Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 504, № 1, стр. 32-35

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИССОЦИАЦИИ ГАЗОВОГО ГИДРАТА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ЛЬДА И СОЛЕНОСТИ

Ю. А. Повещенко 1*, Г. И. Казакевич 2**, В. О. Подрыга 1***, П. И. Рагимли 1****

1 Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук
Москва, Россия

2 Институт океанологии им. П.П. Ширшова Российской академии наук
Москва, Россия

* E-mail: hecon@mail.ru
** E-mail: gkazakevich@yandex.ru
*** E-mail: pvictoria@list.ru
**** E-mail: pervin@rehimli.info

Поступила в редакцию 20.09.2021
После доработки 01.02.2022
Принята к публикации 11.03.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Работа посвящена математическому моделированию процессов диссоциации газовых гидратов в пористой среде. Разработаны численные методы решения задач подземной гидромеханики, связанные с таянием газовых гидратов в криолитозоне северных регионов и на шельфе арктических морей. Рассматриваемая система уравнений учитывает наличие льда и фазовый переход лед-вода, а также присутствие соли. С помощью метода расщепления по физическим процессам система преобразована к блочному виду, в котором разделены диссипативная и гиперболическая части. Это позволяет эффективно применить для каждого блока свой численный подход. В итоговом алгоритме выделены зоны, характеризующиеся разным набором уравнений и независимых переменных. В целях повышения устойчивости метода проведены термодинамический анализ физических процессов и математическое согласование задач в зонах. В результате построена единая вычислительная схема и проведены пробные расчеты. Анализ результатов подтвердил эффективность разработанного численного подхода.

Ключевые слова: газовые гидраты, фильтрация, математическое моделирование

1. ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время в мире уделяется большое внимание изучению природных газовых гидратов как возможных источников сырья и потенциальной угрозы, связанной с выделением метана при их разрушении, в частности, под воздействием климатических изменений. Часть обнаруженных и гипотетических скоплений газовых гидратов связана с зонами многолетнемерзлых пород и шельфом арктических морей. Во многих работах выдвигаются и подробно исследуются гипотезы о связи ряда природных процессов, в том числе и катастрофического характера, таких как образование воронок на суше в северных регионах, широкомасштабное выделение газа на дне океанов, с разложением гидратов. В силу недостаточности данных эта проблема является дискуссионной. Одним из методов исследования здесь является математическое моделирование. При его применении к процессам, связанным с газовыми гидратами в криолитозоне северных регионов и на шельфе арктических морей, в общей схеме расчетов фильтрационных процессов необходимо учесть еще одну фазу – лед. В подобных задачах также существенно влияние соли на условия термодинамического равновесия гидратов [1, 2], поскольку соль содержится в морской воде и используется в технологических процессах в качестве ингибитора. Работа посвящена разработке математической модели диссоциации газовых гидратов в пористой среде и соответствующего численного алгоритма, позволяющих учесть наличие льда и соответствующего фазового перехода, соли, а также растворенного газа. В качестве основы взяты уравнения баланса масс, импульса и энергии в предположении о термодинамически равновесном характере процесса.

2. ИСХОДНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ

В газогидратной фазово-равновесной зоне (ГРЗ) уравнения баланса массы флюидов для воды (w), газа (g) и соли (c – в растворе, b – осадок), а также полной внутренней энергии системы, включая скелет, могут быть записаны в следующей дивергентной форме:

(1)
$\frac{{\partial \left\{ {m[{{S}_{{v}}}{{S}_{{lib}}}{{R}_{{wi}}} + (1 - {{S}_{{v}}}){{\beta }_{w}}{{\rho }_{{v}}}]} \right\}}}{{\partial t}} + {\text{div}}\,[\beta _{l}^{w}{{\rho }_{l}}{{{\mathbf{V}}}_{l}} + {\mathbf{M}}_{l}^{w}] = 0,$
(2)
$\frac{{\partial \{ m[{{S}_{{v}}}(1\, - \,{{S}_{{lib}}}){{\rho }_{g}}\, + \,(1\, - \,{{S}_{{v}}})(1\, - \,{{\beta }_{w}}){{\rho }_{{v}}}\, + \,{{S}_{{v}}}{{S}_{{lib}}}{{C}_{l}}\beta _{l}^{g}{{\rho }_{l}}]\} }}{{\partial t}}\, + {\text{div}}[{{\rho }_{g}}{{{\mathbf{V}}}_{g}} + \beta _{l}^{g}{{\rho }_{l}}{{{\mathbf{V}}}_{l}} + {\mathbf{M}}_{l}^{g}] = 0,$
(3)
$\frac{{\partial \left\{ {m[{{S}_{{v}}}{{S}_{{lib}}}{{R}_{{cb}}}]} \right\}}}{{\partial t}} + {\text{div}}[\beta _{l}^{c}{{\rho }_{l}}{{{\mathbf{V}}}_{l}} + {\mathbf{M}}_{l}^{c}] = 0,$
(4)
$\frac{{\partial \{ m[{{S}_{{v}}}({{S}_{{lib}}}{{Е}_{{lib}}}\, + \,(1\, - \,{{S}_{{lib}}}){{\rho }_{g}}{{\varepsilon }_{g}})\, + \,(1\, - \,{{S}_{{v}}}){{\rho }_{{v}}}{{\varepsilon }_{{v}}}]\, + \,(1\, - \,m){{\rho }_{s}}{{\varepsilon }_{s}}\} }}{{\partial t}} + {\text{div}}\{ {{\rho }_{l}}{{\varepsilon }_{l}}{{{\mathbf{V}}}_{l}} + {{\rho }_{g}}{{\varepsilon }_{g}}{{{\mathbf{V}}}_{g}} + P({{{\mathbf{V}}}_{l}} + {{{\mathbf{V}}}_{g}}) + {\mathbf{W}}\} = 0.$

Здесь m – пористость; индексы обозначают: ${v}$ – гидрат, l – жидкая фаза, включающая воду (w), растворенные в ней газ (g) и соль (с), g – свободный газ, i – лед, b – осадок соли, s – скелет; ${{S}_{{v}}}$ – растепленность порового пространства от гидратов, $\left( {1 - {{S}_{{v}}}} \right)$ – его гидратонасыщенность; индекс lib отвечает суммарно жидкой фазе, льду и солевому осадку в растепленном поровом пространстве; ${{S}_{{lib}}}$ – их объемная доля в $(m{{S}_{{v}}})$. Для объемных долей Cl, Ci, Cb, объединенных в ${{S}_{{lib}}}$, выполнено соотношение: ${{C}_{l}} + {{C}_{i}} + {{C}_{b}} = 1$. Далее, βw и $(1 - {{\beta }_{w}})$ – массовые доли воды и газа в гидрате. В жидкой фазе (l) для компонентных массовых долей воды $(\beta _{l}^{w})$ и растворенных в ней газа $(\beta _{l}^{g})$ и соли $(\beta _{l}^{c})$ также выполнено соотношение: $\beta _{l}^{w} + \beta _{l}^{g} + \beta _{l}^{c}$ = 1. В ГРЗ принимается, что $\beta _{l}^{g} = \beta _{l}^{g}(P,T)$. Если газ в жидкой фазе отсутствует, то $(\beta _{l}^{g} = 0)$. Соответственно массовая доля воды и соли в жидкой фазе $\beta _{l}^{{wc}} = \beta _{l}^{w} + \beta _{l}^{c} = 1 - \beta _{l}^{g} = \beta _{l}^{{wc}}(P,T)$, либо $\beta _{l}^{{wc}} = 1$ при $\beta _{l}^{g} = 0$. Плотности и их доли обозначены как {ρχ, $\chi = \nu ,l,w,i,g,b,lib,s\} $, где ${{\rho }_{{lib}}} = {{C}_{l}}{{\rho }_{l}} + {{C}_{i}}{{\rho }_{i}} + {{C}_{b}}{{\rho }_{b}}$. Также вводятся дольные плотности: Rwi = = ${{C}_{l}}\beta _{l}^{w}{{\rho }_{l}} + {{C}_{i}}{{\rho }_{i}}$ – всей воды и льда, содержащихся в ${{S}_{{lib}}}$, и ${{R}_{{cb}}} = {{C}_{l}}\beta _{l}^{c}{{\rho }_{l}} + {{C}_{b}}{{\rho }_{b}}$ – всей соли, содержащейся в ${{S}_{{lib}}}$. Аналогично, $\{ {{\varepsilon }_{\chi }},\chi = \nu ,l,w,i,g,b,lib,s\} $ – внутренние энергии единицы массы гидрата, жидкой фазы, воды, льда, свободного газа, солевого осадка, также внутренние энергии единицы массы ${{S}_{{lib}}}$ консистенции и скелета. При этом для ${{Е}_{{lib}}} = {{\rho }_{{lib}}}{{\varepsilon }_{{lib}}}$ – внутренней энергии жидкой фазы, льда и солевого осадка, нормированной единицей объема, в ${{S}_{{lib}}}$ консистенции выполнено Elib = = ${{C}_{l}}{{\rho }_{l}}{{\varepsilon }_{l}} + {{C}_{i}}{{\rho }_{i}}{{\varepsilon }_{i}} + {{C}_{b}}{{\rho }_{b}}{{\varepsilon }_{b}}$.

Предполагается выполнение закона Дарси с учетом гравитации, но без учета капиллярных сил вода–газ: $\{ {{{\mathbf{V}}}_{\alpha }} = - {{k}_{{lib}}} \cdot {{k}_{{r\alpha }}}{\text{/}}{{\mu }_{\alpha }}\left( {\nabla P - {\mathbf{g}}{{\rho }_{\alpha }}} \right),\,\,\alpha = l,g\} $, где g – вектор ускорения свободного падения, P – давление, ${{\mu }_{l}}$ и ${{\mu }_{g}}$ – динамические вязкости жидкости и свободного газа, ${{k}_{{lib}}}$ – перерасчет абсолютной проницаемости с учетом части пор, занятой льдом и солевым осадком, ${{k}_{{rl}}}$ и ${{k}_{{rg}}}$ – относительные фазовые проницаемости жидкости и свободного газа с учетом подвижности в ${{S}_{{lib}}}$ консистенции только жидкой фазы (l). W – поток тепла.

Диффузионные потоки воды, газа и соли в жидкой фазе представлены процессом молекулярной диффузии в пористой среде [9] $\{ {\mathbf{M}}_{l}^{\alpha } = - mD_{l}^{\alpha }{{\rho }_{l}}\nabla \beta _{l}^{\alpha }$; α = w, g, c} с коэффициентами $D_{l}^{\alpha }$. Совместный диффузионный поток воды и соли в жидкой фазе определяется как ${\mathbf{M}}_{l}^{{wc}} = {\mathbf{M}}_{l}^{w} + {\mathbf{M}}_{l}^{c}$. Поток тепла в уравнении внутренней энергии (4) имеет вид:

$\begin{gathered} {\mathbf{W}} = - \{ m[{{S}_{{v}}}\left( {{{S}_{{lib}}}{{\lambda }_{{lib}}} + \left( {1 - {{S}_{{lib}}}} \right){{\lambda }_{g}}} \right) + \\ \, + \left( {1 - {{S}_{{v}}}} \right){{\lambda }_{{v}}}] + \left( {1 - m} \right){{\lambda }_{s}}\} \nabla T, \\ \end{gathered} $
что соответствует среде с коэффициентами {λχ(P, T), $\chi = \nu ,l,w,i,g,b,lib,s\} $. Здесь λlib = ${{C}_{l}}{{\lambda }_{l}} + {{C}_{i}}{{\lambda }_{i}}$ + + Cbλb.

3. РАСЩЕПЛЕНИЕ ПО ФИЗИЧЕСКИМ ПРОЦЕССАМ

В качестве двух базовых переменных выбираются величины ${{S}_{{lib}}}$ и ${{S}_{{v}}}$. Остальные параметры задаются вектором π = {P, T, ${{C}_{\gamma }},\beta _{l}^{\alpha };\gamma = l,i,b,\alpha = w,g,c\} $, состоящим из двух основных независимых переменных π2 и шести вспомогательных (за исключением бессолевой ГРЗ в отсутствие жидкой фазы – с одной базовой переменной π1 и вырожденным дольно-солевым уравнением).

Преобразование системы уравнений, позволяющее выделить диссипативный блок, производится методом расщепления по физическим процессам, предложенным в работе [3]. В результате для пары оставшихся независимых переменных получается подсистема, не содержащая производные по времени от величин ${{S}_{{lib}}}$ и ${{S}_{{v}}}$ и состоящая из уравнения пьезопроводности в ГРЗ с жидким раствором и твердофазными включениями, обобщающего диссипативное уравнение теории гидратов, полученное в работе [3], и дольно-солевого уравнения.

4. РАЗБИЕНИЕ ОБЛАСТИ ФИЛЬТРАЦИИ НА НЕСКОЛЬКО ЗОН

В задачах фильтрации, связанных с газовыми гидратами, исходная область разбивается на несколько зон, различающихся по уравнениям и набору основных неизвестных, описывающих процесс. При отсутствии соли, льда, растворенного газа таких зон три [4]: трехфазная (ГРЗ), где присутствуют газ, вода и гидрат, талая – где гидратов нет и гидратно-стабильная с отсутствующими свободным газом или водой. В первой зоне основные неизвестные – ${{S}_{{v}}}$, ${{S}_{w}}$, $P$. Температура определяется по давлению из условия фазового равновесия. Во второй зоне основные неизвестные – Sw, P, T. В третьей – ${{S}_{{v}}}$, P, T.

В рассматриваемом случае возникает семь зон, для которых с использованием правила фаз Гиббса определено количество независимых параметров:

1. Жидкая фаза в ГРЗ с насыщенными газом и солью.

${{{\mathbf{\pi }}}_{2}} = \{ P,T\} $, ${{C}_{l}} = 1$, ${{C}_{i}} = {{C}_{b}} = 0$, $\beta _{l}^{{\,w}} = 1 - \beta _{l}^{{\,g}} - \beta _{l}^{{\,c}}$, $\beta _{l}^{{\,g}} = \beta _{l}^{{\,g}}(P,T)$, $\beta _{l}^{{\,c}} = \beta _{l}^{{\,c}}(P,T)$.

2. Солевой осадок и жидкая фаза в ГРЗ с насыщенными газом и солью.

${{{\mathbf{\pi }}}_{2}} = \{ P,{{C}_{l}}\} $, $T = {{T}_{{dis}}}(P)$, ${{C}_{i}} = 0$, ${{C}_{b}} = 1 - {{C}_{l}}$, $\beta _{l}^{{\,w}} = 1 - \beta _{l}^{{\,g}} - \beta _{l}^{{\,c}}$, $\beta _{l}^{{\,g}} = \beta _{l}^{{\,g}}(P,T)$, $\beta _{l}^{{\,c}} = \beta _{l}^{{\,c}}(P,T)$.

3. Ненасыщенная солью жидко-ледяная смесь в ГРЗ.

${{{\mathbf{\pi }}}_{2}} = \{ {{C}_{l}},\beta _{l}^{{\,c}}\} $, $P = P(\beta _{l}^{{\,c}})$, $T = {{T}_{{dis}}}(P)$, ${{C}_{i}} = 1 - {{C}_{l}}$, ${{C}_{b}} = 0$, $\beta _{l}^{{\,w}} = 1 - \beta _{l}^{{\,g}} - \beta _{l}^{{\,c}}$, $\beta _{l}^{{\,g}} = \beta _{l}^{{\,g}}(P,T)$.

4. Насыщенная солью жидко-ледяная смесь в ГРЗ.

${{{\mathbf{\pi }}}_{2}} = \{ P,{{C}_{l}}\} $, $T = T(P)$, ${{C}_{i}} = 1 - {{C}_{l}}$, ${{C}_{b}} = 0$, $\beta _{l}^{{\,w}} = 1 - \beta _{l}^{{\,g}} - \beta _{l}^{{\,c}}$, $\beta _{l}^{{\,g}} = \beta _{l}^{{\,g}}(P,T)$, $\beta _{l}^{{\,c}} = \beta _{l}^{{\,c}}(P,T)$.

5. Солевой осадок и жидко-ледяная смесь в ГРЗ.

${{{\mathbf{\pi }}}_{2}}\, = \,\{ {{C}_{l}},{{C}_{i}}\} $, ${{P}_{0}},{{T}_{0}}$, ${{C}_{b}}\, = \,1\, - \,{{C}_{l}}\, - \,{{C}_{i}}$, $\beta _{l}^{{\,w}}\, = \,1\, - \,\beta _{l}^{{\,g}}\, - \,\beta _{l}^{{\,c}}$, $\beta _{l}^{{\,g}} = \beta _{l}^{{\,g}}({{P}_{0}},{{T}_{0}})$, $\beta _{l}^{{\,c}} = \beta _{l}^{{\,c}}({{P}_{0}},{{T}_{0}})$.

Давление P0 и температура T0 являются константами, определяемыми для данного процесса экспериментально.

6. Солевой осадок в ГРЗ в отсутствие жидкой фазы.

${{{\mathbf{\pi }}}_{2}} = \{ P,{{C}_{i}}\} $, $T = {{T}_{{dis}}}(P)$, ${{C}_{l}} = 0$, ${{C}_{b}} = 1 - {{C}_{i}}$.

7. Бессолевая ГРЗ в отсутствие жидкой фазы.

${{{\mathbf{\pi }}}_{1}} = \{ P\} $, $T = {{T}_{{dis}}}(P)$, ${{C}_{l}} = 0$, ${{C}_{i}} = 1$, ${{C}_{b}} = 0$.

С помощью метода характеристик получены условия согласования систем уравнений, отвечающих областям с разным количеством фаз и содержащих разное число неизвестных.

5. МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

При численных расчетах вычисления ускоряются за счет разделения системы на диссипативную и гиперболическую части. Из диссипативной части по неявной схеме находятся переменные вектора π2, а на их основе вычисляются термодинамические параметры и по явной схеме рассчитывается перенос насыщенностей ${{S}_{{lib}}}$ и ${{S}_{{v}}}$. Также проводится перерасчет абсолютной и фазовой проницаемости.

При решении задач двухфазной фильтрации широко используется аппроксимация фазовых проницаемостей вверх по потоку [5]. В работе [3] методом характеристик показано, что при учете газовых гидратов часть величин надо брать вниз по потоку. В данной работе получены обобщения этих результатов с учетом льда и соли.

Для численного решения полученной системы уравнений используется метод опорных операторов [6, 7], позволяющий аппроксимировать уравнения в частных производных на нерегулярных сетках. В работе [8] для подобных сеток в целях обеспечения вычислительной устойчивости разностной схемы проведена эффективная монотонизация аппроксимации по насыщенностям водой и гидратами, а также по нелинейному переносу внутренних энергий свободных воды и газа в гидратизированной пьезопроводной части задачи. В той же работе при дискретизации задачи диссоциации газовых гидратов в пористой среде использовался простой в реализации метод свободно-объемной аппроксимации сеточных функций по времени, учитывающий долю объема в порах, занятой флюидами. В представленной работе используются методы, аналогичные методам работы [8], обобщенные на случай диссоциации газовых гидратов в пористой среде с учетом льда и соли.

Итоговый численный алгоритм апробирован на одномерной модельной задаче и подтвердил свою эффективность.

Список литературы

  1. Liu X., Flemings P.B. Dynamic multiphase flow model of hydrate formation in marine sediments // J. Geophys. Res. 2007. V. 112. B03101. P. 1–23.

  2. Малахова В.В., Елисеев А.В. Влияние диффузии солей на состояние и распространение многолетнемёрзлых пород и зоны стабильности метан-гидратов шельфа моря Лаптевых // Лёд и Снег. 2020. Т. 60. № 4. С. 533–546.

  3. Повещенко Ю.А., Казакевич Г.И. Математическое моделирование газогидратных процессов // ММС. 2011. № 3. С. 105–110.

  4. Рагимли П.И., Повещенко Ю.А., Подрыга В.О., Рагимли О.Р., Попов С.Б. Моделирование процессов совместной фильтрации в талой зоне и пьезопроводной среде с газогидратными включениями // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2018. № 40. 32 с.

  5. Азиз. Х., Сеттари Э. Математическое моделирование пластовых систем. М.: Недра, 1982. 407 с.

  6. Самарский А.А., Колдоба А.В., Повещенко Ю.А., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск: ЗАО “Критерий”, 1996. 273 с.

  7. Дмитриевский А.Н., Лобковский Л.И., Казакевич Г.И., Повещенко Ю.А., Баланюк И.Е., Илюхин Л.Н. Численное моделирование движения флюидов в процессе формирования залежей углеводородов на примере Предверхоянского прогиба // Геология, геофизика и разработка нефтяных месторождений. 1995. № 7. С. 2–6.

  8. Poveshchenko Yu., Rahimly P., Rahimly O., Podryga V., Gasilova I. A numerical approach to study the thermal influence on gas hydrates by physical process splitting // IJNAM. V. 17. № 3. P. 404–433.

  9. Николаевский В.Н. Механика пористых и трещиноватых сред. М.: Недра, 1984. 232 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления