Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 67-69

Для параболических уравнений второго порядка единственность классического решения первой краевой задачи следует из принципа максимума. Под классическим решением в области Ω здесь и далее понимается ограниченная функция из класса $C_{{x,t}}^{{2,1}}(\Omega ) \cap C(\bar {\Omega })$, удовлетворяющая в Ω уравнению, а на параболической границе области – начальному и граничному условиям. В случае, когда коэффициенты уравнения удовлетворяют только условию Гёльдера, существование классического решения первой краевой задачи с непрерывной граничной функцией устанавливается в [1, гл. 3, §4]. Доказательство проводится методом барьеров, который также использует принцип максимума. Однако для параболических систем принцип максимума, вообще говоря, не имеет места [2]. Отметим, что если старшие коэффициенты уравнения имеют производную по пространственной переменной, удовлетворяющую условию Гёльдера, то существование решения может быть установлено с помощью потенциала двойного слоя.

Однозначная разрешимость краевых задач в анизотропных пространствах Гёльдера для широкого класса параболических систем установлена в [3]. При этом рассматривались достаточно гладкие решения: все производные решения, входящие в систему, предполагались непрерывными в замыкании области.

Существование и единственность решения первой и второй краевых задач для параболических систем в ограниченной области на плоскости в классе $C_{{x,t}}^{{1,0}}(\bar {\Omega })$ получена в [4–6]. От граничной функции требовалось существование непрерывной производной порядка 1/2, обращающейся в нуль при t = 0. Для систем с дифференцируемыми коэффициентами в [7] доказана единственность первой краевой задачи в полуограниченной области в $C_{{x,t}}^{{1,0}}(\bar {\Omega })$. Существование решения этой задачи следует из [8]. Во всех этих работах рассматривались области с криволинейными и негладкими, вообще говоря, боковыми границами.

В настоящей работе для параболической системы с одной пространственной переменной исследуются вопросы существования и единственности классического решения первой краевой задачи с непрерывными функциями в начальном и граничном условиях. Область может быть ограниченной или полуограниченной, а ее боковая граница – негладкой.

В полосе $D = \mathbb{R} \times (0,T)$, $0 < T < \infty $, рассматривается параболический оператор

где $u = ({{u}_{1}},\; \ldots ,\;{{u}_{m}}{{)}^{{\text{т}}}}$, $A(x)$, $B(x)$, $C(x)$ – матрицы размером m × m с элементами ${{a}_{{ij}}}(x)$, ${{b}_{{ij}}}(x)$, ${{c}_{{ij}}}(x)$ соответственно. Для оператора L предполагается выполненным условие равномерной параболичности, т.е. собственные значения ${{\lambda }_{k}}(x)$ матрицы A(x) удовлетворяют неравенству коэффициенты действительны, ограничены и удовлетворяют условию Гёльдера:

В полосе D рассматриваем полуограниченную область

с основанием ${{\Omega }_{0}} = \bar {\Omega } \cap \{ t = 0\} $ и боковой границей где функция g удовлетворяет условию

В области Ω рассматриваем первую краевую задачу

Для множества $E \subset \bar {D}$ обозначим через C(E) пространство непрерывных и ограниченных вектор-функций $f:E \to {{\mathbb{R}}^{m}}$ с нормой

и положим $\mathop C\limits_ \circ (E) = \{ f \in C(E)|{{\left. f \right|}_{{t = 0}}} = 0\} $.

Теорема 1. Пусть для оператора $L$ выполнены условия (2), (3), а для боковой границы области $\Omega $ условие (4). Если $\psi \in C(\Sigma )$, $h \in C({{\Omega }_{0}})$ и выполнено условие согласования $\psi (g(0))\, = \,h(g(0))$, то существует и единственно классическое решение $u\, \in \,C_{{x,t}}^{{2,1}}(\Omega )\, \cap \,C(\bar {\Omega })$ задачи (5). Оно удовлетворяет оценке

При наложенных условиях (2), (3) на коэффициенты для оператора L существует фундаментальная матрица решений $\Gamma (x,\xi ,t - \tau )$ [9, гл. 1, § 3].

Для доказательства существования решения мы вводим потенциал

с ядром

Теорема 2. Функция $\Gamma (x,\xi ,t)A(\xi )$ дифференцируема по $\xi $ в полупространстве $t > 0$. Функция $K$ удовлетворяет уравнению ${{L}_{{x,t}}}K(x,\xi ,t) = 0$ и справедливы оценки

при $t > 0$, $x,\xi \in \mathbb{R}$.

Теорема 3. Функция $W:\varphi \to W\varphi $ отображает пространство $\mathop C\limits_ \circ (\Sigma )$ в $\mathop C\limits_ \circ (\bar {\Omega })$, причем

Для плотности $\varphi \in C(\Sigma )$ справедлива формула скачка

где ${{W}^{ \pm }}\varphi $ – предельные значения при приближении к точке $(g(t),t)$ справа и слева, а ${{W}^{0}}\varphi $ – прямое значение потенциала Wφ на кривой $x = g(t)$.

Таким образом, Wφ обладает многими свойствами потенциала двойного слоя и так же, как последний, может использоваться для решения первой краевой задачи.

С помощью потенциала типа Пуассон [9, гл. 1, 4] задачу (5) можно свести к задаче с нулевой начальной функцией:

Будем искать решение этой задачи u в виде потенциала (6) с непрерывной плотностью φ. В силу формулы скачка (8) нахождение u сводится к решению интегрального уравнения Вольтерры второго рода с ядром, имеющим слабую особенность.

Теорема 4. Пусть для оператора $L$ выполнены условия (2), (3), а для боковой границы области $\Omega $ условие (4). Если $\psi \, \in \,\mathop C\limits_ \circ (\Sigma )$, то существует и единственно классическое решение $u\, \in \,C_{{x,t}}^{{2,1}}(\Omega )\, \cap \,\mathop C\limits_ \circ (\bar {\Omega })$ задачи (9). Оно удовлетворяет оценке

Существует функция $\varphi \in \mathop C\limits_ \circ (\Sigma )$ такая, что $u = W\varphi $ в $\Omega $.

Также мы рассматриваем первую краевую задачу в ограниченной области

с боковыми границами где функции g_i удовлетворяют условиям

Теорема 5. Пусть для оператора $L$ выполнены условия (2), (3), а для боковых границ области $\Omega $ условие (10). Если ψ_i∈ C(Σ_i), i = 1, 2, h ∈ C(Ω₀) и выполнены условия согласования ${{\psi }_{1}}({{g}_{1}}(0))$ = h(g₁(0)), ${{\psi }_{2}}({{g}_{2}}(0)) = h({{g}_{2}}(0))$, то существует классическое решение первой краевой задачи

Оно удовлетворяет оценке

При $h \equiv 0$ существуют функции ${{\varphi }_{i}} \in \mathop C\limits_ \circ ({{\Sigma }_{i}})$, i = 1, 2, такие, что решение представляется в виде суммы потенциалов: $u = {{W}_{1}}{{\varphi }_{1}} + {{W}_{2}}{{\varphi }_{2}}$ в Ω, где