Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 5-8

КЛАССИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

А. Р. Алимов 1*, И. Г. Царьков 12**

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

2 Московский Центр фундаментальной и прикладной математики
Москва, Россия

* E-mail: alexey.alimov-msu@yandex.ru
** E-mail: igtsarkov@yandex.ru

Поступила в редакцию 08.04.2022
После доработки 12.08.2022
Принята к публикации 15.08.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Изучаются классические вопросы обобщенного дробно-рационального приближения: существование, единственность и устойчивость элементов наилучшего приближения, характеризация элементов наилучшего приближения.

Ключевые слова: существование наилучшего приближения, обобщенные дробно-рациональные функции, алгебраически полное множество

Под классическими вопросами теории приближений мы понимаем вопросы существования, единственности, устойчивости и солнечности. Понятие солнечности – это, на самом деле, геометрическая переформулировка известного критерия Колмогорова элемента наилучшего приближения. Ниже X – действительное линейное нормированное пространство. Множество $M$ называется множеством существования, если для каждой точки x множество ${{P}_{M}}x\,: = \,\{ y \in M\,{\text{|}}\,{\text{||}}x\, - \,y{\text{||}}$ = = ρ(x, M) := ${\text{in}}{{{\text{f}}}_{{y \in M}}}{\text{||}}x - y{\text{||}}\} $ ее ближайших элементов непусто. Множество $M \subset X$ называется строгим протосолнцем, если из условия $x \in X{{\backslash }}M$, $y\, \in \,{{P}_{M}}x$ вытекает, что $y \in {{P}_{M}}((1 - \lambda )y + \lambda x)$ для всех $\lambda \geqslant 0$. Строгие протосолнца (а также солнца и строгие солнца, см. [1], [2]) являются наиболее естественными объектами, для которых выполнен обобщенный критерий Колмогорова элемента наилучшего приближения (см. [2], [1, § 3.1]) и для них выполнены те или иные свойства отделимости. Важность исследования вопросов существования и солнечности (характеризацией элементов наилучшего приближения) обобщенных дробно-рациональных функций связана с их многочисленными приложениями в теории приближений и вычислительной математике (см., например, [3, 4]).

Рассмотрим следующее классическое семейство рациональных функций в C[a, b]: ${{R}_{{n,m}}}$ = = ${{R}_{{n,m}}}[a,b]: = \{ p{\text{/}}q\,{\text{|}}\,p \in {{P}_{n}}$, $q \in {{P}_{m}}$, $q \ne 0\} $, где ${{P}_{n}}$ – подпространство алгебраических многочленов степени не выше n. Хорошо известно, что ${{R}_{{n,m}}}$ – чебышёвское солнце в C[a, b]. Однако в ${{L}^{p}}[a,b]$, $1 < p < \infty $, Н.В. Ефимовым и С.Б. Стечкиным из общих теорем геометрической теории приближений было установлено, что ${{R}_{{n,m}}}$, $m \geqslant 1$, является множеством существования, но не единственности. В случае ${{L}^{1}}[a,b]$ ими же было показано отсутствие единственности наилучшего приближения классом ${{R}_{{0,2}}}$. И.Г. Царьков, используя общие теоремы геометрической теории приближений, доказал отсутствие единственности наилучшего приближения в ${{L}^{1}}[a,b]$ для всех классов дробей ${{R}_{{n,m}}}$, $m \geqslant 1$. Рассмотрим более общий класс рациональных функций: $R_{W}^{V}\,: = \,\{ r\, = \,v{\text{/}}w\,{\text{|}}\,v\, \in \,V,w\, \in \,W\} $, здесь Q – метрический компакт, V, $W \subset C(Q)$ – выпуклые множества, причем W состоит из положительных функций. Известно, что множество $R_{W}^{V}$ является строгим протосолнцем в $C(Q)$.

Изучим следующее обобщение классов ${{R}_{{n,m}}}$ и $R_{W}^{V}$. Пусть $V,W \subset C(Q)$ и пусть $U \subset V \times W$ – непустое выпуклое множество. Определим следующий класс обобщенных дробно-рациональных функций

(1)
${{R}_{U}}: = \{ r \in C(Q)\,{\text{|}}\,rw = v,w > 0,(v,w) \in U\} .$

Теорема 1. Множество обобщенных дробно-рациональных функций ${{R}_{U}}$ является строгим протосолнцем в $C(Q)$.

Теорема 1 означает, что дроби наилучшего приближения из класса ${{R}_{U}}$ характеризуются в терминах критерия Колмогорова элемента наилучшего приближения, что позволяет строить алгоритмы нахождения наилучших дробей (см., например, [3, 5[).

Устойчивость элементов (почти) наилучшего приближения традиционно связана со свойствами аппроксимативной компактности множества или существования непрерывных ε-выборок. Пусть ε > 0, $M \subset X$. Отображение $\varphi :X \to M$ называется аддитивной (соответственно мультипликативной) ε-выборкой, если для всех $x \in X$ выполняется неравенство ${\text{||}}\varphi (x) - x{\text{||}} \leqslant \rho (x,M) + \varepsilon $ (соответственно ${\text{||}}\varphi (x) - x{\text{||}} \leqslant (1 + \varepsilon )\rho (x,M))$. Хорошо известно, что в невырожденных случаях (т.е. при $m \geqslant 1$) метрическая проекция на (чебышёвское) множество ${{R}_{{n,m}}}$ имеет точки разрыва в $C[a,b]$, но при этом, как, в частности, доказал С.В. Конягин [6], для любого ε > 0 на ${{R}_{{n,m}}}$ существует непрерывная ε-выборка. Следующий результат обобщает и расширяет результат С.В. Конягина (см. также К.С. Рютин [7, 8]).

Теорема 2. Множество обобщенных рациональных дробей ${{R}_{U}}$ (при выпуклом U; см. (1)) является устойчиво монотонно линейно связным множеством (см. [9]) в C(Q), и, следовательно, на это множество существует непрерывная аддитивная $\varepsilon $-выборка для любого ε > 0. В случае замкнутости ${{R}_{U}}$ для каждого ε > 0 существует непрерывная мультипликативная $\varepsilon $-выборка на ${{R}_{U}}$. Кроме того, ${{R}_{U}}$ имеет стягиваемые пересечения с замкнутыми и открытыми шарами в $C(Q)$.

Изучение вопросов существования наилучшего приближения обобщенными рациональными функциями было начато в работах Э. Чини, Х.Л. Лоеба, Г.Ш. Рубинштейна, Б. Бёма, Ч. Данхема и др. (см. [1, § 11.1]). В отличие от классического случая приближения классом ${{R}_{{n,m}}}$ в C[a, b], существование (и единственность) элементов обобщенного рационального приближения в пространстве непрерывных функций, вообще говоря, не имеет места.

Пусть Q – хаусдорфов компакт и пусть $U \subset V \times W$. Будем говорить, что множество ${{R}_{U}}$ := := $\{ r \in C(Q)\,{\text{|}}\,rw = v$, , $(v,w) \in U\} $ алгебраически полно, если условия: (a) $({{v}_{k}},{{w}_{k}}) \to (v,w)$ в $C(Q) \times C(Q)$, где $({{v}_{k}},{{w}_{k}}) \in U$, , и (b) существует функция $r \in C(Q)$ такая, что $r(t) = v(t){\text{/}}w(t)$ для всех $t \in Q{{\backslash Z}}(w)$, где ${\text{Z}}(w)$ – множество нулей функции w, эквиваленты тому, что $(v,w) \in U$.

Направленность (xδ) $\Delta $-сходится к $x \in C(Q)$ (${{x}_{\delta }}\mathop \to \limits^\Delta x$), если найдется плотное подмножество ${{Q}_{0}} \subset Q$: ${{x}_{\delta }}(t) \to x(t)$ $\forall t \in {{Q}_{0}}$ (см. [10]). Подмножество $M \subset C(Q)$ называется ограниченно $\Delta $-компактным, если любая ограниченная направленность из M содержит поднаправленность, $\Delta $-сходящуюся к точке из M (см. [1, 10]).

Пусть далее Q – компакт, $V,W \subset C(Q)$ – ограниченно компактные множества, и пусть $U\, \subset \,V\, \times \,W$ – непустое множество. Рассмотрим класс обобщенных дробно-рациональных функций

Теорема 3. Пусть множество ${{R}_{U}}$ алгебраически полно и для любой ненулевой функции из W дополнение ее множества нулей в Q всюду плотно. Тогда множество ${{R}_{U}}$ ограниченно $\Delta $-компактно в пространстве $C(Q)$ и, как следствие, является множеством существования в $C(Q)$.

Утверждение теоремы 3 также верно в пространстве ${{L}^{\infty }}(Q,\mu )$, где $\mu $$\sigma $-аддитивная борелевская мера на Q, где Q – единица $\sigma $-алгебры борелевских множеств.

Пусть D – компактная область в ${{R}^{n}}$, V, $W \subset C(D)$ – непустые ограниченно компактные множества, состоящие из вещественно-аналитических функций, и пусть $U \subset V \times W$ – непустое множество. Рассмотрим класс обобщенных дробно-рациональных функций ${{R}_{U}}(D)\,: = \,\{ r\, \in \,C(D)\,{\text{|}}\,rw\, = \,v$, , $(v,w) \in U\} $.

Следствие 1. Если множество ${{R}_{U}}(D)$ алгебраически полно, то оно ограниченно $\Delta $-компактно в пространстве $C(D)$. Как следствие, ${{R}_{U}}(D)$ является множеством существования в пространстве $C(D)$ и множество ${{P}_{{{{R}_{U}}}}}x$ $\Delta $-компактно для любого $x \in C(D)$.

Из теоремы 3 вытекает один из результатов Ф. Дойча [10], именно: множество $R_{V}^{W}$ := := $\{ r\, \in \,C[a,b]\,{\text{|}}\,rw\, = \,v$, $w \in W$, , $v \in V\} $ является множеством существования в $C[a,b],$ где $V,W$ – конечномерные подпространства пространства $C[a,b]$, состоящие из вещественно-аналитических функций.

Случай, рассмотренный в следствии 1, включает в себя случай многомерных алгебраических дробно-рациональных функций ${{R}_{U}}$ при условии их алгебраической полноты. Из теоремы 3 мы также получаем следующий классический результат (в котором проксиминальность множества ${{R}_{{n,m}}}$ доказана независимо Н.И. Ахиезером и Дж. Уолшем): множество дробно-рациональных функций ${{R}_{{n,m}}}$ ограниченно Δ-компактно в $C[a,b]$. В частности, ${{R}_{{n,m}}}$ – множество существования и множество ${{P}_{{{{R}_{{n,m}}}}}}x$ $\Delta $-компактно для любого $x \in C[a,b]$.

Рассмотрим вопрос существования наилучшего дробно-рационального приближения в Lp = = ${{L}^{p}}(\Omega ,\Sigma ,\mu )$, $1 \leqslant p < \infty $. Хорошо известно (см., например, [1, § 11.3], [2]), что множество ${{R}_{{n,m}}}$ аппроксимативно компактно в ${{L}^{p}}[a,b]$, $1 \leqslant p < \infty $, и, следовательно, является множеством существования. Пусть $\Sigma $$\sigma $-алгебра на $\Omega $, $\mu $$\sigma $-конечная мера на Σ. Будем говорить, что последовательность функций $({{x}_{n}})$ (где ${{x}_{n}}:\Omega \to R$) aes-сходится к функции $x:\Omega \to R$, если для любого множества $A \in \Sigma $, $\mu (A) < \infty $, найдется подпоследовательность номеров (nk) такая, что $({{x}_{{{{n}_{k}}}}})$ сходится почти всюду на A к функции x (здесь “aes” – сокращение от англ. “almost everywhere convergence of a subsequence”). Множество M aes-компактно, если из любой последовательности $({{x}_{n}}) \subset M$ можно выделить подпоследовательность, aes-сходящуюся к элементу $x \in M$. Множество M ограниченно aes-компактно, если пересечение M с любым замкнутым шаром aes-компактно.

Пусть $\mu $$\sigma $-конечная мера на пространстве $\Omega $, ${{L}^{p}} = {{L}^{p}}(\Omega ,\Sigma ,\mu )$, $1 \leqslant p < \infty $. Пусть $V \subset {{L}^{1}}$, $W \subset {{L}^{q}}$ – конечномерные подпространства ($1{\text{/}}p + 1{\text{/}}q = 1$, $1 < p$, $q < \infty $; если p = 1, то $q = \infty $), и пусть $U \subset V \times W$ – непустое множество. Будем говорить, что множество ${{R}_{U}}(\Omega ): = \{ r \in {{L}^{p}}\,{\text{|}}\,rw = v$, , $(v,w) \in U\} $ алгебраически полно, если условия: $({{v}_{k}},{{w}_{k}}) \to (v,w)$ в ${{L}^{1}} \times {{L}^{q}}$, где $({{v}_{k}},{{w}_{k}}) \in U$, , существует функция $r \in {{L}^{p}}$ такая, что r(t) = $v(t){\text{/}}w(t)$ для всех $t \in \Omega {{\backslash Z}}(w)$, где ${\text{Z}}(w)$ – множество нулей функции w, эквивалентны тому, что $(v,w) \in U\} $.

Теорема 4. Пусть множество ${{R}_{U}}(\Omega )$ алгебраически полно и для любой ненулевой функции из W множество ее нулей в $\Omega $ имеет меру нуль. Тогда множество ${{R}_{U}}(\Omega )$ ограниченно aes-компактно и аппроксимативно компактно в ${{L}^{p}}(\Omega )$ при любом $1 \leqslant p < \infty $. Как следствие, ${{R}_{U}}(\Omega )$множество существования.

Пусть D – ограниченная область в ${{R}^{n}}$, граница которой имеет нулевую меру Лебега, пусть $\mu $ – мера Лебега на D, ${{L}^{p}} = {{L}^{p}}(D,\mu )$, $1 \leqslant p < \infty $. Пусть $V \subset {{L}^{1}}$, $W \subset {{L}^{q}}$ – конечномерные подпространства, состоящие из вещественно-аналитических функций ($1{\text{/}}p + 1{\text{/}}q = 1$, $1 < p,$ $q < \infty $; если p = 1, то $q = \infty $), и пусть $U \subset V \times W$ – непустое множество. Рассмотрим класс обобщенных дробно-рациональных функций ${{R}_{U}}(D)\,: = \,\{ r\, \in \,{{L}^{p}}(D)\,{\text{|}}\,rw\, = \,v$, , $(v,w) \in U\} $.

Следствие 2. Пусть множество ${{R}_{U}}(D)$ алгебраически полно. Тогда ${{R}_{U}}(D)$ ограниченно aes-компактно. Как следствие, ${{R}_{U}}(D)$ аппроксимативно компактно и является множеством существования в ${{L}^{p}}(D)$ при любом $1 \leqslant p < \infty $.

Отметим, что если $D = [a,b] \subset R$, то класс рациональных функций ${{R}_{U}}(D)$ с $D = [a,b]$ совпадает с классом $R_{U}^{0}[a,b]\,: = \,\{ r\, \in \,C[a,b]\,{\text{|}}\,rw\, = \,v,$ $(v,w)\, \in \,U\} $. С учетом этого из следствия 2 вытекает следующий известный результат Ф. Дойча–Р. Э. Хаффа [10]): множество $R_{V}^{W}[a,b]$ аппроксимативно компактно в ${{L}^{p}}[a,b]$ при любом $1 \leqslant p < \infty $ и, как следствие, является множеством существования; здесь V, W – конечномерные подпространства пространства ${{L}^{p}}[a,b]$, состоящие из вещественно-аналитических функций.

Список литературы

  1. Alimov A.R., Tsar’kov I.G. Geometric Approximation Theory. Springer. Cham. 2021. 508 p.

  2. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Связность и солнечность в задачах наилучшего и почти наилучшего приближения. УМН. 2016. Т. 71. № 1 (427). С. 3–84. https://doi.org/10.4213/rm9698

  3. Бердышев В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения Екатеринбург: УрО РАН. 1999. 299 с.

  4. Peiris V., Sharon N., Sukhorukova N., Ugon J. Generalised rational approximation and its application to improve deep learning classifiers // Appl. Math. Comp. 2021. V. 389. P. 125560. https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125560

  5. Millán R.D., Sukhorukova N., Ugon J. An algorithm for best generalised rational approximation of continuous functions // Set-Valued and Variational Analysis. 2022. V. 30. P. 923–941. https://doi.org/10.1007/s11228-021-00625-w

  6. Конягин С.В. О непрерывных операторах обобщенного рационального приближения, Матем. заметки. 1988. Т. 44. № 3. С. 404.

  7. Рютин К.С. Аппроксимативные свойства обобщенных рациональных функций. Дисс. канд. физ.-матем. наук. М.: МГУ, 2002.

  8. Рютин К.С. О равномерно непрерывных операторах почти наилучшего обобщенного рационального приближения // Матем. заметки. 2010 Т. 87. № 1. С. 147–150. https://doi.org/10.4213/mzm345

  9. Царьков И.Г. Солнечность и связность множеств в пространстве C[a, b] и конечномерных полиэдральных пространствах. Матем. сб. 2022. Т. 213. № 2. С. 149–166.https://doi.org/10.4213/sm9554

  10. Deutsch F. Existence of best approximations // J. Approx. Theory. 1980. V. 28. P. 132–154. https://doi.org/10.1016/0021-9045(80)90085-4

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления