вид оператора $L(V)$:

Преобразовав слагаемые в последнем уравнении, получаем

Поделив обе части уравнения $L(V) = 0$ на функцию $H(\eta )$, выводим следующее уравнение:

где

Функция $H(\eta ) > 0$ выбирается так, чтобы для некоторой постоянной ${{F}_{0}} < 0$ при всех $\eta \in [0$, 1 – δ(ε)] выполнялось неравенство $F(x,\eta ) \leqslant {{F}_{0}}$.

Далее введем функцию

Тогда, учитывая вид функции $\Phi (x)$ и условия, наложенные на $u(x,y(\eta ))$, имеем в ${{D}_{\varepsilon }}$ неравенство

Поскольку ${{F}_{0}} < 0$ и $\Phi (x) \to + \infty $ при $x \to 0 + 0$, можно найти такое число $0 < {{x}_{0}} < X$, что при всех $0\, < \,x\, \leqslant \,{{x}_{0}}$, $0\, < \,\eta \, < \,1\, - \,\delta (\varepsilon )$ будет выполнено $L(\Phi ) \leqslant 0$. Тогда при любом $\lambda > 0$ для линейного оператора L выполняется неравенство

Далее, для каждого $\lambda > 0$ находится число $0 < {{x}_{1}}(\lambda ) < {{x}_{0}}$ такое, чтобы $\lambda \Phi (x) - R(x,\eta ) \geqslant 0$ при $0 \leqslant \eta \leqslant 1 - \delta (\varepsilon )$, $0 < x \leqslant {{x}_{1}}$. Кроме того, λΦ(x) – ‒ $R(x,\eta ) \geqslant 0$ при $\eta = 0$, $0 < x \leqslant X$ и при η = = $1 - \delta (\varepsilon )$, $0 < x \leqslant X$. По принципу максимума $\lambda \Phi (x) - R(x,\eta ) \geqslant 0$ при $0 < x \leqslant {{x}_{0}}$, $0 \leqslant \eta \leqslant 1 - \delta (\varepsilon )$. В силу произвольности $\lambda > 0$ получаем $R(x,\eta ) \leqslant 0$ при $0 \leqslant x \leqslant {{x}_{0}}$, $0 \leqslant \eta \leqslant 1 - \delta (\varepsilon )$. Снова применяя принцип максимума, получаем $R(x,\eta ) \leqslant 0$ в $\overline {{{D}_{\varepsilon }}} $. Значит $T(x,\eta ) \leqslant \varepsilon $ в $\overline {{{D}_{\varepsilon }}} $. В силу симметрии между ${{T}_{1}}$ и ${{T}_{2}}$ получим ${\text{|}}T(x,\eta ){\text{|}} \leqslant \varepsilon $ в $\overline {{{D}_{\varepsilon }}} $. В силу произвольности $\varepsilon > 0$ получаем ${{T}_{1}} = {{T}_{2}}$ в $\overline D $. Единственность решения установлена.

Докажем существование решения задачи (6), (7). При каждом $0 < \delta < \frac{1}{4}$ уравнение (6) рассмотрим в прямоугольнике

со следующими граничными условиями: где непрерывная на отрезке $[\delta ,1 - \delta ]$ функция $T_{1}^{\delta }(\eta )$ удовлетворяет свойствам

Решение ${{T}^{\delta }}(x,\eta )$ задачи (6), (8) существует и, согласно принципу максимума для невырожденных параболических уравнений (см., например, [4]),

где M не зависит от $\delta $. В силу оценок типа Шаудера [4] в любом фиксированном прямоугольнике ${{D}_{\delta }}$ при каждом $0 < \delta < \frac{1}{4}$ гёльдеровские нормы решения ${{T}^{\delta }}$ и производных $\frac{{\partial {{T}^{\delta }}}}{{\partial \eta }}$, $\frac{{{{\partial }^{2}}{{T}^{\delta }}}}{{\partial {{\eta }^{2}}}}$, $\frac{{\partial {{T}^{\delta }}}}{{\partial x}}$ удовлетворяют оценке где для произвольной непрерывной по Гёльдеру функции $\varphi (x,\eta )$ нормы ${\text{||}}\varphi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{\alpha }}$ и ${\text{||}}\varphi {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{2 + \alpha }}}$ в (10) определяются следующим образом (см., например, [4]):

Функция $\psi $ в (10) обозначает граничные условия (8).

На основании оценок (10) выделяется подпоследовательность ${{T}^{{{{\delta }_{m}}}}}$, $m = 1,2,...$, сходящаяся при $m \to \infty $ равномерно вместе с производными, входящими в уравнение (6), в каждой замкнутой области, лежащей строго внутри D. Переходя к пределу в уравнении для ${{T}^{{{{\delta }_{m}}}}}$ при $m \to \infty $, получаем, что предельная функция $T(x,\eta )$ удовлетворяет уравнению (6) в прямоугольнике D.

Для доказательства выполнения условия $T(x,0)$ = = T_w(x) оценивается разность

при малых $\eta $. Рассмотрим в области уравнение которому удовлетворяет функция ${{S}^{\delta }}(x,\eta )$. Пусть в области $D_{\delta }^{'}$ выполняются неравенства

Далее вводится вспомогательная функция Y(η) = = $K(1 - {{e}^{{ - N\eta }}})$. Постоянная $N > 0$ выбирается из условия $c(\eta )N \geqslant {\text{|}}b(x,\eta ){\text{|}} + 1$. Это возможно, так как коэффициент $v(x,y)$ ограничен при ограниченных $y$ или, согласно замене (5), при $\eta \leqslant {{\eta }_{0}} < 1$. Постоянная $K > 0$ выбирается так, чтобы

где $M$ – то же, что в неравенстве (9). По выбранному $N > 0$ вычислим $L(Y)$. Имеем

Рассмотрим функцию $Y \pm {{S}^{\delta }}(x,\eta )$. Принимая во внимание (11) и (12), оценим $L(Y \pm {{S}^{\delta }})$ в $D_{\delta }^{'}$. Получаем

Из граничных условий (8) и неравенств (9), (13) вытекает, что функция $Y \pm {{S}^{\delta }} \geqslant 0$ на границе области $D_{\delta }^{'}$, лежащей на прямых $x = \delta $, $\eta = \delta $, $\eta = \frac{1}{3}$. По принципу максимума отсюда выводим, что $Y \pm {{S}^{\delta }} \geqslant 0$ всюду в $D_{\delta }^{'}$. Следовательно, справедлива оценка

равномерная по $\delta $ и x. Отсюда, переходя к пределу при $\delta \to 0$ и $\eta \to 0$, получается условие T(x, 0) = = ${{T}_{w}}(x)$.

Для доказательства выполнения второго граничного условия в (7) оценивается разность

при малых $1 - \eta $. Уравнение $L({{J}^{\delta }}) = f(x,\eta )$, которому удовлетворяет функция ${{J}^{\delta }}(x,\eta )$, рассмаривается в области

Далее вводится в рассмотрение новая функция

где а функции $\beta (\tau )$, $g(\tau )$ – те же, что и в утверждении теоремы. Интеграл (14) существует в силу условий теоремы и определяет положительную функцию при $\eta < 1$. Постоянная ${{K}_{1}} \geqslant 1$ выбирается из условия $Z\left( {\frac{2}{3}} \right) \geqslant 2M$, где M – постоянная из неравенства (9). Вычислим функцию $L(Z)$:

Поскольку

по определению функции $\beta (\eta )$, то из (15) получим неравенство $L(Z) \leqslant - {{K}_{1}}g(\eta ).$ На границе $D_{\delta }^{{''}}$, лежащей на прямых $x = \delta $, $\eta = \frac{2}{3}$, $\eta = 1 - \delta $, выполняется неравенство $Z(\eta ) \pm {{J}^{\delta }}(x,\eta ) \geqslant 0.$ Внутри $D_{\delta }^{{''}}$, в силу выбора ${{K}_{1}} \geqslant 1$, имеем

Отсюда, согласно принципу максимума, получаем, что неравенство $Z \pm {{J}^{\delta }} \geqslant 0$ выполняется всюду в области $D_{\delta }^{{''}}$, или ${\text{|}}{{J}^{\delta }}(x,\eta ){\text{|}} \leqslant Z(\eta )$ в этой области. Переходя к пределу при $\delta \to 0$ в последнем неравенстве, получим, что $T(x,\eta ) \to {{T}_{\infty }}$ при $\eta \to 1$ равномерно, что и требовалось доказать.

Замечание 1. При постановке задачи (2), (4) предполагалось, что температура внешнего потока ${{T}_{\infty }}$ является постоянной. Оказывается, что для ограниченного в полосе Q решения $T(x,y)$ уравнения (2) нельзя задавать на бесконечности значение, отличное от постоянного.

Доказательство. Предположим, что решение $T(x,y)$ задачи (2), (4) таково, что $\mathop {\lim }\limits_{y \to \infty } T(x,y) = {{T}_{\infty }}(x)$. В силу замены (5) это равносильно условию $T(x,\eta ){{{\text{|}}}_{{\eta = 1}}} = {{T}_{\infty }}(x)$. Для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $\delta (\varepsilon )$, что будет выполнено неравенство

Положим ${{J}^{\delta }}(x,\eta ) = {{T}^{\delta }}(x,\eta ) - {{T}_{\infty }}(\delta )$. Уравнение (6), которому удовлетворяет функция ${{J}^{\delta }}(x,\eta )$, рассмотрим в области

Далее, рассматривая новую функцию Z(η) + + $\varepsilon \pm {{J}^{\delta }}(x,\eta )$, где $Z(\eta )$ определена равенством (14), и повторяя дословно весь ход рассуждений, проведенных при доказательстве выполнения второго условия из (4), получим в области $\overline D _{\delta }^{{''}}$ равномерную по $\delta $ и $x$ оценку:

Отсюда, устремляя $\delta $ к нулю и замечая, что $Z(\eta ) \to 0$ при $\eta \to 1$, имеем:

В силу произвольности выбора $\varepsilon $ получим $T(x,1) \equiv {{T}_{\infty }}(0)$, т.е. ${{T}_{\infty }}(x) \equiv {{T}_{\infty }}(0) = {\text{const}}$.

Замечание 2. Если задать только первое условие в (4), а второе условие опустить, то ограниченное решение уравнения (2) с граничным условием $T{{{\text{|}}}_{{y = 0}}} = {{T}_{0}}(x)$, где ${{T}_{0}}(x)$ – заданная в $0 \leqslant x \leqslant X$ непрерывная функция, может оказаться неединственным.

Доказательство. Уравнению (2) при a = 1, $u = {{x}^{k}}$, $v = \lambda y$, $f \equiv 0$ $(k \geqslant 1,\lambda = {\text{const}} < 0)$ и граничному условию $T{{{\text{|}}}_{{y = 0}}} = 0$ удовлетворяет ограниченная и отличная от нуля в полосе Q функция

Отсюда следует, что решение задачи (2), (4) при рассмотренных условиях неединственно.