Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 70-75

1. ВВЕДЕНИЕ

В данной статье исследуются обыкновенные дифференциальные уравнения вида

функции ${{a}_{I}}(x)$ могут быть представлены в виде равномерно и абсолютно сходящихся в окрестности точки x = 0 степенных рядов

В (2) под степенными рядами понимаются такие ряды, в которых показатели степеней вещественные, но не обязательно целые числа.

В данной работе мы считаем, что x принадлежит некоторому открытому сектору V с вершиной в нуле и произвольным раствором, меньшим $2\pi $. Под сходимостью рядов в V-окрестности точки x = 0 понимается сходимость в области, являющейся пересечением окрестности точки x = 0 с сектором V.

В отличие от классической задачи Коши будем искать решения, которые определены в некоторой V-окрестности точки x = 0 (так называемые продолжаемые решения), имеют степенную асимптотику при $x \to 0$ и могут быть разложены в $V$-окрестности начала координат в сходящийся ряд.

В [1] предложен алгоритм вычисления формальных решений уравнения (1) в виде рядов (степенных или степенно-логарифмических) в случае, когда функции ${{a}_{I}}(x)$ являются суммами степенных мономов. Там же был поставлен вопрос о сходимости этих рядов. Для некоторых известных уравнений (уравнений Пенлеве и уравнения Риккати) эта задача была решена (см., например, [2–4]). В [1] было предложено достаточное условие сходимости степенных разложений формальных решений уравнения вида (1). Ниже это условие будет сформулировано применительно к формальным решениям уравнения (1) в виде степенно-логарифмических рядов (рядов Дюлака). Для формулировки этого условия необходимо описать процедуру вычисления первого приближения решения. Эта процедура базируется на понятии многоугольника Ньютона N уравнения (1), который представляет собой замкнутую выпуклую оболочку элементов носителя $S(f)$ уравнения (1), т.е. точек Q_Im

Первые приближения являются решениями так называемых укороченных уравнений, соответствующих граням (ребрам и вершинам) указанного многоугольника (искомая функция $u = u(x)$)

где ${{N}_{\Gamma }}$ – это множество наборов I, соответствующих элементам носителя ${{Q}_{{I1}}} = \left( {{{p}_{{I1}}} - \left| {\tilde {I}} \right|,\left| I \right|} \right)$, принадлежащим выбранной грани $\Gamma $. Для вычисления степенных первых приближений (степенных асимптотик) ищется решение уравнения (3) в виде $u = A{{x}^{\alpha }}$, $A,\alpha = {\text{const}}$, $A \ne 0$. В случае ребра, если дополнительно предположить, что оно является наклонным (не горизонтальным), т.е. $\left| I \right| \ne {\text{const}}$ для всех наборов I, входящих в сумму ${{\hat {f}}_{\Gamma }}(x,U)$, число $\alpha $ определяется однозначно, а именно $a = - (1,\alpha )$, где вектор a является внешней нормалью к рассматриваемому ребру. Отметим также, что для всех точек носителя, принадлежащих данному ребру, $\beta = \alpha \left| I \right| + {{p}_{{I1}}} - \left| {\tilde {I}} \right| = {\text{const}}$. Для вычисления параметра A в случае ребра необходимо решить алгебраическое уравнение

В случае вершины числа $\alpha $ образуют в нашем случае множество корней некоторого многочлена, при этом вектор $ - (1,\operatorname{Re} \alpha )$ должен принадлежать так называемому нормальному конусу рассматриваемой вершины, а параметр A является произвольным отличным от нуля числом (см. [1]).

Предположим теперь, что укороченное уравнение (3), соответствующее выбранной грани $\Gamma $, имеет нетривиальное решение $u(x) = A{{x}^{\alpha }}$, $A \ne 0$. После замены $y = u(x) + z$ уравнение (1) примет вид

Рассмотрим функцию ${{\hat {f}}_{\Gamma }}(x,U + \tilde {Z})$, $\tilde {Z}\, = \,({{z}_{0}}, \ldots ,{{z}_{n}})$, определенную в (3), как многочлен по $\tilde {Z}$ с нулевым свободным членом (см. (3)). Выделим в этом многочлене его линейную часть

где $\gamma = \beta - \alpha $, ${{b}_{0}},\; \ldots ,\;{{b}_{n}}$ — постоянные (зависящие от $\Gamma $ и u). Отметим, что величины b_k, $k = 0,\; \ldots ,\;n$, можно определить как частные производные многочлена ${{\hat {f}}_{\Gamma }}(x,U + \tilde {Z})$ по переменной z_k, вычисленные при ${{z}_{j}} = 0$, $j = 0,\; \ldots ,\;n$, x = 1. Для представления величин b_k, $k = 0,\; \ldots ,\;n$, в явном виде могут быть использованы формулы

при $1 \leqslant j \leqslant n$, $j \ne k$ μ_Ikj = (α(α – 1) ... $(\alpha - j + {{1))}^{{{{i}_{j}}}}}$,

при $1 \leqslant k \leqslant n$ μ_Ikk = ${{i}_{k}}{{(\alpha (\alpha - 1)\; \ldots \;(\alpha - k + 1))}^{{{{i}_{k}} - 1}}}$, при ${{i}_{k}} \ne 0$, ${{\mu }_{{Ikk}}}$ = 0

при ${{i}_{k}} = 0$,

везде полагаем, что ${{0}^{0}} = 1$.

Запишем уравнение (4) в виде

Далее рассмотрим невырожденный случай, когда $\left| {{{b}_{0}}} \right| + \; \ldots \; + \left| {{{b}_{n}}} \right| \ne 0$. В этом случае носителем $S({{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)z)$ является точка (0, 1), являющаяся вершиной многоугольника $N({{\tilde {\tilde {f}}}_{u}}(x,Z))$, и среди точек носителя $S({{h}_{{\Gamma ,u}}}(x,Z))$ нет точки (0, 1).

Нашей целью было приведение исходного уравнения в невырожденном случае к виду (5), что всегда возможно. В случае, если исходное уравнение уже имеет указанный вид, первое приближение может быть не степенным, а степенно-логарифмическим (см. следующий раздел).

Условие сходимости формального решения уравнения (1), первое приближение которого описано выше, состоит в том, что порядок дифференциального оператора ${{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)$ равен порядку исходного уравнения, т.е. ${{b}_{n}} \ne 0$. Это утверждение для степенных разложений было сформулировано в [1, теорема 3.4]. Соответствующее доказательство для разложений в виде степенных рядов с постоянными коэффициентами в случае, когда функции ${{a}_{I}}(x)$ являются конечными суммами степенных мономов, было дано в [5]. Для алгебраического ОДУ аналогичное утверждение в несколько обобщенном виде было предложено в [6] для разложений в виде рядов Дюлака с неотрицательными целыми степенями. Смысл обобщения, представленного в [6], состоит в том, оно включает случай, когда исходная и некоторое конечное число следующих граней многоугольника Ньютона, соответствующих членам разложения, являются вырожденными (т.е. соответствующие операторы ${{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)$ тривиальны). При этом условие сходимости означает, что в процессе последовательного вычисления элементов формального решения алгебраического ОДУ на некотором шаге появится грань многоугольника Ньютона, для которой соответствующий линейный дифференциальный оператор ${{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)$ будет нетривиален и его порядок будет равен порядку уравнения. Таким образом, равенство порядков оператора ${{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)$ и исходного уравнения является базовым условием сходимости разложений формальных решений. В нашей работе мы покажем, что это условие является достаточным условием сходимости степенно-логарифмических разложений решений уравнения (1) (разложений в виде рядов Дюлака с комплексными степенями).

2. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНОГО РЕЗУЛЬТАТА

В невырожденном случае уравнение (5) можно записать в следующем виде:

где

Отметим, что в (6) числа ${{p}_{{Im}}}$ в случае ребра вещественны, а в случае вершины могут быть комплексными. Будем считать уравнение (6) неоднородным, т.е. ${{c}_{1}} \ne 0$ (в обратном случае функция y(x) = $A{{x}^{\alpha }}$ уже является решением исходного уравнения). Точки ${{Q}_{1}} = (0,\;1)$, ${{Q}_{2}} = (\operatorname{Re} {{p}_{1}},0)$ являются вершинами многоугольника Ньютона уравнения (6), при этом ребро $\left[ {{{Q}_{1}},{{Q}_{2}}} \right]$ принадлежит его левой границе. Носителем $S\left( {{{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)z} \right)$ является точка (0, 1), при этом в уравнении (6) среди точек носителя $S(F(x,Z))$ нет точки (0, 1) (аналогичное условие выполняется в уравнении (5)). В предыдущем разделе отмечалось, что в невырожденном случае исходное уравнение (1) всегда может быть приведено к виду (6). Все ряды в (6) равномерно и абсолютно сходятся в некоторой V‑окрестности нуля.

Теорема. Если в уравнении (6) выполняется условие ${{b}_{n}} \ne 0$, то данное уравнение имеет продолжаемое решение в виде ряда Дюлака

${{g}_{m}}(\ln x)$ – многочлены от lnx. Данный ряд абсолютно и равномерно сходится в некоторой V-окрестности точки x = 0.

Существование у уравнения (6) формального решения вида (7) установлено в [1]. В нашей теореме утверждается сходимость указанного ряда при условии, что ${{b}_{n}} \ne 0$. Приведем основные элементы доказательства теоремы.

С помощью преобразования

уравнение (6) преобразуется к виду, который отличается от (6) тем, что ${{c}_{{Im}}}$ – не константы, а многочлены от lnx (степени которых в совокупности ограничены сверху некоторым числом), и в некоторой V-окрестности нуля выполняется оценка $\left\| {F(x,0)} \right\| \leqslant D{{\left| x \right|}^{q}}$, где число $q > 0$ можно выбрать сколь угодно большим (под нормой $\left\| \nu \right\|$ абсолютно сходящегося ряда $\nu = \sum\limits_{i = 1}^\infty {{{\nu }_{i}}} $ понимается $\sum\limits_{i = 1}^\infty {{\text{|}}{{\nu }_{i}}{\text{|}}} $). Считаем, что для преобразованного уравнения (6) данное условие уже выполнено и решение этого уравнения ищем в виде суммы ряда ${{z}_{1}} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{{u}_{m}}} $, где функции ${{u}_{m}} = {{u}_{m}}(x)$ являются решениями следующих уравнений:

Функции в правых частях данных уравнений являются степенно-логарифмическими рядами, вследствие чего решения уравнений представляются в виде степенно-логарифмических разложений. Рассмотрим вопрос о сходимости этих разложений.

Поскольку ребро, соединяющее вершины ${{Q}_{1}}$ = = (0, 1) и ${{Q}_{2}} = (\operatorname{Re} {{p}_{1}},0)$, принадлежит левой границе многоугольника Ньютона уравнения (6), то для каждого набора $I:1 \leqslant \left| I \right| \leqslant M$ верно неравенство $\operatorname{Re} {{p}_{{I1}}} > \operatorname{Re} {{p}_{1}}(1 - \left| I \right|) + \left| {\tilde {I}} \right|$. Следовательно, за счет некоторого уменьшения чисел $\operatorname{Re} {{p}_{1}}$ и $\operatorname{Re} {{p}_{{I1}}}$ можно считать, что в некоторой V-окрестности нуля W выполняются условия

Рассмотрим вспомогательное уравнение

где $L(x) = {{a}_{0}} + {{a}_{1}}x\frac{d}{{dx}} + \; \ldots \; + {{a}_{l}}{{x}^{l}}\frac{d}{{d{{x}^{l}}}}$, ${{a}_{l}} \ne 0$, $h(x)$ – функция, имеющая вид степенного ряда по x, коэффициентами которого являются многочлены от lnx, степени которых в совокупности ограничены некоторым числом, $\left\| {h(x)} \right\| \leqslant C{{\left| x \right|}^{q}}$, C, $q\, = \,{\text{const}}$ > 0, $x \in W$. Справедлива следующая

Лемма. Существует такое число ${{q}_{0}}$, зависящее только от параметров оператора $L(x)$, что если $q > {{q}_{0}}$, то уравнение (11) имеет решение ${v} = {v}(x)$ в виде степенного ряда по x, коэффициентами которого являются многочлены от lnx (степени которых в совокупности ограничены некоторым числом), и для этого решения выполняются оценки

причем величина $B$ не зависит от q, а зависит только от параметров оператора $L(x)$.

Ниже под решениями уравнений вида (11) будем подразумевать решения указанного в лемме вида.

Замечание.  Для производных ${{{v}}^{{(j)}}}(x)$ порядка $j > l$ оценки вида (12) также могут выполняться, но величина $B$ уже будет зависеть от q, примером чему служат оператор $L(x) = 1$ и функции ${v}(x)$ = h(x) = x^q.

Если оператор ${{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)$ имеет порядок, равный n (т.е. ${{b}_{n}} \ne 0$), то из (10) и из приведенной выше леммы следует существование такого решения ${{u}_{1}}(x)$ уравнения (8), для которого выполняются оценки

где величина ${{B}_{1}}$ не зависит от $\operatorname{Re} {{p}_{1}}$, а зависит только от параметров оператора ${{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)$.

В правую часть уравнения (9) при $m = K + 1$ входят функции $u_{i}^{{(j)}}(x)$, $i = 1,\;2, \ldots ,\;K$, $j\, = \,0,1, \ldots ,n$. Предположим, что при некотором r > 0, ${{r}^{\delta }} \leqslant \frac{1}{4}$, для этих функций имеют место оценки

Тогда для функции ${{F}_{{K + 1}}}(x)$ в (9) при $x \in W$, $\left| x \right| \leqslant r$, будет выполняться оценка

Здесь $\tilde {M}$ – число наборов I, для которых $1 \leqslant \left| I \right| \leqslant M$.

Выберем число $r > 0$ таким, чтобы выполнялись неравенства

Тогда для функции ${{F}_{{K + 1}}}(x)$ при $x \in W$, $\left| x \right| \leqslant r$ будет выполняться оценка

и согласно лемме уравнение (9) при $m = K + 1$ имеет такое решение ${{u}_{{K + 1}}}(x)$, что

Следовательно, при всех $m \geqslant 1$, $j = 0,\;1,\; \ldots ,\;n$, для решений ${{u}_{m}}(x)$ уравнений (8) и (9) имеют место оценки

Из этого следует абсолютная и равномерная сходимость в некоторой V-окрестности нуля рядов $z_{1}^{{(j)}} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {u_{m}^{{(j)}}} $, $j = 0,\;1,\; \ldots ,\;n$, что завершает доказательство теоремы.

Таким образом, если многоугольник Ньютона уравнения (1) имеет невырожденную грань и соответствующее ей укороченное уравнение (3) имеет нетривиальное решение $u = A{{x}^{\alpha }}$, то при условии теоремы уравнение (1) имеет продолжаемое решение, обладающее указанной степенной асимптотикой и сходящимся степенно-логарифмическим разложением.

Отметим, что если в (6) порядок l нетривиального оператора ${{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)$ меньше $n$ (т.е. ${{b}_{n}} = 0$), то в правые части уравнений (9) входят производные функций ${{u}_{i}}(x)$, $1 \leqslant i \leqslant m$ порядка большего, чем l. Согласно замечанию к лемме, в оценках вида (12) для этих производных величина $B$, вообще говоря, зависит от q и растет вместе с ростом числа q. Это обстоятельство приводит в общем случае к нарушению оценок (13) и к расходимости ряда ${{z}_{1}} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{{u}_{m}}} $. Иллюстрацией здесь может служить уравнение, рассмотренное в [7] Эйлером:

Данное уравнение имеет вид (6), оператор ${{L}_{{\Gamma ,u}}}(x)$ = 1, т.е. ${{b}_{0}} = 1$, ${{b}_{1}} = 0$ и условие теоремы не выполняется. Функции ${{u}_{m}}(x)$ (см. (8), (9)) имеют вид: ${{u}_{1}} = x$, ${{u}_{m}} = (m - 1)!{\kern 1pt} {{x}^{m}}$, $m \geqslant 2$. Уравнение (11) здесь имеет вид ${{u}_{m}}(x) = (m - 1)!{\kern 1pt} {{x}^{m}}$, при этом $u_{m}^{'}(x) = m!{{x}^{{m - 1}}}$. Множитель, аналогичный величине $B$ в (12), здесь равен $m$ и, следовательно, оценка (12) не выполняется при j = 1 (т.е. не распространяется на функции $u_{m}^{'}(x)$, $m \geqslant 2$). В результате ряд $y = \sum\limits_{m = 1}^\infty {{{u}_{m}}(x)} $, являющийся формальным решением уравнения (14), расходится.

3. ПРИМЕР УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ

Рассмотрим уравнение Абеля первого рода в нормальной форме:

Носитель левой части уравнения состоит из трех точек $Q = ( - 1,\;1)$, ${{Q}_{1}} = (p,0)$, ${{Q}_{2}} = (0,\;3)$. При $p > - 3{\text{/}}2$ их выпуклая оболочка (многоугольник Ньютона) – это треугольник $\Gamma $ с вершинами Q, ${{Q}_{1}}$, ${{Q}_{2}}$ и ребрами ${{\Gamma }_{1}} = \left[ {Q,{{Q}_{1}}} \right]$, ${{\Gamma }_{2}} = \left[ {Q,{{Q}_{2}}} \right]$, ${{\Gamma }_{3}}\, = \,\left[ {{{Q}_{1}},{{Q}_{2}}} \right]$. Левая граница треугольника состоит из указанных трех вершин и двух ребер ${{\Gamma }_{1}}$, ${{\Gamma }_{2}}$.

Рассмотрим ребро ${{\Gamma }_{1}}$. Записывая уравнение (15) в виде

получаем уравнение вида (6), для которого выполнены условия теоремы (${{b}_{1}} = 1$). Интегрирование соответствующих уравнений (8) и (9) позволяет получить решение уравнения (15) в виде степенно-логарифмического ряда. Согласно нашей теореме этот ряд будет абсолютно и равномерно сходящимся в некоторой V-окрестности точки x  = 0. Не ставя целью вычисление явного вида этого ряда, отметим лишь, что при $p > - 1$ указанный ряд будет степенным, при $p = - 1$ – степенно-логарифмическим, а при $ - 3{\text{/}}2 < p < - 1$ данный ряд (в зависимости от параметра p) может быть как степенным, так и степенно-логарифмическим.

Рассмотрим ребро ${{\Gamma }_{2}}$ при $p > - 3{\text{/}}2$. Функции ${v} = {{{v}}_{{1,2}}}(x) = \frac{{ \pm 1}}{{\sqrt {2x} }}$ являются решениями укороченного уравнения ${v}{\text{'}} + {{{v}}^{3}} = 0$, соответствующего данному ребру. После замены $y = {{{v}}_{{1,2}}}(x) + z$ уравнение (15) можем записать в виде (6)

Условия теоремы здесь выполнены (${{b}_{1}} = 1$) и, следовательно, для каждой из функций ${{{v}}_{{1,2}}}(x)$ данное уравнение имеет решения в виде абсолютно и равномерно сходящихся в некоторой V-окрестности точки x = 0 рядов ${{z}_{{1,2}}}(x)$ вида (7). Интегрирование соответствующих уравнений (8) и (9) с учетом неравенства $p > - 5{\text{/}}2$ показывает, что указанные ряды ${{z}_{{1,2}}}(x)$ будут степенными. Соответственно, уравнение (15) будет иметь решения ${{y}_{{1,2}}}(x) = {{{v}}_{{1,2}}}(x) + {{z}_{{1,2}}}(x)$ в виде степенных рядов, абсолютно и равномерно сходящихся в некоторой V-окрестности точки x = 0.