Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 503, № 1, стр. 45-47

1. ПУАССОНОВСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЗАДАЧА РАМАНУДЖАНА

Пусть $b \in \mathbb{N}$ – натуральное число. Разложим r^b в ряд Тэйлора: ${{e}^{b}} = \sum\limits_{j = 0}^\infty {\frac{{{{b}^{j}}}}{{j!}}} $. Зададимся вопросом: каково наименьшее натуральное μ такое, что $\sum\limits_{j = 0}^\mu {\frac{{{{b}^{j}}}}{{j!}}} \geqslant \frac{1}{2}{{e}^{b}}$? Ответ на этот вопрос хорошо известен.

Пусть $\xi $ – неотрицательная целочисленная случайная величина. Медианой $\xi $ называется наименьшее целое неотрицательное число $\mu : = \mu (\xi )$ такое, что $P(\xi \leqslant m) \geqslant \frac{1}{2}$. Для пуассоновской случайной величины ${{\eta }_{b}}$ с натуральным параметром b известно [1], что $\mu ({{\eta }_{b}}) = b$, что и является ответом на поставленный выше вопрос. Но насколько близка вероятность ${\text{P}}({{\eta }_{b}} \leqslant b)$ к $\frac{1}{2}$? Рамануджан выдвинул гипотезу [2], что

Эта гипотеза была доказана независимо Сего в [3] и Ватсоном в [4]. С тех пор поведение функции ${{y}_{b}}$ было хорошо изучено. В 1913 г. в своем письме Харди Рамануджан выдвинул еще одну гипотезу:

где $8{\text{/}}45 \geqslant {{\alpha }_{b}} \geqslant 2{\text{/}}21$. Эта гипотеза была подтверждена лишь в 1995 г. Флажолетом и соавт. [5]. В 2003 г. Алм [6] доказал, что ${{\alpha }_{b}}$ убывает, а в 2004 г. Алзер [7] усилил гипотезу Рамануджана: где причем указанные границы являются точными.

2. БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЗАДАЧА САМУЭЛЬСА

Пусть ${{\xi }_{{b,n}}}$ – биномиальная случайная величина с параметрами n и b/n, где $b \leqslant n$ – натуральные числа. Хорошо известно, что ${{\xi }_{{b,n}}}$ сходится по распределению к случайной величине ${{\eta }_{b}}$ при $n \to \infty $. Поэтому естественно ожидать, что описанные в предыдущем разделе свойства пуассоновского распределения справедливы и для биномиального распределения при достаточно больших n. Но можно ли ответить на аналогичные вопросы при всех $n$?

Так как $\left| {\mu ({{\xi }_{{b,n}}}) - b} \right| \leqslant \ln 2$ [8], медиана биномиальной случайной величины равна $\mu ({{\xi }_{{b,n}}}) = b$. В 1968 г. Джогдео и Самуэльс [9] рассмотрели величину, аналогичную той, которую ввел Рамануджан для пуассоновского распределения:

Теорема 1 (K. Jogdeo, S.M. Samuels, 1968 [9]). ${{z}_{{b,n}}}$ убывает при $n \geqslant 2b$, ${{z}_{{b,n}}} \to {{y}_{n}}$ при $n \to \infty $. Более того, для всех $n > 2b$ справедливо $\frac{1}{3} < {{z}_{{b,n}}} < \frac{1}{2}$; при $b < n < 2b$ справедливо $\frac{1}{2} < {{z}_{{b,n}}} < \frac{2}{3}$; z_{b, 2b} = = $\frac{1}{2}\, = \,{{z}_{{b,b}}}$.

Они также заметили, что ${{z}_{{b + 1,n}}} < {{z}_{{b,n}}}$ для всех достаточно больших n, но не смогли уточнить этот результат.

Рассмотрим теперь биномиальную случайную величину ${{\xi }_{{b,n,c}}}$ с параметрами n и $\frac{b}{{n + c}}$, где $b < n$ – натуральные числа и $c \in [0,\;1]$. Обозначим ${{p}_{{b,n,c}}}: = P({{\xi }_{{b,n,c}}} < b)$. Исследование монотонности ${{p}_{{b,n,c}}}$ по b мотивировано широко известной задачей о неравенстве малых отклонений, поставленной Самуэльсом [10], которая может быть сформулирована следующим образом: найти минимум ${\text{P}}({{\xi }_{1}} + {{\xi }_{2}} + \; \ldots \; + {{\xi }_{n}} < n + c)$ по всем множествам независимых неотрицательных случайных величин $\{ {{\xi }_{1}},\; \ldots ,\;{{\xi }_{n}}\} $ с одинаковым математическим ожиданием, равным 1. Эта задача до сих пор не решена. Тем не менее известно, что оптимальными случайными величинами являются величины, принимающие два значения с вероятностью 1 (как говорится, с двумя атомами). Если мы далее ограничимся одинаково распределенными случайными величинами с двумя атомами, то сведем исходную задачу к анализу монотонности ${{p}_{{b,n,c}}}$ по b.

Из упомянутого результата Сего и Ватсона следует, что ${\text{P}}({{\eta }_{b}} < b)$ возрастает. Так как $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {{p}_{{b,n,c}}}$ = = P(η_b < b), то при достаточно больших n справедливо ${{p}_{{b + 1,n,c}}} > {{p}_{{b,n,c}}}$. С другой стороны, например, при $n = b + 1$ и $c = 0$ выполнено $0 = {{p}_{{b + 1,n,c}}} < {{p}_{{b,n,c}}}$. Таким образом, с ростом n монотонность ${{p}_{{b,n,c}}}$ (как функции от b) меняется.

3. НОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Нам удалось решить задачу, поставленную Джогдео и Самуэльсом о монотонности ${{z}_{{b,n}}}$ по $b$.

Теорема 2. Пусть $\varepsilon > 0$. Существует такое ${{n}_{0}}$, что при всех $n \geqslant {{n}_{0}}$ справедливо следующее.

1. Если $n - (1 + \varepsilon )\sqrt {\frac{{77}}{{360}}n} > b > (1 + \varepsilon )\sqrt {\frac{{77}}{{360}}n} $, то ${{z}_{{b + 1,n}}} > {{z}_{{b,n}}}$;

2. Если либо $b > n - (1 - \varepsilon )\sqrt {\frac{{77}}{{360}}n} $, либо b < < $(1 - \varepsilon )\sqrt {\frac{{77}}{{360}}n} $, то ${{z}_{{b + 1,n}}} < {{z}_{{b,n}}}$.

Кроме того, мы исследовали функцию ${{p}_{{b,n,c}}}$ на монотонность по b.

Теорема 3. Справедливы следующие утверждения:

1. Если $n \geqslant 3b + 2$, то ${{p}_{{b + 1,n,0}}} > {{p}_{{b,n,0}}}$. Если $n \leqslant 3b + 1$, то ${{p}_{{b + 1,n,0}}} < {{p}_{{b,n,0}}}$;

2. При всех $1 \leqslant b < n$ справедливо ${{p}_{{b + 1,n,1}}} > {{p}_{{b,n,1}}}$;

3. Если $n \geqslant 3b + 2$ и $c \in (0,1)$, то ${{p}_{{b + 1,n,c}}} > {{p}_{{b,n,c}}}$.

К сожалению, исчерпывающий результат удалось получить лишь для c = 0 и c = 1. Тем не менее мы нашли асимптотическое значение порога, после которого меняется монотонность.

Теорема 4. Для всех положительных δ, $\varepsilon $, достаточно больших $n$ и целых $b \in (\varepsilon n,n)$ справедливо следующее:

1. Если $b < \frac{{n(1 - \delta )}}{{3(1 - c)}}$, то ${{p}_{{b + 1,n}}} > {{p}_{{b,n}}}$;

2. Если $b > \frac{{n(1 + \delta )}}{{3(1 - c)}}$, то ${{p}_{{b + 1,n}}} < {{p}_{{b,n}}}$.

Заметим, что из теоремы 3 вытекает следствие в задаче о малых отклонениях при $c = 1$. Пусть $\alpha \in (0,\;1)$, $\beta > 1$. Пусть b – целое число такое, что $b < \frac{{n + 1 - n\alpha }}{{\beta - \alpha }} \leqslant b + 1$. Тогда P(ξ₁ + ... + ξ_n < < $n + 1) \geqslant {{p}_{{b,n,1}}}$, где ${{\xi }_{1}},\; \ldots ,\;{{\xi }_{n}}$ – независимые одинаково распределенные случайные величины со средним 1, и равенство выполняется тогда и только тогда, когда $\alpha = 0$ и $\frac{{n + 1}}{\beta } = b + 1$. Аналогичные утверждения можно было бы сформулировать для любого $c \in (0,\;1)$, если бы удалось асимптотический результат в теореме 4 сделать точным.

4. ${\text{B}}$-ФУНКЦИЯ

Напомним, что ${\text{B}}(x,y) = \int\limits_0^1 {{{t}^{{x - 1}}}} {{(1 - t)}^{{y - 1}}}$. Доказательства приведенных в предыдущем разделе утверждений опираются на следующие полученные нами удобные выражения для ${{p}_{{b + 1,n,c}}} - {{p}_{{b,n,c}}}$ и ${{z}_{{b,n}}}$.

Утверждение 1. Для всех натуральных $b \leqslant n$ и $c \in [0,\;1]$ справедливы равенства

Анализ этих выражений сводится к исследованию поведения функции $g(z) = (1 - z{{)}^{{b - 1}}}{{z}^{{n - b}}}$ на $\left[ {1 - \frac{{b + 1}}{{n + c}},1 - \frac{b}{{n + c}}} \right]$. Ее поведение удается исследовать, используя формулу Тейлора (достаточно разложить до пятого члена) с остаточным членом в форме Лагранжа и следующее удобное представление производных от функции g: