Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 20-24
ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЗВОНКИНА К СТАЦИОНАРНЫМ УРАВНЕНИЯМ КОЛМОГОРОВА
В. И. Богачев 1, 2, 3, *, М. Рёкнер 4, С. В. Шапошников 1, 2, **
1 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия
2 Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Москва, Россия
3 Православный Свято-Тихоновский гуманитарный университет
Москва, Россия
4 Университет Билефельда
Билефельд, Германия
* E-mail: vibogach@mail.ru
** E-mail: starticle@mail.ru
Поступила в редакцию 31.05.2022
После доработки 19.06.2022
Принята к публикации 15.07.2022
- EDN: FCJWRS
- DOI: 10.31857/S2686954322050046
Аннотация
В заметке развивается новая аналитическая версия преобразования Звонкина коэффициента сноса стационарного уравнения Колмогорова и это преобразование применяется к выводу неравенства Харнака для неотрицательных решений в случае, когда матрица диффузии не является локально соболевской. Получено также обобщение известной теоремы Хасьминского о существовании вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова.
В заметке развивается новая аналитическая версия преобразования Звонкина [1] коэффициента сноса стационарного уравнения Колмогорова на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ и это преобразование применяется к выводу неравенства Харнака для неотрицательных решений при условии, что матрица диффузии A невырождена и удовлетворяет условию Дини средней осцилляции, а коэффициент сноса b локально интегрируем в некоторой степени $p > d$. Получено также обобщение известной теоремы Хасьминского о существовании вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова на случай, когда матрица A удовлетворяет условию Дини или принадлежит классу VMO.
Рассмотрим стационарное уравнение Колмогорова
(1)
${{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\partial }_{{{{x}_{j}}}}}({{a}^{{ij}}}\varrho ) - {{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}({{b}^{i}}\varrho ) = 0$Тогда уравнение (1) можно записать в более коротком виде $L{\kern 1pt} {\text{*}}\varrho = 0$. Функция $\rho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ называется решением уравнения (1), если
и для каждой функции $\varphi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ выполнено равенствоНеотрицательное решение $\varrho $ уравнения Колмогорова (1) с единичным интегралом называется вероятностным решением. Уравнения типа (1) называют также уравнениями двойного дивергентного вида.
Важным стимулом для изучения таких уравнений является то, что они выполнены для инвариантных мер диффузионных процессов.
В случае локально липшицевых коэффициентов существование вероятностного решения дается классической теоремой Хасьминского [2] при условии существования функции Ляпунова. Эта теорема был обобщена в [3–5], где либо коэффициент диффузии невырожден и является локально соболевским с порядком интегрируемости выше размерности вместе с такой же локальной интегрируемостью коэффициента сноса, либо коэффициенты диффузии и сноса непрерывны. Согласно [6], в первом случае решение является локально соболевским и его непрерывная версия локально отделена от нуля. В работах [7] и [8] было доказано, что в случае, когда матрица $A = ({{a}^{{ij}}})$ невырождена и удовлетворяет условию Дини и коэффициенты ${{b}^{i}}$ ограничены, решение имеет непрерывную версию, а если коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ гёльдеровы, то решение имеет гёльдерову версию. Эти результаты были обобщены в [9] на случай локально интегрируемых ${{b}^{i}}$. Аналогичные результаты были получены в [10] и [11] при предположении, что A удовлетворяет условию Дини средней осцилляции (см. определение ниже), которое слабее, чем классическое условие Дини. Напомним, что отображение удовлетворяет условию Дини, если для его модуля непрерывности $\omega $ имеем
Некоторые интересные контрпримеры были построены в [12] и [13], в частности, пример положительно определенной и непрерывной матрицы диффузии A, для которой уравнение ${{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\partial }_{{{{x}_{j}}}}}({{a}^{{ij}}}\varrho )$ = 0 имеет локально неограниченное решение. Неравенство Харнака для уравнений двойного дивергентного вида с матрицей A, принадлежащей классу Соболева с достаточно высоким порядком интегрируемости, является следствием неравенства Харнака для эллиптических уравнений дивергентного вида (см. [4, гл. 3]). В том случае, когда матрица A удовлетворяет условию Дини, неравенство Харнака было получено в [14] для $b = 0$; для ограниченного сноса b оно было установлено в [9], причем доказательство существенно использовало ограниченность b. Другой способ доказательства неравенства Харнака для $b = 0$ был предложен в [11]. В работах [6] и [9] (см. также [4, гл. 1]) интегрируемость решений исследовалась без условия Дини. В частности, было показано, что если $A \in VMO$ и коэффициент b локально интегрируем в некоторой степени $p > d$, то решение принадлежит всем $L_{{{\text{loc}}}}^{p}(\Omega )$.
Наша работа содержит следующие новые результаты: (i) неравенство Харнака для неотрицательных решений, если матрица A невырождена и удовлетворяет условию Дини средней осцилляции, а коэффициент $b$ локально интегрируем в некоторой степени $p > d$, (ii) достаточные условия для локальной экспоненциальной интегрируемости $\varrho $, (iii) обобщение теоремы Хасьминского о существовании вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова на случай, когда матрица A удовлетворяет условию Дини, а снос не является локально ограниченным.
Эти результаты основаны на новом результате о преобразованиях типа Звонкина. Так называемое преобразование Звонкина, введенное в [1], является эффективным методом в теории диффузионных процессов для сглаживания коэффициента сноса. Мы применяем преобразование Звонкина не к диффузионным процессам, а к решениям уравнения Колмогорова, более того, мы не предполагаем какой-либо связи решений с диффузионными процессами. Нами показано, что с помощью подходящей замены координат интегрируемый снос может быть преобразован в непрерывно дифференцируемый снос, для которого новая матрица диффузии позволяет применять известные результаты о регулярности решений.
Будем предполагать, что выполнены следующие условия.
Для удобства считаем, что коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ определены на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ и для некоторого числа $\nu > 0$ и всех $x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$ выполнены следующие неравенства:
Кроме того, коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ принадлежат классу $VMO$, т.е. существует такая непрерывная возрастающая функция $\omega $ на $[0, + \infty )$, что $\omega (0) = 0$ и
Теперь построим преобразование Звонкина $\Phi $.
Пусть $B({{x}_{0}},4R) \subset \Omega $ и $\beta (x) = b(x)$, если $x \in B({{x}_{0}}$, 4R), $\beta (x) = 0$, если $x \notin B({{x}_{0}},4R)$. Тогда $\beta \in {{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{d}})$ и ${\text{||}}\beta {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{d}})}}} = {\text{||}}b{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{p}}(B({{x}_{0}},4R))}}}.$ Пусть $1 \leqslant k \leqslant d$. Рассмотрим на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ эллиптическое уравнение
(2)
${\text{tr}}(A{{D}^{2}}u) + \langle \beta ,\nabla u\rangle - \lambda u = - {{\beta }^{k}},\quad \lambda > 0.$Можно показать, что для каждого $\delta > 0$ существует такое λ > 0, что для всякого $k \leqslant d$ уравнение (2) имеет решение ${{u}_{k}} \in {{C}^{1}}({{\mathbb{R}}^{d}}) \cap {{W}^{{p,2}}}({{\mathbb{R}}^{d}})$, для которого
Положим
Предложение 1. (i) Отображение $\Phi $ является диффеоморфизмом ${{\mathbb{R}}^{d}}$ класса ${{C}^{1}}$, более того, функции ${{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\Phi }^{k}}$ локально гёльдеровы. (ii) Верны неравенства
Напомним, что $B({{x}_{0}},4R) \subset \Omega $. Пусть $\Psi = {{\Phi }^{{ - 1}}}$ и ${{y}_{0}} = \Phi ({{x}_{0}})$. Рассмотрим шар $B({{y}_{0}},2R)$. Согласно неравенствам в (ii) выше, имеем
Предложение 2. Пусть $\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ – решение уравнения (1). Тогда функция
на $B({{y}_{0}},2R)$ удовлетворяет уравнению $\mathcal{L}{\kern 1pt} {\text{*}}\sigma = 0$, гдеЗаметим, что векторное поле $h(y) = \lambda u(\Psi (y))$ непрерывно дифференцируемо на шаре $B({{y}_{0}},2R)$. Кроме того, производная $\Phi $ также удовлетворяет условию Гёльдера. Следовательно, функция $\sigma $ на $B({{y}_{0}},2R)$ удовлетворяет уравнению $\mathcal{L}{\kern 1pt} {\text{*}}\sigma = 0$, в котором коэффициенты ${{q}^{{mk}}}$ при производных второго порядка образуют невырожденную матрицу и принадлежат классу VMO, а коэффициенты hk непрерывны на $B({{y}_{0}},2R)$. Это позволяет применить результаты работ [7–9, 11] к функции $\sigma $ и затем перенести их на $\rho $. Приведем пример, демонстрирующий простой вывод известного результата [9, теорема 3.1]) из случая хорошего сноса.
Пример 1. Если выполнены условия $({{H}_{a}})$ и $({{H}_{b}})$ и матрица A удовлетворяет условию Дини, то всякое решение $\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ уравнения (1) имеет непрерывную версию.
Доказательство. Проверим существование непрерывной версии функции $\varrho $ на шаре B(x0, $R{\text{/}}2)\, \subset \,B({{x}_{0}}$, $4R)\, \subset \,\Omega $. Пусть $\Phi $ – диффеоморфизм, построенный выше. В силу предложения 2 функция $\sigma (y) = \varrho (\Psi (y)){\text{|}}\det \Psi {\kern 1pt} '(y){\text{|}}$ удовлетворяет на $B({{y}_{0}}$, 2R) уравнению с некоторыми коэффициентами, для которых выполнены предположения из [8, теорема 1], т.е. матрица $({{q}^{{mk}}})$ невырождена и функции ${{q}^{{mk}}}$, hk удовлетворяют условию Дини. Значит, $\sigma $ имеет непрерывную версию на $B({{y}_{0}},R)$. Поскольку $\Phi $ – диффеоморфизм класса C1, отображения $\Phi $ и $\Psi $ переводят множества меры нуль в множества меры нуль и модификация функции $\sigma $ на множестве меры нуль приводит к изменению функции $\rho $ на множестве меры нуль. Следовательно, функция $\rho $ имеет непрерывную версию на $B({{x}_{0}},R{\text{/}}2)$.
Теперь приведем наши новые результаты о решениях стационарных уравнений Колмогорова, полученные с помощью преобразования Звонкина, построенного выше.
Следуя [10] и [11], будет говорить, что измеримая функция f на $\Omega $ удовлетворяет условию Дини средней осцилляции, если
гдеКлассическое условие Дини влечет условие Дини средней осцилляции.
Следующее утверждение обобщает неравенство Харнака на случай, когда матрица диффузии удовлетворяет условию Дини средней осцилляции и коэффициент сноса локально неограничен (а лишь интегрируем в некоторой степени выше размерности). В известных результатах коэффициент сноса либо равен нулю, либо локально ограничен.
Теорема 1. Предположим, что выполнено условие $({{H}_{a}})$, на каждом шаре матрица A удовлетворяет условию Дини средней осцилляции с некоторой функцией $\omega $, ${{b}^{i}} \in L_{{loc}}^{{d + }}(\Omega )$. Предположим также, что $\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ – решение уравнения (1). Тогда функция $\varrho $ имеет непрерывную версию. Более того, если $\varrho \geqslant 0$, то непрерывная версия функции $\varrho $ удовлетворяет неравенству Харнака: для каждого шара $B({{x}_{0}},R{\text{/}}2) \subset B({{x}_{0}},4R) \subset \Omega $ существует такое число C, что
Согласно [9, теорема 2.1], если ${{a}^{{ij}}}$ и ${{b}^{i}}$ удовлетворяют условиям $({{H}_{a}})$ и $({{H}_{b}})$, причем ${{a}^{{ij}}} \in VMO$, то всякое решение $\rho \in L_{{loc}}^{1}(\Omega )$ локально интегрируемо во всякой степени $p \geqslant 1$. Если функции ${{a}^{{ij}}}$ удовлетворяют условию Дини средней осцилляции, то решение локально ограничено и даже непрерывно. Рассмотрим промежуточный случай, когда A лежит в более узком классе, чем VMO, но не удовлетворяют условию Дини. Предположим, что aij и ${{b}^{i}}$ удовлетворяют условиям $({{H}_{a}})$ и $({{H}_{b}})$ и
где $\omega $ – возрастающая непрерывная функция на $[0, + \infty )$ с $\omega (0) = 0$. Предположим также, что для некоторого ${{C}_{\omega }} > 0$ и всех $t \geqslant 0$ мы имеемНапример, подходит функция $\omega (t) = {\text{|}}\ln t{{{\text{|}}}^{{ - 1}}}$ около нуля, для которой условие Дини не выполнено.
Теорема 2. Пусть $\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ удовлетворяет уравнению (1). Тогда для всякого замкнутого шара $B \subset \Omega $ верны следующие утверждения.
(i) Если $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0 + } \omega (t){\text{|}}\ln t{\text{|}} = 0$, то
(ii) Если функция $\omega (t){\text{|}}\ln t{\text{|}}$ ограничена на (0, 1], то существуют такие числа ${{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}} > 0$, что
(iii) Если для некоторого $\beta \in (0,1)$ функция $\omega (t){\text{|}}\ln t{{{\text{|}}}^{\beta }}$ ограничена на (0, 1], то для некоторого $\gamma > 0$ имеем
Следующая теорема обобщает утверждение (i) теоремы 2.4.1 в книге [4] на случай, когда коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ удовлетворяют условию Дини средней осцилляции. В цитированной теореме предполагалось, что функции ${{a}^{{ij}}}$ принадлежат локально к классу Соболева ${{W}^{{p,1}}}$ с некоторым $p > d$.
Теорема 3. Предположим, что коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ и ${{b}^{i}}$ определены на ${{\mathbb{R}}^{d}}$, ${{b}^{i}} \in L_{{{\text{loc}}}}^{{d + }}$, причем для каждого шара B найдутся такие число ${{\nu }_{B}} > 0$ и непрерывная неотрицательная возрастающая функция ${{w}_{B}}$ на [0, 1], что ${{w}_{B}}(0) = 0$, функция ${{w}_{B}}(t){\text{/}}t$ интегрируема на [0, 1], ${{\nu }_{B}} \cdot I \leqslant A(x) \leqslant \nu _{B}^{{ - 1}} \cdot I$ для всех x, а также для всех $r \in (0,1]$ имеем
Тогда существует непрерывное положительное решение $\rho $ уравнения (1) на ${{\mathbb{R}}^{d}}$.
Этот результат дает следующее обобщение теоремы Хасьминского.
Следствие 1. Если в дополнение к предположениям теоремы 3 имеются функция V класса $W_{{{\text{loc}}}}^{{d,2}}({{\mathbb{R}}^{d}})$ и числа $C > 0$ и $R > 0$, для которых
Список литературы
Звонкин A.K. // Матем. сб. 1974. Т. 93. № 1. С. 129–149.
Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М., Наука, 1969.
Богачев В.И., Рёкнер М. // Теория вероятн. и ее примен. 2000. V. 45. № 3. С. 417–436.
Bogachev V.I., Krylov N.V., Röckner M., Shaposhnikov S.V. Fokker–Planck–Kolmogorov equations. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2015.
Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников С.В. // Докл. АН. 2012. Т. 444. № 3. С. 245–249.
Bogachev V.I., Krylov N.V., Röckner M. // Commun. Partial Differ. Equ. 2001. V. 26. № 11–12. P. 2037–2080.
Sjögren P. // Ark. Mat. 1973. V. 11. P. 153–165.
Sjögren P. // Ann. Inst. Фypьe. 1975. V. 25. № 3–4. P. 509–518.
Bogachev V.I., Shaposhnikov S.V. // Annali di Matematica. 2017. V. 196. P. 1609–1635.
Dong H., Kim S. // Comm. Partial Differ. Equ. 2017. V. 42. № 3. P. 417–435.
Dong H., Escauriaza L., Kim S. // Math. Ann. 2018. B. 370. S. 447–489.
Bauman P. // Ark. Mat. 1984. V. 22. P. 153–173.
Bauman P. // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. V. 91. P. 64–68.
Мамедов Ф.И. // Сиб. матем. ж. 1992. Т. 33. № 5. С. 100–106.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления