Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 20-24

ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЗВОНКИНА К СТАЦИОНАРНЫМ УРАВНЕНИЯМ КОЛМОГОРОВА

В. И. Богачев 123*, М. Рёкнер 4, С. В. Шапошников 12**

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

2 Национальный исследовательский университет Высшая школа экономики
Москва, Россия

3 Православный Свято-Тихоновский гуманитарный университет
Москва, Россия

4 Университет Билефельда
Билефельд, Германия

* E-mail: vibogach@mail.ru
** E-mail: starticle@mail.ru

Поступила в редакцию 31.05.2022
После доработки 19.06.2022
Принята к публикации 15.07.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

В заметке развивается новая аналитическая версия преобразования Звонкина коэффициента сноса стационарного уравнения Колмогорова и это преобразование применяется к выводу неравенства Харнака для неотрицательных решений в случае, когда матрица диффузии не является локально соболевской. Получено также обобщение известной теоремы Хасьминского о существовании вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова.

Ключевые слова: стационарное уравнение Колмогорова, условие Дини, класс VMO, преобразование Звонкина

В заметке развивается новая аналитическая версия преобразования Звонкина [1] коэффициента сноса стационарного уравнения Колмогорова на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ и это преобразование применяется к выводу неравенства Харнака для неотрицательных решений при условии, что матрица диффузии A невырождена и удовлетворяет условию Дини средней осцилляции, а коэффициент сноса b локально интегрируем в некоторой степени $p > d$. Получено также обобщение известной теоремы Хасьминского о существовании вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова на случай, когда матрица A удовлетворяет условию Дини или принадлежит классу VMO.

Рассмотрим стационарное уравнение Колмогорова

(1)
${{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\partial }_{{{{x}_{j}}}}}({{a}^{{ij}}}\varrho ) - {{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}({{b}^{i}}\varrho ) = 0$
на открытом множестве $\Omega \subset {{\mathbb{R}}^{d}}$, где коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ и ${{b}^{i}}$ – борелевские функции, а матрица $A = ({{a}^{{ij}}})$ симметрична и положительно определена. Пусть

$\begin{gathered} L\varphi = {{a}^{{ij}}}{{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\partial }_{{{{x}_{j}}}}}\varphi + {{b}^{i}}{{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}\varphi , \\ L{\kern 1pt} {\text{*}}\varphi = {{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\partial }_{{{{x}_{j}}}}}({{a}^{{ij}}}\varphi ) - {{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}({{b}^{i}}\varphi ). \\ \end{gathered} $

Тогда уравнение (1) можно записать в более коротком виде $L{\kern 1pt} {\text{*}}\varrho = 0$. Функция $\rho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ называется решением уравнения (1), если

${{a}^{{ij}}}\varrho ,\quad {{b}^{i}}\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$
и для каждой функции $\varphi \in C_{0}^{\infty }(\Omega )$ выполнено равенство

$\int\limits_\Omega {L\varphi (x)\varrho (x){\kern 1pt} dx} = 0.$

Неотрицательное решение $\varrho $ уравнения Колмогорова (1) с единичным интегралом называется вероятностным решением. Уравнения типа (1) называют также уравнениями двойного дивергентного вида.

Важным стимулом для изучения таких уравнений является то, что они выполнены для инвариантных мер диффузионных процессов.

В случае локально липшицевых коэффициентов существование вероятностного решения дается классической теоремой Хасьминского [2] при условии существования функции Ляпунова. Эта теорема был обобщена в [35], где либо коэффициент диффузии невырожден и является локально соболевским с порядком интегрируемости выше размерности вместе с такой же локальной интегрируемостью коэффициента сноса, либо коэффициенты диффузии и сноса непрерывны. Согласно [6], в первом случае решение является локально соболевским и его непрерывная версия локально отделена от нуля. В работах [7] и [8] было доказано, что в случае, когда матрица $A = ({{a}^{{ij}}})$ невырождена и удовлетворяет условию Дини и коэффициенты ${{b}^{i}}$ ограничены, решение имеет непрерывную версию, а если коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ гёльдеровы, то решение имеет гёльдерову версию. Эти результаты были обобщены в [9] на случай локально интегрируемых ${{b}^{i}}$. Аналогичные результаты были получены в [10] и [11] при предположении, что A удовлетворяет условию Дини средней осцилляции (см. определение ниже), которое слабее, чем классическое условие Дини. Напомним, что отображение удовлетворяет условию Дини, если для его модуля непрерывности $\omega $ имеем

$\int\limits_0^1 {\frac{{\omega (t)}}{t}} \,dt < \infty .$

Некоторые интересные контрпримеры были построены в [12] и [13], в частности, пример положительно определенной и непрерывной матрицы диффузии A, для которой уравнение ${{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\partial }_{{{{x}_{j}}}}}({{a}^{{ij}}}\varrho )$ = 0 имеет локально неограниченное решение. Неравенство Харнака для уравнений двойного дивергентного вида с матрицей A, принадлежащей классу Соболева с достаточно высоким порядком интегрируемости, является следствием неравенства Харнака для эллиптических уравнений дивергентного вида (см. [4, гл. 3]). В том случае, когда матрица A удовлетворяет условию Дини, неравенство Харнака было получено в [14] для $b = 0$; для ограниченного сноса b оно было установлено в [9], причем доказательство существенно использовало ограниченность b. Другой способ доказательства неравенства Харнака для $b = 0$ был предложен в [11]. В работах [6] и [9] (см. также [4, гл. 1]) интегрируемость решений исследовалась без условия Дини. В частности, было показано, что если $A \in VMO$ и коэффициент b локально интегрируем в некоторой степени $p > d$, то решение принадлежит всем $L_{{{\text{loc}}}}^{p}(\Omega )$.

Наша работа содержит следующие новые результаты: (i) неравенство Харнака для неотрицательных решений, если матрица A невырождена и удовлетворяет условию Дини средней осцилляции, а коэффициент $b$ локально интегрируем в некоторой степени $p > d$, (ii) достаточные условия для локальной экспоненциальной интегрируемости $\varrho $, (iii) обобщение теоремы Хасьминского о существовании вероятностного решения стационарного уравнения Колмогорова на случай, когда матрица A удовлетворяет условию Дини, а снос не является локально ограниченным.

Эти результаты основаны на новом результате о преобразованиях типа Звонкина. Так называемое преобразование Звонкина, введенное в [1], является эффективным методом в теории диффузионных процессов для сглаживания коэффициента сноса. Мы применяем преобразование Звонкина не к диффузионным процессам, а к решениям уравнения Колмогорова, более того, мы не предполагаем какой-либо связи решений с диффузионными процессами. Нами показано, что с помощью подходящей замены координат интегрируемый снос может быть преобразован в непрерывно дифференцируемый снос, для которого новая матрица диффузии позволяет применять известные результаты о регулярности решений.

Будем предполагать, что выполнены следующие условия.

Для удобства считаем, что коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ определены на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ и для некоторого числа $\nu > 0$ и всех $x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$ выполнены следующие неравенства:

$\nu \cdot {\text{I}} \leqslant A(x) \leqslant {{\nu }^{{ - 1}}} \cdot {\text{I}}.$      (Ha)

Кроме того, коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ принадлежат классу $VMO$, т.е. существует такая непрерывная возрастающая функция $\omega $ на $[0, + \infty )$, что $\omega (0) = 0$ и

$\mathop {\sup }\limits_{z \in {{\mathbb{R}}^{d}}} \,{{r}^{{ - 2d}}}\int\limits_{B(z,r)} {\int\limits_{B(z,r)} {{\text{|}}{{a}^{{ij}}}(x) - {{a}^{{ij}}}(y){\text{|}}{\kern 1pt} dxdy} } \leqslant \omega (r),\quad r > 0,$
где $B(z,r)$ – шар радиуса r с центром z,
$b \in L_{{{\text{loc}}}}^{{d + }}(\Omega ),$         (Hb)
что означает, что для каждого шара $B \subset \Omega $ найдется такое число $p = p(B) > d$, что ограничение ${\text{|}}b{\text{|}}$ на $B$ входит в ${{L}^{p}}(B)$.

Теперь построим преобразование Звонкина $\Phi $.

Пусть $B({{x}_{0}},4R) \subset \Omega $ и $\beta (x) = b(x)$, если $x \in B({{x}_{0}}$, 4R), $\beta (x) = 0$, если $x \notin B({{x}_{0}},4R)$. Тогда $\beta \in {{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{d}})$ и ${\text{||}}\beta {\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{d}})}}} = {\text{||}}b{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{p}}(B({{x}_{0}},4R))}}}.$ Пусть $1 \leqslant k \leqslant d$. Рассмотрим на ${{\mathbb{R}}^{d}}$ эллиптическое уравнение

(2)
${\text{tr}}(A{{D}^{2}}u) + \langle \beta ,\nabla u\rangle - \lambda u = - {{\beta }^{k}},\quad \lambda > 0.$

Можно показать, что для каждого $\delta > 0$ существует такое λ > 0, что для всякого $k \leqslant d$ уравнение (2) имеет решение ${{u}_{k}} \in {{C}^{1}}({{\mathbb{R}}^{d}}) \cap {{W}^{{p,2}}}({{\mathbb{R}}^{d}})$, для которого

$\mathop {\sup }\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^{d}}} {\text{|}}\nabla {{u}_{k}}(x){\text{|}} \leqslant \delta ,\quad {\text{||}}{{u}_{k}}{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{W}^{{2,p}}}({{\mathbb{R}}^{d}})}}} \leqslant M,$
где постоянная M зависит только от d, $\nu $, $\omega $ и ${\text{||}}b{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{p}}(B({{x}_{0}},4R))}}}$. Пусть $u = ({{u}^{1}}, \ldots ,{{u}^{d}})$ с упомянутыми выше решениями uk уравнения (2). Ниже $u{\kern 1pt} '$ и $\Phi {\kern 1pt} '$ обозначают матрицы Якоби отображений $u$ и $\Phi $. Возьмем достаточно малое $\delta $ так, что для всех $x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$

${\text{||}}u(x){\text{||}} \leqslant \frac{1}{2},\quad \frac{1}{2} \leqslant \det (I + u{\kern 1pt} '(x)) \leqslant 2.$

Положим

$\Phi (x) = x + u(x).$

Предложение 1. (i) Отображение $\Phi $ является диффеоморфизмом ${{\mathbb{R}}^{d}}$ класса ${{C}^{1}}$, более того, функции ${{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\Phi }^{k}}$ локально гёльдеровы. (ii) Верны неравенства

$\frac{1}{2}{\text{||}}x - y{\text{||}} \leqslant {\text{||}}\Phi (x) - \Phi (y){\text{||}} \leqslant 2{\text{||}}x - y{\text{||}}.$

Напомним, что $B({{x}_{0}},4R) \subset \Omega $. Пусть $\Psi = {{\Phi }^{{ - 1}}}$ и ${{y}_{0}} = \Phi ({{x}_{0}})$. Рассмотрим шар $B({{y}_{0}},2R)$. Согласно неравенствам в (ii) выше, имеем

$B({{x}_{0}},R) \subset \Psi (B({{y}_{0}},2R)) \subset B({{x}_{0}},4R).$

Предложение 2. Пусть $\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ – решение уравнения (1). Тогда функция

$\sigma (y) = {\text{|}}\det \Psi {\kern 1pt} '(y){\text{|}}\varrho (\Psi (y))$
на $B({{y}_{0}},2R)$ удовлетворяет уравнению $\mathcal{L}{\kern 1pt} {\text{*}}\sigma = 0$, где
$\mathcal{L}f(y) = {{q}^{{km}}}(y){{\partial }_{{{{y}_{k}}}}}{{\partial }_{{{{y}_{m}}}}}f(y) + {{h}^{k}}(y){{\partial }_{{{{y}_{k}}}}}f(y)$
и коэффициенты имеют вид

$\begin{gathered} {{q}^{{km}}}(y) = {{a}^{{ij}}}(\Psi (y)){{\partial }_{{{{x}_{i}}}}}{{\Phi }^{k}}(\Psi (y)){{\partial }_{{{{x}_{j}}}}}{{\Phi }^{m}}(\Psi (y)), \\ {{h}^{k}}(y) = \lambda {{u}^{k}}(\Psi (y)). \\ \end{gathered} $

Заметим, что векторное поле $h(y) = \lambda u(\Psi (y))$ непрерывно дифференцируемо на шаре $B({{y}_{0}},2R)$. Кроме того, производная $\Phi $ также удовлетворяет условию Гёльдера. Следовательно, функция $\sigma $ на $B({{y}_{0}},2R)$ удовлетворяет уравнению $\mathcal{L}{\kern 1pt} {\text{*}}\sigma = 0$, в котором коэффициенты ${{q}^{{mk}}}$ при производных второго порядка образуют невырожденную матрицу и принадлежат классу VMO, а коэффициенты hk непрерывны на $B({{y}_{0}},2R)$. Это позволяет применить результаты работ [79, 11] к функции $\sigma $ и затем перенести их на $\rho $. Приведем пример, демонстрирующий простой вывод известного результата [9, теорема 3.1]) из случая хорошего сноса.

Пример 1. Если выполнены условия $({{H}_{a}})$ и $({{H}_{b}})$ и матрица A удовлетворяет условию Дини, то всякое решение $\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ уравнения (1) имеет непрерывную версию.

Доказательство. Проверим существование непрерывной версии функции $\varrho $ на шаре B(x0, $R{\text{/}}2)\, \subset \,B({{x}_{0}}$, $4R)\, \subset \,\Omega $. Пусть $\Phi $ – диффеоморфизм, построенный выше. В силу предложения 2 функция $\sigma (y) = \varrho (\Psi (y)){\text{|}}\det \Psi {\kern 1pt} '(y){\text{|}}$ удовлетворяет на $B({{y}_{0}}$, 2R) уравнению с некоторыми коэффициентами, для которых выполнены предположения из [8, теорема 1], т.е. матрица $({{q}^{{mk}}})$ невырождена и функции ${{q}^{{mk}}}$, hk удовлетворяют условию Дини. Значит, $\sigma $ имеет непрерывную версию на $B({{y}_{0}},R)$. Поскольку $\Phi $ – диффеоморфизм класса C1, отображения $\Phi $ и $\Psi $ переводят множества меры нуль в множества меры нуль и модификация функции $\sigma $ на множестве меры нуль приводит к изменению функции $\rho $ на множестве меры нуль. Следовательно, функция $\rho $ имеет непрерывную версию на $B({{x}_{0}},R{\text{/}}2)$.

Теперь приведем наши новые результаты о решениях стационарных уравнений Колмогорова, полученные с помощью преобразования Звонкина, построенного выше.

Следуя [10] и [11], будет говорить, что измеримая функция f на $\Omega $ удовлетворяет условию Дини средней осцилляции, если

$\int\limits_0^1 {\frac{{w(r)}}{r}{\kern 1pt} dr} < \infty ,$
где

$w(r) = \mathop {\sup }\limits_{x \in \Omega } \frac{1}{{{\text{|}}\Omega (x,r){\text{|}}}}\int\limits_{\Omega (x,r)} {{\text{|}}f(y) - {{f}_{\Omega }}(x,r){\text{|}}dy} ,$
$\begin{gathered} {{f}_{\Omega }}(x,r) = \frac{1}{{{\text{|}}\Omega (x,r){\text{|}}}}\int\limits_{\Omega (x,r)} {f(y){\kern 1pt} dy} , \\ \Omega (x,r) = \Omega \cap B(x,r). \\ \end{gathered} $

Классическое условие Дини влечет условие Дини средней осцилляции.

Следующее утверждение обобщает неравенство Харнака на случай, когда матрица диффузии удовлетворяет условию Дини средней осцилляции и коэффициент сноса локально неограничен (а лишь интегрируем в некоторой степени выше размерности). В известных результатах коэффициент сноса либо равен нулю, либо локально ограничен.

Теорема 1. Предположим, что выполнено условие $({{H}_{a}})$, на каждом шаре матрица A удовлетворяет условию Дини средней осцилляции с некоторой функцией $\omega $, ${{b}^{i}} \in L_{{loc}}^{{d + }}(\Omega )$. Предположим также, что $\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$решение уравнения (1). Тогда функция $\varrho $ имеет непрерывную версию. Более того, если $\varrho \geqslant 0$, то непрерывная версия функции $\varrho $ удовлетворяет неравенству Харнака: для каждого шара $B({{x}_{0}},R{\text{/}}2) \subset B({{x}_{0}},4R) \subset \Omega $ существует такое число C, что

$\mathop {\sup }\limits_{x \in B({{x}_{0}},R/2)} \rho (x) \leqslant C\mathop {\inf }\limits_{x \in B({{x}_{0}},R/2)} \varrho (x),$
где $C$ зависит от $R$, $w$, $d$, $\nu $, p и ${\text{||}}b{\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{L}^{p}}(B({{x}_{0}},4R))}}}$, но не зависит от $\varrho $. Модуль непрерывности функции $\varrho $ на $B({{x}_{0}},R{\text{/}}2)$ зависит от тех же объектов.

Согласно [9, теорема 2.1], если ${{a}^{{ij}}}$ и ${{b}^{i}}$ удовлетворяют условиям $({{H}_{a}})$ и $({{H}_{b}})$, причем ${{a}^{{ij}}} \in VMO$, то всякое решение $\rho \in L_{{loc}}^{1}(\Omega )$ локально интегрируемо во всякой степени $p \geqslant 1$. Если функции ${{a}^{{ij}}}$ удовлетворяют условию Дини средней осцилляции, то решение локально ограничено и даже непрерывно. Рассмотрим промежуточный случай, когда A лежит в более узком классе, чем VMO, но не удовлетворяют условию Дини. Предположим, что aij и ${{b}^{i}}$ удовлетворяют условиям $({{H}_{a}})$ и $({{H}_{b}})$ и

${\text{||}}A(x) - A(y){\text{||}} \leqslant \omega ({\text{||}}x - y{\text{||}}),$
где $\omega $ – возрастающая непрерывная функция на $[0, + \infty )$ с $\omega (0) = 0$. Предположим также, что для некоторого ${{C}_{\omega }} > 0$ и всех $t \geqslant 0$ мы имеем

$\omega (t) \geqslant {{C}_{\omega }}{{t}^{{1 - d/p}}}.$

Например, подходит функция $\omega (t) = {\text{|}}\ln t{{{\text{|}}}^{{ - 1}}}$ около нуля, для которой условие Дини не выполнено.

Теорема 2. Пусть $\varrho \in L_{{{\text{loc}}}}^{1}(\Omega )$ удовлетворяет уравнению (1). Тогда для всякого замкнутого шара $B \subset \Omega $ верны следующие утверждения.

(i) Если $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0 + } \omega (t){\text{|}}\ln t{\text{|}} = 0$, то

$\exp ({{\gamma }_{1}}{\text{|}}\varrho {{{\text{|}}}^{{{{\gamma }_{2}}}}}) \in {{L}^{1}}(B)\quad для\;всех\quad {{\gamma }_{1}},\;{{\gamma }_{2}} > 0.$

(ii) Если функция $\omega (t){\text{|}}\ln t{\text{|}}$ ограничена на (0, 1], то существуют такие числа ${{\gamma }_{1}},{{\gamma }_{2}} > 0$, что

$\exp ({{\gamma }_{1}}{\text{|}}\varrho {{{\text{|}}}^{{{{\gamma }_{2}}}}}) \in {{L}^{1}}(B).$

(iii) Если для некоторого $\beta \in (0,1)$ функция $\omega (t){\text{|}}\ln t{{{\text{|}}}^{\beta }}$ ограничена на (0, 1], то для некоторого $\gamma > 0$ имеем

$\exp (\gamma {\text{|}}\ln ({\text{|}}\varrho {\text{|}} + 1){{{\text{|}}}^{{\tfrac{1}{{1 - \beta }}}}}) \in {{L}^{1}}(B).$

Следующая теорема обобщает утверждение (i) теоремы 2.4.1 в книге [4] на случай, когда коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ удовлетворяют условию Дини средней осцилляции. В цитированной теореме предполагалось, что функции ${{a}^{{ij}}}$ принадлежат локально к классу Соболева ${{W}^{{p,1}}}$ с некоторым $p > d$.

Теорема 3. Предположим, что коэффициенты ${{a}^{{ij}}}$ и ${{b}^{i}}$ определены на ${{\mathbb{R}}^{d}}$, ${{b}^{i}} \in L_{{{\text{loc}}}}^{{d + }}$, причем для каждого шара B найдутся такие число ${{\nu }_{B}} > 0$ и непрерывная неотрицательная возрастающая функция ${{w}_{B}}$ на [0, 1], что ${{w}_{B}}(0) = 0$, функция ${{w}_{B}}(t){\text{/}}t$ интегрируема на [0, 1], ${{\nu }_{B}} \cdot I \leqslant A(x) \leqslant \nu _{B}^{{ - 1}} \cdot I$ для всех x, а также для всех $r \in (0,1]$ имеем

$\mathop {\sup }\limits_{x \in B} \frac{1}{{{\text{|}}B(x,r){\text{|}}}}\int\limits_{B(x,r)} {{\text{|}}{{a}^{{ij}}}(y) - a_{B}^{{ij}}(x,r){\text{|}}{\kern 1pt} dy} \leqslant {{w}_{B}}(r).$

Тогда существует непрерывное положительное решение $\rho $ уравнения (1) на ${{\mathbb{R}}^{d}}$.

Этот результат дает следующее обобщение теоремы Хасьминского.

Следствие 1. Если в дополнение к предположениям теоремы 3 имеются функция V класса $W_{{{\text{loc}}}}^{{d,2}}({{\mathbb{R}}^{d}})$ и числа $C > 0$ и $R > 0$, для которых

$\mathop {\lim }\limits_{|x| \to + \infty } V(x) = + \infty ,\quad LV(x) \leqslant - C\quad {\text{при}}\quad {\text{|}}x{\text{|}} \geqslant R,$
то существует непрерывное положительное вероятностное решение $\rho $ уравнения (1) на ${{\mathbb{R}}^{d}}$.

Список литературы

  1. Звонкин A.K. // Матем. сб. 1974. Т. 93. № 1. С. 129–149.

  2. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М., Наука, 1969.

  3. Богачев В.И., Рёкнер М. // Теория вероятн. и ее примен. 2000. V. 45. № 3. С. 417–436.

  4. Bogachev V.I., Krylov N.V., Röckner M., Shaposhnikov S.V. Fokker–Planck–Kolmogorov equations. Amer. Math. Soc., Providence, Rhode Island, 2015.

  5. Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников С.В. // Докл. АН. 2012. Т. 444. № 3. С. 245–249.

  6. Bogachev V.I., Krylov N.V., Röckner M. // Commun. Partial Differ. Equ. 2001. V. 26. № 11–12. P. 2037–2080.

  7. Sjögren P. // Ark. Mat. 1973. V. 11. P. 153–165.

  8. Sjögren P. // Ann. Inst. Фypьe. 1975. V. 25. № 3–4. P. 509–518.

  9. Bogachev V.I., Shaposhnikov S.V. // Annali di Matematica. 2017. V. 196. P. 1609–1635.

  10. Dong H., Kim S. // Comm. Partial Differ. Equ. 2017. V. 42. № 3. P. 417–435.

  11. Dong H., Escauriaza L., Kim S. // Math. Ann. 2018. B. 370. S. 447–489.

  12. Bauman P. // Ark. Mat. 1984. V. 22. P. 153–173.

  13. Bauman P. // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. V. 91. P. 64–68.

  14. Мамедов Ф.И. // Сиб. матем. ж. 1992. Т. 33. № 5. С. 100–106.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления