Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 76-82

СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОБОБЩЕННЫМ ЯДРОМ КОШИ

А. П. Солдатов 12*

1 Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление” Российской академии наук
Москва, Россия

2 Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Национальный исследовательский университет МЭИ, Академии наук Республики Саха
Якутия, Россия

* E-mail: soldatov48@gmail.com

Поступила в редакцию 02.03.2021
После доработки 02.03.2021
Принята к публикации 04.02.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматриваются сингулярные интегральные операторы на кусочно-гладкой кривой в весовых лебеговых пространствах с кусочно-непрерывными матричными коэффициентами. В отличие от классического случая сингулярные интегралы определяются обобщенными ядрами Коши, возникающими как параметрикс эллиптических систем первого порядка на плоскости. Получен критерий фредгольмовости этих операторов и дана формула их индекса.

Ключевые слова: сингулярные интегральные операторы, кусочно-ляпуновская кривая, обобщенные ядра Коши, фредгольмовость, формула индекса, весовые лебеговые пространства, эллиптические системы первого порядка

В весовом Lp-пространстве l-вектор-функций $\varphi $, заданных на кусочно-гладкой ориентируемой кривой $\Gamma $, рассмотрим сингулярный интегральный оператор Коши

$(K\varphi )({{t}_{0}}) = \frac{1}{{\pi i}}\int\limits_\Gamma {\frac{{\varphi (t)dt}}{{t - {{t}_{0}}}}} ,\quad {{t}_{0}} \in \Gamma .$

Вместе с операторами умножения на кусочно- непрерывные (l × l)-матрицы-функции a, b он определяет классический сингулярный оператор вида

(1)
$2N = a(1 + K) + b(1 - K),$
где $1$ означает единичный оператор. Теории фредгольмовой разрешимости этих операторов посвящена обширная литература. В скалярном случае l = 1 итог этой теории подведен в известных монографиях Н.И. Мусхелишвили [1], Ф.Д. Гахова [2] (в весовых гельдеровых пространствах) и Б.В. Хведелидзе [3], И.И. Данилюка [4] (в весовых лебеговых пространствах).

В векторном случае l > 1 для произвольной кусочно-гладкой кривой развитые методы встречали определенные затруднения, связанные с некомпактностью интегральных операторов вида $aK - Ka$ и ${{K}^{2}} - 1$, которые определяются ядрами, приближенно однородных степени –1 относительно расстояний до узлов кривой.

Теория фредгольмовой разрешимости операторов минимальной алгебры, порожденной операторами a и K, построена в монографии И.Ц. Гохберга и Н.И. Крупника [5]. В основе лежал локальный принцип, разработанный И.Б. Симоненко [6]. Другой подход, основанный на привлечении интегральных операторов с ядрами, приближенно однородных степени –1 относительно расстояний до узлов кривой, был предложен в работах Р.В. Дудучава [7] и автора [8]. Современное состояние теории изложено в монографии С.Г. Михлина и С. Пресдорфа [9].

Пусть (l × l)-матрица-функция $J(t)$ непрерывна по Гёльдеру на кривой $\Gamma $, причем ее собственные значения лежат в верхней полуплоскости ${\text{Im}}{\kern 1pt} \nu > 0$ в каждой точке кривой. Удобно с комплексным числом $z = x + iy$ связать матрицу ${{z}_{{J(t)}}} = x1 + yJ(t)$, где 1 означает единичную (l × l)-матрицу. Аналогичный смысл имеет обозначение $d{{z}_{{J(t)}}} = dx1 + J(t)dy$ по отношению к комплексному дифференциалу $dz = dx + idy$. Заметим, что при $z \ne 0$ матрица ${{z}_{{J(t)}}}$ обратима и обратная матрица $z_{{J(t)}}^{{ - 1}}$ однородна степени –1 по переменной z. В этих обозначениях сингулярный оператор с обобщенным ядром Коши определяется формулой

(2)
$\left[ {{{K}_{{(J)}}}\varphi } \right]({{t}_{0}}) = \frac{1}{{\pi i}}\int\limits_\Gamma {(t - {{t}_{0}})_{{J(t)}}^{{ - 1}}} d{{t}_{{J(t)}}}\varphi (t),\quad {{t}_{0}} \in \Gamma ,$
где (l × l)-матричное выражение поставлено впереди l-вектора и действует на него по обычному правилу.

Ядро этого типа возникает в связи с тем, что матрица-функция $X(z,t) = z_{{J(t)}}^{{ - 1}}$ по переменной $z = x + iy$ служит параметриксом для эллиптической системы первого порядка

$\frac{{\partial U}}{{\partial y}} - J(z)\frac{{\partial U}}{{\partial x}} = F(z),\quad z \in D.$

Соответственно аналогичные (2) обобщенные интегралы типа Коши

(3)
$\phi (z) = \frac{1}{{\pi i}}\int\limits_\Gamma {(t - z)_{{J(t)}}^{{ - 1}}} d{{t}_{{J(t)}}}\varphi (t),\quad z \notin \Gamma ,$
можно использовать для исследования краевых задач для этих систем [10]. Вопросы ограниченности оператора ${{K}_{{(J)}}}$ в весовых пространствах и соответствующие граничные свойства интегралов типа Коши (3) подробно были изучены в [11].

Основная цель данного сообщения – получить критерий фредгольмовости и формулу индекса для аналогичных (1) сингулярных операторов

(4)
$2N = a\left( {1 + {{K}_{{(J)}}}} \right) + b\left( {1 - {{K}_{{(J)}}}} \right),$
определяемых обобщенным оператором Коши ${{K}_{{(J)}}}$.

Предварительно остановимся на обозначениях, связанных с кусочно-гладкой кривой. По определению под ней понимается объединение конечного числа гладких дуг, которые попарно могут пересекаться только по своим концам. В круге $\left| {z - \tau } \right| \leqslant \varrho $ с центром в точке $\tau \in \Gamma $ достаточно малого радиуса $\varrho $ кривая Γ распадается на конечное число гладких дуг ${{G}_{{\tau ,j}}}$, $1 \leqslant j \leqslant {{m}_{\tau }}$, с общим концом в точке $\tau $. Число $\varrho $ можно выбрать столь малым, что каждая из дуг радиальна в том смысле, что при $0 < r \leqslant \varrho $ окружность $\left| {z - \tau } \right| = r$ пересекает ее (и при том некасательно) в единственной точке. Выбирая $r$ в качестве параметра, в результате получаем гладкую параметризацию дуги ${{G}_{{\tau ,j}}}$ вида

${{\gamma }_{{\tau ,j}}}(r) - \tau = r{{e}^{{i{{\theta }_{{\tau ,j}}}(r)}}},\quad 0 < r \leqslant \varrho ,$
где вещественная функция $\theta (r)$ непрерывно дифференцируема на полуоткрытом интервале $(0,\varrho ]$ и $\theta (r) \to \theta (0)$, $r\theta {\text{'}}(r) \to 0$ при $r \to 0$. В частности, $\left| {\gamma {\text{'}}(0)} \right| = 1$ и число $\theta (0)$ есть аргумент $\arg \gamma {\text{'}}(0)$ единичного касательного вектора $\gamma {\text{'}}(0)$. Эту параметризацию также называем радиальной.

Радиальные дуги ${{G}_{{\tau ,j}}}$ называем концевыми, они разбивают круг $\left\{ {\left| {z - \tau } \right| \leqslant \varrho } \right\}$ на ${{n}_{\tau }}$ криволинейных секторов ${{S}_{{\tau ,j}}}$, $1 \leqslant j \leqslant {{m}_{\tau }}$. Если раствор одного из них равен нулю (т.е. его боковые стороны касаются в точке τ), то τ называем точкой возврата кривой $\Gamma $. При ${{m}_{\tau }} = 1$ криволинейный сектор ${{S}_{\tau }}$ представляет собой круг с разрезом (вдоль концевой дуги), его раствор, очевидно, равен $2\pi $. Если ${{m}_{\tau }} = 2$ и растворы обоих секторов ${{S}_{{\tau ,1}}}$ и ${{S}_{{\tau ,2}}}$ равны $\pi $, то обе концевые дуги составляют гладкую дугу. Точки τ с этим свойством называем внутренними точками кривой $\Gamma $. Точки кривой, не являющиеся внутренними, называются угловыми, их число, очевидно, конечно.

Пусть конечное множество $F$ содержит все угловые точки кривой $\Gamma $. Тогда кривая $\Gamma {{\backslash }}F$ является гладкой и каждая ее связная компонента гомеоморфна либо открытому интервалу прямой, либо окружности. Эти связные компоненты, дополненные концами в случае дуг, обозначим ${{\Gamma }_{j}}$, $1 \leqslant j \leqslant n$. При каждом j кривая ${{\Gamma }_{j}}$ является либо гладкой дугой (разомкнутой или сомкнутой), либо простым гладким контуром. Для определенности первые m компонент считаем дугами, так что $\sum\limits_\tau ^{} {{{m}_{\tau }} = 2m} $. Каждая кривая ${{\Gamma }_{j}}$ определенным образом ориентирована, по отношению к которой и понимается криволинейный интеграл (2). Число $\varrho $ в (5) выберем единым для всех точек $\tau \in F$, предполагая, что круги $\left| {z\, - \,\tau } \right|\, \leqslant \,\varrho $ попарно не пересекаются. Тогда все концевые дуги ${{G}_{{\tau ,j}}}$, $1\, \leqslant \,j\, \leqslant \,{{m}_{\tau }}$, $\tau \in F$, могут попарно пересекаться только в точках $\tau \in F$. Объединение ${{G}_{F}}$ всех концевых дуг является окрестностью множества $F$ на кривой. С каждым узлом τ можно связать сигнатуру ориентации ${{\varepsilon }_{{\tau ,j}}}$, принимающую значение 1, если дуга ${{G}_{{\tau ,j}}}$ выходит из точки τ и значение –1, если эта дуга входит в $\tau $.

Введем класс $C(\Gamma ,F)$ кусочно-непрерывных (l × l)-матриц-функций, непрерывных вне F и допускающих односторонние пределы в точках $\tau \in F$. Более точно, его элементы $a(t)$ на каждой концевой дуге ${{G}_{{\tau ,j}}}$ имеют предел в точке $\tau $, который обозначим ${{a}_{{\tau ,j}}}$. Если матрица-функция a обратима, т.е. $\det a(t) \ne 0$ всюду на $\Gamma {{\backslash }}F$, включая ее односторонние предельные значения, то можно ввести комплексное число

${\text{In}}{{{\text{d}}}_{{\Gamma ,F}}}a = \frac{1}{{2\pi i}}\sum\limits_{j = 1}^n {{{{[\ln \det a]}}_{{{{\Gamma }_{j}}}}}} ,$
где квадратные скобки означают приращения непрерывных ветвей логарифма на компонентах ${{\Gamma }_{j}}$, взятые в соответствии с их ориентацией. Это число называем индексом Коши матрицы-функции a. В случае $F = \not {0}$ кривая $\Gamma $ является (составным) гладким контуром и это число целое. В общем случае

$\begin{gathered} {\text{In}}{{{\text{d}}}_{{\Gamma ,F}}}a = \\ = - \frac{1}{{2\pi i}}\sum\limits_{\tau ,j} {{{\varepsilon }_{{\tau ,j}}}} \ln \det {{a}_{{\tau ,j}}} + {\text{целое}}\;{\text{число}}. \\ \end{gathered} $

Условимся под весовым порядком понимать семейство $\lambda = ({{\lambda }_{\tau }},\tau \in F)$ вещественных чисел. Соответственно функцию вида

${{\rho }_{\lambda }}(t) = \prod\limits_{\tau \in F} {{{{\left| {t - \tau } \right|}}^{{{{\lambda }_{\tau }}}}}} ,\quad t \in \Gamma ,$
называем весовой функцией порядка $\lambda $. Весовые порядки, которые на всех точках $\tau \in F$ принимают одно и то же значение, отождествляются с вещественными числами.

По определению весовое пространство $L_{0}^{p}(\Gamma ,F)$ состоит из измеримых комплекснозначных функций $\varphi (t)$ на кривой $\Gamma $, для которых ${{\rho }_{{ - 1/p}}}\varphi \in {{L}^{p}}(\Gamma )$. Относительно соответствующей нормы

$\left| \varphi \right| = {{\left( {{{{\int\limits_\Gamma {\left| {\rho _{\lambda }^{{ - 1}}(t)\varphi (t)} \right|} }}^{p}}\frac{{{{d}_{1}}t}}{{{{\rho }_{1}}(t)}}} \right)}^{{1/p}}}$
это пространство банахово. Здесь ${{d}_{1}}t$ означает элемент длины дуги и, как обычно, две функции, отличающиеся друг от друга на множестве нулевой меры, отождествляются. Таким образом, $L_{0}^{p}(\Gamma ,F)$ можно трактовать как Lp-пространство относительно меры ${{\rho }_{{ - 1}}}{{d}_{1}}t$, а $L_{\lambda }^{p}(\Gamma ,F)$ состоит из всех функций $\varphi = {{\rho }_{\lambda }}{{\varphi }_{0}}$, $\;{{\varphi }_{0}} \in L_{0}^{p}$ с перенесенной нормой. Конечно, при $F = \not {0}$ имеем обычное пространство ${{L}^{p}}(\Gamma )$. Это пространство возникает и когда все ${{\lambda }_{\tau }} = - 1{\text{/}}p$. Очевидно, семейство банаховых пространств $(L_{\lambda }^{p}$) монотонно убывает (в смысле вложения) по всем параметрам ${{\lambda }_{\tau }}$ и p.

Принятое определение весовых пространств отличается от более распространенного определения весового пространства ${{L}^{p}}(\Gamma ,{{\rho }_{\alpha }})$ (см., например, [3, 9]), которое задается нормой

$\left| \varphi \right| = {{\left( {\int\limits_\Gamma {{{{\left| {\varphi (t)} \right|}}^{p}}} {{\rho }_{\alpha }}(t){{d}_{1}}t)} \right)}^{{1/p}}}.$

Очевидно, при $p\lambda = - \alpha - 1$ оно совпадает с $L_{\lambda }^{p}$. Одно из достоинств принятого определения весовых пространств состоит в том, что при $ - 1 < \lambda < 0$ пространство $L_{\lambda }^{p}(\Gamma ,F)$ содержится в классе ${{L}^{1}}(\Gamma )$ суммируемых функций. Аналогичный факт по отношению к ${{L}^{p}}(\Gamma ,{{\rho }_{\alpha }})$ определяется условием $ - 1 < \alpha < p - 1$, которое зависит от p. Как показано в [11], обобщенный сингулярный оператор Коши ${{K}_{{(J)}}}$, а вместе с ним и оператор (4) при $ - 1 < \lambda < 0$ ограничены в пространстве $L_{\lambda }^{p}(\Gamma ,F)$.

В дальнейшем широко будем пользоваться понятием функции от матриц [12], которое используется для степенной функции

(8)
$f(w) = {{w}^{\zeta }},\quad 0 < \arg w < 2\pi ,$
с комплексным показателем $\zeta $. Если спектр $\sigma (A)$ матрицы A не лежит на положительной полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }} = [0, + \infty )$, то определено значение $f(A) = {{A}^{\zeta }}$ от этой матрицы. В конкретных ситуациях обычно матрицу A приводят к блочно-диагональному виду: ${{T}^{{ - 1}}}AT = {\text{diag}}({{A}_{1}},\; \ldots ,\;{{A}_{n}})$, где ${{A}_{j}}$ имеет единственное собственное значение ${{\nu }_{j}}$. Тогда аналогичный вид имеет и матрица f(A), т.е. T–1f(A)T = = ${\text{diag}}\left[ {f({{A}_{1}}),\; \ldots ,\;f({{A}_{n}})} \right]$. Применительно к функции (8) матрица $f({{A}_{j}}) = \nu _{j}^{\zeta }{{p}_{j}}(\zeta )$ с матричным многочленом
${{p}_{j}}(\zeta ) = 1 + \sum\limits_{k = 1}^{l - 1} {\frac{{\zeta (\zeta - 1)\; \cdots \;(\zeta - k + 1)}}{{k!}}} {{({{A}_{j}} - {{\nu }_{j}})}^{k}},$
где учтено, что матрица ${{A}_{j}} - {{\nu }_{j}}$ нильпотентна и, следовательно, ${{({{A}_{j}} - {{\nu }_{j}})}^{k}} = 0$ при $k \geqslant l$. Определитель этого многочлена тождественно равен единице.

В обозначениях (5) удобно положить

(9)
${{q}_{{\tau ,j}}} = {{e}^{{i{{\theta }_{{\tau ,j}}}(0)}}},\quad {{Q}_{{\tau ,j}}} = ({{q}_{{\tau ,j}}}{{)}_{{J(\tau )}}}.$

При ${{m}_{\tau }} \geqslant 3$ нумерацию дуг ${{G}_{{\tau ,j}}}$ и, соответственно, векторов ${{q}_{{\tau ,j}}}$ выберем так, чтобы при возрастании j единичные вектора ${{q}_{{\tau ,j}}}$ обходили начало координат против часовой стрелки, так что их аргументы  ${{\theta }_{{\tau ,j}}}(0)$ можно подчинить условию argqτ, 1 < ... <  $\arg {{q}_{{\tau ,{{m}_{\tau }}}}} < 2\pi + \arg {{q}_{{\tau ,1}}}$.

Важно заметить, что при $1 \leqslant k$, $j \leqslant {{m}_{\tau }}$, $k \ne j$, собственные значения матрицы ${{Q}_{{\tau ,k}}}Q_{{\tau ,j}}^{{ - 1}}$ не лежат на вещественной полуоси. В самом деле, для любого $\nu > 0$ вектор ${{q}_{{\tau ,k}}} - \nu {{q}_{{\tau ,j}}} \ne 0$, так что матрица ${{({{q}_{{\tau ,k}}} - \nu {{q}_{{\tau ,j}}})}_{{J(\tau )}}} = {{Q}_{{\tau ,k}}} - \nu {{Q}_{{\tau ,j}}}$ обратима, а вместе с ней обратима и матрица ${{Q}_{{\tau ,k}}}Q_{{\tau ,j}}^{{ - 1}} - \nu $.

В терминах циклической перестановки

$[k - 1] = \left\{ \begin{gathered} k - 1,\quad 2 \leqslant k \leqslant {{m}_{\tau }}, \hfill \\ {{m}_{\tau }},\quad k = 1, \hfill \\ \end{gathered} \right.$
векторы ${{q}_{{\tau ,k}}}$ и ${{q}_{{\tau ,[k - 1]}}}$ являются соседними и поворот по часовой стрелке от ${{q}_{{\tau ,k}}}$ к ${{q}_{{\tau ,[k - 1]}}}$ осуществляется на угол $\arg ({{q}_{{\tau ,k}}}q_{{\tau ,[k - 1]}}^{{ - 1}})$, заключенный между 0 и $2\pi $. В частности, сумма всех этих углов равна $2\pi $.

Пусть для краткости

${{P}_{{\tau ,k}}}(\zeta ) = {{({{Q}_{{\tau ,k}}}Q_{{\tau ,[k - 1]}}^{{ - 1}})}^{\zeta }},$
где степенная функция определяется (8).

Лемма 1. Для заданных ${{x}_{1}},\; \ldots ,\;{{x}_{{{{m}_{\tau }}}}} \in {{\mathbb{C}}^{{l \times l}}}$ матрица-функция

$x(\zeta ) = {{e}^{{2\pi i\zeta }}}P_{{\tau ,1}}^{{ - 1}}(\zeta ){{x}_{1}}P_{{\tau ,2}}^{{ - 1}}(\zeta ){{x}_{2}}\; \cdots \;P_{{\tau ,{{n}_{\tau }}}}^{{ - 1}}(\zeta ){{x}_{{{{m}_{\tau }}}}}$
является многочленом и ее определитель равен произведению определителей матриц xk, $1 \leqslant k \leqslant {{m}_{\tau }}$.

Сформулируем теперь основной результат о фредгольмовости операторов вида (4).

Теорема 1. Пусть кусочно-ляпуновская кривая $\Gamma $ не содержит точек возврата, матрица- функция $J(t)$ удовлетворяет условию Гёльдера на $\Gamma $ и все ее собственные значения лежат в верхней полуплоскости.

В этих предположениях оператор N в (4) фредгольмов в пространстве $L_{\lambda }^{p}(\Gamma ,F)$, $\; - 1 < \lambda < 0$, тогда и только тогда, когда матрицы-функции a, b обратимы в $C(\Gamma ,F)$ и

$\det [{{e}^{{2\pi i\zeta }}} - {{c}_{\tau }}(\zeta )] \ne 0;\quad {\text{Re}}\zeta = {{\lambda }_{\tau }},\quad \tau \in F,$
где ${{c}_{\tau }}$ определяется формулой (10) по отношению к ${{x}_{k}} = ({{a}^{{ - 1}}}b)_{{\tau ,k}}^{{ - {{\varepsilon }_{{\tau ,k}}}}}.$

При выполнении этих условий индекс этого оператора дается равенством

(11)
${\text{ind}}{\kern 1pt} N = {\text{In}}{{{\text{d}}}_{{\Gamma ,F}}}({{a}^{{ - 1}}}b) - \sum\limits_{\tau \in F} {{{\delta }_{\tau }}} ,$
где положено

${{\delta }_{\tau }} = \frac{1}{{2\pi i}}\left[ {\ln \det \left( {\frac{{{{e}^{{2\pi i\zeta }}} - {{c}_{\tau }}(\zeta )}}{{{{e}^{{2\pi i\zeta }}} - 1}}} \right)} \right]_{{{{\lambda }_{\tau }} - i\infty }}^{{{{\lambda }_{\tau }} + \infty }}.$

Заметим, что существование конечных пределов выражения в квадратных скобках при ${\text{Im}}{\kern 1pt} \zeta \to \pm \infty $ на прямой ${\text{Re}}{\kern 1pt} \zeta = {{\lambda }_{\tau }}$ вытекает из леммы 1. Тот факт, что правая часть равенства (11) дает целое число, является следствием (6) и леммы 1.

Аналогичный результат справедлив и для оператора $2{{N}^{1}} = \left( {1 + {{K}_{{(J)}}}} \right)a + \left( {1 - {{K}_{{(J)}}}} \right)b$ с заменой ${{c}_{\tau }}$ на матрицу $c_{\tau }^{1}$, которая определяется формулой (10) по ${{x}_{k}} = {{(b{{a}^{{ - 1}}})}_{{\tau ,k}}}$.

Теорема 1 в предположении, что матрица J(t) постоянна и имеет единственное собственное значение i, установлена в [8]. В классическом случае $J(t) = i$ матрица-функция ${{c}_{\tau }}$ постоянна и совпадает с

(12)
$c_{\tau }^{0} = \prod\limits_1^{{{m}_{\tau }}} {({{a}^{{ - 1}}}b)_{{\tau ,k}}^{{ - {{\varepsilon }_{{\tau ,k}}}}}.} $

В этом случае теорему 1 можно уточнить.

Теорема 2. Пусть кусочно-ляпуновская кривая $\Gamma $ не содержит точек возврата.

Тогда фредгольмовость оператора 2N = a(1 + K) +$b(1 - K)$ равносильно тому, что матрицы-функции a, b обратимы в $C(\Gamma ,F)$ и при каждом $\tau $ собственные значения матрицы $c_{\tau }^{0}$ в (12) не лежат на луче $\arg z = 2\pi {{\lambda }_{\tau }}$. При этом имеет место формула (11) с

${{\delta }_{\tau }} = \sum\limits_\nu {\frac{{\ln \nu }}{{2\pi i}}} ,$
где сумма берется по всем собственным значениям $\nu $ матрицы ${{c}_{\tau }}$ с учетом их кратности, причем значение $\ln \nu $ выбрано по условию $2\pi {{\lambda }_{\tau }} < \arg \nu < 2\pi $ + + 2πλτ.

Равенству (13) можно придать также следующую форму. Положим

${{\xi }_{\tau }}(t) = \frac{{\sin [\pi t(1 + 2{{\lambda }_{\tau }})]}}{{\sin [\pi (1 + 2{{\lambda }_{\tau }})]}},\quad 0 \leqslant t \leqslant 1,\quad {{\lambda }_{\tau }} \ne - \frac{1}{2},$
и ${{\xi }_{\tau }}(t) = t$ при ${{\lambda }_{\tau }} = - 1{\text{/}}2$.

Лемма 2. Собственные значения матрицы ${{c}_{\tau }}$ не лежат на луче $\arg z = 2\pi {{\lambda }_{\tau }}$ тогда и только тогда, когда

$\det \left[ {1 - {{\xi }_{\tau }}(t) + {{\xi }_{\tau }}(t){{c}_{\tau }}} \right] \ne 0,\quad 0 \leqslant t \leqslant 1.$

При этом

${{\delta }_{\tau }} = \left[ {\frac{1}{{2\pi i}}\ln \det \left[ {1 - {{\xi }_{\tau }}(t) + {{\xi }_{\tau }}(t){{c}_{\tau }}} \right]} \right]_{{t = 0}}^{1}.$

В этой формулировке теорема 2 установлена И.Ц. Гохбергом и Н.И. Крупником [5].

До сих пор кривая $\Gamma $ была конечной, т.е. лежала внутри некоторого круга. Пусть она бесконечна и точка ${{z}_{0}} \notin \Gamma $. По определению эта кривая кусочно-ляпуновская, если аналогичным свойством обладает ее образ при дробно линейном отображении $z \to 1{\text{/}}(z - {{z}_{0}})$. Во внешности круга $\left| z \right| \geqslant 1{\text{/}}\rho $, где $\rho > 0$ достаточно мало, кривая Γ распадается на конечное число полубесконечных дуг ${{G}_{{\infty ,j}}}$, $1 \leqslant j \leqslant {{n}_{\infty }}$, с общим концом в бесконечно удаленной точке $\infty $. Эти дуги также можно считать радиальными, т.е. каждая окружность $\left| z \right| = r$ при $r \geqslant 1{\text{/}}\rho $ пересекает ее (и при том некасательно) в единственной точке. Тогда аналогично (5) эти дуги описываются параметризациями

${{\gamma }_{{\infty ,j}}}(r) = r{{e}^{{i{{\theta }_{{\infty ,j}}}(r)}}},\quad r \geqslant 1{\text{/}}\rho ,$
где вещественная функция $\theta (r)$ непрерывно дифференцируема при $r \geqslant 1{\text{/}}\rho $ и $\theta (r) \to \theta (\infty )$, $r\theta {\text{'}}(r) \to 0$ при $r \to \infty $. В этом легко убедиться, если заметить, что при инверсии $z \to 1{\text{/}}\bar {z}$ уравнение вида (5) с $\tau = 0$ переходит в уравнение (14) с указанными свойствами функции $\theta (r)$.

Таким образом, существует предел $\gamma _{{\infty ,j}}^{'}(\infty )$ = = ${\text{lim}}\gamma _{{\infty ,j}}^{'}(r)$ при $r \to \infty $, аналогично (9) представляющий собой единичный вектор ${{q}_{{\infty ,j}}}$, и его аргумент равен ${{\theta }_{{\infty ,j}}}(\infty )$. Как и выше в случае ${{q}_{{\infty ,j}}} = {{q}_{{\infty ,k}}}$ при $k \ne j$ говорим, что кривая Γ имеет $\infty $ своей точкой возврата. Нумерацию дуг ${{G}_{{\infty ,j}}}$ и векторов ${{q}_{{\infty ,j}}}$ по-прежнему выбираем в порядке обхода точки $z = 0$ против часовой стрелки.

Заметим попутно, что радиальная дуга ${{G}_{{\tau ,j}}}$ с уравнением (5) является ляпуновской тогда и только тогда, когда обе функции $\theta (r)$ и $r\theta {\text{'}}(r)$ удовлетворяют условию Гёльдера на отрезке [0, ρ]. Соответственно полубесконечная радиальная дуга с уравнением (14) является ляпуновской, если указанное требование выполняется по отношению к функции $\theta (1{\text{/}}r)$, $0 \leqslant r \leqslant \rho $.

Для бесконечной кривой конечное множество $F$ выбирается аналогично предыдущему, причем в его состав включается и бесконечно удаленная точка $\infty $. Например, вещественная и мнимая оси образуют кусочно-гладкую кривую с $F = \{ 0,\infty \} $ и m = n = 4, причем роль полубесконечных дуг ${{\Gamma }_{j}}$ с общими концами в точках $0$ и $\infty $ играют полуоси. Точно также две параллельные прямые составляют кусочно-гладкую кривую с $F = \{ \infty \} $ и m = n = 2, имеющих бесконечно удаленную точку своей точкой возврата. При этом двумя бесконечными “сомкнутыми” дугами ${{\Gamma }_{j}}$ с общим концом $\infty $ служат сами прямые.

Для бесконечной кривой определение (7) весовой функции порядка $\lambda $ необходимо видоизменить, полагая

(15)
${{\rho }_{\lambda }}(t) = {{\left( {1 + \left| t \right|} \right)}^{{{{\lambda }_{\infty }}}}}\prod\limits_{\tau \in F,\;\tau \ne \infty } {{{{\left( {\frac{{\left| {t - \tau } \right|}}{{1 + \left| t \right|}}} \right)}}^{{{{\lambda }_{\tau }}}}}} ,\quad t \in \Gamma .$

По отношению к ней весовое пространство $L_{\lambda }^{p}(\Gamma ,F)$ определяется совершенно аналогично предыдущему. Как и в случае конечной кривой оно рассматривается только при p > 1. Полученное семейство банаховых пространств по-прежнему монотонно убывает по вложению относительно параметров $p$ и ${{\lambda }_{\tau }}$, $\tau \ne \infty $, и монотонно возрастает по ${{\lambda }_{\infty }}$. Как и выше, при $ - 1 < \lambda < 0$ функции $\varphi \in L_{\lambda }^{p}(\Gamma ,F)$ суммируемы.

Пусть точка ${{z}_{0}} \notin \Gamma $ и функция J1 на конечной кривой ${{\Gamma }^{1}} = \{ {{(t - {{z}_{0}})}^{{ - 1}}},t \in \Gamma \} $ определяется равенством ${{J}^{1}}[{{(t - {{z}_{0}})}^{{ - 1}}}] = J(t)$.

Теорема 3. Пусть кусочно-ляпуновская кривая $\Gamma $ бесконечна и не содержит точек возврата, матрица-функция J1удовлетворяет условию Гёльдера на Γ1и все ее собственные значения лежат в верхней полуплоскости.

Тогда все утверждения теоремы 1 сохраняют свою силу с той разницей, что при $\tau = \infty $ матрица ${{c}_{\tau }}$ определяется формулой (10) по отношению к xk = = $({{a}^{{ - 1}}}b)_{{\tau ,k}}^{{{{\varepsilon }_{{\tau ,k}}}}}$ и в формуле (11) слагаемое ${{\delta }_{\infty }}$ необходимо заменить на $ - {{\delta }_{\infty }}$.

По отношению к классическому сингулярному оператору Коши K теорема 3 по существу не дает ничего нового, так как теорема 2 инвариантна относительно дробно-линейного преобразования, переводящего бесконечную кривую $\Gamma $ на конечную кривую Γ1.

Более точно, пусть для определенности ${{z}_{0}} = 0$, так что ${{\Gamma }^{1}} = \{ {{t}^{{ - 1}}},t \in \Gamma \} $. Аналогичный смысл имеют множество F1 и концевые дуги $\Gamma _{{\tau ,j}}^{1}$. Ориентация кривой Γ1 наследуется ориентацией $\Gamma $ при отображении $t \to 1{\text{/}}t$, так что сигнатуры $\varepsilon $ и ε1 совпадают, т.е. $\varepsilon _{\tau }^{1} = {{\varepsilon }_{{1/\tau }}}$, $\tau \in {{F}^{1}}.$ Бесконечные концевые дуги ${{G}_{{\infty ,j}}}$ переходят в дуги $\Gamma _{{0,j}}^{1}$ с концом $\tau = 0$. Соответственно, единичным касательным вектором в точке $\tau = 0$ служит $q_{{0,j}}^{1} = {{e}^{{ - i{{\theta }_{{\infty ,j}}}}}}$. В частности, если при возрастании j векторы ${{q}_{{\infty ,j}}}$ обходят единичную окружность против часовой стрелки, то векторы $q_{{0,j}}^{1}$ обходят ее по часовой стрелке.

Очевидно, весовая подстановка

(16)
$\varphi \to {{\varphi }^{1}}(t) = {{t}^{{ - 1}}}\varphi ({{t}^{{ - 1}}})$
осуществляет изоморфизм $L_{\lambda }^{p}(\Gamma ,F)$ на банахово пространство $L_{{{{\lambda }^{1}}}}^{p}({{\Gamma }^{1}},{{F}^{1}})$ с весовым порядком λ1 = = $(\lambda _{\tau }^{1},\tau \in {{F}^{1}})$, который связан с λ соотношением $\lambda _{\tau }^{1} = {{\lambda }_{{1/\tau }}}$ для $\tau \ne 0$ и $\lambda _{0}^{1} = - {{\lambda }_{\infty }} - 1$. При этом условие $ - 1 < \lambda < 0$ сохраняется и для весового порядка ${{\lambda }^{1}}$.

Нетрудно видеть, что при этой подстановке ${{(K\varphi )}^{1}} = {{K}^{1}}{{\varphi }^{1}}$, где K1 означает сингулярный оператор Коши K по кривой ${{\Gamma }^{1}}$, так что оператор $2N = a(1 + K) + b(1 - K)$ перейдет в аналогичный оператор $2{{N}^{1}} = {{a}^{1}}(1 + {{K}^{1}}) + {{b}^{1}}(1 - {{K}^{1}})$ с коэффициентами ${{a}^{1}}(t) = a(1{\text{/}}t)$ и ${{b}^{1}}(t) = {{b}^{1}}(1{\text{/}}t)$. В частности, операторы N и N1 фредгольмово эквивалентны и их индексы совпадают. В этом можно убедиться и непосредственно, применяя теорему 2 к каждому из этих операторов.

Все предыдущие результаты сохраняют свою силу и в пространствах Гёльдера с весом. Обозначим $C_{0}^{\mu }(\Gamma ,F)$ пространство всех непрерывных и ограниченных на $\Gamma {{\backslash }}F$ вектор-функций $\varphi $ с конечной нормой

$\left| \varphi \right| = \mathop {\sup }\limits_{t \in \Gamma } \left| {\varphi (t)} \right| + \mathop {\sup }\limits_{{{t}_{1}} \ne {{t}_{2}}} \frac{{\left| {({{\rho }_{\mu }}\varphi )({{t}_{1}}) - ({{\rho }_{\mu }}\varphi )({{t}_{2}})} \right|}}{{{{{\left| {{{t}_{1}} - {{t}_{2}}} \right|}}^{\mu }}}},$
где весовая функция ${{\rho }_{\mu }}$ порядка $\mu $ определяется (7) или (15) в зависимости от типа кривой $\Gamma $. Относительно данной нормы это пространство банахово и монотонно убывает относительно $\mu $. Исходя из него, весовое пространство $C_{\lambda }^{\mu }(\Gamma ,F)$ вводится аналогично ${{L}^{p}}$-случаю. Полученное семейство пространств монотонно убывает по параметрам $\mu $ и ${{\lambda }_{\tau }}$, $\tau \ne \infty $, и монотонно возрастает по ${{\lambda }_{\infty }}$ (в случае бесконечной кривой). Аналогичное банахово пространство $C_{\lambda }^{{1,\mu }}(\Gamma ,F)$ дифференцируемых на $\Gamma {{\backslash }}F$ функций определяется условиями $\varphi \in C_{\lambda }^{\mu }$, $\varphi {\text{'}} \in C_{{\lambda - 1}}^{\mu }$, где штрих означает производную по параметру длины дуги. Свойства всех этих пространств подробно описаны в [11].

Обозначим далее $\mathcal{C}_{{}}^{\nu }(\Gamma ,F)$ класс кусочно-непрерывных l × l-матриц-функций $a \in C(\Gamma ,F)$, принадлежащих $C_{0}^{\nu }(\Gamma ,F)$ и удовлетворяющих условию a(t) – ${{a}_{{\tau ,j}}} \in C_{{ \pm \varepsilon }}^{\nu }({{G}_{{\tau ,j}}}$, τ), $1 \leqslant j \leqslant {{m}_{\tau }}$, $\tau \in F$, c некоторым ε > 0, где выбирается верхний знак для конечных точек $\tau $ и нижний знак для $\tau = \infty $. Аналогичный смысл имеет класс $\mathcal{C}_{{}}^{{1,\nu }}(\Gamma ,F)$ при замене символа ${{C}^{\nu }}$ на ${{C}^{{1,\nu }}}$.

Заметим, что на кусочно-гладкой кривой $\Gamma $ единичный касательный вектор $e(t)$, $t \in \Gamma {{\backslash }}F$, направление которого согласовано с ориентацией кривой, как комплекснозначная функция кусочно-непрерывна на $\Gamma $. Рассмотрим класс кусочно-ляпуновских кривых, описываемых условием $e(t) \in \mathcal{C}_{{}}^{\nu }(\Gamma ,F)$. Заметим, что этот класс инвариантен относительно дробно-линейных преобразований плоскости.

Теорема 4. Пусть кусочно-ляпуновская кривая $\Gamma $ не содержит точек возврата и $e(t) \in \mathcal{C}_{{}}^{\nu }(\Gamma ,F)$, матрица-функция $J$ принадлежит классу $\mathcal{C}_{{}}^{\nu }(\Gamma ,F)$, непрерывна в точках $\tau \in F$ и все ее собственные значения лежат в верхней полуплоскости. Пусть коэффициенты $a$, $b$ в (1), (4) принадлежат классу $\mathcal{C}_{{}}^{\nu }(\Gamma ,F)$.

Тогда теоремы 1–3 сохраняют свою силу и по отношению к пространству $C_{\lambda }^{\mu }(\Gamma ,F)$, $ - 1 < \lambda < 0$, $0 < \mu < \nu $. При этом в предположении фредгольмовости любое решение $\varphi \in L_{\lambda }^{p}(\Gamma ,F)$ уравнения $N\varphi = f$ с правой частью $f \in C_{\lambda }^{\mu }(\Gamma ,F)$ также принадлежит $C_{\lambda }^{\mu }(\Gamma $, F). Если дополнительно функции a, b, $J\, \in \,\mathcal{C}_{{}}^{{1,\nu }}(\Gamma ,F)$ и $f \in C_{\lambda }^{{1,\mu }}(\Gamma ,F)$, то и $\varphi \in C_{\lambda }^{{1,\mu }}(\Gamma ,F)$.

Заметим, что как и в Lp-случае аналог теоремы 2 (в терминах леммы 2) для пространств $C_{\lambda }^{\mu }(\Gamma ,F)$ также хорошо известен [9]. В случае, когда матрица-функция J(t) постоянна и имеет единственное собственное значение i, а кривая $\Gamma $ конечна, теорема 4 установлена в [8].

Список литературы

  1. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

  2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. 3-е изд. М.: Наука, 1977.

  3. Хведелидзе Б.В. Линейные разрывные задачи теории функций, сингулярные интегральные уравнения и некоторые их приложения // Тр. Тбил. мат. ин-та АН ГрССР, 1956. Т. 23. С. 3–158.

  4. Данилюк И.И. Нерегулярные краевые задачи. М.: Наука, 1975.

  5. Гохберг И.Ц., Крупник Н.И. Введение в теорию одномерных сингулярных уравнений. Кишинев: Штиинца, 1973.

  6. Симоненко И.Б. Новый общий метод исследования линейных операторных уравнений типа сингулярных интегральных уравнений // I, Изв. АН СССР (Сер. матем.)1965. Т. 29. № 3. С. 567–586, II. Изв. АН СССР (Сер. матем.). 1965. Т. 29. № 4. С. 757–782.

  7. Дудучава Р.В. Интегральные уравнения свертки с разрывными предсимволами, сингулярные интегральные уравнения с неподвижными особенностями и их приложения к задачам механики // Тр. Тбил. матем. ин-та АН ГрССР. 1979. Т. 60. С. 1–135.

  8. Солдатов А.П. Одномеpные сингуляpные опеpатоpы и кpаевые задачи теоpии функций. М.: Высшая школа, 1991. 266 с.

  9. Mikhllin S.G., Prossdorf S. Singular integral operators. Berlin: Akademie-Verlag and Springer-Verlag, 1986.

  10. Отелбаев М., Солдатов А.П. Интегральные представления вектор-функций, основанные на параметриксе эллиптических систем первого порядка // ЖВМиМФ. 2021. Т. 61. № 1. С. 90–99.

  11. Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи // Современная математика. Фундаментальные направления. 2017. Т. 63. С. 1–189.

  12. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Изд. 4-е. М.: Наука, 1988.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления