1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 503, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 64-66

КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫРОЖДЕННЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ТРЕТЬЕГО РОДА

А. И. Кожанов 1, *, А. Н. Артюшин 1, **, В. В. Шубин 2, ***

1 Институт математики им. С.Л.Соболева СО РАН
Новосибирск, Россия

2 Новосибирский государственный университет
Новосибирск, Россия

* E-mail: kozhanov@math.nsc.ru
** E-mail: alexsp3@yandex.ru
*** E-mail: vlad.v.shubin@gmail.com

Поступила в редакцию 02.12.2021
После доработки 02.12.2021
Принята к публикации 03.02.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

В работе изучается разрешимость начально-краевых задач для линейных параболических уравнений второго порядка с вырожденным граничным условием третьего рода. Приводятся достаточные условия существования и единственности решений. Показывается, что эффект вырождения может привести к неединственности решений в пространстве $W_{2}^{{2,1}}$.

Ключевые слова: параболические уравнения второго порядка, краевые задачи, вырожденное граничное условие третьего рода, единственность и неединственность решений, существование решений

Постановка задачи. Пусть Ω есть ограниченная область из пространства ${{\mathbb{R}}^{n}}$ с гладкой границей $\Gamma $, Q есть цилиндр $\Omega \times (0,T)$ конечной высоты T, S есть его боковая граница. Третья начально-краевая задача для параболических уравнений второго порядка в общей постановке – см., например, [1, 2] – представляет собой задачу нахождения решения соответствующего уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию, а также условию

${{\left. {a(x,t)\frac{{\partial u}}{{\partial \nu }} + b(x,t)u} \right|}_{S}} = g(x,t)$
($\frac{\partial }{{\partial \nu }}$ – производная по направлению конормали к границе Γ в текущей точке) на боковой поверхности S. Если в этой задаче выполняется $\left| {a(x,t)} \right|\, \geqslant \,{{a}_{0}}$ > 0, то, как хорошо известно, она будет корректной [1] в пространстве $W_{2}^{{2,1}}(Q)$. Ситуация может принципиально измениться, если функция $a(x,t)$ обращается в нуль в каких-либо точках $\bar {S}$. Именно такая ситуация будет анализироваться в настоящей работе. Все рассуждения и выкладки будут проведены для модельного одномерного случая. Более общий случай – случай уравнений с многими пространственными переменными, уравнений с младшими коэффициентами, и т.п. – исследуется лишь с незначительными изменениями по отношению к нижеприведенному.

Итак, пусть n = 1, $\Omega $ есть интервал (0, 1) оси $Ox$, $Q$ есть прямоугольник $\Omega \times (0,T)$, $0 < T < + \infty $. Далее, пусть $f(x,t)$, $a(t)$ и $g(t)$ есть заданные функции, определенные при $x \in [0,\;1]$, $t \in [0,\;T]$. Рассмотрим задачу: найти функцию $u(x,t)$, являющуюся в прямоугольнике Q решением уравнения

(1)
${{u}_{t}} - {{u}_{{xx}}} = f(x,t)$
и такую, что для нее выполняются условия

(2)
$u(x,0) = 0,\quad x \in (0,\;1),$
(3)
$a(t){{u}_{x}}(0,t) + u(0,t) = g(t),$
(4)
$u(1,t) = 0.$

Всюду ниже будем считать, что функция a(t) неотрицательна на отрезке $[0,T]$ (точные условия будут указаны ниже). Заметим, что условие (3) в изучаемой ситуации не позволяет получить обычные энергетические оценки [1, 3, 4] решений в пространствах С.Л. Соболева, и что условия [1], дающие оценку максимума модуля решений, здесь также не выполняются. Тем самым вопрос о существовании и единственности решений задачи (1)–(4) становится нетривиальным.

Единственность и неединственность решений. Покажем, как можно построить нетривиальные решения однородной задачи (1)–(4).

Пусть $\varphi (t)$ есть определенная при $t \geqslant 0$ непрерывная функция такая, что $\varphi (t) > 0$ при $t > 0$, $\varphi (0) \geqslant 0$. Положим

${v}(x,t) = - \frac{1}{{\sqrt {4\pi } }}{{\int\limits_0^t e }^{{ - \frac{{{{x}^{2}}}}{{4(t - s)}}}}}\frac{{\varphi (s)}}{{\sqrt {t - s} }}ds + $
$ + \;\frac{{1 - x}}{{4\pi }}{{\int\limits_0^t e }^{{ - \frac{{{{{(1 - x)}}^{2}}}}{{4(t - s)}}}}}\frac{{ds}}{{\sqrt {{{{(t - s)}}^{3}}} }}{{\int\limits_0^s e }^{{ - \frac{1}{{4(s - \tau )}}}}}\frac{{\varphi (\tau )}}{{\sqrt {s - \tau } }}{\kern 1pt} d\tau .$

Для функции ${v}(x,t)$ выполняются уравнение (1) при $f(x,t) \equiv 0$, условие (2), а также условие (4). Также можно установить, что при $t \to 0$

(5)
${v}(0,t) = - \frac{{1 + o(1)}}{{\sqrt {4\pi } }}\int\limits_0^t {\frac{{\varphi (s)}}{{\sqrt {t - s} }}} ds,$
(6)
${{{v}}_{x}}(0,t) = \varphi (t)(1 + o(1)).$

Положим $a(t) = - \frac{{{v}(0,t)}}{{{{{v}}_{x}}(0,t)}}$. В силу (5), (6) при достаточно малых положительных t выполнено $a(t)$ > 0, причем $a(0) = 0$. Таким образом, ${v}(x,t)$ является нетривиальным решением однородной задачи (1)–(4) для данного a(t).

Далее, выбирая $\varphi (t) = {{t}^{m}}$, $m \geqslant 0$, получим, что $a(t) \sim C\sqrt t $ при $t \to 0$ для некоторого C > 0. Выбирая $\varphi (t) = {{e}^{{ - \frac{1}{{{{t}^{m}}}}}}}$, $m > 0$ и используя метод Лапласа [1, 5], получим, что

$\begin{gathered} \int\limits_0^t {\frac{{\varphi (s)}}{{\sqrt {t - s} }}} ds = \sqrt t \int\limits_0^1 {{{e}^{{ - \frac{1}{{{{t}^{m}}{{{(1 - \tau )}}^{m}}}}}}}} \frac{{d\tau }}{{\sqrt \tau }} = \\ = \;2\sqrt t \int\limits_0^1 {{{e}^{{ - \frac{1}{{{{t}^{m}}{{{(1 - {{s}^{2}})}}^{m}}}}}}}} ds \sim C{{t}^{{\frac{{m + 1}}{2}}}}{{e}^{{ - \frac{1}{{{{t}^{m}}}}}}}, \\ \end{gathered} $
т.е. $a(t) \sim C{{t}^{{\frac{{m + 1}}{2}}}}$ при $t \to 0$. Таким образом, для любого $\alpha \geqslant \frac{1}{2}$ найдется a(t) такая, что $a(t) \sim C{{t}^{\alpha }}$ при $t \to 0$, и однородная задача (1)–(4) имеет нетривиальное решение.

Определим множество единственности решений краевой задачи (1)–(4).

Пусть $\delta \geqslant 0$, $\mu > 0$. Введем обозначения

${{h}_{{\delta ,\mu }}}(t) = {{e}^{{\mu \int\limits_t^T {\frac{{ds}}{{{{{(a(s) + \delta )}}^{2}}}}} }}},\quad {{h}_{\mu }}(t) = {{h}_{{0,\mu }}}(t).$
Для p > 1 определим пространство ${{V}_{{p,\mu }}}$:

$\begin{gathered} {{V}_{{p,\mu }}} = \left\{ {u(x,t) \in {{L}_{p}}(Q){\text{:}}\;\int\limits_Q {\frac{{{{h}_{\mu }}(t)}}{{{{a}^{2}}(t)}}} {{{\left| {u(x,t)} \right|}}^{p}}} \right.dQ < + \infty , \\ \int\limits_Q {{{h}_{\mu }}(t)} {{\left| {{{u}_{x}}(x,t)} \right|}^{p}}dQ < \infty , \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \int\limits_Q {{{a}^{{2(p - 1)}}}} (t){{h}_{\mu }}(t){{\left| {{{u}_{{xx}}}(x,t)} \right|}^{p}}dQ < \infty , \\ \left. {\int\limits_Q {{{a}^{{2(p - 1)}}}} (t){{h}_{\mu }}(t){{{\left| {{{u}_{t}}(x,t)} \right|}}^{p}}dQ < \infty } \right\}. \\ \end{gathered} $

Теорема 1. Краевая задача (1)–(4) не может иметь более одного решения в пространстве ${{V}_{{p,\mu }}}$ при p > 1, $\mu = \frac{{{{p}^{3}}}}{{4(p - 1)}}$.

Доказательство основано на анализе равенства

$\int\limits_0^t \int\limits_0^1 ({{u}_{\tau }} - {{u}_{{xx}}}){{h}_{{\delta ,\mu }}}(\tau ){{\left| u \right|}^{{p - 2}}}udxd\tau = 0,$
в котором δ > 0, с использованием интегрирования по частям и предельного перехода при $\delta \to 0$.

Перейдем к исследованию разрешимости краевой задачи (1)–(4). Уточним, что нашей целью является доказательство существования решения, имеющего все обобщенные по С.Л. Соболеву производные, входящие в уравнение.

Теорема 2. Пусть

$\begin{gathered} f(x,t) \in {{L}_{2}}(Q),\quad \int\limits_Q {{{h}_{\mu }}(t)} {{f}^{2}}(x,t){\kern 1pt} dQ < \infty , \\ g(t) \in W_{2}^{1}(0,T), \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \int\limits_0^T {\frac{{{{h}_{\mu }}(t)}}{{a(t)}}} {{g}^{2}}(t)dt < \infty , \\ \int\limits_0^T {a(t)} {{h}_{\mu }}(t)(g{\kern 1pt} '(t{{))}^{2}}dt < \infty \;для\;некоторого\;\mu > 2; \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} a(t) \in C[0,T] \cap {{C}^{1}}(0,T],\quad a(0) = 0, \\ a(t) > 0\quad {\text{при}}\quad t > 0, \\ \end{gathered} $
$a(t)\left| {a{\text{'}}(t)} \right| \leqslant {{a}_{0}}\quad {\text{для}}\;{\text{некоторого}}\;{{a}_{0}} > 0.$

Тогда существует единственное решение задачи (1)–(4), принадлежащее пространству ${{V}_{{2,\mu }}}$.

Доказательство этой теоремы проводится с помощью метода регуляризации с использованием априорных оценок и предельного перехода.

В целом аналогичные вышеприведенным результаты получены и для вырождающейся третьей начально-краевой задачи для гиперболических уравнений второго порядка (как в одномерном, так и в многомерном по пространственным переменным случаях).

Список литературы

  1. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

  2. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004.

  3. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

  4. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

  5. Лаврентьев М.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал