Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 16-19

§ 1. Банахово пространство E измеримых на [0, 1] функций называется перестановочно-инвариантным (кратко r.i.), или симметричным, если 1) из того, что x измерима, ${\text{|}}x(t){\text{|}} \leqslant {\text{|}}y(t){\text{|}}$ для всех $t \in [0,1]$ и $y \in E$, следует $x \in E$ и ${\text{||}}x{\text{|}}{{{\text{|}}}_{E}} \leqslant {\text{||}}y{\text{|}}{{{\text{|}}}_{E}}$; 2) из равноизмеримости функций x и y (это означает, что

для каждого $\tau > 0$, где mes – мера Лебега на $[0,1]$), и $y \in E$ следует, что $x \in E$ и ${\text{||}}x{\text{|}}{{{\text{|}}}_{E}} = {\text{||}}y{\text{|}}{{{\text{|}}}_{E}}$. В частности, всякая измеримая функция x равноизмерима со своей невозрастающей на (0, 1] перестановкой $x{\kern 1pt} {\text{*}}(t): = \inf \{ \tau \, \geqslant \,0{\kern 1pt} :\;{\text{mes}}\{ s{\kern 1pt} :\;{\text{|}}x(s){\text{|}}\, > \,\tau \} \leqslant t\} $, $0 < t \leqslant 1$. Теория r.i. пространств изложена в монографиях [1–3].

Самый известный пример r.i. пространств – пространства ${{L}^{p}}$, $1 \leqslant p \leqslant \infty $. Их естественным обобщением являются пространства Орлича [4, 5]. Пусть M – непрерывная выпуклая возрастающая функция на $[0,\infty )$, $M(0) = 0$. Пространство Орлича ${{L}_{M}}$ состоит из всех измеримых на [0, 1] функций, для которых конечна норма Люксембурга

Если $M(u) = {{u}^{p}}$, то ${{L}_{M}} = {{L}^{p}}$ изометрически. Пространство L_M сепарабельно тогда и только тогда, когда M удовлетворяет ${{\Delta }_{2}}$-условию в бесконечности ($M \in \Delta _{2}^{\infty }$), т.е. $M(2u) \leqslant CM(u)$ для некоторого C > 0 и всех достаточно больших u.

Для каждой функции Орлича M определим следующие непустые компактные подмножества пространства $C[0,1]$:

где convU – выпуклая оболочка множества U, а замыкание берется в $C[0,1]$, а также индексы Матушевской-Орлича в бесконечности:

Множество $C_{M}^{\infty }$ определяет структуру подпространств, порожденных последовательностями попарно дизъюнктных функций в пространстве L_M [6] (измеримые функции $x$ и $y$ дизъюнктны, если ${\text{mes}}(\{ t{\kern 1pt} :\;x(t) \ne 0\} \cap \{ t{\kern 1pt} :\;y(t) \ne 0\} )$ = 0). Легко проверить, что $1 \leqslant \alpha _{M}^{\infty } \leqslant \beta _{M}^{\infty } \leqslant \infty $.

Аналогично, если $\psi $ – функция Орлича, то пространство Орлича последовательностей ${{\ell }_{\psi }}$ состоит из всех последовательностей $({{a}_{k}})_{{k = 1}}^{\infty }$, для которых

Если $1 \leqslant p < \infty $, $\varphi $ – непрерывная возрастающая вогнутая на [0, 1] функция, $\varphi (0) = 0$, то пространство Лоренца ${{\Lambda }_{p}}(\varphi )$ состоит из всех измеримых на [0, 1] функций, для которых ${\text{||}}x{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\Lambda }_{p}}(\varphi )}}}$ := := ${{\left( {\int\limits_0^1 {x{\kern 1pt} {\text{*}}{{{(t)}}^{p}}{\kern 1pt} d\varphi (t)} } \right)}^{{1/p}}}$ < ∞.

Говорят, что (замкнутое линейное) подпространство H r.i. пространства X сильно вложено в X, если сходимость в X-норме и по мере на H эквивалентны. В частности, в силу неравенства Хинчина [7, глава V, теорема 8.4] функции Радемахера ${{r}_{k}}(t) = {\text{sign}}(\sin {{2}^{k}}\pi t)$, $k \in N$, $t \in [0,1]$, порождают сильно вложенное подпространство в L_p для каждого $1 \leqslant p < \infty .$

Множество $K \subset X$ имеет равностепенно непрерывные нормы в r.i. пространстве X, если $\mathop {\lim }\nolimits_{\delta \to 0} \mathop {\sup }\nolimits_{m(E) < \delta } \mathop {\sup }\nolimits_{x \in K} {\text{||}}x{{\chi }_{E}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{X}}$ = 0. Нетрудно показать, что подпространство H сильно вложено в X, если его единичный шар ${{B}_{H}}: = \{ x \in X{\kern 1pt} :\;{\text{||}}x{\text{|}}{{{\text{|}}}_{X}} \leqslant 1\} $ имеет равностепенно непрерывные нормы в X.

Введенные понятия тесно связаны со свойствами величины

где X – r.i. пространство, $K \subset X$, ${{\chi }_{E}}$ – характеристическая функция измеримого подмножества $E \subset [0,1]$. Величина ${{\eta }_{X}}(K)$ в явном виде была введена Е.В. Токаревым в [8], хотя в случае $E = {{L}_{1}}$ она возникла гораздо раньше в классической работе М.И. Кадеца и А. Пелчинского [9]. Позднее эта величина изучалась в работах [10] и [11].

Ясно, что всегда $0 \leqslant {{\eta }_{X}}(K) \leqslant 1$. Если H – подпространство r.i. пространства X и ${{\eta }_{X}}(H) < 1$, то H сильно вложено в X. Кроме того, ${{\eta }_{X}}(H) = 0$ тогда и только тогда, когда единичный шар ${{B}_{H}}$ имеет равностепенно непрерывные нормы в X.

Вслед за [11] назовем r.i. пространство X бинарным, если ${{\eta }_{X}}(H)$ принимает на его подпространствах H только два значения: 0 и 1. Как легко видеть, r.i. пространство $X$ бинарно, если единичный шар ${{B}_{H}}$ всякого сильно вложенного в X подпространства $H$ имеет равностепенно непрерывные нормы в X.

Согласно известной теореме Х.П. Розенталя [12, теорема 13] пространство ${{L}^{p}}$ бинарно, если $1 \leqslant p < 2$ (нетрудно показать, что последнее условие необходимо). В [11] (см. также [10]) этот результат (при таком же условии на p) был распространен на пространства Лоренца ${{\Lambda }_{p}}(\varphi )$.

Будучи тесно связанной со свойствами подпространств, величина ${{\eta }_{X}}(K)$ является важной геометрической характеристикой r.i. пространства X. Как выяснено в настоящей работе, вопрос о бинарности r.i. пространства X определяется структурой подпространств X, порождаемых последовательностями попарно дизъюнктных функций в нем. Если в пространствах Лоренца ${{\Lambda }_{p}}(\varphi )$ она достаточно проста (всякая такая нормированная последовательность содержит подпоследовательность, эквивалентную стандартному базису в l^p [13]), то в пространствах Орлича она гораздо сложнее. В работе получены необходимые и достаточные условия бинарности пространств Орлича.

§ 2. Всюду далее функция Орлича M удовлетворяет условию: $1 < \alpha _{M}^{\infty } \leqslant \beta _{M}^{\infty } < 2$.

В доказательстве следующего ключевого утверждения используются конструкции из работы [14].

Предложение 1. Если в пространстве Орлича ${{L}_{M}}$ существует сильно вложенное подпространство, единичный шар которого имеет не равностепенно непрерывные нормы в ${{L}_{M}}$, то для некоторой $\psi \in C_{M}^{\infty }$ выполнено: $1{\text{/}}{{\psi }^{{ - 1}}} \in {{L}_{M}}$.

Применяя предложение 1 вместе с результатами работ [6] и [15], получаем

Теорема 1. Предположим, что для всякой функции $\psi \in C_{M}^{\infty }$. Тогда, если H – подпространство ${{L}_{M}}$, то следующие условия эквивалентны:

(i) H не содержит бесконечномерных подпространств, изоморфных подпространствам, порожденным в ${{L}_{M}}$ попарно дизъюнктными функциями;

(ii) H сильно вложено в ${{L}_{M}}$;

(iii) единичный шар ${{B}_{H}}$ имеет равностепенно непрерывные нормы в ${{L}_{M}}$.

Следующее утверждение содержит легко проверяемые достаточные условия на функцию M, при которых для каждой $\psi \in C_{M}^{\infty }$.

Предложение 2. Пусть M – функция Орлича, $1 < \alpha _{M}^{\infty } \leqslant \beta _{M}^{\infty } < 2$. Предположим, что выполнено хотя бы одно из следующих условий:

(a) $M(uv) \leqslant {{C}_{1}}M(u)M(v)$ для некоторого ${{C}_{1}} > 0$ и всех $u,v \geqslant 1$;

(b) и для некоторого ${{C}_{2}} > 0$

Тогда для каждой функции $\psi \in C_{M}^{\infty }$.

Как следствие, получаем вариант упоминавшейся теоремы Х.П. Розенталя о структуре подпространств ${{L}^{p}}$-пространств для пространств Орлича: если функция Орлича M удовлетворяет хотя бы одному из условий (a) или (b) предложения 2 и H – подпространство пространства Орлича L_M, то условия (i), (ii) и (iii) эквивалентны. Таким образом (см. § 1), в этом случае пространство L_M бинарно.

Напомним, что функция Орлича M, $M \in \Delta _{2}^{\infty }$, называется правильно меняющейся на бесконечности порядка p, если ${{\lim }_{{t \to \infty }}}M(tu){\text{/}}M(t)$ = u^p. Примером является функция M(u) = = ${{u}^{p}}{{(\ln u)}^{{{{q}_{1}}}}}{{(\ln \,\ln \,u)}^{{{{q}_{2}}}}} \ldots {{(\ln \ldots \ln \,u)}^{{{{q}_{n}}}}},$ где $p \in (1,\infty )$, а вещественные числа ${{q}_{1}}, \ldots ,{{q}_{n}}$ произвольны. Если M – правильно меняющаяся на бесконечности функция порядка p, то $C_{M}^{\infty } = \{ {{t}^{p}}\} $. Поэтому в силу предложения 2 построенное по такой функции пространство Орлича L_M бинарно.

В следующей теореме приведено необходимое условие бинарности пространства Орлича, которое зачастую также и достаточно.

Теорема 2. Если пространство Орлича ${{L}_{M}}$ бинарно, то . Если дополнительно выполнено (1), то верно также обратное: из того, что , вытекает бинарность L_M.

Для подпространств, изоморфных пространствам Орлича последовательностей, получен более точный результат.

Теорема 3. Для того, чтобы единичный шар ${{B}_{H}}$ произвольного сильно вложенного подпространства H пространства Орлича L_M, изоморфного некоторому пространству Орлича последовательностей, имел в L_M равностепенно непрерывные нормы, необходимо и достаточно, чтобы .