Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 504, № 1, стр. 36-41

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПОЛУЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Член-корреспондент РАН В. Г. Романов 1*

1 Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук
Новосибирск, Россия

* E-mail: romanov@math.nsc.ru

Поступила в редакцию 07.02.2022
После доработки 10.03.2022
Принята к публикации 20.03.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Для уравнения ${{u}_{{tt}}} - \Delta u - f(x,u) = 0, (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{4}},$ в котором $f(x,u)$ – гладкая функция своих переменных, финитная по x, изучается задача об определении этой функции по некоторой информации о решениях задач Коши для дифференциального уравнения. Рассматриваются плоские волны, с резким фронтом распространяющиеся в однородной среде в направлении единичного вектора $\nu $ и падающие на неоднородность, локализованную внутри некоторого шара $B(R)$. Предполагается, что решения задач могут быть измерены в точках границы этого шара в моменты времени, близкие к приходу фронта волны для всевозможных значений вектора $\nu $. Проводится исследование прямой задачи, устанавливается существование ограниченного решения в окрестности характеристического клина, выводится амплитудная формула на фронте волны для производной по t от решения задачи. Показывается, что решение обратной задачи редуцируется к серии задач рентгеновской томографии.

Ключевые слова: полулинейное волновое уравнение, плоские волны, рентгеновская томография, единственность

Рассмотрим задачу Коши:

(1)
$\begin{gathered} {{u}_{{tt}}} - \Delta u - f(x,u) = 0, (x,t) \in {{\mathbb{R}}^{4}}; \\ u{{{\text{|}}}_{{t < 0}}} = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ), \\ \end{gathered} $
в которой $f(x,u)$ – гладкая функция переменных x, u, финитная по $x \in {{\mathbb{R}}^{3}}$, а g(t) является при t = 0 разрывной функцией, $g( + 0) = \alpha > 0$ и $g(t) = 0$ при $t < 0$. Относительно функции g(t) дополнительно предположим, что ее структура такова: $g(t) = \alpha > 0$ для значений $t \in [0,\varepsilon ]$, где $\varepsilon > 0$, а при t > ε произвольна (в частности, может быть $g(t)$ = 0 при t > ε). Параметр α может меняться, пробегая некоторое множество значений. В (1) ν = $({{\nu }_{1}},{{\nu }_{2}},{{\nu }_{3}})$ – вектор, принадлежащий единичной сфере ${{\mathbb{S}}^{2}}$. Смысл параметра t0 будет объяснен чуть ниже. В поставленной выше задаче $\nu $ и α играют роль параметров. Поэтому ее решение обозначим через $u(x,t,\alpha ,\nu )$ , подчеркнув тем самым его зависимость от этих параметров. Однако при исследовании задачи (1) зависимость решения от $\nu $ и α будет для краткости опускаться.

В дальнейшем нас будет интересовать задача об определении функции $f(x,u)$ по некоторой информации о решениях задачи (1). В связи с этим сделаем некоторые предположения о функции $f(x,u)$, в рамках которых будет проведено все дальнейшее рассмотрение.

Предположения.

1) носитель функции $f(x,u)$ при любом значении $u \geqslant 0$ содержится в шаре B(R) = $\{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}\,{\text{|}}\,{\text{|}}x{\text{|}}$ < R}, R > 0,

2) функции $f(x,u),$ ${{f}_{u}}(x,u)$ являются непрерывными для $(x,u) \in B(R) \times {{\mathbb{R}}_{ + }}$, ${{\mathbb{R}}_{ + }} = \{ t \in \mathbb{R}\,{\text{|}}\,t \geqslant 0\} $,

3) ${\text{|}}f(x,u){\text{|}} \leqslant {{f}_{0}}(u)$, ${{f}_{0}} \in C({{R}_{ + }})$, ${{f}_{0}}(0) = 0$, ${{f}_{0}}(u) > 0$ для $u > 0$,

4) при любом $K \in (0,\infty )$ существует положительная постоянная $M = M(K)$, такая что имеет место оценка

(2)
${\text{|}}{{f}_{u}}(x,u){\text{|}} \leqslant M(K), \quad (x,u) \in B(R) \times [0,K].$

Обозначим ${{S}_{ + }}(R,\nu ) = \{ x \in {{\mathbb{R}}^{3}}\,{\text{|}}\,{\text{|}}x{\text{|}} = R,x \cdot \nu > 0\} $. Положим в (1) ${{t}_{0}} = {{\inf }_{{x \in B(R)}}} = (x \cdot \nu ) = - R$. Уравнение $u = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )$ описывает в однородном пространстве (при $f(x,u) \equiv 0$) плоскую волну, бегущую в направлении вектора ν. В момент времени t = 0 фронт этой волны касается области $B(R)$, в которой сосредоточена неоднородность.

Обратная задача. Найти $f(x,u)$ в области $x \in B(R)$, $u \in (0,U]$ по следующей информации о решениях задачи (1):

(3)
$\begin{gathered} u(x,t,\nu ,\alpha ) = h(x,t,\nu ,\alpha ),\quad {\text{для всех}}\quad \nu \in {{\mathbb{S}}^{2}}, \\ x \in {{S}_{ + }}(R,\nu ),\quad t \in (0,x \cdot \nu - {{t}_{0}} + \varepsilon , \alpha \in (0,U], \\ \end{gathered} $
где $h(x,t,\nu ,\alpha )$ – заданная функция и ε – произвольное малое положительное число.

Обратные задачи об определении коэффициентов в нелинейных гиперболических уравнениях интенсивно изучаются в последние годы (см. [19]). Настоящая работа основана на идее разложения решения по особенностям в окрестности фронта волны, использованной, в частности, в статьях [1013].

Теорема 1. Пусть $\nu \in {{\mathbb{S}}^{2}}$, $\alpha > 0$ и функции $f(x,u)$ и g(t) удовлетворяют сделанным выше предположениям. Тогда вблизи характеристического клина $t = x \cdot \nu - {{t}_{0}}$ существует единственное обобщенное решение задачи (1) и оно представимо в виде

(4)
$\begin{gathered} u(x,t) = \alpha H(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) + \\ \, + [\beta (x,\nu ,\alpha ) + \bar {u}(x,t)]{{H}_{1}}(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ), \\ \end{gathered} $
в котором H(t) – функция Хевисайда: $H(t) = 1$ для $t \geqslant 0$ и $H(t) = 0$ для t < 0 и ${{H}_{1}}(t) = tH(t)$, а функция $\beta (x,\nu ,\alpha )$ вычисляется по формуле

(5)
$\beta (x,\nu ,\alpha ) = \frac{1}{2}\int\limits_0^\infty f(x - s\nu ,\alpha )ds.$

В этой формуле ds – элемент евклидовой длины, а функция $\bar {u}(x,t)$ в (4) является непрерывной по своим арументам и бесконечно малой при $t \to x \cdot \nu $t0 + 0.

Доказательство этой теоремы состоит из цепочки лемм.

В однородной среде (т.е. при $f(x,u) \equiv 0$) решение задачи (1) имеет вид $u(x,t) = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )$. Из формулы Кирхгофа для неоднородного волнового уравнения следует, что решение задачи (1) удовлетворяет интегральному уравнению

(6)
$\begin{gathered} u(x,t) = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) + \\ \, + \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{|\xi - x| \leqslant t} \frac{{f(\xi ,u(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}))}}{{{\text{|}}\xi - x{\text{|}}}}{\kern 1pt} d\xi , \quad t \geqslant 0. \\ \end{gathered} $

Так как $g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) = 0$ для $t < x \cdot \nu - {{t}_{0}}$ и $f(x,0)$ = 0, то $u(x,t) = 0$ при $0 \leqslant t < x \cdot \nu - {{t}_{0}}$. Поэтому из (6) следует уравнение

(7)
$\begin{gathered} u(x,t) = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) + \\ \, + \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{D(x,t,\nu )} \frac{{f(\xi ,u(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}))}}{{{\text{|}}\xi - x{\text{|}}}}{\kern 1pt} d\xi , \\ t \geqslant x \cdot \nu - {{t}_{0}}, \\ \end{gathered} $
в котором $D(x,t,\nu )$ – область, ограниченная осесимметричным параболоидом
$P(x,t,\nu ) = \{ \xi \in {{\mathbb{R}}^{3}}\,{\text{|}}\,\xi \cdot \nu \; + \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}} = t + {{t}_{0}}\} $
с центральной осью, проходящей через $x$ и направленной в сторону вектора –ν.

Введем в рассмотрение семейство параболоидов

$P(x,\tau ,\nu ) = \{ \xi \in {{\mathbb{R}}^{3}}\,{\text{|}}\,\xi \cdot \nu \; + \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}} = \tau + {{t}_{0}}\} $
для $\tau \in (x \cdot \nu - {{t}_{0}},t]$.

Наряду с декартовой системой координат ${{\xi }_{1}},{{\xi }_{2}},{{\xi }_{3}}$ рассмотрим систему координат ${{y}_{1}},{{y}_{2}},{{y}_{3}}$ с центром в точке $x = ({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}})$ и единичными ортами ${{e}_{1}},{{e}_{2}}$, e3:

${{e}_{3}} = \nu = (\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta ),$
${{e}_{1}} = (\cos \theta \cos \varphi ,\cos \theta \sin \varphi , - \sin \theta ),$
${{e}_{2}} = ( - \sin \varphi ,\cos \varphi ,0).$

В выписанных выше формулах $\theta \in [0,\pi ]$, $\varphi \in [0$, 2π). Кроме того, введем цилиндрическую систему координат $z,\;r,\;\psi $, связанную с системой ${{y}_{1}},\;{{y}_{2}},\;{{y}_{3}}$ равенствами ${{y}_{1}} = r\cos \psi $, ${{y}_{2}} = r\sin \psi $, ${{y}_{3}} = z$, $\psi \in [0$, 2π). Тогда

(8)
$\xi = x + y,\quad y = {{e}_{2}}r\cos \psi + {{e}_{3}}r\sin \psi + {{e}_{3}}z,$
и уравнение, определяющее параболоид $P(x,\tau ,\nu )$, принимает вид:
$P(x,\tau ,\nu ) = \{ \left( {r,z} \right):z + {{({{z}^{2}} + {{r}^{2}})}^{{1/2}}} = \tau + {{t}_{0}} - x \cdot \nu \} ,$
или

(9)
$r = \sqrt {(\tau + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )(\tau + {{t}_{0}} - x \cdot \nu - 2z)} .$

Следовательно, при $\tau \to x \cdot \nu - {{t}_{0}} + 0$ параболоид $P(x,\tau ,\nu )$ вырождается в луч L(x, ν) =: $\{ \xi \in {{\mathbb{R}}^{3}}\,{\text{|}}\,\xi $ = = x + zν, z ≤ 0}.

В равенстве (7) вместо переменных интегрирования ${{\xi }_{1}},\;{{\xi }_{2}},\;{{\xi }_{3}}$ введем криволинейные координаты $\tau ,z,\psi $. Тогда

$\frac{{d\xi }}{{{\text{|}}x - \xi {\text{|}}}} = \frac{{dy}}{{{\text{|}}y{\text{|}}}} = d\tau dzd\psi .$

Поэтому уравнение (7) принимает вид

$\begin{gathered} u(x,t) = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) + \\ \, + \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{P(x,\tau ,\nu )} f(\xi ,u(\xi ,t - \,{\text{|}}\xi - x{\text{|}})){\kern 1pt} d\psi dzd\tau = \\ \end{gathered} $
(10)
$\, = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) + $
$\begin{gathered} \, + \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{ - \infty }^{(\tau + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )/2} \int\limits_0^{2\pi } u(\xi ,u(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}})){\kern 1pt} d\psi dzd\tau , \\ t \geqslant x \cdot \nu - {{t}_{0}}, \\ \end{gathered} $
в котором переменная ξ определена формулами (8) и (9).

Определим последовательность ${{u}_{k}}(x,t)$, k = 0, 1, ..., формулой:

${{u}_{0}}(x,t) = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ),$
(11)
$\begin{gathered} {{u}_{k}}(x,t) = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) + \\ \, + \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{P(x,\tau ,\nu )} f(\xi ,{{u}_{{k - 1}}}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}})){\kern 1pt} d\psi dzd\tau , \\ \end{gathered} $
$k = 1,2, \ldots , \quad t \geqslant x \cdot \nu - {{t}_{0}}.$

Пусть $F(u)$ – фиксированная первообразная для функции $1{\text{/}}{{f}_{0}}(u)$. При этом $F{\kern 1pt} '(u) = \frac{1}{{{{f}_{0}}(u)}}$. Обозначим через ${{F}^{{ - 1}}}(p)$ обратную функцию к $p = F(u)$ для u > 0. Тогда

(12)
$\frac{d}{{dp}}{{F}^{{ - 1}}}(p) = {{f}_{0}}({{F}^{{ - 1}}}(p)).$

Пусть ε – фиксированное число из интервала $(0,(F(2\alpha ) - F(\alpha )))$. Обозначим

$G(\nu ,\varepsilon ) = \{ (x,t)\,{\text{|}}\,0 \leqslant R(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) \leqslant \varepsilon \} .$

Лемма 1. Пусть $g(t) = \alpha > 0$ для $t \in [0,\varepsilon {\text{/}}R]$, а функция $f(x,u)$ удовлетворяет сделанным выше предположениям. Тогда в области $G(\nu ,\varepsilon )$ последовательность ${{u}_{k}}(x,t)$ удовлетворяет оценке:

(13)
$\begin{gathered} 0 < {{u}_{k}}(x,t) \leqslant {{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + R(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )), \\ (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ), \quad k = 0,1,2, \ldots . \\ \end{gathered} $

Действительно, в силу монотонности функции $F(u)$, имеем

$\begin{gathered} 0 < {{u}_{0}}(x,t) = g(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) = \\ \, = \alpha \leqslant {{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + R(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )), \\ (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Далее,

$\begin{gathered} {{u}_{1}}(x,t) \leqslant \alpha + \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{P(x,\tau ,\nu ) \cap B(R)} {{f}_{0}}({{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + \\ \, + R(t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}} + {{t}_{0}} - \xi \cdot \nu ))){\kern 1pt} d\psi dzd\tau = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, = \alpha + \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{P(x,\tau ,\nu ) \cap B(R)} {{f}_{0}}({{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + \\ \, + R(t - \tau ))){\kern 1pt} d\psi dzd\tau \leqslant \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, \leqslant \alpha + R\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t {{f}_{0}}({{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + R(t - \tau ))){\kern 1pt} d\tau = \\ \, = {{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + R(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )), \quad (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Последнее равенство в этой цепочке соотношений получается, если сделать замену переменной τ на новую переменную $s = {{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + R(t - \tau ))$ и проверить, используя (12), что

$R{{f}_{0}}({{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + R(t - \tau ))){\kern 1pt} d\tau = - ds.$

С помощью подобных же вычислений проверяется положительность ${{u}_{1}}(x,t)$ в области $G(\nu ,\varepsilon )$:

$\begin{gathered} {{u}_{1}}(x,t) \geqslant \alpha - \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{P(x,\tau ,\nu ) \cap B(R)} {{f}_{0}}({{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + \\ \, + R(t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}} + {{t}_{0}} - \xi \cdot \nu ))){\kern 1pt} d\psi dzd\tau \geqslant \\ \end{gathered} $
$\, \geqslant \alpha - R\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t {{f}_{0}}({{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + R(t - \tau ))){\kern 1pt} d\tau = $
$\begin{gathered} \, = 2\alpha - {{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + R(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )) > \\ \, > 2\alpha - {{F}^{{ - 1}}}(F(\alpha ) + \varepsilon )) > 0,\quad (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

В точности такие же вычисления показывают справедливость оценок (13) при любых k.

Следствие 1. При выполнении условий леммы 1 последовательность ${{u}_{k}}(x,t)$ является равномерно ограниченной в области $G(\nu ,\varepsilon )$, причем для всех k выполнено неравенство:

(14)
$\begin{gathered} 0 < {{u}_{k}}(x,t) \leqslant 2\alpha ,\quad (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ), \\ k = 0,1,2, \ldots . \\ \end{gathered} $

Лемма 2. В условиях Леммы 1 последовательность ${{u}_{k}}(x,t)$ равномерно сходится в области $G(\nu ,\varepsilon )$ и определяет в этой области непрерывную предельную функцию $u(x,t)$.

Введем в рассмотрение разности

${{{v}}_{k}}(x,t) = {{u}_{k}}(x,t) - {{u}_{{k - 1}}}(x,t),\quad k = 1,2, \ldots .$

Из формулы (11) следуют равенства

${{v}_{1}}(x,t) = \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{P(x,t,\nu )} f(\xi ,{{u}_{0}}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}))d\varphi dzd\tau ,$
(15)
${{v}_{k}}(x,t) = \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{P(x,t,\nu )} {{v}_{{k - 1}}}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}) \times $
$\begin{gathered} \, \times Q({{u}_{{k - 1}}}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}),{{u}_{{k - 2}}}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}))d\varphi dzd\tau , \\ k = 2,3, \ldots . \\ \end{gathered} $

В формуле (15) функция $Q({{u}_{{k - 1}}},{{u}_{{k - 2}}})$ определена равенством

(16)
$Q({{u}_{{k - 1}}},{{u}_{{k - 2}}}) = \int\limits_0^1 {{f}_{u}}(\xi ,{{u}_{{k - 1}}}s + {{u}_{{k - 2}}}(1 - s))ds.$

Из формул (11) вытекает оценка

$\begin{gathered} {\text{|}}{{v}_{1}}(x,t){\text{|}} \leqslant R{{f}_{0}}(\alpha )\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t d\tau = R{{f}_{0}}(\alpha )(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ), \\ (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Величина $Q({{u}_{{k - 1}}},{{u}_{{k - 2}}})$ легко оценивается на основе следствия 1 и неравенства (2):

${\text{|}}Q({{u}_{{k - 1}}},{{u}_{{k - 2}}}){\text{|}} \leqslant M(2\alpha ).$

Полагая в формуле (15) k = 2, находим, что

$\begin{gathered} {\text{|}}{{v}_{2}}(x,t){\text{|}} \leqslant \frac{{R{{f}_{0}}(\alpha )M(2\alpha )}}{{4\pi }} \times \\ \, \times \int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{P(x,\tau ,\nu ) \cap B(R)} (t + {{t}_{0}} - \xi \cdot \nu \; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}){\kern 1pt} d\varphi dzd\tau \leqslant \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \, \leqslant {{R}^{2}}{{f}_{0}}(\alpha )M(2\alpha )\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t (t - \tau )d\tau = \\ \, = {{R}^{2}}{{f}_{0}}(\alpha )M(2\alpha )\frac{{{{{(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )}}^{2}}}}{{2!}},\quad (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Продолжая процесс оценок разностей ${{v}_{k}}(x,t)$, находим, что

(17)
$\begin{gathered} {\text{|}}{{v}_{k}}(x,t){\text{|}} \leqslant {{R}^{k}}{{f}_{0}}(\alpha ){{M}^{{k - 1}}}(2\alpha )\frac{{{{{(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )}}^{k}}}}{{k!}}, \\ k = 2,3, \ldots ,\quad (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Из оценки (17) вытекает равномерная сходимость ряда $\sum\nolimits_{k = 1}^\infty {{v}_{k}}(x,t)$ в области $G(\nu ,\varepsilon )$. Это доказывает также равномерную сходимость последовательности ${{u}_{k}}(x,t)$ в той же самой области. Так как, очевидно, все ${{u}_{k}}(x,t)$ положительны и непрерывны в этой области, то предел этой последовательности определяет положительную функцию $u(x,t)$, которая является непрерывным для $(x,t) \in G(\nu ,\varepsilon )$ решением задачи (1).

Следствие 2. Предельная функция $u(x,t)$ последовательности ${{u}_{k}}(x,t)$ является непрерывным решением уравнения (10) в области $G(\nu ,\varepsilon )$, и для нее выполнено неравенство:

(18)
$0 < u(x,t) \leqslant 2\alpha , \quad (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ).$

Лемма 3. В области $G(\nu ,\varepsilon )$ уравнение (10) имеет единственное непрерывное решение.

Пусть существуют два решения ${{u}_{k}}(x,t)$, k = 1, 2, положительные, непрерывные и ограниченные в области $G(\nu ,\varepsilon )$ некоторой постоянной K. Обозначим $w(x,t) = {{u}_{1}}(x,t) - {{u}_{2}}(x,t,(x,t\nu )$. Запишем равенство (10) для ${{u}_{1}}(x,t)$ и ${{u}_{2}}(x,t)$ и найдем соотношение для их разности, используя представление (16). В результате получим

(19)
$\begin{gathered} w(x,t) = \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{ - \infty }^{(\tau + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )/2} \,\int\limits_0^{2\pi } w(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}) \times \\ \, \times Q({{u}_{1}}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}},{{u}_{2}}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}){\kern 1pt} d\psi dzd\tau . \\ \end{gathered} $

В силу (16) имеет место оценка ${\text{|}}Q({{u}_{1}},{{u}_{2}}){\text{|}} \leqslant M(K)$. Так как ${\text{|}}w(x,t){\text{|}} \leqslant K$, а интервал интегрирования по переменной z, в силу финитности функции $f(x,u)$, не превосходит 2R, то из (19) получим

(20)
$\begin{gathered} {\text{|}}w(x,t){\text{|}} \leqslant KRM(K)\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t d\tau = \\ \, = KRM(K)(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ),\quad (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Подставляя (20) в равенство (19), получаем новую оценку

$\begin{gathered} {\text{|}}w(x,t){\text{|}} \leqslant K{{R}^{2}}{{M}^{2}}(K)\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t (t - \tau )d\tau = \\ \, = K{{R}^{2}}{{M}^{2}}(K)\frac{{{{{(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )}}^{2}}}}{{2!}},\quad (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Повторяя этот процесс итераций n раз, приходим к оценке

(21)
$\begin{gathered} {\text{|}}w(x,t,\nu ){\text{|}} \leqslant K{{R}^{n}}{{M}^{n}}(K)\frac{{(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu {{{))}}^{n}}}}{{n!}}, \\ (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Поскольку правая часть равенства (21) равномерно стремится к нулю в области $G(\nu ,\varepsilon )$ при $n \to \infty $, то $w(x,t) = 0$ в этой области. Следовательно, ${{u}_{1}}(x,t) = {{u}_{2}}(x,t)$ для всех $(x,t) \in G(\nu ,\varepsilon )$.

Лемма 4. При выполнении условий леммы 1 решение задачи (1) представимо в области $G(\nu ,\varepsilon )$ в виде (3).

Введем новую функцию ${v}(x,t) = u(x,t) - \alpha $. Эта функция удовлетворяет уравнению

(22)
$\begin{gathered} v(x,t) = \frac{1}{{4\pi }}\int\limits_{x \cdot \nu - {{t}_{0}}}^t \int\limits_{ - \infty }^{(\tau + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )/2} \,\int\limits_0^{2\pi } f(\xi ,\alpha + \\ \, + {v}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}})){\kern 1pt} d\psi dzd\tau , \\ (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

Сделаем в интеграле замену переменной τ на ${{\tau }_{1}}$:

$\tau = x \cdot \nu - {{t}_{0}} + (t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ){{\tau }_{1}},$
тогда уравнение (22) примет вид

$\begin{gathered} v(x,t) = \frac{{(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )}}{{4\pi }}\int\limits_0^1 \int\limits_{ - \infty }^{(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ){{\tau }_{1}}/2} \,\int\limits_0^{2\pi } f(\xi ,\alpha + \\ \, + {v}(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}})){\kern 1pt} d\psi dzd{{\tau }_{1}}, \\ (x,t) \in G(\nu ,\varepsilon ). \\ \end{gathered} $

При $t \to x \cdot \nu - {{t}_{0}} + 0$ имеют место предельные соотношения $\xi = x + z\nu $, а параболоид $P(x,\tau ,\nu )$ вырождается в луч

$L(x,\nu ) = \{ \xi \in {{\mathbb{R}}^{3}}\,{\text{|}}\,\xi = x + z\nu ,{\kern 1pt} z \leqslant 0\} .$

Таким образом, функция ${v}(x,t)$ равномерно стремится к нулю при $t \to x \cdot \nu - {{t}_{0}} + 0$. Поэтому

$\int\limits_0^1 \int\limits_{ - \infty }^{(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ){{\tau }_{1}}/2} \,\int\limits_0^{2\pi } f(\xi ,\alpha + v(\xi ,t\; - \;{\text{|}}\xi - x{\text{|}}){\kern 1pt} d\psi dzd{{\tau }_{1}} = $
(23)
$\, = 2\pi \int\limits_{ - \infty }^0 f(x + z \cdot \nu ,\alpha ){\kern 1pt} dz + o(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ),$
$t \to x \cdot \nu - {{t}_{0}} + 0.$

Используя (23), равенство (22) можно записать в виде

$\begin{gathered} v(x,t) = (t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu ) \times \\ \, \times \left( {\frac{1}{2}\int\limits_{L(x,y)} f(x + z \cdot \nu ,\alpha ){\kern 1pt} dz + \bar {v}(x,t)} \right), \\ t \geqslant x \cdot \nu - {{t}_{0}}, \\ \end{gathered} $
где $\bar {v}(x,t) = o(t + {{t}_{0}} - x \cdot \nu )$ при $t \to x \cdot \nu - {{t}_{0}} + 0$.

Так как $u(x,t) = v(x,t) + \alpha $ и $u(x,t) = 0$ для $t \leqslant x \cdot \nu - {{t}_{0}}$, то отсюда следует представление (3), в котором

$\begin{gathered} \bar {u}(x,t,\nu ) = \bar {v}(x,t,\nu ) = o(t - x \cdot \nu ) \\ {\text{при}}\quad t \to x \cdot \nu - {{t}_{0}} + 0. \\ \end{gathered} $

В силу теоремы 1 и формул (4), (5), информация (3) определяет интегралы

(24)
$\begin{gathered} \int\limits_0^\infty f(x - s \cdot \nu ,\alpha )ds = p(x,\nu ,\alpha ) \\ {\text{для}}\;{\text{всех}}\quad \nu \in {{\mathbb{S}}^{2}},\quad x \in S_{R}^{ + }(\nu ), \alpha \in (0,U], \\ \end{gathered} $
в которых функция $p(x,\nu .\alpha )$ вычисляется по формуле

$\begin{gathered} p(x,\nu ,\alpha ) = 2\mathop {\lim }\limits_{t \to x \cdot \nu - {{t}_{0}} + 0} \frac{{\partial h}}{{\partial t}}(x,t,\nu ,\alpha ) = \\ \, = 2{{h}_{t}}(x,x \cdot \nu - {{t}_{0}} + 0,\nu ,\alpha ). \\ \end{gathered} $

Таким образом, при любом фиксированном значении $\alpha \in (0,U]$ известны интегралы по всем прямым пересекающим область B(R). В результате задача об определении $f(x,\alpha )$ при каждом фиксированном значении α по информации (3) сводится к задаче рентгеновской томографии (см., например, [14]). Известно, что решение такой задачи единственно. В связи с этим верна следующая теорема единственности.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда обратная задача может иметь только одно решение.

ИСТОЧНИК ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена в рамках государственного задания ИМ СО РАН (проект FWNF-2022-0009).

Список литературы

  1. Kurylev Y., Lassas M., Uhlmann G. Invent. Math. 2018. V. 212. P. 781–857.

  2. Lassas M., Uhlmann G., Wang Y., Comm. Math. Phys. 2018. V. 360. P. 555–609.

  3. Barreto A.S. Inverse Probl. Imaging. 2020. V. 14. № 6. P. 1057–1105.

  4. Lassas M. Proc. Int. Congress of Math. ICM 2018, Rio de Janeiro, Brazil. 2018. V. III. P. 3739–3760.

  5. Stefanov P., Barreto A.S. arXiv:2102.06323. 2021.

  6. de Hoop M., Uhlmann G., Wang Y. Mathematische Annalen. 2020. V. 376. № 1–2. P. 765–795.

  7. Wang Y., Zhou T. Comm. PDE. 2019. V. 44. № 11. P. 1140–1158.

  8. Uhlmann G., Zhai J. Discrete $\& $ Continuous Dynamical Systems - A. 2021. V. 41. № 1. P. 455–469.

  9. Barreto A.S., Stefanov P. arXiv: 2107.08513v1. [math. AP] 18 Jul 2021.

  10. Klibanov M.V., Romanov V.G. Eurasian J. of Math. and Comp. Appl. 2015. V. 3. № 1. P. 48–63.

  11. Романов В.Г. Сиб. матем. журн. 2018. Т. 59. № 3. С. 626–638.

  12. Романов В.Г. Доклады АН. 2021. Т. 496. № 1. С. 53–55.

  13. Романов В.Г. Доклады АН. 2021. Т . 501. № 6. С. 79–83.

  14. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. М.: Мир, 1990, 279 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления