Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 40-44

О КОРРЕКТНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВАХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ, ГОЛОМОРФНЫХ В УГЛЕ

В. В. Власов^1, *, Н. А. Раутиан^1, **

¹ Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

^* E-mail: victor.vlasov@math.msu.ru
^** E-mail: nadezhda.rautian@math.msu.ru

Поступила в редакцию 06.12.2021
После доработки 18.02.2022
Принята к публикации 19.02.2022

EDN: FXDHWV
DOI: 10.31857/S2686954322020187

Полный текст (PDF)

Аннотация

В предлагаемой работе изучаются интегро-дифференциальные уравнения с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Главной частью указанных уравнений является абстрактное параболическое уравнение, возмущенное вольтерровым интегральным оператором. Принципиальное отличие данной работы от имеющихся состоит в том, что мы рассматриваем и изучаем интегро-дифференциальные уравнения для вектор-функций, аргументы которых принимают значения в угловой области комплексной плоскости.

Ключевые слова: вольтерровы интегро-дифференциальные уравнения, голомофная в угловой области вектор-функция, пространство Харди

В работе [1], а также в монографии [2] изучен класс функций ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }}} \right)$, голоморфных в угловой области

${{S}_{\theta }} = \left\{ {\tau \in \mathbb{C}{\text{:}}\;\left| {\arg \tau } \right| < \theta } \right\},$

и таких, что

$\mathop {\sup }\limits_{\varphi :\left| \varphi \right| < \theta } \left\{ {\int\limits_0^\infty {\text{|}}f(t{{e}^{{i\varphi }}}){{{\text{|}}}^{2}}dt} \right\} < \infty .$

В [1, 2] установлено, что снабженное соответствующей нормой ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }}} \right)$ является гильбертовым пространством и для него доказана теорема типа Пэли–Винера.

Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство, A – самосопряженный положительный оператор $A* = A \geqslant \kappa I$ ($\kappa > 0$), действующий в пространстве H, имеющий компактный обратный. Через (⋅, ⋅) и ||⋅|| обозначим скалярное произведение и норму в пространстве H соответственно.

В предлагаемой работе изучены классы ${{\Re }_{2}}({{S}_{\theta }},H)$ и $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$ функций со значениями в пространстве H, голоморфных в области ${{S}_{\theta }}$. При этом класс ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$ состоит из вектор-функций, для которых

$\mathop {\sup }\limits_{\varphi :\left| \varphi \right| < \theta } \int\limits_0^\infty {{\text{||}}f(t{{e}^{{i\varphi }}}){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}} dt < \infty ,$

а класс $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$ из вектор-функций, для которых

$\mathop {\sup }\limits_{\varphi :\left| \varphi \right| < \theta } \int\limits_0^\infty {\left( {{{{\left\| {\frac{{{{\partial }^{n}}}}{{\partial {{t}^{n}}}}u(t{{e}^{{i\varphi }}})} \right\|}}^{2}} + \,{\text{||}}{{A}^{n}}u(t{{e}^{{i\varphi }}}){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}} \right)} dt < \infty .$

Превратим область определения $D({{A}^{\beta }})$ оператора ${{A}^{\beta }},$ $\beta > 0,$ в гильбертово пространство ${{H}_{\beta }}$, введя на норму ${{\left\| \cdot \right\|}_{\beta }} = \left\| {{{A}^{\beta }} \cdot } \right\|$, эквивалентную норме графика оператора ${{A}^{\beta }}$. Условимся в дальнейшем называть функцией (без добавления слова “вектор”) функцию со значениями в пространстве $H$, а функцию со значениями в $\mathbb{C}$ называть скалярной или числовой функцией.

Обозначим через ${{L}_{2}}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},H} \right)$ пространство (классов) функций со значениями в H, измеримых относительно меры Лебега dt на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }} = \left( {0, + \infty } \right)$ и таких, что

${{\left\| f \right\|}_{{{{L}_{2}}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},H} \right)}}} = {{\left( {\int\limits_0^{ + \infty } {{{{\left\| {f\left( t \right)} \right\|}}^{2}}} dt} \right)}^{{1/2}}} < + \infty .$

Через $W_{2}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}^{n}})$ обозначим пространство Соболева функций на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }} = \left( {0, + \infty } \right)$ со значениями в пространстве H, снабженное нормой

${{\left\| u \right\|}_{{W_{2}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}^{n}})}}} \equiv {{\left( {\int\limits_0^{ + \infty } {({\text{||}}{{u}^{{\left( n \right)}}}\left( t \right){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}} + \,{\text{||}}{{A}^{n}}u\left( t \right){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}})} dt} \right)}^{{1/2}}}.$

Подробнее о пространствах $W_{2}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}^{n}})$ см. монографию [3, гл. 1]. Для n = 0 полагаем $W_{2}^{0}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}^{0}})\, \equiv \,{{L}_{2}}({{\mathbb{R}}_{ + }}$, H). Будем полагать в дальнейшем ${{\Re }_{2}}({{S}_{0}},H)\, = \,{{L}_{2}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H),$ $W_{2}^{n}({{S}_{0}},{{A}^{n}})\, = \,W_{2}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}^{n}})$.

1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$, $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$

Укажем основные свойства пространства ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$.

Предложение 1. Для функции f(τ) ∈ ∈ ${{\Re }_{2}}({{S}_{\theta }},H)$ существуют граничные значения $f(t{{e}^{{ \pm \theta }}}) \in {{L}_{2}}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},H} \right)$ такие, что

$\mathop {\lim }\limits_{\varphi \to \pm \theta } {\text{||}}f(t{{e}^{{i\varphi }}}) - f(t{{e}^{{ \pm i\theta }}}){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}_{2}}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},H} \right)}}} = 0.$

Теорема 1. 1⁰Класс функций ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$ с нормой

$\left\| f \right\|_{{2,\theta }}^{*} = \mathop {\sup }\limits_{\varphi :\left| \varphi \right| < \theta } {{\left\{ {\int\limits_0^{ + \infty } {\text{||}}f(t{{e}^{{i\varphi }}}){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}dt} \right\}}^{{1/2}}}$

является банаховым пространством.

2⁰. Класс функций ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$ со скалярным произведением

$\begin{gathered} {{\left\langle {f,g} \right\rangle }_{{2,\theta }}} = \int\limits_0^{ + \infty } {(f(t{{e}^{{ - i\theta }}}),g(t{{e}^{{ - i\theta }}}))} dt + \\ + \;\int\limits_0^{ + \infty } {(f(t{{e}^{{i\theta }}}),g(t{{e}^{{i\theta }}}))} dt \\ \end{gathered} $

является гильбертовым пространством.

3⁰. Если $f\left( \tau \right)$ – произвольная функция из класса ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$ и

${{\left\| f \right\|}_{{2,\theta }}} = \left\langle {f,f} \right\rangle _{{2,\theta }}^{{1/2}},$

то справедливы неравенства

$\left\| f \right\|_{{2,\theta }}^{*} \leqslant \sqrt 2 {{\left\| f \right\|}_{{2,\theta }}} \leqslant 2\left\| f \right\|_{{2,\theta }}^{*}.$

Приведем теорему, являющуюся аналогом теоремы Пэли–Винера для пространства ${{\Re }_{2}}({{S}_{\theta }}$, H).

Теорема 2. Пусть $\theta \in \left( {0,\;\pi {\text{/}}2} \right).$ Справедливы следующие утверждения:

1⁰. Класс функций ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{{\theta + \pi /2}}},H} \right)$ совпадает с множеством функций, допускающих представление

(1)

$\begin{gathered} F\left( \lambda \right) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{{e}^{{ - i\varphi }}}\int\limits_0^{ + \infty } {{{e}^{{ - \lambda t{{e}^{{ - i\varphi }}}}}}} f(t{{e}^{{ - i\varphi }}})dt, \\ \left| {\arg \lambda - \varphi } \right| < \frac{\pi }{2},\quad \varphi \in \left( { - \theta ,\theta } \right), \\ \end{gathered} $

$f\left( \tau \right) \in {{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$.

2⁰. В представлении (1) для каждой фикси-рованной функции $F(\lambda )\, \in \,{{\Re }_{2}}({{S}_{{\theta + \pi /2}}}$, H) функция $f(\tau )\, \in \,{{\Re }_{2}}({{S}_{\theta }}$, H) единственна, и справедлива формула обращения

(2)

$f(t{{e}^{{i\varphi }}}) = \frac{1}{{\sqrt {2\pi } }}{{e}^{{ - i\varphi }}}\frac{d}{{dt}}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {\frac{{{{e}^{{ity}}} - 1}}{{iy}}} F\left( {{{e}^{{i\left( {\frac{\pi }{2}{\text{sgn}}y - \varphi } \right)}}}\left| y \right|} \right)dy.$

3⁰. Если функция $F\left( \lambda \right) \in {{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{{\theta + \pi /2}}},H} \right)$ представима функцией $f\left( \tau \right) \in {{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$ по формуле (1), то справедливы неравенства

(3)

${{\left\| F \right\|}_{{2,\frac{\pi }{2} + \theta }}} \leqslant 2{{\left\| f \right\|}_{{2,\theta }}} \leqslant 2\sqrt 2 {{\left\| F \right\|}_{{2,\frac{\pi }{2} + \theta }}}.$

Перейдем к рассмотрению и изучению аналогов пространств Соболева $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$ функций, голоморфных в угле ${{S}_{\theta }}$.

Условимся в дальнейшем обозначать через $\frac{{du}}{{d\tau }}$ производную функции u(τ) в смысле функций комплексного переменного. Класс функций $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$ совпадает с классом функций, голоморфных в угле ${{S}_{\theta }}$, таких, что

$\mathop {\sup }\limits_{\varphi :\left| \varphi \right| < \theta } {{\left\{ {\int\limits_0^{ + \infty } {\left( {{{{\left\| {\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{\tau }^{n}}}}u(t{{e}^{{i\varphi }}})} \right\|}}^{2}} + \,{\text{||}}{{A}^{n}}u(t{{e}^{{i\varphi }}}){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}} \right)} dt} \right\}}^{{1/2}}} < + \infty .$

В нижеследующей лемме приведен аналог теоремы о промежуточных производных, широко известной для пространств $W_{2}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}^{n}})$ (см. [3, с. 29]).

Лемма 1. Пусть функция $u\left( \tau \right) \in W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}}).$ Тогда

${{A}^{{n - j}}}\frac{{{{d}^{j}}}}{{d{{\tau }^{j}}}}u\left( \tau \right) \in {{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right),\quad j = 0,\;1,\; \ldots .,\;n.$

Предложение 2. Для функции $u(\tau )\, \in \,W_{2}^{n}({{S}_{\theta }}$, Aⁿ) существуют граничные значения ${{u}_{{ \pm \theta }}}(t)\, = \,u(t{{e}^{{ \pm i\theta }}})$ из класса $W_{2}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}^{n}})$ такие, что

$\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{\varphi \to \pm \theta } \int\limits_0^{ + \infty } \left( {{{{\left\| {\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{\tau }^{n}}}}u(t{{e}^{{i\varphi }}}) - \frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{\tau }^{n}}}}u(t{{e}^{{ \pm i\theta }}})} \right\|}}^{2}}} \right. + \\ \left. {_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} + \,{\text{||}}{{A}^{n}}(u(t{{e}^{{i\varphi }}}) - u(t{{e}^{{ \pm i\theta }}})){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}} \right)dt = 0. \\ \end{gathered} $

Теорема 3. 1⁰. Класс функций $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$ с нормой

$\begin{gathered} \left\| u \right\|_{{W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})}}^{*} = \\ = \;\mathop {\sup }\limits_{\varphi :\left| \varphi \right| < \theta } {{\left\{ {\int\limits_0^{ + \infty } \left( {{{{\left\| {\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{\tau }^{n}}}}u(t{{e}^{{i\varphi }}})} \right\|}}^{2}} + \,{\text{||}}{{A}^{n}}u(t{{e}^{{i\varphi }}}){\text{|}}{{{\text{|}}}^{2}}} \right)dt} \right\}}^{{1/2}}} \\ \end{gathered} $

является банаховым пространством.

2⁰. Класс функций $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$ со скалярным произведением

$\begin{gathered} {{\left\langle {u,{v}} \right\rangle }_{{W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})}}} = \int\limits_0^{ + \infty } {\left\{ {\left( {\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{\tau }^{n}}}}u(t{{e}^{{ - i\theta }}}),\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{\tau }^{n}}}}{v}(t{{e}^{{ - i\theta }}})} \right)} \right.} + \\ + \;({{A}^{n}}u(t{{e}^{{ - i\theta }}}),{{A}^{n}}{v}(t{{e}^{{ - i\theta }}})) + \\ \left. { + \;\left( {\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{\tau }^{n}}}}u(t{{e}^{{i\theta }}}),\frac{{{{d}^{n}}}}{{d{{\tau }^{n}}}}{v}(t{{e}^{{i\theta }}})} \right) + ({{A}^{n}}u(t{{e}^{{i\theta }}}),{{A}^{n}}{v}(t{{e}^{{i\theta }}}))} \right\}dt \\ \end{gathered} $

является гильбертовым пространством.

3⁰. Для произвольной функции $u\left( \tau \right) \in W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$ справедливы неравенства

$\left\| u \right\|_{{W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})}}^{*} \leqslant \sqrt 2 {{\left\| u \right\|}_{{W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})}}} \leqslant 2\left\| u \right\|_{{W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})}}^{*},$

где

${{\left\| u \right\|}_{{W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})}}} = \left\langle {u,u} \right\rangle _{{W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})}}^{{1/2}}.$

Приведем вариант теоремы о следах для пространства $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$.

Теорема 4. Пусть функция $u(\tau ) \in W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$. Тогда в смысле нормы пространства H равномерно относительно $\arg \tau ,$ таких, что $\left| {\arg \tau } \right| < \theta $, существуют пределы

$\mathop {\lim }\limits_{\tau \in {{S}_{\theta }},\left| \tau \right| \to 0} {{A}^{{n - p - \frac{1}{2}}}}\frac{{{{d}^{p}}}}{{d{{\tau }^{p}}}}u\left( \tau \right),\quad p = 0,\;1,\; \ldots ,\;n - 1.$

Уместно отметить, что теоремы 3 и 4, а также предложение 2 приведены в статье [4]. Полные подробные доказательства сформулированных утверждений о пространствах ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$ и $W_{2}^{n}({{S}_{\theta }},{{A}^{n}})$ приведены в депонированной работе [5].

2. КОРРЕКТНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ $W_{2}^{1}\left( {{{S}_{\theta }},A} \right)$

Рассмотрим начальную задачу для интегро-дифференциального уравнения вида

(4)

$\frac{{du}}{{d\tau }} + Au(\tau ) - \int\limits_0^\tau K (\tau - s)Au(s)ds\, = \,f(\tau ),\quad \tau \in {{S}_{\theta }},$

(5)

$u\left( { + 0} \right) = {{\varphi }_{0}},$

где A – самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H, имеющий компактный обратный. Ядро K(τ) принадлежит пространству Харди ${{\Re }_{1}}\left( {{{S}_{\theta }}} \right)$ (см. [7]), правая часть $f(\tau )\, \in \,{{\Re }_{2}}({{S}_{\theta }},H)$, вектор ${{\varphi }_{0}} \in {{H}_{{1/2}}}$. Отметим, что в интегро-дифференциальном уравнении (4) в интегральном слагаемом интегрирование проводится по отрезку, соединяющему начало координат и точку $\tau \in {{S}_{\theta }}$. Однако в силу регулярности функций K(τ), u(τ) интеграл можно брать по любому спрямляемому кусочно-гладкому контуру, соединяющему точки 0 и $\tau ,$ лежащему в области ${{S}_{\theta }}$.

Основным результатом является теорема о разрешимости задачи (4)–(5) в пространстве $W_{2}^{1}\left( {{{S}_{\theta }},A} \right)$.

Теорема 5. Пусть ядро K(τ) принадлежит пространству Харди ${{\Re }_{1}}\left( {{{S}_{\theta }}} \right)$ и его преобразование Лапласа $\hat {K}\left( \lambda \right)$ удовлетворяет оценке

(6)

$\mathop {\sup }\limits_{\varphi \in \left( { - \frac{\pi }{2} - \theta ,\frac{\pi }{2} + \theta } \right)} {\text{|}}\hat {K}(r{{e}^{{i\varphi }}}){\text{|}}\mathop {\sup }\limits_{\alpha \geqslant {{\alpha }_{0}}} \frac{a}{{{{{({{a}^{2}} + {{r}^{2}})}}^{{\frac{1}{2}}}}{{{\left( {1 - \sin \theta } \right)}}^{{\frac{1}{2}}}}}} < 1,$

где ${{\alpha }_{0}}\, = \,\mathop {\inf }\limits_{\left\| x \right\| = 1,x \in D(A)} (Ax,x),$ вектор-функция f(τ) ∈ ∈ ${{\Re }_{2}}({{S}_{\theta }}$, H), вектор ${{\varphi }_{0}} \in {{H}_{{1/2}}}.$ Тогда существует единственное решение $u\left( \tau \right) \in W_{2}^{1}\left( {{{S}_{\theta }},A} \right)$ задачи (4)–(5), удовлетворяющее оценке

(7)

${{\left\| u \right\|}_{{W_{2}^{1}\left( {{{S}_{\theta }},A} \right)}}} \leqslant d{{(\left\| f \right\|_{{{{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)}}^{2} + \left\| {{{\varphi }_{0}}} \right\|_{{1/2}}^{2})}^{{1/2}}}$

с постоянной d, не зависящей от вектор-функции f(τ) и вектора ${{\varphi }_{0}}$.

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 5 и ядро $K\left( \tau \right) \equiv 0.$ Тогда существует единственное решение $u\left( \tau \right) \in W_{2}^{1}\left( {{{S}_{\theta }},A} \right)$ задачи (4), (5), удовлетворяющее неравенству (6).

Изложим далее идею доказательства теоремы 5. Рассмотрим преобразование Лапласа $\hat {u}\left( \lambda \right)$ сильного решения u(τ) уравнения (4) с нулевыми начальными данными ${{\varphi }_{0}} = 0$, которое имеет вид

$\hat {u}\left( \lambda \right) = {{L}^{{ - 1}}}\left( \lambda \right)\hat {f}\left( \lambda \right).$

Здесь оператор-функция $L\left( \lambda \right)$ является символом уравнения (4) и представима в виде

$L\left( \lambda \right) = \lambda I + A - \hat {K}\left( \lambda \right)A,$

где $\hat {K}\left( \lambda \right)$ – преобразование Лапласа ядра $K(t)$, I – единичный оператор в пространстве H.

Для доказательства теоремы 5, согласно теореме 2 (Пэли–Винера), достаточно показать, что вектор-функции $\lambda \hat {u}\left( \lambda \right)$ и $A\hat {u}\left( \lambda \right)$ принадлежат пространству ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{{\theta + \pi /2}}},H} \right)$, а также получить их оценки. С этой целью мы устанавливаем, что оператор-функция ${{L}^{{ - 1}}}\left( \lambda \right)$ является голоморфной и допускает следующие оценки в области ${{G}_{{\theta + \pi /2}}}$ = = $\left\{ {\lambda \in \mathbb{C}{\text{:}}\;\left| {\arg \lambda } \right| < \theta + \frac{\pi }{2}} \right\}$:

(8)

$\left\| {A{{L}^{{ - 1}}}\left( \lambda \right)} \right\| < + \infty ,\quad \left\| {\lambda {{L}^{{ - 1}}}\left( \lambda \right)} \right\| < + \infty .$

В свою очередь, для получения оценок (8) используется представление

(9)

${{L}^{{ - 1}}}\left( \lambda \right) = {{\left( {\lambda I + A} \right)}^{{ - 1}}}{{(I - \hat {K}\left( \lambda \right)A{{\left( {\lambda I + A} \right)}^{{ - 1}}})}^{{ - 1}}}$

и оценки

(10)

$\begin{gathered} \left\| {A{{{\left( {\lambda I + A} \right)}}^{{ - 1}}}} \right\| \leqslant \mathop {\sup }\limits_{\alpha \geqslant {{\alpha }_{0}}} \frac{a}{{{{{({{a}^{2}} + {{r}^{2}})}}^{{1/2}}}{{{\left( {1 - \sin \theta } \right)}}^{{1/2}}}}}, \\ \lambda \in {{G}_{{\theta + \pi /2}}},\quad \lambda = r{{e}^{{i\varphi }}}, \\ \end{gathered} $

(11)

$\begin{gathered} \left\| {\lambda {{{\left( {\lambda I + A} \right)}}^{{ - 1}}}} \right\| \leqslant \mathop {\sup }\limits_{\alpha \geqslant {{\alpha }_{0}}} \frac{r}{{{{{({{a}^{2}} + {{r}^{2}})}}^{{1/2}}}{{{\left( {1 - \sin \theta } \right)}}^{{1/2}}}}}, \\ \lambda \in {{G}_{{\theta + \pi /2}}}\quad \lambda = r{{e}^{{i\varphi }}}, \\ \end{gathered} $

а также неравенство

$\left\| {\hat {K}\left( \lambda \right)A{{{\left( {\lambda I + A} \right)}}^{{ - 1}}}} \right\| < 1,\quad \lambda \in {{G}_{{\theta + \pi /2}}},$

вытекающее из неравенств (6), (10), (11) и представления (9).

На основании оценок (8), (10), а также того, что вектор-функция $\hat {f}\left( \lambda \right)$ принадлежит пространству ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{{\theta + \pi /2}}},H} \right)$, приходим к тому, что вектор-функции $\lambda \hat {u}\left( \lambda \right)$ и $A\hat {u}\left( \lambda \right)$ принадлежат пространству ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{{\theta + \pi /2}}},H} \right)$. Таким образом, опираясь на теорему 2 (Пэли–Винера), мы получим, что вектор-функции $\frac{{du}}{{d\tau }}\left( \tau \right)$ и $Au\left( \tau \right)$ принадлежат пространству ${{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)$ и удовлетворяют неравенствам

(12)

${{\left\| {\frac{{du}}{{d\tau }}\left( \tau \right)} \right\|}_{{{{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)}}} \leqslant {{d}_{3}}{{\left\| {f\left( \tau \right)} \right\|}_{{{{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)}}},$

(13)

${{\left\| {Au\left( \tau \right)} \right\|}_{{{{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)}}} \leqslant {{d}_{4}}{{\left\| {f\left( \tau \right)} \right\|}_{{{{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)}}}.$

Наконец из неравнств (12) и (13) вытекает оценка

(14)

${{\left\| {u\left( \tau \right)} \right\|}_{{W_{2}^{1}\left( {{{S}_{\theta }},A} \right)}}} \leqslant {{d}_{0}}{{\left\| {f\left( \tau \right)} \right\|}_{{{{\Re }_{2}}\left( {{{S}_{\theta }},H} \right)}}},$

где ${{d}_{0}} = \sqrt {d_{1}^{2} + d_{2}^{2}} $. Далее, случай неоднородных начальных данных ${{\varphi }_{0}} \ne 0$ стандартным образом сводится к задаче с однородными начальными данными и новой правой частью уравнения (4) ${{f}_{1}}(\tau )\, = \,f(\tau ) + h(\tau )$, где

$h\left( \tau \right) = \int\limits_0^\tau K \left( {\tau - \zeta } \right)A\exp \left( { - \zeta A} \right){{\varphi }_{0}}d\zeta ,$

с последующей оценкой вектор-функции h(τ).

Замечание 1. Хорошо известно, что решение начально-краевой задачи для однородного уравнения теплопроводности при естественных предположениях о начальных данных допускает аналитическое продолжение по временной переменной t в угловую область комплексной плоскости. С этим тесно связана теория аналитических полугрупп операторов (см., например, монографии [6, 8–10]).

В утверждении следствия теоремы 5 установлена не только аналитичность решения абстрактного параболического уравнения, но и получена оценка (7) в гильбертовых пространствах $W_{2}^{1}({{S}_{\theta }},A)$, ${{\Re }_{2}}({{S}_{\theta }},H)$, что является значительно более глубоким результатом, нежели результат об аналитичности (голоморфности) решения.

Из доказанной теоремы 5 также немедленно вытекает утверждение для $\theta = 0$, т.е. для случая, когда задача (4), (5) рассматривается на полуоси ${{\mathbb{R}}_{ + }}$, а не в угловой области ${{S}_{\theta }}$. При этом пространство ${{\Re }_{2}}({{S}_{\theta }},H)$ переходит в пространство ${{L}_{2}}({{\mathbb{R}}_{ + }},H)$, а пространство $W_{2}^{1}\left( {{{S}_{\theta }},A} \right)$ в пространство Соболева $W_{2}^{1}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},A} \right)$.

Уместно отметить, что приведенная теорема 5 тесно связана с теоремой 2.1 из работы [11], а также теоремой 3.2.3 из монографии [12]. В указанных теоремах установлена корректная разрешимость начальной задачи для интегро-дифференциального уравнения, близкого уравнению (4), в весовых пространствах Соболева $W_{{2,\gamma }}^{1}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},A} \right)$.

Замечание 2. Существенное отличие приведенной теоремы 5 от результатов о разрешимости в традиционных пространствах Соболева $W_{{2,\gamma }}^{1}\left( {{{\mathbb{R}}_{ + }},A} \right)$, ранее установленных в работах [11, 12], состоит в том, что мы приводим оценки преобразования Лапласа решения $\hat {u}\left( \lambda \right)$ в области ${{S}_{{\theta + \pi /2}}}$, а не в правой полуплоскости. При этом существенно использовалась теорема 2 (аналог теоремы Пэли–Винера) для угловых областей ${{S}_{\theta }}$ и ${{S}_{{\theta + \pi /2}}}$, в то время как в предшествующих работах использовалась традиционная теорема Пэли–Винера.

Отметим, что ряд утверждений о разрешимости интегро-дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в пространствах Соболева $W_{{2,\gamma }}^{n}({{\mathbb{R}}_{ + }},{{A}^{n}})$ приведен в обзорной статье [13].

Ряд глубоких результатов о разрешимости эллиптических функционально-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева приведен в работе [14].

Список литературы

Джрбашян М.М., Мартиросян В.М. Теоремы Винера–Пэли и Мюнца–Саса // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1977. Т. 41. 4. С. 868–894.
Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представление функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.
Лионс Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.
Власов В.В. Кратная минимальность части системы корневых векторов пучка М.В. Келдыша // ДАН СССР. 1982. Т. 263. № 6. С. 1289–1293.
Власов В.В. О некоторых пространствах вектор-функций, голоморфных в угле // Рукопись деп. в ВИНИТИ 20.08.1981 г. № 4177-81. 38 с.
Хилле Э., Филипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Из-во иностр. лит. 1962. 830 с.
Григорян Ш.А. О базисности неполных систем рациональных функций в угловых областях // Известия АН Арм. ССР. Математика. 1978. Т. 13. № 5–6. С. 461–489.
Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.
Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.
Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. N.Y.: Springer-Verlag, 2000. Graduate Texts in Mathematics. V. 194. 586 p.
Власов В.В., Раутиан Н.А., Шамаев А.С. Исследование операторных моделей, возникающих в задачах наследственной механики // Современная математика. Фундаментальные направления. 2012. Т. 45. С. 43–61.
Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений. М.: МАКС–Пресс, 2016. 488 с.
Власов В.В., Раутиан Н.А. Исследование интегродифференциальных уравнений методами спектральной теории // Современная математика. Фундаментальные направления. 2021. Т. 67. № 2. С. 255–284.
Skubachevskii A.L. Boundary-value problems for elliptic functional-differential equations and their applications // Russian Mathematical Surveys. 2016. V. 71. № 5. P. 801–906.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал