Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 26-29

Рассматриваются первая и вторая начально-краевые задачи для одномерных по пространственной переменной, параболических по Петровскому (см. [1]), систем второго порядка в областях с негладкими, вообще говоря, боковыми границами из класса Дини–Гёльдера. Коэффициенты систем удовлетворяют условию Дини. В [2–4] получены теоремы о существовании и свойствах классических решений таких задач. В настоящей работе устанавливается единственность классических решений этих начально-краевых задач в пространстве ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ функций, непрерывных и ограниченных, вместе со своими пространственными производными первого порядка, вплоть до границ указанных областей. В случае областей с гладкими боковыми границами для систем с гёльдеровыми коэффициентами однозначная разрешимость рассматриваемых задач в пространстве Гёльдера ${{H}^{{2 + \alpha ,1 + \alpha /2}}}(\bar {\Omega })$, $\alpha \in (0,1)$, следует из [5] (см. также [6, с. 706–707]). Если боковые границы областей негладкие, то в случае одного уравнения единственность решения первой начально-краевой задачи следует из принципа максимума (см., например, [7]), а единственность решения второй начально-краевой задачи получена в [8, 9] с помощью теоремы о знаке косой производной. Заметим, что для систем не имеет места, вообще говоря, принцип максимума (см. [10]). В [11] установлена единственность решений первой и второй начально-краевых задач для одномерных по пространственной переменной параболических систем второго порядка с гёльдеровыми коэффициентами в ограниченной области $\Omega $ с негладкими боковыми границами из класса Жевре ${{H}^{{(1 + \alpha )/2}}}$ в пространстве ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$. В [12] доказана единственность классического решения первой начально-краевой задачи для параболической системы с дифференцируемыми коэффициентами в полуограниченной плоской области с боковой границей из класса Дини-Гёльдера ${{H}^{{1/2 + \omega }}}$ в пространстве ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ при дополнительном условии на старшую производную $\partial _{x}^{2}u$ этого решения и на характер его гладкости по временной переменной. Здесь $\omega $ – некоторый модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини (см. ниже (2)). Заметим, что, как следует из работ [13, 14], такое условие на характер непрерывности боковой границы является точным для классической разрешимости первой начально-краевой задачи в пространстве ${{C}^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$.

В полосе $D = \{ (x,t) \in \mathbb{R} \times (0,T)\} $, $0 < T < + \infty $, рассматривается равномерно параболический матричный оператор

где ${{A}_{l}} = \left\| {{{a}_{{ijl}}}} \right\|_{{i,j = 1}}^{m}$ – матрицы размерности m × m, элементы которых есть вещественные функции, определенные в $\bar {D}$ и удовлетворяющие условиям:

(а) собственные числа ${{\mu }_{r}}$ матрицы A₂ подчиняются неравенству ${\text{Re}}{{\mu }_{r}} \geqslant \delta $ для некоторого $\delta > 0$ и всех $(x,t) \in \bar {D}$, $r = 1,\; \ldots ,\;m$,

(b) $\left| {{{a}_{{ijl}}}(x\, + \,\Delta x,t\, + \,\Delta t)\, - \,{{a}_{{ijl}}}(x,t)} \right|$ ≤ ${{\omega }_{0}}({\text{|}}\Delta x{\text{|}})$ + + ${{\omega }_{0}}({\text{|}}\Delta t{{{\text{|}}}^{{1/2}}})$, $(x + \Delta x,t + \Delta t),(x,t) \in \bar {D}$, $i,j = 1, \ldots ,m$, $l\, = \,0,1,2$, где ${{\omega }_{0}}$ – модуль непрерывности такой, что

В полосе D выделяется область Ω = $\{ (x,t) \in D$: x > g(t)} c боковой границей Σ = {(x, t) ∈ ∈ $\bar {D}{\text{:}}\;x\, = \,g(t)\} $, где функция g удовлетворяет условию:

${{\omega }_{1}}$ – модуль непрерывности, удовлетворяющий условию Дини

В области $\Omega $ ставится задача отыскания классического решения системы

удовлетворяющего начальному условию и одному из граничных условий или

Определим следующие функциональные пространства. Через $\mathop C\limits_0 [0,T]$ обозначим пространство вектор-функций $\psi :[0,T] \to {{\mathbb{R}}^{m}}$, непрерывных на [0, T], для которых $\psi (0)$ = 0, с нормой ${{\left\| {\psi ;[0,T]} \right\|}^{0}} = \mathop {{\text{max}}}\limits_{[0,T]} \left| \psi \right|$. Здесь и далее для любого вектора b под $\left| b \right|$ понимаем максимум из модулей компонент b. Пусть

есть оператор дробного дифференцирования порядка 1/2. Следуя [15], положим

Через $\mathop C\limits_0 (\bar {\Omega })$ обозначим пространство непрерывных и ограниченных вектор-функций u: $\bar {\Omega }\, \to \,{{\mathbb{R}}^{m}}$, для которых $u(x,0) = 0$, с нормой ||u; Ω||⁰ = = $\mathop {\sup }\limits_\Omega \left| u \right|$. Положим ${{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ = $\{ u\, \in \,\mathop C\limits_0 (\bar {\Omega }):\;{{\partial }_{x}}u\, \in \,\mathop C\limits_0 (\bar {\Omega })$, ${{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{{1,0}}} = {{\left\| {u;\Omega } \right\|}^{0}} + {{\left\| {{{\partial }_{x}}u;\Omega } \right\|}^{0}}\} $. Под значениями вектор-функций и их производных на границе области Ω понимаем их предельные значения “изнутри” Ω.

Существование классических решений задач (3)–(5) и (3), (4), (6) при сформулированных условиях на коэффициенты системы и боковую границу области установлено в [4] и [2] соответственно, если граничные функции $\psi \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1/2}}}[0,T]$ и $\theta \in \mathop C\limits_0 [0,T]$. В этих работах решения указанных задач получены в виде векторных параболических потенциалов простого слоя. Основным результатом настоящей работы являются следующие теоремы.

Теорема 1. Пусть выполнены условия (a), (b), (1). Пусть $u \in {{\mathop C\limits_{\text{0}} }^{{{\text{1,0}}}}}(\bar {\Omega })$ – классическое решение задачи

Тогда $u \equiv {\text{0}}$ в $\bar {\Omega }$.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (a), (b), (1). Пусть $u \in {{\mathop C\limits_{\text{0}} }^{{{\text{1,0}}}}}(\Omega )$ – классическое решение задачи

Тогда $u \equiv {\text{0}}$ в $\bar {\Omega }$.

Замечание (см. [13, 14]). Если $g \in {{H}^{{1/2 + {{\omega }_{1}}}}}$[0, T], причем ω₁ не удовлетворяет условию (2), то классическое решение $u \in {{\mathop C\limits_0 }^{{1,0}}}(\bar {\Omega })$ задачи (3)–(5) может не существовать.

Для доказательства теоремы 1 сначала, используя результат, полученный в [12], и метод работы [11], получаем теорему о единственности решения второй начально-краевой задачи в случае параболического оператора с дифференцируемыми коэффициентами, удовлетворяющими условию

Затем рассматриваем оператор со “сглаженными” коэффициентами, зависящими от параметра r,

где $A_{l}^{{(r)}} = \left\| {a_{{ijl}}^{{(r)}}} \right\|_{{i,j = 1}}^{m}$. Коэффициенты оператора ${{L}^{{(r)}}}$ получаются стандартным образом с помощью свертки с гладкой функций (“шапочкой”). Для достаточно малых $r$ коэффициенты оператора ${{L}^{{(r)}}}$ удовлетворяют равномерно по r условию (а) с постоянной параболичности $\delta {\text{/}}2$ и условию (b) (см. [16]). Кроме того, $a_{{ijl}}^{{(r)}} \to {{a}_{{ijl}}}$ при $r \to 0$ равномерно на любом компакте из $\bar {D}$.

Далее доказываем теорему 1. Фиксируем произвольно точку $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in \Omega $ и число $\varepsilon > 0$. Рассматриваем область Ω_d = $\{ (x,t) \in \Omega :\;x > g(t) + d$, d < t < < T – d} такую, что $({{x}_{0}},{{t}_{0}}) \in {{\Omega }_{d}}$ при достаточно малом $d \in (0,T{\text{/}}2)$. Пусть $\bar {u}$ – продолжение вектор-функции $u$ с $\overline \Omega $ на ${{\mathbb{R}}^{2}}$ с сохранением класса гладкости ${{C}^{{1,0}}}$ (см. [6, с. 342]), причем такое, что $\bar {u}(x,0) = {{\partial }_{x}}\bar {u}(x,0)$, $x \in \mathbb{R}.$ Функцию $\bar {u}$ “сглаживаем” таким же способом, как и коэффициенты системы, и получаем гладкие вектор-функции u_s такие, что ${{u}_{s}}(x,t) \to u(x,t)$, $s \to 0$, равномерно на любом компакте из $\overline \Omega $. Пусть ${{\zeta }_{R}} \in {{C}^{\infty }}(\mathbb{R})$ – функция (“срезка”) со следующими свойствами:

где число $R \geqslant {{R}_{0}} = \max \left( {2\left| {{{x}_{0}}} \right|,1} \right)$. Полагаем u_s, R(x, t) = ${{u}_{s}}(x,t){{\zeta }_{R}}(x)$. Для любых $0 < s < d{\text{/}}2$, $r > 0$ и $R \geqslant {{R}_{0}}$ вектор-функция ${{u}_{{s,R}}}$ является решением задачи где   $f_{{s,R}}^{{(r)}}(x,t) = {{L}^{{(r)}}}{{u}_{{s,R}}}(x,t)$,   ${{h}_{{s,R,d}}}(x) = {{u}_{{s,R}}}(x,d)$, θ_{s, R, d}(t) = ${{\partial }_{x}}{{u}_{{s,R}}}(g(t) + d,t)$. Из работы [2] в силу установленной выше единственности решения второй начально-краевой задачи в случае параболического оператора с дифференцируемыми коэффициентами и свойств векторных параболических потенциалов следует, что для любых $0 < s < d{\text{/}}2$ и $R \geqslant {{R}_{0}}$ вектор-функцию ${{u}_{{s,R}}}$ можно представить в виде суммы потенциала Пуассона, объемного потенциала и потенциала простого слоя, последовательно оценивая которые, получаем, что найдутся достаточно большое $R > {{R}_{0}}$ и достаточно малые $d = d(R) > 0$, ${{s}_{0}} = {{s}_{0}}(d,R) > 0$, $r = r(d,R) > 0$ такие, что $\left| {{{u}_{{s,R}}}(x,t)} \right| < \varepsilon {\text{/}}2$ для любого $s \leqslant {{s}_{0}}$ и, в частности, $\left| {{{u}_{s}}({{x}_{0}},{{t}_{0}})} \right| < \varepsilon {\text{/}}2$. Отсюда, учитывая, что $\left| {{{u}_{s}}({{x}_{0}},{{t}_{0}})\, - \,u({{x}_{0}},{{t}_{0}})} \right|\, < \,\varepsilon {\text{/}}2$ для достаточно малого s > 0, в силу произвольности $\varepsilon > 0$ получаем утверждение теоремы 1.

Используя результаты работы [4] и теорему 1, доказываем затем теорему 2.

В случае ограниченной области Ω = {(x, t) ∈ D: ${{g}_{1}}(t)\, < \,x\, < \,{{g}_{2}}(t)\} $ с боковыми границами Σ_s = {(x, t) ∈ ∈ $\bar {D}{\text{:}}\;x = {{g}_{s}}(t)\} $, $s = 1,\;2$, удовлетворяющими условиям

где модуль непрерывности ${{\omega }_{1}}$ удовлетворяет условию (2), справедлива следующая

Теорема 3. Пусть выполнены условия (а), (b), (7). Пусть $u \in {{\mathop C\limits_{\text{0}} }^{{{\text{1,0}}}}}(\bar {\Omega })$ – классическое решение системы

удовлетворяющее начальному условиюи одной из трех пар граничных условийилиили

Тогда $u \equiv 0$ в $\bar {\Omega }\,.$

Утверждение теоремы 3 получаем, следуя методу из [6, c. 361], используя “разбиение единицы”, как следствие из теорем 1, 2 настоящей работы и теоремы о единственности решения задачи Коши для систем с Дини-непрерывными коэффициентами (см. [16]).