Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 502, № 1, стр. 46-51

1. ЭТАЛОННОЕ УРАВНЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРЮФЕРА

Обозначим через $w(x)$ решение эталонного уравнения

удовлетворяющее начальным условиям $w(0) = 0$, $w{\kern 1pt} '(0)$ = 1. Функция $w(x)$ – периодическая с амплитудой $A(\lambda )\, = \,{{\left( {\frac{{\lambda \, + \,1}}{2}} \right)}^{{1/(\lambda + 1)}}}$ и периодом T(λ) = = $4\frac{{A(\lambda )}}{{\lambda + 1}}{\text{B}}\left( {\frac{1}{{\lambda + 1}},\frac{1}{2}} \right),$ причем

Для получения асимптотических представлений решений уравнения (1) воспользуемся обобщенным преобразованием Прюфера (ср. [2])

где $\rho (t),\;\theta (t)$ – новые переменные типа действие–угол. Важную роль при этом будет играть величина представляющая собой аналог адиабатического инварианта Эренфеста (см., например, [3]). Замена (4)–(5) – невырожденная с якобианом причем $\theta (t)$ и $\rho (t)$ удовлетворяют системе дифференциальных уравнений

Отметим в этой связи, что обобщенное преобразование Лиувилля

где C > 0, приводит уравнение (1) к виду

Если выражение, стоящее здесь в фигурных скобках, достаточно мало на бесконечности в определенном смысле, то естественно ожидать, что решение $v(\xi (t))$ полученного уравнения будет асимптотически эквивалентно решению эталонного уравнения $w(\xi (t)).$

2. АДИАБАТИЧЕСКИЙ ИНВАРИАНТ И ПЕРЕМЕННЫЕ ДЕЙСТВИЕ–УГОЛ

Утверждение 1. При выполнении условия (2) для любого решения $u(t)$ уравнения (1) существует предел

конечный или бесконечный. При этом $J[u] > 0,$ если $\lambda \leqslant 1,$ и $J[u] < \infty ,$ если $\lambda \geqslant 1.$

Действительно, если $u(t)$ – решение уравнения (1), то справедливо равенство

и, таким образом, для произвольных $t \geqslant s \geqslant 0$ имеет место соотношение

Ввиду вытекающего из (6) неравенства

ограниченность величины $I[u](t)$ в силу условий (2) влечет существование предела $J[u] \geqslant 0$. Если $J[u] = 0,$ то из соотношения (7) и неравенства (8) следует оценка которая может реализоваться лишь при $\lambda > 1$ (ср. [4]) и, таким образом, в этом случае имеет место неравенство с константой M(λ) = ${{(\lambda \, + \,1)}^{{2/(\lambda - 1)}}}{{(8{\text{/}}(\lambda \, + \,3))}^{{2(\lambda + 1)/(\lambda - 1)}}}$. Если же величина $I[u](t)$ неограничена при $t \to \infty ,$ то снова в силу соотношения (7) и неравенства (8) выполнена оценка (9), причем необходимо $\lambda < 1,$ и соответственно в этом случае

Утверждение 2. Если $0 < J[u] < \infty ,$ то соответствующее решение $u(t)$ уравнения (1) имеет вид (4)–(5), где

В самом деле, первое предельное соотношение непосредственно следует из утверждения 1 и равенства (6), а для доказательства второго предварительно заметим, что при сделанных предположениях

Допуская противное, ввиду (2) приходим к заключению, что интеграл

сходится. Последнее возможно лишь в том случае, если существует $\mathop {\lim \,}\limits_{t \to + \infty } q(t) > 0,$ что очевидно несовместимо со сделанным нами допущением. Отсюда, в силу дифференциального уравнения для $\theta (t)$ и существования первого интеграла (3), вытекает, что $\theta (t) \to \infty $ при $t \to \infty $ и, более того, имеет место предельное соотношение

Следствие 1. В случае $\lambda = 1$ формулы (4)–(5) дают известные ВКБ-асимптотики решений линейного уравнения

Утверждение 3. Для произвольного ${{\rho }_{\infty }} > 0$ существует решение $u(t)$ уравнения (1) вида (4)–(5), где

Действительно, в силу утверждения 2 достаточно показать, что функционал $J[u]$ принимает всевозможные положительные значения. Для фиксированных $C > 0$ и $\varepsilon > 0$ выберем $T > 0$ так, что

Пусть $u(t)$ – решение уравнения (1), удовлетворяющее условию $I[u](T) = C.$ Тогда, согласно соотношению (7) и неравенству (8), при $t \geqslant T$ имеем ${\text{|}}I[u](t) - C{\text{|}} < \varepsilon $ и, следовательно, ${\text{|}}J[u] - C{\text{|}} \leqslant \varepsilon .$ Выберем теперь ${{C}_{0}},\;{{C}_{1}}$ и $\varepsilon $ так, что ${{C}_{0}} + \varepsilon < C < {{C}_{1}} - \varepsilon ,$ и построим решения ${{u}_{0}}(t)$ и ${{u}_{1}}(t)$ уравнения (1), для которых $J[{{u}_{0}}] \leqslant {{C}_{0}} + \varepsilon $ и $J[{{u}_{1}}] \geqslant {{C}_{1}} - \varepsilon $ соответственно. Пусть ${{u}_{\tau }}(t)$ – однопараметрическое семейство решений уравнения (1) с начальными условиями ${{u}_{\tau }}(0) = (1 - \tau ){{u}_{0}}(0) + \tau {{u}_{1}}(0)$ и $u_{\tau }^{'}(0)$ = = $(1 - \tau )u_{0}^{'}(0) + \tau u_{1}^{'}(0),$ где $\tau \in [0,1].$ По теореме о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных $J[{{u}_{\tau }}]$ – непрерывная функция параметра $\tau $ и, стало быть, она принимает заданное значение $C$ на отрезке $[0,1].$

Наряду с $I[u](t)$ для решения $u(t)$ уравнения (1) введем в рассмотрение величину

логарифмическая производная которой имеет вид $(\ln E[u](t)){\kern 1pt} ' = - \frac{{u{\kern 1pt} '{{{(t)}}^{2}}}}{{E[u](t)}}\frac{{q{\kern 1pt} '(t)}}{{q{{{(t)}}^{2}}}},$ и как следствие этого

Положим

так, что $q(t) = {{q}_{ + }}(t) - {{q}_{ - }}(t),$ причем $q_{ \pm }^{'}(t) \geqslant 0,$ и таким образом справедливо

Утверждение 4. Для произвольных $s \leqslant t$ выполнена двусторонняя оценка

3. УРАВНЕНИЯ С КВАЛИФИЦИРОВАННОЙ АСИМПТОТИКОЙ РЕШЕНИЙ

Комбинируя утверждения 1–4 с оценками (10) и (11) в случаях $\lambda > 1$ и $\lambda < 1$ соответственно, сформулируем условия, при которых все решения уравнения (1) имеют вид (4)–(5).

Теорема 1. Пусть $q(t) \in {{{\text{C}}}^{2}}({{\mathbb{R}}_{ + }})$ и выполнено условие (2). Если $\lambda < 1,$ то дополнительно потребуем, чтобы

а в случае, когда $\lambda > 1,$ предположим, что

Тогда любое решение $u(t)$ уравнения (1) имеет вид (4)–(5), где $\rho (t)$ и $\theta (t)$ удовлетворяют асимптотическим соотношениям (12).

Условия теоремы 1 по сути означают некоторую регулярность поведения коэффициента $q(t)$ на бесконечности. Если $q(t)$ монотонно возрастает, то условие (2) в теореме 1 можно заменить требованием сходимости интеграла

причем дополнительные ограничения (14)–(15) выполняются автоматически (см. [4]). Класс уравнений (1), удовлетворяющих условию ${{\widehat S}_{\lambda }}(t) < \infty ,$ для решений $u(t)$ которых справедливы асимптотические формулы (4)–(5), может быть расширен так, чтобы в соответствующем разложении $q(t) = {{q}_{ + }}(t) - {{q}_{ - }}(t)$ компонента ${{q}_{ - }}(t)$ была в определенном смысле подчиненной по отношению к ${{q}_{ + }}(t).$

Теорема 2. Пусть выполнено условие ${{\widehat S}_{\lambda }}(t) < \infty ,$ существует монотонно возрастающая функция $\hat {q}(t)$ такая, что $q(t) \geqslant \hat {q}(t) > 0,$ причем отношение $\frac{{q(t)}}{{\hat {q}(t)}}$ ограничено, и кроме того

Тогда любое решение $u(t)$ уравнения (1) имеет вид (4)–(5), где $\rho (t)$ и $\theta (t)$ удовлетворяют асимптотическим соотношениям (12).

В случае $\lambda < 1$ сходимость интеграла ${{\widehat S}_{\lambda }}(t)$ очевидно влечет существование конечного предела $\mathop {\lim \,}\limits_{t \to + \infty } q{\kern 1pt} '(t)q{{(t)}^{{ - 3/2}}} = c.$ В самом деле, если $c > 0,$ то $q{\kern 1pt} '(t)q{{(t)}^{{ - 3/2}}} > c{\text{/}}2$ начиная с некоторого достаточно большого ${{t}_{0}},$ что, после интегрирования, немедленно приводит к противоречию:

Если же $c < 0,$ то $q{\kern 1pt} '(t)q{{(t)}^{{ - 3/2}}} < \frac{c}{2}$ при $t \geqslant {{t}_{0}}$ и, стало быть,

откуда следует, что $q(t) \to 0$, $t \to \infty $. Последнее несовместимо с существованием монотонно возрастающей положительной функции $\hat {q}(t) \leqslant q(t)$ и, таким образом, c = 0, а тем более, $\alpha (t) \to 0$ при $t \to \infty ,$ ввиду отделенности $q(t)$ от нуля. Далее, устремляя $t$ к бесконечности в равенстве с учетом условия ${{\widehat S}_{\lambda }}(t) < \infty ,$ приходим к следующему заключению и, следовательно, предположения теоремы обеспечивают выполнение условия (2). Наконец заметим, что поскольку

Стало быть, ввиду ограниченности отношения $\frac{{q(t)}}{{\hat {q}(t)}},$ условие (16) обеспечивает выполнение (14) и, таким образом, в рассматриваемой ситуации применима теорема 1.

Аналогично предыдущему в случае $\lambda > 1$ из сходимости интеграла ${{\widehat S}_{\lambda }}(t)$ следует, что $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } q{\kern 1pt} '(t)q{{(t)}^{{ - (\lambda + 2)/(\lambda + 1)}}}$ = 0, и стало быть, ввиду отделенности $q(t)$ от нуля, имеем $\alpha (t) \to 0$ при $t \to \infty .$ Переходя к пределу при $t \to \infty $ в равенстве

с использованием условия ${{\widehat S}_{\lambda }}(t) < \infty ,$ снова получаем (17) и, стало быть, выполняется условие (2). Далее установим оценку где

Наконец, учитывая ограниченность отношения $\frac{{q(t)}}{{\hat {q}(t)}}$ и равенство

приходим к заключению, что в рассматриваемом случае, когда $\lambda > 1,$ условие (16) обеспечивает выполнение (15) и, таким образом, при сделанных предположениях снова применима теорема 1. Класс коэффициентов уравнения (1), заведомо удовлетворяющих условиям теоремы 2, образуют $q(t)$ такие, что ${{\widehat S}_{\lambda }}(t) < \infty $ и $\int\limits_{}^\infty {\frac{{d{{q}_{ - }}(s)}}{{q(s)}} < \infty } .$

Несколько иначе выглядят условия, обеспечивающие асимптотическое поведение вида (4)–(5) решений уравнения (1) рассматриваемого типа, если коэффициент $q(t)$ монотонно убывает (см. [4]). При этом условие (2) в теореме 1 можно заменить требованием сходимости интеграла

а дополнительные ограничения (14)–(15) снова выполняются автоматически. Класс уравнений (1), удовлетворяющих условию ${{\widetilde S}_{\lambda }}(t) < \infty ,$ для решений $u(t)$ которых справедливы асимптотические формулы (4)–(5), устойчив относительно в определенном смысле малого возмущения свойства монотонности коэффициента $q(t).$

Теорема 3. Пусть выполнено условие ${{\widetilde S}_{\lambda }}(t) < \infty ,$ существует монотонно убывающая функция $\tilde {q}(t)$ такая, что $\tilde {q}(t) \geqslant q(t) > 0,$ причем отношение $\frac{{\tilde {q}(t)}}{{q(t)}}$ ограничено,

и, кроме того, $\mathop {\lim \,}\limits_{t \to + \infty } q{\kern 1pt} '(t)q{{(t)}^{{ - (\lambda + 2)/(\lambda + 1)}}} = 0$ при $\lambda < 1$ и $\mathop {\lim \,}\limits_{t \to + \infty } q{\kern 1pt} '(t)q{{(t)}^{{ - 3/2}}} = 0$ при $\lambda > 1.$ Тогда любое решение $u(t)$ уравнения (1) имеет вид (4)–(5), где $\rho (t)$ и $\theta (t)$ удовлетворяют асимптотическим соотношениям (12).

Как известно (см., например, [4]) сходимость интеграла

обеспечивает существование у уравнения (1) решения с асимптотикой

С учетом этого приходим к заключению о том, что условия сформулированной выше теоремы точны в степенной шкале коэффициентов $q(t) = {{t}^{\gamma }}.$ Действительно, при λ ≥ 1 условие ${{\widetilde S}_{\lambda }}(t) < \infty $ выполняется, когда $\gamma > - 2,$ а если $\gamma < - 2$, то у соответствующего уравнения (1) существует решение вида $u(t) = 1 + o(1),$ $t \to \infty ,$ для которого $J[u] = 0$ и не могут иметь место асимптотические формулы (4)–(5). В свою очередь, при $\lambda \leqslant 1$ условие ${{\widetilde S}_{\lambda }}(t) < \infty $ выполнено, если $\gamma > - (\lambda + 1),$ а в случае $\gamma < - (\lambda + 1)$ уравнение (1) имеет решение с асимптотикой $u(t) = t(1 + o(1)),$ $t \to \infty ,$ для которого $J[u] = \infty $ и снова не справедливо представление (4)–(5). Наконец, при $\lambda = 1$ и $\gamma = - 2$ в случае линейного уравнения (1) для описания поведения его решения $u(t) = \sqrt t \sin (\sqrt 3 t{\text{/}}2)$ также не применима формула ВКБ.

4. СВЯЗЬ С МЕТОДОМ ДВУХМАСШТАБНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ

В рамках нелинейной модификации метода ВКБ (см. [5, 6]) решение уравнения вида

при малых значениях параметра $\varepsilon $ ищется в виде асимптотического ряда

Данный подход известен под названием метода двухмасштабных разложений, где наряду с исходным “медленным” временем $t$ вводится “быстрая” переменная $\tau = \xi (t){\text{/}}\varepsilon $. Подстановка двухмасшабного разложения (19) в (18) и приравнивание нулю коэффициентов при последовательных степенях параметра $\varepsilon $ приводит к рекуррентной системе уравнений для ${{u}_{n}}(\tau ,t),$ первые два из которых имеют вид

Уравнение (20) содержит две неизвестные функции ${{u}_{0}}(\tau ,t)$ и $\xi (t),$ и найти их можно, лишь исследуя уравнение (21) для первой поправки ${{u}_{1}}(\tau ,t).$ В случае, когда уравнение (20) имеет периодическое решение ${{u}_{0}}(\tau ,t)$ с периодом $T = T(t),$ выполнение соотношения

является (см., например, [6]) необходимым и достаточным для того, чтобы уравнение (21) имело $T$-периодическое решение ${{u}_{1}}(\tau ,t).$ Таким образом, для определения ${{u}_{0}}(\tau ,t)$ и $\xi (t)$ к уравнению (20) следует присоединить условие (22). Этот подход позволяет эффективно находить главный член ${{u}_{0}}(\xi (t{\text{)/}}\varepsilon ,t)$ асимптотического разложения (19), представляющий собой нелинейный аналог ВКБ-асимптотики. Для уравнения (18) типа Эмдена–Фаулера соответствующий результат разумеется согласуется с формулами (4)–(5).

Предложение 1. В случае f(t, u) = = $q(t){\text{|}}u{{{\text{|}}}^{\lambda }}{\text{sign}}u,$ где $q(t) > 0,$ для произвольного $C > 0$ уравнение (18) имеет формальное асимптотическое решение (19) с главным членом

где $w(x)$ – решение эталонного уравнения.

В рассматриваемом случае решение уравнения (20) будем искать в форме ${{u}_{0}}(\tau ,t) = a(t)w(\tau ),$ где $a(t) > 0.$ При этом $\xi {\kern 1pt} '{{(t)}^{2}} = q(t)a{{(t)}^{{\lambda - 1}}},$ а соотношение (22) преобразуется к виду

откуда следует, что $a{{(t)}^{2}}\xi {\kern 1pt} '(t) = {\text{const}}$ – постоянная, параметризующая семейство формальных асимптотических решений. Фиксируя эту постоянную, находим

Таким образом, получена явная формула для главного члена ${{u}_{0}}(\xi (t){\text{/}}\varepsilon ,t) = a(t)w(\xi (t){\text{/}}\varepsilon )$ асимптотического разложения (19), которая согласуется с (4)–(5).

Отметим, что для определения следующих поправок теории возмущений получается рекуррентная система неоднородных линейных уравнений относительно ${{u}_{n}}(\tau ,t),$ в которых “медленное” время $t$ играет роль параметра. О приложениях описанного выше метода двухмасштабных разложений см., например, [7, 8].