1. На главную
  2. Электронные версии
  3. Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления
  4. T. 504, № 1, 2022

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 504, № 1, стр. 28-31

ОБ ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ С ТОЧЕЧНЫМ НАБЛЮДЕНИЕМ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

И. В. Асташова 1, 3, *, Д. А. Лашин 4, **, А. В. Филиновский 2, 1, ***

1 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Москва, Россия

2 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана
Москва, Россия

3 Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова
Москва, Россия

4 НПФ “ФИТО”
Ленинский р-н, г. Московский, Московская обл., Россия

* E-mail: ast.diffiety@gmail.com
** E-mail: dalashin@gmail.com
*** E-mail: flnv@yandex.ru

Поступила в редакцию 01.12.2021
После доработки 10.12.2021
Принята к публикации 14.03.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Рассматривается задача управления с точечным наблюдением для одномерного параболического уравнения, возникающая в математической модели управления климатом в промышленных теплицах. В данной работе мы исследуем общее уравнение с переменными коэффициентом диффузии, коэффициентом конвекции и потенциалом обеднения. Для экстремальной задачи минимизации интегрального весового квадратичного функционала качества установлены существование и единственность минимизирующей функции, изучены точная управляемость и плотная управляемость задачи. Получены необходимые условия экстремума и изучены качественные свойства минимизирующей функции.

Ключевые слова: параболическое уравнение, смешанная задача, точечное наблюдение, экстремальная задача, точная управляемость, плотная управляемость, необходимое условие

Будем рассматривать смешанную задачу для уравнения с конвективным слагаемым и обедняющим потенциалом:

(1)
${{u}_{t}} = (a(x,t){{u}_{x}}{{)}_{x}} + b(x,t){{u}_{x}} + h(x,t)u,$
$(x,t) \in {{Q}_{T}} = (0,1) \times (0,T),{\kern 1pt} \quad T > 0,$
(2)
$u(0,t) = \varphi (t),\quad {{u}_{x}}(1,t) = \psi (t),\quad t \in (0,T),$
(3)
$u(x,0) = \xi (x),\quad x \in (0,1),$
где a, b и h – достаточно гладкие функции в ${{\bar {Q}}_{T}}$, $0 < {{a}_{1}} \leqslant a(x,t) \leqslant {{a}_{2}} < \infty ,$ $\varphi \in W_{2}^{1}(0,T)$, $\psi \in W_{2}^{1}(0,T),$ $\xi \in {{L}_{2}}(0,1)$.

Изучается задача управления с точечным наблюдением: управляя температурой $\varphi $ на левом конце отрезка (функции $\xi $ и $\psi $ считаем фиксированными), стараемся сделать температуру $u({{x}_{0}},t)$ в некоторой точке ${{x}_{0}} \in (0,1)$ близкой к заданной функции $z(t) \in {{L}_{2}}(0,T)$ на всем интервале времени $(0,T)$. Обозначим через $\Phi \subset W_{2}^{1}(0,T)$ множество управляющих функций $\varphi $, а через $Z \subset {{L}_{2}}(0$, T) – множество целевых функций z, будем далее считать множество $\Phi $ непустым, замкнутым и выпуклым. Качество управления оцениваем функционалом

(4)
$\begin{gathered} J[z,\rho ,\varphi ] = \int\limits_0^T {{({{u}_{\varphi }}({{x}_{0}},t) - z(t))}^{2}}\rho (t)dt, \\ \varphi \in \Phi ,\quad z \in Z, \\ \end{gathered} $
при этом ${{u}_{\varphi }}$ – решение задачи (1)–(3) с заданной управляющей функцией $\varphi $, $\rho (x) \in {{L}_{\infty }}(0,T)$ – весовая функция, ${\text{ess}}\mathop {{\text{inf}}}\limits_{t \in (0,T)} \rho (t) = {{\rho }_{1}} > 0$.

Считая функции z и $\rho $ фиксированными, рассмотрим задачу минимизации

(5)
$m[z,\rho ,\Phi ] = \mathop {\inf }\limits_{\varphi \in \Phi } J[z,\rho ,\varphi ].$

Эта задача возникает в модели управлении климатом в промышленных теплицах (см. [1, 2]). Подробные пояснения к изучаемой математической модели содержатся в [21]. Заметим, что экстремальные задачи для уравнения теплопроводности рассматривались в многочисленных работах (см., например, [3–5, 7]). Наиболее изученными являются задачи с финальным наблюдением [3–6, 9]. Достаточно полный обзор ранних результатов содержится в [6], обзор новых результатов имеется в [1, 9, 10, 14, 15]. По сравнению с предшествующими статьями о параболических задачах управления, где рассматриваются задачи с финальным или распределенным наблюдением [5, 7, 8, 11], мы рассматриваем точечное наблюдение. Новым является и тип функционала качества. Эта работа развивает и обобщает результаты работ авторов [16–21]. В данной работе мы исследуем более общее уравнение с переменным коэффициентом диффузии a, коэффициентом конвекции b и потенциалом $h$, называемым потенциалом обеднения, устанавливаем качественные свойства соответствующей минимизирующей функции. Помимо исследования более общего уравнения (с переменным коэффициентом $a = a(x,t)$, конвективным слагаемым $b(x,t)$ и неоднородным начальным условием) мы также доказываем ряд новых результатов: устанавливаем качественные свойства минимизирующей функции и выводим необходимые условия оптимальности. При доказательстве используем результаты и методы, приведенные в [12, 13].

Определение 1. ([22], с. 15) Будем обозначать через $V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})$ банахово пространство функций $u\, \in \,W_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})$ с конечной нормой

(6)
${{\left\| u \right\|}_{{V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})}}} = \mathop {\sup }\limits_{0 \leqslant t \leqslant T} {{\left\| {u(x,t)} \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,1)}}} + {{\left\| {{{u}_{x}}} \right\|}_{{{{L}_{2}}({{Q}_{T}})}}}$
таких, что $t \mapsto u( \cdot ,t)$ – непрерывное отображение $[0,T] \to {{L}_{2}}(0,1)$.

Обозначим через $\widetilde W_{2}^{1}({{Q}_{T}})$ множество функций $\eta \, \in \,W_{2}^{1}({{Q}_{T}})$, удовлетворяющих условиям $\eta (x,T)$ = 0, $\eta (0,t) = 0$.

Определение 2. Решением задачи (1)–(3) будем называть функцию $u \in V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})$, удовлетворяющую условию $u(0,t) = \varphi (t)$ и интегральному тождеству

(7)
$\begin{gathered} \int\limits_{{{Q}_{T}}} \left( {a(x,t){{u}_{x}}{{\eta }_{x}} - b(x,t){{u}_{x}}\eta - h(x,t)u\eta - u{{\eta }_{t}}} \right){\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt = \\ \, = \int\limits_0^1 \,\xi (x)\eta (x,0){\kern 1pt} dx + \int\limits_0^T \,a(1,t)\psi (t){\kern 1pt} \eta (1,t){\kern 1pt} dt \\ \end{gathered} $
для всех $\eta \in \tilde {W}_{2}^{1}({{Q}_{T}})$.

Теорема 1. ([18], [19]) Задача (1)–(3) имеет единственное решение $u \in V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})$, и для него справедливо неравенство

(8)
${{\left\| u \right\|}_{{V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})}}} \leqslant {{C}_{1}}\left( {{{{\left\| \varphi \right\|}}_{{W_{2}^{1}(0,T)}}} + {{{\left\| \psi \right\|}}_{{W_{2}^{1}(0,T)}}} + {{{\left\| \xi \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,1)}}}} \right),$
с некоторой постоянной C1, не зависящей от $\varphi $, $\psi $ и $\xi $.

Следствие 1. Отображение $\{ \xi ,\varphi ,\psi \} \mapsto u$ непрерывно из пространства L2(0, 1) × $W_{2}^{1}(0,T)\, \times \,W_{2}^{1}$(0, T) в $V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})$.

Для получения следующей оценки нам понадобится следующий принцип положительности.

Теорема 2. Пусть $u$ – решение задачи (1)–(3) с неотрицательными начальной и граничными функциями: ${\text{ess}}\mathop {{\text{inf}}}\limits_{t \in (0,T)} \varphi \, \geqslant \,0$, ${\text{ess}}\mathop {{\text{inf}}}\limits_{t \in (0,T)} \psi \, \geqslant \,0$, ${\text{ess}}\mathop {{\text{inf}}}\limits_{x \in (0,1)} \xi \, \geqslant \,0$. Тогда решение u также неотрицательно: ${\text{ess}}\mathop {{\text{inf}}}\limits_{(x,t) \in {{Q}_{T}}} u \geqslant 0$.

Замечание 1. Для функций $\varphi $ и $\psi $ имеем ${\text{ess}}\mathop {{\text{inf}}}\limits_{t \in (0,T)} \varphi = \mathop {\min }\limits_{t \in (0,T)} \varphi $, ${\text{ess}}\mathop {{\text{inf}}}\limits_{t \in (0,T)} \psi = \mathop {\min }\limits_{t \in (0,T)} \psi $.

Для доказательства этого утверждения делается замена неизвестной функции, в результате которой задача (1)–(3) сводится к задаче с краевым условием третьего рода. Далее требуемый результат получается применением модифицированного метода барьерных функций.

С использованием теоремы 2 получена следующая оценка.

Теорема 3. Пусть ${{a}_{t}} \geqslant 0$, ${{b}_{x}} - h \geqslant 0$, $(x,t) \in {{Q}_{T}}$; $b \geqslant 0$, $(x,t) \in [0,{{x}_{0}}] \times [0,T]$, ${{x}_{0}} \in (0,1]$; $b(1,t) \leqslant 0$, $t \in [0,T]$. Тогда для решения задачи (1)–(3) имеет место неравенство

(9)
${{\left\| {u({{x}_{0}}, \cdot )} \right\|}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} \leqslant {{\left\| \varphi \right\|}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} + \frac{{{{x}_{0}}}}{{{{a}_{1}}}}({{a}_{2}}{{\left\| \psi \right\|}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} + {{\left\| \xi \right\|}_{{{{L}_{1}}(0,1)}}}).$

Следствие 2. Пусть для a, b, $h$ выполнены условия теоремы 3, $\psi = 0$, $\xi = 0$. Тогда для решения задачи (1)–(3) имеет место неравенство

(10)
${{\left\| {u({{x}_{0}}, \cdot )} \right\|}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} \leqslant {{\left\| \varphi \right\|}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}}.$

Из теоремы 3 следует оценка снизу нормы управляющей функции через значение функционала качества.

Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда имеет место неравенство

(11)
$\begin{gathered} {{\left\| \varphi \right\|}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} \geqslant \max \left\{ {0,{{{\left\| z \right\|}}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} - {{{\left( {\frac{{TJ[\varphi ,\rho ,z]}}{{{{\rho }_{1}}}}} \right)}}^{{1/2}}}} \right. - \\ \,\left. {\mathop - \limits_{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{_{{}}}}}}}}}}}}}}}}} \frac{{{{x}_{0}}}}{{{{a}_{1}}}}({{a}_{2}}{{{\left\| \psi \right\|}}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} + {{{\left\| \xi \right\|}}_{{{{L}_{1}}(0,1)}}})} \right\}. \\ \end{gathered} $

Следствие 3. Пусть для a, b, $h$ выполнены условия теоремы 3, $\psi = 0$, $\xi = 0$. Тогда имеет место неравенство

(12)
${{\left\| \varphi \right\|}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} \geqslant \max \left\{ {0,{{{\left\| z \right\|}}_{{{{L}_{1}}(0,T)}}} - {{{\left( {\frac{{TJ[\varphi ,\rho ,z]}}{{{{\rho }_{1}}}}} \right)}}^{{1/2}}}} \right\}.$

Теорема 5. Если множество $\Phi $ ограничено, то для любой $z \in {{L}_{2}}(0,T)$ существует единственная функция ${{\varphi }_{0}} \in \Phi $, для которой

$m[z,\rho ,\Phi ] = J[z,\rho ,{{\varphi }_{0}}].$

Исследуем свойства минимизирующей функции ${{\varphi }_{0}}$ как элемента множества $\Phi $.

Теорема 6. Если множество $\Phi \subset W_{2}^{1}(0,T)$ ограничено, коэффициенты a, b и $h$ в уравнении (1) не зависят от t и $m[z,\rho ,\Phi ] > 0$, то ${{\varphi }_{0}} \in \partial {\kern 1pt} \Phi $. Для любого замкнутого выпуклого ${{\Phi }_{1}}$, такого, что ${{\Phi }_{1}} \subset {\text{Int}}{\kern 1pt} \Phi $, справедливо неравенство $m[z,\rho ,{{\Phi }_{1}}] > m[z,\rho ,\Phi ]$.

Одной из важных проблем является проблема точной управляемости экстремальной задачи.

Определение 3. Будем говорить, что задача (1)–(3), (5) является точно управляемой из множества $\Phi $ во множество Z, если для любого $z \in Z$ существует управляющая функция ${{\varphi }_{0}} \in \Phi $, для которой

(13)
$J[z,\rho ,{{\varphi }_{0}}] = 0.$

При этом функцию ${{\varphi }_{0}}$ будем называть точным управлением.

Следующая теорема утверждает, что множество Z функций $z \in {{L}_{2}}(0,T)$, допускающих точную управляемость – достаточно “малое” подмножество ${{L}_{2}}(0,T)$.

Теорема 7. Множество $Z$ всех функций $z \in {{L}_{2}}(0$, T), допускающих точную управляемость, то есть таких, что $J[z,\rho ,\varphi ] = 0$ для некоторой $\varphi \in W_{2}^{1}(0$, T), является множеством первой категории в ${{L}_{2}}(0$, T).

Перейдем теперь к исследованию вопроса о плотной управляемости.

Определение 4. Будем говорить, что задача (1)–(3), (5) является плотно управляемой из множества $\Phi $ во множество Z, если для всех $z \in Z$ выполнено равенство

$m[z,\rho ,\Phi ] = 0.$

Следующая теорема устанавливает плотную управляемость задачи (1)–(3), (5) из $W_{2}^{1}(0,T)$ в ${{L}_{2}}(0$, T).

Теорема 8. Пусть коэффициенты a, b и $h$ в (1) не зависят от t. Тогда для любой $z \in {{L}_{2}}(0,T)$ справедливо равенство

(14)
$m[z,\rho ,W_{2}^{1}(0,T)] = 0.$

Отметим, что доказательство этого результата основано на применении теоремы Титчмарша о свертке ([24], гл. 11, теорема 152).

Важным также является вопрос о получении необходимых условий минимума для ${{\varphi }_{0}} \in \Phi $. Необходимое условие может быть сформулировано в терминах сопряженной к (1)–(3), (5) задачи. Так мы будем называть смешанную задачу для обратно параболического уравнения

(15)
$\begin{gathered} {{p}_{t}} + {{(a(x,t){{p}_{x}})}_{x}} - {{(b(x,t)p)}_{x}}\,{\text{ + }}\,h{\text{(}}x{\text{,}}\,t{\text{)}}p = \\ \, = \delta (x - {{x}_{0}}) \cdot \left( {{{u}_{\varphi }}({{x}_{0}},t) - z(t)} \right)\rho (t),\quad (x,t) \in {{Q}_{T}}, \\ \end{gathered} $
(16)
$\begin{gathered} p(0,t) = 0,\quad a(1,t){{p}_{x}}(1,t) - b(1,t)p(1,t) = 0, \\ 0 < t < T, \\ \end{gathered} $
(17)
$p(x,T) = 0,\quad 0 < x < 1,$
где ${{u}_{\varphi }}$ – решение (1)–(3).

Определение 5. Решением задачи (15)–(17) будем называть функцию $p \in V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})$, удовлетворяющую условию $p(0,t) = 0$ и интегральному тождеству

(18)
$\begin{gathered} \int\limits_{{{Q}_{T}}} \left( {(a(x,t){{p}_{x}} - b(x,t)p){{\eta }_{x}} + p{{\eta }_{t}} - h{\text{(}}x{\text{,}}\,t{\text{)}}p\eta } \right){\kern 1pt} dx{\kern 1pt} dt = \\ \, = - \int\limits_0^T ({{u}_{{{{\varphi }_{0}}}}}(c,t) - z(t))\rho (t)\eta (c,t){\kern 1pt} dt \\ \end{gathered} $
для всех функций $\eta \in W_{2}^{1}({{Q}_{T}})$, таких, что $\eta (0,t) = 0$ и $\eta (x,0) = 0$.

Теорема 9. Задача (15)–(17) имеет единственное решение $p \in V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})$ и для него справедливо неравенство

(19)
$\begin{gathered} {{\left\| p \right\|}_{{V_{2}^{{1,0}}({{Q}_{T}})}}} \leqslant {{C}_{2}}\left( {{{{\left\| \varphi \right\|}}_{{W_{2}^{1}(0,T)}}}} \right. + \\ \, + {{\left\| \psi \right\|}_{{W_{2}^{1}(0,T)}}} + {{\left\| \xi \right\|}_{{{{L}_{2}}(0,1)}}}\left. { + {{{\left\| z \right\|}}_{{{{L}_{2}}(0,T)}}}} \right), \\ \end{gathered} $
где постоянная C2не зависит от $\varphi $, $\psi $, $\xi $ и $z$.

Теорема 10. Пусть ${{\varphi }_{0}} \in \Phi $ – минимизирующая функция. Тогда для всех управляющих функций $\varphi \in \Phi $ справедливо следующее неравенство:

(20)
$\int\limits_0^T a(0,t){{p}_{x}}(0,t)\left( {\varphi (t) - {{\varphi }_{0}}(t)} \right)\rho (t)dt \leqslant 0,$
где p – решение задачи (15)–(17) с $\varphi = {{\varphi }_{0}}$.

Заметим, что след производной ${{p}_{x}}{{{\text{|}}}_{{x = 0}}}$ существует в силу теоремы о регулярности решений параболических краевых задач (см., [23], гл. 3, пар. 12).

Необходимое условие для минимизирующей функции можно получить и без использования сопряженной задачи. Так, если ${{\varphi }_{0}} \in \Phi $ – минимизирующая функция, то для любой управляющей функции $\varphi \in \Phi $ выполнено следующее неравенство

(21)
$\int\limits_0^T ({{u}_{{{{\varphi }_{0}}}}}({{x}_{0}},t) - z(t))({{u}_{\varphi }}({{x}_{0}},t) - {{u}_{{{{\varphi }_{0}}}}}({{x}_{0}},t))\rho (t)dt \geqslant 0.$

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Исследования выполнены при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-20272).

Список литературы

  1. Astashova I.V., Filinovskiy A.V., Lashin D.A. On maintaining optimal temperatures in greenhouses // WSEAS Trans. on Circuits and Systems. 2016. V. 15. № 23. P. 198–204.

  2. Astashova I., Filinovskiy A., Lashin D. On optimal temperature control in hothouses // Proc. Int. Conf. on Numerical Analysis and Applied Mathematics 2016. AIP Conf. Proc. 2017. P. 4–8.

  3. Butkovskiy A. G. Оптимальные процессы в системах с распределенными параметрами // Автомат. и телемех. 1961. Т. 22. № 1. С. 17–26.

  4. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 463 с.

  5. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963, Т. 3. № 5. 887–904 с.

  6. Butkovskiy A.G., Egorov A.I., Lurie K.A. Optimal control of Distributed Systems // SIAM J. Control. 1968. V. 6. № 3. P. 437–476.

  7. Лионс Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.

  8. Лионс Ж.Л. Об оптимальном управлении распределенными системами // УМН. 1973. Т. 28. Вып. 4. С. 15–46.

  9. Troltzsch F. Optimal Control of Partial Differential Equations. Theory, Methods and Applications. Graduate Studies in Mathematics. V. 112. Providence.: AMS, 2010. 399 p.

  10. Lurie K.A. Applied Optimal Control Theory of Distributed Systems. Springer. Berlin, 2013. 499 p.

  11. Friedman A. Optimal control for parabolic equations // J. Math. Anal. Appl. 1967. V. 18. № 3. P. 479–491.

  12. Astashova I.V., Filinovskiy A.V., Kondratiev V.A., Muravei L.A. Some Problems in the Qualitative Theory of Differential Equations // J. of Natural Geometry. 2003. V. 23. № 1–2. P. 1–126.

  13. Качественные свойства решений дифференциальных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа. Под ред. И.В. Асташовой. M.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. 647 с.

  14. Farag M.H., Talaat T.A., Kamal E.M. Existence and uniqueness solution of a class of quasilinear parabolic boundary control problems // Cubo. 2013. V. 15. № 2. P. 111–119.

  15. Sener S., Subasi M. On a Neumann boundary control in a parabolic system. Bound. Value Probl. 2015. V. 166. 16 p. https://doi.org/10.1186/s13661-015-0430-5

  16. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On the dense controllability for the parabolic problem with time-distributed functional // Tatra Mt. Math. Publ. 2018. V. 71. P. 9–25.

  17. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On properties of minimizers of a control problem with time-distributed functional related to parabolic equations // Opuscula Math. 2019. V. 39. № 5, P. 595–609.

  18. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. Об управлении с точечным наблюдением для параболической задачи с конвекцией // Труды Моск. матем. общ-ва. 2019. Т. 80. № 2. С. 258–274.

  19. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. Controllability and Exact Controllability in a Problem of Heat Transfer with Convection and Time Distributed Functional // J. Math. Sci. 2020. V. 244. № 2. P. 148–157.

  20. Astashova I., Filinovskiy A., Lashin D. On properties of the control function in an extremal control problem with a point observation for a parabolic equation // Funct. Diff. Equ. 2021. V. 28. № 3–4. P. 99–102.

  21. Astashova I., Filinovskiy A., Lashin D. On the estimates in various spaces to the control function of the extremum problem for parabolic equation // WSEAS Trans. on Appl. and Theor. Mech. 2021. V. 16. P. 187–192.

  22. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Физматлит, 1973. 400 с.

  23. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.

  24. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.–Л.: ГИТТЛ, 1948. 479 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал