Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 23-25

Основные понятия алгебраической геометрии над группами были изложены в работах Г. Баумслага, А. Мясникова и В. Ремесленникова [1], которым мы следуем в терминологии и обозначениях. Более общая, универсальная алгебраическая геометрия, применимая к произвольным алгебраическим системам, была начата в работах Плоткина, Данияровой, А. Мясникова и В. Ремесленникова и успешно развивается для полугрупп, некоммутативных колец, полурешеток и графов. В настоящее время алгебраическая геометрия над группами стала важным инструментом изучения в комбинаторной, геометрической и теоретико-модельной теории групп. Наиболее полно разработаны алгебро-геометрические методы для свободных групп, гиперболических групп и частично-коммутативных групп, а также для метабелевых, свободных разрешимых и жестких разрешимых групп. Одним из принципиальных открытых вопросов в этой области является построение алгебраической геометрии над нильпотентными группами без кручения, в частности, над свободными нильпотентными группами. Помимо непосредственного интереса к нильпотентным группам, важность этого вопроса заключается такжe в том, что во многих случаях подгруппа Фиттинга $\Phi $ группы $G$ выделится в $G$ некоторой конечной системой уравнений, поэтому алгебраическая геометрия над нильпотентной группой $\Phi $ непосредственно вкладывается в алгебраическую геометрию исходной, возможно, не нильпотентной группы $G$. В этой работе мы описываем алгебраические свойства координатных групп алгебраических множеств и их неприводимых компонент над группой $N$ (топология Зарисского нетерова над группой N, а потому каждое алгебраическое множество есть конечное объединение своих неприводимых компонент). Эти результаты позволяют надеяться на решение других фундаментальных вопросов в алгебраической геометрии над $N$, например, получить разумное описание множеств решений конечных систем уравнений над $N$ (несмотря на то, что Диофантова проблема над $N$ неразрешима).

Заметим, что в алгебраической геометрии над произвольной группой $N$ естественно рассматривать группы, содержащие $N$ в качестве подгруппы (так называемые N-группы), и гомоморфизмы N-групп, которые являются тождественными на $N$ $(N$-гомоморфизмы). Наш подход к описанию координатных групп базируется на некоторых результатах о дискриминируемости, которые также представляет самостоятельный интерес. Напомним, что N-группа $H$ $N$-аппроксимируется (N-дискриминируется) N-группой $G$, если для любого $h \in H$, $h \ne 1,$ (любых неединичных ${{h}_{1}},\; \ldots ,\;{{h}_{n}} \in H$) существует N-гомоморфизм $\phi :H \to G$ такой, что $\phi (h) \ne 1$ ($\phi ({{h}_{i}}) \ne 1$, i = 1, ..., n). Если N = 1, то получаем стандартные понятия аппроксимируемости и дискриминируемости, которые появляются в разных областях теории групп: в теории многообразий групп, в комбинаторной теории групп (группы, аппроксимируемые классом групп $\mathcal{K}$), в геометрической теории групп (как пределы в пространствах Громова–Хаусдорфа) и т.д. В последние годы это понятие начало играть важную роль в теории моделей групп (для характеризации групп универсально эквивалентных данной) и алгебраической геометрии над группами.

В 1967 г. Б. Баумслаг доказал, что группа $H$ дискриминируется свободной неабелевой группой $F$ тогда и только тогда, когда она аппроксимируется группой $F$ и при этом является коммутативно-транзитивной, или $CT$-группой (отношение коммутирования является транзитивным на множестве неединичных элементов из $H$, т.е. централизаторы неединичных элементов из $H$ – абелевы). Позже выяснилось, что подобные результаты справедливы для многих других групп (например, для гиперболических групп без кручения). Однако неабелевы нильпотентные группы никогда не являются $CT$-группами, поскольку всегда имеют нетривиальный центр. Тем не менее оказалось, что можно слегка обобщить определение $CT$-группы, так что новое определение работает и в классах нильпотентных групп. А именно, группа $H$ называется $CT$-группой уровня k, $k = 0,\;1,\; \ldots $, или $C{{T}_{k}}$-группой, если централизатор любого элемента, не лежащего в ${{Z}_{k}}(H)$, является абелевым; здесь ${{Z}_{k}}(H)$ – это $k$-й член верхнего центрального ряда $H$. В частности, если k = 0, то ${{Z}_{0}}(H) = 1$, а потому $C{{T}_{0}}$-группы – это, в точности, $CT$-группы. Заметим, что $C{{T}_{1}}$-группы – это группы, в которых централизаторы нецентральных элементов – абелевы. Ясно, что $N$ является $C{{T}_{1}}$-группой. Понятие $C{{T}_{1}}$-группы было введено в [3].

Предложение 1. Пусть $N$ – свободная неабелева к-нильпотентная группа конечного ранга. Если $N$-группа $H$ $N$-дискриминируется группой $N$, то $H$ является $C{{T}_{{k - 1}}}$-группой.

В частности, если $N$ является 2-нильпотентной группой, то N-группа $H$, N-дискриминируемая группой N, является $C{{T}_{1}}$-группой. Следующая гипотеза, если она верна, дает аналог теоремы Б. Баумслага для 2-нильпотентных групп.

Гипотеза 1. Пусть $N$ – свободная неабелева 2-нильпотентная группа конечного ранга и $H$ – конечно порожденная N-группа. Тогда $H$ N‑дискриминируется группой $N$ тогда и только тогда, когда $H$ является $C{{T}_{1}}$-группой N-аппроксимируемой группой N.

Теперь мы можем приступить к описанию основных результатов статьи об алгебраической геометрии. Для этого нам понадобятся некоторые определения.

Пусть $G$ – группа из многообразия ${{\mathcal{N}}_{2}}$ нильпотентных групп ступени нильпотентности $ \leqslant 2$. Декартова степень ${{G}^{n}} = G \times \; \cdots \; \times G$ (n копий) называется аффинным пространством над $G$. Пусть $X = \{ {{x}_{1}},\; \ldots ,\;{{x}_{n}}\} $ – множество переменных, $G[X] = G{{ * }_{{{{\mathcal{N}}_{2}}}}}F(X)$ – нильпотентное произведение, где $F(X)$ – свободная нильпотентная группа в ${{\mathcal{N}}_{2}}$ с базой X. Система уравнений $S$ (или $S = 1$) над $G$ есть произвольное подмножество из $G[X]$. Элемент $u \in S$ может рассматриваться как групповое слово от переменных ${{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}$ с коэффициентами из $G$, $u = u({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}})$. Элемент p = = $({{g}_{1}}, \ldots ,{{g}_{n}}) \in {{G}^{n}}$ называется решением системы S  = 1 в $G$, если $u({{g}_{1}},\; \ldots ,\;{{g}_{n}}) = 1$ в $G$ для каждого $u \in S$. Подмножество $V$ аффинного пространства ${{G}^{n}}$ называется алгебраическим множеством над $G$, если V – множество всех решений некоторой системы уравнений $S$ из $G[X]$; в этом случае пишем $V = {{V}_{G}}(S)$. Кроме того, для $V = {{V}_{G}}(S)$ определим $Rad(V) = \{ u \in G[X]|u(p) = 1$ $\forall {\kern 1pt} p \in {{V}_{G}}(S)\} $. Очевидно, что $Rad(V)$ всегда является нормальной подгруппой в $G[X]$. Группа $\Gamma (V) = G[X]/Rad(V)$ называется координатной группой алгебраического множества V. Заметим, что $\Gamma (V)$ является G‑группой относительно естественного вложения $G \to \Gamma (V)$.

Беря в качестве предбазы замкнутых множеств все алгебраические множества из ${{G}^{n}}$, превратим ${{G}^{n}}$ в топологическое пространство (топология Зарисского). Стандартным способом определяется в ${{G}^{n}}$ понятие неприводимого алгебраического множества. Известно, что топология Зарисского на ${{G}^{n}}$ для любой линейной группы $G$, в частности, для каждой конечно порожденной нильпотентной группы, является нетеровой, а значит, каждое алгебраическое множество из ${{G}^{n}}$ распадается в конечное объединение неприводимых алгебраических множеств.

Теорема 1. Пусть $N$ – свободная неабелева нильпотентная группа конечного ранга и $H$ конечно порожденная N-группа. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) $H$ есть координатная группа некоторого алгебраического множества из ${{N}^{k}}$ для некоторого натурального числа $k$;

2) $H$ $N$-аппроксимируется группой N;

3) $H$ является N-подгруппой некоторого конечного прямого произведения ${{N}^{k}} = {{N}_{1}} \times \; \cdots \; \times {{N}_{k}}$ групп ${{N}_{i}} \simeq N$ для некоторого натурального числа k, в котором N вложена диагонально.

Наконец, мы можем сформулировать основной результат.

Теорема 2. Пусть N – свободная неабелева 2‑нильпотентная группа конечного ранга и $H$ – координатная группа некоторого неприводимого алгебраического множества из ${{N}^{n}}$. Тогда выполняются следующие условия:

1) $H$ $N$-дискриминируется группой N;

2) $H$ является N-подгруппой некоторого конечного прямого произведения ${{N}^{k}} = {{N}_{1}} \times \; \cdots \; \times {{N}_{k}}$ групп ${{N}_{i}} \simeq N$ для некоторого натурального числа $k$, в котором N вложена диагонально, и, кроме того, $H$ является $C{{T}_{1}}$-группой;

3) $H$ является $N$-подгруппой некоторого конечного прямого произведения ${{N}^{k}} = {{N}_{1}} \times \; \cdots \; \times {{N}_{k}}$ групп ${{N}_{i}} \simeq N$ для некоторого натурального числа $k$, в котором N вложена диагонально, и, кроме того, для любого $i = 1,\; \ldots ,\;k$ пересечение $H \cap {{N}_{i}}$ является абелевой нормальной подгруппой в $H$.

Гипотеза 2. Условия 1), 2) и 3) для групп N и $H$ в Теореме 2 эквивалентны.