Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 11-15

1. ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА И КОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ЧИСЛА ДИНИ ОТ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

История появления формулы Тейлора и различных ее доказательств на протяжении последних трех столетий представлена в [9]. В последние десятилетия получены формулы Тейлора на основе различных типов дробных производных от непрерывных функций [10]. С современной точки зрения фундаментальное значение в теории непрерывных функций имеют не только теоремы, связанные с формулой Тейлора, но и теорема Данжуа, которая описывает поведение производных чисел Дини (аналогов классических производных), существующих для любых непрерывных функций [11].

Напомним, что верхним правым производным числом Дини ${{D}^{ + }}f(x)$ функции f в точке $x$ называют предел ${{D}^{ + }}f(x) = \mathop {\overline {\lim } }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}$. Правое нижнее производное число Дини функции f в точке $x$ определяется как D₊f(x) = $\mathop {\underline {\lim } }\limits_{h \to 0 + } \frac{{f(x\, + \,h)\, - \,f(x)}}{h}$. Верхние ${{D}^{ - }}f(x)$ и нижние ${{D}_{ - }}f(x)$ левые производные числа Дини функции f в точке $x$ определяются аналогично.

С целью полноты изложения приведем формулировку теоремы Данжуа [5, 11].

Теорема 1 (Данжуа). Пусть $f(x)$ – непрерывная функция, определенная на отрезке $[a,b]$. Тогда в каждой точке множества полной меры выполняется одно из следующих условий:

a) ${{D}^{ + }} = {{D}^{ - }} = + \infty $, ${{D}_{ + }} = {{D}_{ - }} = - \infty $;

б) ${{D}^{ + }} = {{D}_{ - }} \ne \pm \infty $, ${{D}_{ + }} = - \infty $, ${{D}^{ - }} = + \infty $;

в) ${{D}_{ + }} = {{D}^{ - }} \ne \pm \infty $, ${{D}^{ + }} = + \infty $, ${{D}_{ - }} = - \infty $;

г) ${{D}^{ + }} = {{D}^{ - }} = {{D}_{ + }} = {{D}_{ - }} \ne \pm \infty .$

Из теоремы Данжуа следует, что поведение производных чисел Дини отражает как локальную, так и глобальную сложность непрерывных функций.

Ниже представлена теорема, описывающая связь между конечными производными числами Дини и формулами Тейлора для гладких функций. Эти формулы принципиально отличаются друг от друга видом остаточного члена.

Теорема 2. Пусть ${{x}_{0}}$ – произвольная точка из (a, b), величина $h > 0$ (это условие не нарушает общности результатов) такова, что ${{x}_{0}} + h \in (a,b)$. Предположим, что функция $f(x)$ имеет непрерывные производные до $(n - 1)$ порядка на интервале (a, b), а производные числа Дини от функции ${{f}^{{(n - 1)}}}(x)$ конечны на (a, b). Тогда имеют место следующие представления:

если ${{x}_{0}} \in P$, где $P$ – множество второй категории полной лебеговой меры на (a, b), на котором производные числа Дини от функции ${{f}^{{(n - 1)}}}(x)$ конечны и равны; $\xi \in ({{x}_{0}},{{x}_{0}} + h) \cap P$. если ${{x}_{0}} \in {{P}_{1}}$, где ${{P}_{1}}$ – нуль-множество первой категории из (a, b), на котором производные числа Дини от функции ${{f}^{{(n - 1)}}}(x)$ удовлетворяют равенствам ${{D}^{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}(x) = {{D}_{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}(x) = f_{ + }^{{(n)}}(x)$ $(f_{ + }^{{(n)}}(x)$ – правосторонняя производная от ${{f}^{{(n - 1)}}}(x))$, D^–f^{(n – 1)}(x) = = ${{D}_{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}(x)\, = \,f_{ - }^{{(n)}}(x)$ $(f_{ - }^{{(n)}}(x)$ – левосторонняя производная от ${{f}^{{(n - 1)}}}(x))$, причем $f_{ + }^{{(n - 1)}}(x) \ne f_{ - }^{{(n - 1)}}(x)$.

Точки из множества ${{P}_{1}}$ либо принадлежат нуль-множеству типа ${{G}_{\delta }}$, либо нуль-множеству типа ${{G}_{{\delta \sigma }}}$. Параметр $t \in [0,1]$ и определяется по формуле

где $\theta \in ({{x}_{0}},{{x}_{0}} + h) \cap {{P}_{1}}$ – произвольное решение неравенства где ${{t}_{1}} = \frac{{{{D}^{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{1}})}}{{{{D}^{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{1}}) - {{D}^{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{1}})}}$, ${{\theta }_{1}}$ – произвольное решение неравенства ${{D}^{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{1}}) \cdot {{D}^{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{1}})$ ≤ 0; где ${{t}_{2}} = \frac{{{{D}_{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{2}})}}{{{{D}_{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{2}}) - {{D}^{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{2}})}}$, ${{\theta }_{2}}$ – произвольное решение неравенства ${{D}^{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{2}}) \cdot {{D}_{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{2}})$ ≤ 0; где ${{t}_{3}}\, = \,\frac{{{{D}^{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{3}})}}{{{{D}^{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{3}}) - {{D}_{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{3}})}}$, ${{\theta }_{3}}$ – произвольное решение неравенства ${{D}^{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{3}}) \cdot {{D}_{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{3}})$ ≤ 0; где ${{t}_{4}}\, = \,\frac{{{{D}_{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{4}})}}{{{{D}_{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{4}}) - {{D}_{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{4}})}}$, ${{\theta }_{4}}$ – произвольное решение неравенства ${{D}_{ + }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{4}}) \cdot {{D}_{ - }}{{f}^{{(n - 1)}}}({{\theta }_{4}})$ ≤ 0,

если ${{x}_{0}} \in {{P}_{2}}$, где ${{P}_{2}}$ – нуль-множество первой категории, на котором производные числа Дини попарно не равны друг другу.

Точки из множества ${{P}_{2}}$ либо принадлежат нуль-множеству типа ${{G}_{\sigma }}$, либо нуль-множеству типа ${{G}_{{\delta \sigma }}}$.

Следствие 1. Производные числа Дини от функции ${{f}^{{(n - 1)}}}(x)$ почти всюду дифференцируемы на (a, b).

Следствие 2. Производные числа Дини от функции ${{f}^{{(n - 1)}}}(x)$ обладают N-свойством Лузина, т.е. образ произвольного измеримого множества из $(a,b)$ при отображении производным числом Дини является измеримым множеством из $\mathbb{R}$, причем образом произвольного нуль-множества из $(a,b)$ является нуль-множество из $\mathbb{R}$.

Следствие 3. Производные числа Дини от функции ${{f}^{{(n - 1)}}}(x)$ удовлетворяют ${{T}_{2}}$-условию на $(a,b)$, т.е. почти каждое свое значение они принимают не более счетного числа раз.

Следствие 4. Каждое из множеств $P$, ${{P}_{1}}$, ${{P}_{2}}$ может быть представлено в виде конечного или счетного объединения множеств, на каждом из которых производные числа Дини от функции ${{f}^{{(n - 1)}}}(x)$ удовлетворяет условию Липшица.

Следствие 5. Множество точек непрерывности функции ${{f}^{{(n)}}}(x)$ есть множество ${{P}_{0}} \subset P$, которое является всюду плотным ${{G}_{\delta }}$-множеством на P.

Представления (1), (2) и (3)–(6) – являются формулами Тейлора–Лагранжа, Тейлора–Караматы [12] и Тейлора–Гуднера [13] соответственно. Они справедливы только для непрерывных функций с ограниченными производными числами Дини.

Ниже представлены формулы типа Тейлора для произвольных непрерывных функций на отрезках, у которых производные числа Дини могут принимать бесконечные значения. Как указано выше, именно такой фундаментальной особенностью обладают фрактальные функции.

2. КЛАССЫ ФОРМУЛ ТИПА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА КОНЕЧНЫХ ОТРЕЗКАХ

Не нарушая общности, в дальнейшем будем рассматривать непрерывные функции на отрезке [0, 1].

Теорема 3. Для произвольной функции $f \in C[0,\;1]$ при ${{x}_{0}} \in (0,\;1)$, $h > 0$, ${{x}_{0}} + h \in (0,\;1)$ имеет место представление

где n ≥ 2, $C_{n}^{k}\, = \,\frac{{k!}}{{k!(n\, - \,k)!}}$ (n ≥ k), A_{0, n}(x₀, h) = = ${{(1 - ({{x}_{0}} + h))}^{n}}$ – (1 – x₀)ⁿ, ${{A}_{{n,n}}}({{x}_{0}},h)\, = \,{{({{x}_{0}}\, + \,h)}^{n}}\, - \,x_{0}^{n}$, ${{A}_{{k,n}}}\, = \,\sum\limits_{l = 0}^{n - k} {{( - 1)}^{{n - k - l}}}\, \cdot \,C_{{n - k}}^{l}\left( {\sum\limits_{s = 1}^{n - l} C_{{n - l}}^{s}\, \cdot \,x_{0}^{{n - l - s}}\, \cdot \,{{h}^{s}}} \right)$, R_n(  f  ; x₀, h) = $r_{n}^{1}(f;{{x}_{0}},h) - r_{n}^{0}(f;{{x}_{0}})$ – остаточный член, непрерывно зависящий от параметра $h$ и удовлетворяющий условию $\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} {{R}_{n}}(f;{{x}_{0}},h) = 0$.

Здесь $r_{n}^{0}(f;{{x}_{0}})$, $r_{n}^{1}(f;{{x}_{0}},h)$ – погрешности приближений функции f полиномом Бернштейна ${{B}_{n}}(f;x) = \sum\limits_{k = 0}^n C_{n}^{k}f\left( {\frac{k}{n}} \right){{x}^{k}}{{(1 - x)}^{{n - k}}}$ в точках x₀и ${{x}_{0}} + h$ соответственно.

Следствие 6. Непрерывная функция f имеет в точке x₀конечную производную тогда и только тогда, когда при некотором $n \in N$ существует конечный предел

При каждом натуральном значении n ≥ 2 представление (7) является формулой типа Тейлора первого класса.

Из (7) следует, что для оценивания значений произвольной непрерывной функции f в точках конечного интервала принципиально не требуется наличия у нее производных как целого, так и дробного порядков (любых видов) хотя бы в одной точке.

В отличие от теоремы 3 в следующей теореме указана процедура выбора параметра $h$ в зависимости от конкретной функции f, точки ${{x}_{0}}$, а также величин $n$, $N$ и $\alpha $.

Теорема 4. Для произвольной функции $f \in C[0,1]$ при ${{x}_{0}} \in (0,\;1)$, $h > 0$, ${{x}_{0}} + h \in (0,\;1)$, $0 < \alpha < 1$, n ≥ 2, N ≥ 2 имеет место представление

где ${{A}_{{0,n}}}({{x}_{0}},h) = (1 - ({{x}_{0}} + h{{))}^{n}} - {{(1 - {{x}_{0}})}^{n}}$, A_{n, n}(x₀, h) = = ${{({{x}_{0}} + h)}^{n}} - x_{0}^{n}$, $_{C}{{D}^{\alpha }}{{g}_{{k,n}}}(t)$ – производная Капуто от функции ${{g}_{{k,n}}}(t) = {{t}^{k}}{{(1 - t)}^{{n - k}}}$, которая в каждой точке может быть найдена по формуле

Здесь  U_{k, n, p} = $\sum\limits_{l = 0}^{n - k} {{( - 1)}^{{n - k - l}}}\, \cdot \,\frac{{(n\, - \,l)(n\, - \,l\, - \,1)}}{{n - l + p - 1}}\, \cdot \,C_{{n - k}}^{l}$ · · t^{n – l – 1}.

Числа ${{\xi }_{{k,n}}} \equiv {{\xi }_{{k,n}}}({{x}_{0}},h,\alpha )$ при каждом k = 1, ..., $n - 1$ являются корнями уравнений

причем $0 \leqslant {{\xi }_{{k,n}}} \leqslant {{x}_{0}} + h$, числа ${{\lambda }_{{k,n}}}({{x}_{0}},\alpha )$ при каждом $k = 1,\; \ldots ,\;n - 1$ являются корнями уравненийпричем $0 \leqslant {{\lambda }_{{k,n}}} \leqslant {{x}_{0}}$.

Допустимые значения параметра h при фиксированных значениях ${{x}_{0}}$, $\alpha $, $n$, $N$ должны удовлетворять неравенству

где q > 0 такое достаточно большое число, что для остаточного члена выполняется неравенство $\left| {R(f;{{x}_{0}},h)} \right|\, \leqslant \,\varepsilon $.

Для каждой пары натуральных значений n ≥ 2, N ≥ 2 и $0 < \alpha < 1$ представление (8) определяет формулу типа Тейлора второго класса.

Отметим, что формула (8) принципиально связана как с представлением производной Капуто порядка $0 < \alpha < 1$ от непрерывных функций из [14], так и с теоремой о среднем для производных Капуто порядка $0 < \alpha < 1$ из [10].

3. ФОРМУЛЫ ТИПА ТЕЙЛОРА В ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМОЙ

Приведем пример, показывающий значение формул типа Тейлора (7) и (8) в задаче управления одномерной колебательной системой, динамика которой описывается представлением Даламбера [15]:

Здесь $\Phi (x)$ и $\Psi (x)$ – нечетные продолжения функций $\varphi (x) = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {{\varphi }_{m}}(x)$ и $\psi (x) = \mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {{\psi }_{m}}(x)$ соответственно на сегменты $[ - l,0]$ и $[l,2l]$. Функция μ(t) = = $\mathop {\lim }\limits_{m \to \infty } {{\mu }_{m}}(t)$ на [0, T], $\mu (0) = 0$, $\mu (t) \equiv 0$ при аргументах t < 0. Аналогичным условиям удовлетворяет и функция $\nu (t)$. Отметим, что функции $\mu (t)$ и $\nu (t)$ являются функциями, управляющими динамикой системы.

Функции ${{\varphi }_{m}}(x)$, ${{\psi }_{m}}(x)$, ${{\mu }_{m}}(t)$, ${{\nu }_{m}}(t)$ определяются из условий:

Функции ${{u}_{m}}(t)$ являются классическими решениями уравнения

при $0 \leqslant x \leqslant l$, $0 \leqslant t \leqslant T$.

Не нарушая общности, будем считать, что T = 1. Из формул (9) и (10) можно найти значения функций ${{\mu }_{m}}(t)$ и ${{\nu }_{m}}(t)$ в точках $\frac{k}{n}$ при $k = 0,\; \ldots ,\;n$. Затем с помощью предельных переходов определяются значения функций $\mu (t)$ и $\nu (t)$ в этих же точках. Применяя формулы (7) и (8), можно получить оценки управляющих функций $\mu (t)$ и $\nu (t)$ в произвольной точке из интервала (0, 1).

Аналогичные рассуждения справедливы при оценивании соответствующих функций в других задачах управления распределенными системами [15].

В заключение отметим, что представляет несомненный интерес построение формул типа Тейлора для произвольных непрерывных функций от нескольких действительных переменных.