Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 95-107

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С ПОЛИАДИЧЕСКИМИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В. Г. Чирский 1*

1 Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия

* E-mail: vgchirskii@yandex.ru

Поступила в редакцию 10.07.2022
После доработки 18.08.2022
Принята к публикации 20.08.2022

Полный текст (PDF)

Аннотация

Доказаны теоремы о бесконечной линейной независимости значений обобщенных гипергеометрических рядов вида $\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}},$ среди параметров которых трансцендентные полиадические числа Лиувилля.

Ключевые слова: бесконечная линейная независимость, полиадические числа Лиувилля, аппроксимации Эрмита-Паде

1. ВВЕДЕНИЕ

В статье доказываются теоремы, сформулированные в статье [1]. В них установлена арифметическая природа значений обобщенных гипергеометрических рядов вида

(1)
$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}},$
где символ Похгаммера γn определяется равенствами γ0 = 1 и ${{\gamma }_{{n~}}} = \gamma \left( {\gamma + 1} \right) \ldots \left( {\gamma + n - 1} \right)$ при $n \geqslant 1$.

Частные случай этой задачи, относящиеся к рядам

${{f}_{0}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( \lambda \right)}_{n}}{{z}^{n}},\quad {{f}_{1}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {\lambda + 1} \right)}_{n}}{{z}^{n}}$
рассмотрены в работах [1–3].

Во всех этих работах существенно использованы аппроксимации Эрмита-Паде из работы Ю.В. Нестеренко [4].

Дадим необходимые для дальнейшего определения. Символ ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}a$ обозначает степень, в которой простое число p входит в разложение рационального числа a на множители. p – адическая норма числа a определяется равенством |a|p = = ${{p}^{{ - or{{d}_{p}}a}}}.$ Поле p – адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ представляет собой пополнение поля рациональных чисел по p – адической норме. Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых p – адических чисел по всем простым числам p. Теория полиадических чисел изложена в книге [5]. Элементы θ кольца целых полиадических чисел можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых в соответствующем поле p – адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ обозначаем ${{\theta }^{{\left( p \right)}}}$. Бесконечная линейная независимость полиадических чисел ${{\theta }_{1}}, \ldots ,{{\theta }_{m}}~$означает, что для любой ненулевой линейной формы ${{h}_{1}}{{x}_{1}} + \ldots + {{h}_{m}}{{x}_{m}}$ с целыми коэффициентами h1, ..., ${{h}_{m}}$ существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство ${{h}_{1}}\theta _{1}^{{\left( p \right)}} + \ldots + {{h}_{m}}\theta _{m}^{{\left( p \right)}} \ne 0.$

Вместе с тем представляют интерес задачи, в которых рассматриваются простые числа только из некоторых собственных подмножеств множества простых чисел. Будем говорить в таком случае о бесконечной линейной независимости с ограничениями на указанное множество. Ограничения на подмножества простых чисел получены при рассмотрении простых чисел из совокупностей арифметических прогрессий. Этот подход был использован в работах В.В. Зудилина, Т. Матала-ахо, А.-М. Эрнвалл-Хитонен, Т. Сеппала [6, 7], относящихся к так называемому ряду Эйлера $\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty n!{{\left( { - z} \right)}^{n}}$.

Каноническое представление элемента θ кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда

$\theta = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{a}_{n}}n!,\quad {{a}_{n}} \in \mathbb{Z},~\quad 0 \leqslant {{a}_{n}} \leqslant n.~$
Разумеется, ряд, члены которого – целые числа, сходящийся во всех полях p – адических чисел, представляет собой целое полиадическое число.

Будем называть полиадическое число θ полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел n и P существует натуральное число A такое, что для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p \leqslant P~$, выполнено неравенство ${{\left| {\theta - A} \right|}_{p}} < {{A}^{{ - n}}}.$ Легко доказать, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля p – адических чисел.

Дадим краткое описание места рассматриваемой задачи в общем направлении исследования арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических рядов, т.е. рядов вида

$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{r}}} \right)}}_{n}}}}{{{{{\left( {{{\beta }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\beta }_{s}}} \right)}}_{n}}}}{{z}^{n}}.$

Если такие ряды имеют рациональные параметры, то они сводятся к E- или G-функциям Зигеля или к F-рядам. Это позволяет применить к ним метод Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел и его модификации, см. [815]. Если среди параметров содержатся алгебраические иррациональные числа, то к исследованию арифметических свойств рядов применимы аппроксимации Эрмита-Паде, см. [1618]. Этот краткий обзор не претендует на полноту, но позволяет получить представление о характере основных результатов.

Еще раз отметим, что цель работы – исследование арифметических свойств значений рядов (1), среди параметров которых – трансцендентные полиадические числа Лиувилля. Значения рассматриваемых рядов вычисляются в точке ξ, являющейся натуральным числом, либо в точке Ξ, которая представляет собой полиадическое число Лиувилля.

2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть λ0 – произвольное натуральное число. Положим

${{s}_{0}} = \left[ {{\text{exp}}{{\lambda }_{0}}} \right] + 1.$

Здесь и далее символ [a] обозначает целую часть числа a. Пусть ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}a$ обозначает степень, в которой простое число p входит в разложение целого числа a на простые множители.

Пусть λ1 – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа $p \leqslant {{s}_{0}} + {{C}_{1}}\lambda _{0}^{2}$ выполняется неравенство ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\lambda }_{1}} \geqslant m{{s}_{0}}{\text{ln}}{{s}_{0}}$ и пусть ${{s}_{1}} = \left[ {{\text{exp}}{{\lambda }_{1}}} \right] + 1.$ Здесь и всюду далее символами Cr, $r = 1,2,...$ обозначены некоторые положительные абсолютные постоянные.

При $k \geqslant 2~~$ пусть λk – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа $p \leqslant {{s}_{{k - 1}}} + {{C}_{1}}\lambda _{{k - 1}}^{2}$ выполняется неравенство

(2)
${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\lambda }_{k}} \geqslant m{{s}_{{k - 1}}}{\text{ln}}{{s}_{{k - 1}}}$
и пусть

(3)
${{s}_{k}} = \left[ {{\text{exp}}{{\lambda }_{k}}} \right] + 1.$

Пусть ${{\mu }_{{i,0}}},~i = 1, \ldots ,m - 1$ – натуральные числа. Пусть для любых $i = 1, \ldots ,m - 1,~k \geqslant 1~$ числа ${{\mu }_{{i,k}}}$ – неотрицательные целые и удовлетворяют неравенству

(4)
${{\mu }_{{i,k}}} \leqslant {{\lambda }_{k}}.$
Пусть

(5)
${{\alpha }_{{i,k}}} = \mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}},\quad ~i = 1, \ldots ,m - 1,$
(6)
${{\alpha }_{i}} = \mathop \sum \limits_{l = 0}^\infty {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}},\quad i = 1, \ldots ,m - 1.$

Далее числа ${{K}_{i}},~i = 1,2, \ldots $ – натуральные. Для всех $k \geqslant {{K}_{{1~}}}~$ ввиду (2)–(5) выполняется неравенство

(7)
$1 \leqslant {{\alpha }_{{i,k}}} = \mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}}~~ \leqslant 1.1\lambda _{k}^{2},\quad i = 1, \ldots ,m - 1.~$

Если для всех $l \geqslant {{K}_{{2~}}}~$ выполняются равенства ${{\mu }_{{i,l}}} = 0$, то ${{\alpha }_{i}}$ – натуральное число.

Докажем, что в противном случае ряд, определенный равенством (6), представляет собой полиадическое число Лиувилля. Этот ряд сходится в любом поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}~$ согласно (2), (3) и его сумма в этом поле представляет собой целое p – адическое число.

Более того, наложенные условия означают, что для любых натуральных чисел n и P существует натуральное число A такое, что для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p\, \leqslant \,P,~$ выполнено неравенство ${{\left| {\theta - A} \right|}_{p}} < {{A}^{{ - n}}}.$ Действительно, для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p \leqslant {{s}_{k}} + {{C}_{1}}\lambda _{k}^{2},$ при $k \geqslant {{K}_{3}},~$ ввиду (2)–(7), имеем

$\begin{gathered} {{\left| {{{\alpha }_{i}} - {{\alpha }_{{i,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant {{\left| {\mathop \sum \limits_{l = k + 1}^\infty {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}}~~} \right|}_{p}} \leqslant {{\left| {{{\lambda }_{{k + 1}}}} \right|}_{p}} \\ \leqslant {{p}^{{ - m{{s}_{k}}{\text{ln}}{{s}_{k}}}}} \leqslant s_{k}^{{ - m{{s}_{k}}}} \leqslant \alpha _{{i,k}}^{{ - m{{s}_{k}}}}. \\ \end{gathered} $

При всех k положим

(8)
$\begin{gathered} {{f}_{{0,k}}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}}, \\ {{f}_{{m - 1,k}}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}} + 1} \right)}_{n}}{{z}^{n}}, \\ \end{gathered} $
а при $i = 1,...,m - 2$

(9)
$\begin{gathered} {{f}_{{i,k}}}(z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{({{\alpha }_{{1,k}}} + 1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{i,k}}} + 1)}_{n}} \\ \times \,{{({{\alpha }_{{i + 1,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}})}_{n}}{{z}^{n}}. \\ \end{gathered} $

Кроме того, будем рассматривать (имеющие вид (1)) ряды

(10)
$\begin{gathered} {{f}_{0}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}}, \\ {{f}_{{m - 1}}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}} + 1} \right)}_{n}}{{z}^{n}}, \\ \end{gathered} $
а при $i = 1,...,m - 2$

(11)
${{f}_{i}}(z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{({{\alpha }_{1}} + 1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{i}} + 1)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}}.$

Коэффициенты рядов (8), (9) – натуральные числа, поэтому в любом поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ они сходятся при ${{\left| z \right|}_{p}} < {{p}^{{\frac{{m - 1}}{{p - 1}}}}}.$ Поскольку$~{{\alpha }_{i}},i = 1,...,m - 1~$ можно рассматривать как целые p – адические числа, выполняется неравенство

${{\left| {{{{\left( {{{\alpha }_{i}}} \right)}}_{n}}} \right|}_{p}} \leqslant {{p}^{{\left( {\frac{{ - n}}{{p - 1}} + \left( {p - 1} \right){{{\log }}_{p}}n} \right)}}}.$

Действительно, пусть ω – целое p – адическое число. Представим его в виде

$\omega = {{a}_{0}} + {{a}_{1}}p + \ldots + {{a}_{n}}{{p}^{n}} + {{r}_{{n + 1}}} = {{A}_{n}} + {{r}_{{n + 1}}},$
где ${{a}_{i}} \in \left\{ {0,1, \ldots ,p - 1} \right\}$, $i = 0,1,...,n$, а число ${{r}_{{n + 1}}}~$ – целое p – адическое и ${{\left| {{{r}_{{n + 1}}}} \right|}_{p}} < {{p}^{{ - n - 1}}}.~$ Тогда величина ${{(\omega )}_{n}}$ может быть представлена в виде суммы величины ${{({{A}_{n}})}_{n}}$ и конечного числа слагаемых, каждое из которых имеет p – адическую норму не больше, чем ${{p}^{{ - n - 1}}}.$ Так как An – натуральное число, ${{\left| {{{{({{A}_{n}})}}_{n}}} \right|}_{p}} \leqslant {{p}^{{\left( {\frac{{ - n}}{{p - 1}} + C\ln n} \right)}}}~~$ с некоторой постоянной C. Следовательно, ${{\left| {{{{(\omega )}}_{n}}} \right|}_{p}} \leqslant {{p}^{{\left( {\frac{{ - n}}{{p - 1}} + C\ln n} \right)}}}.~$ Это неравенство доказывает сформулированное утверждение. Поэтому ряды (10), (11) также сходятся при ${{\left| z \right|}_{p}} < {{p}^{{\frac{{m - 1}}{{p - 1}}}}}$.

Отметим важное для дальнейшего тождество, которое легко следует из определений (8):

(12)
${{f}_{{0,k}}}(z) = 1 + {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m - 1,k}}}z{{f}_{{m - 1,k}}}(z).~$

Сформулируем основные результаты работы. Пусть M – натуральное число. Рассмотрим приведенную систему вычетов по ${\text{mod}}(M).$ Как обычно, число элементов этой системы обозначается $\varphi \left( M \right)$, где $\varphi \left( M \right)$ – функция Эйлера. Пусть произвольным образом выбраны ρ различных элементов ${{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{{\rho ~}}}$ этой приведенной системы вычетов. Будем обозначать ${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$ множества натуральных значений, принимаемых прогрессиями ai + Mk, $k \in \mathbb{Z}$. Используя стандартное обозначение $\mathbb{P}$ для множества простых чисел, будем обозначать $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$) множество простых чисел, входящих в объединение множеств ${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$.

Теорема 1. Пусть $m \geqslant 3,M,~\rho $ – натуральные числа. Пусть

$\varphi \left( M \right) > m,\quad \rho m > \varphi \left( M \right)\left( {m - 1} \right).$

Тогда для любых целых чисел ${{h}_{0}}, \ldots ,{{h}_{{m - 1}}}$, не равных нулю одновременно и любого натурального числа ξ существует бесконечное множество простых чисел p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$) таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство

(13)
${{\left| {L\left( \xi \right)} \right|}_{p}} = {{\left| {{{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} > 0.$

Пусть натуральные числа ${{\vartheta }_{k}}$ удовлетворяют при любом k неравенству

(14)
${{\vartheta }_{k}} \leqslant {{\lambda }_{k}}.$

Пусть

(15)
$\Xi = \mathop \sum \limits_{l = 0}^\infty {{\vartheta }_{l}}{{\lambda }_{l}}.$

Теорема 2. Пусть $m \geqslant 3,M,~\rho $ – натуральные числа. Пусть

$\varphi \left( M \right) > m,\quad \rho m > \varphi \left( M \right)\left( {m - 1} \right).$

Тогда для любых целых чисел ${{h}_{0}}, \ldots ,{{h}_{{m - 1}}}$, не равных нулю одновременно и числа Ξ, определенного равенством (15) и условиями (14), существует бесконечное множество простых чисел p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$) таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство

(16)
${{\left| {L\left( {{\Xi }} \right)} \right|}_{p}} = {{\left| {{{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( {{\Xi }} \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1}}}\left( {{\Xi }} \right)} \right|}_{p}} > 0.$

Отметим, что в неравенствах (13) и (16) символы $~{{f}_{0}}\left( \xi \right)$, …, ${{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right),$ $~{{f}_{0}}\left( {{\Xi }} \right)$, …, ${{f}_{{m - 1}}}\left( {{\Xi }} \right)~$ означают суммы этих рядов в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$.

3. АППРОКСИМАЦИИ ЭРМИТА-ПАДЕ

Приведенные выше формулировки теорем отличаются от формулировок из статьи [1] тем, что здесь используется обозначение m – 1 для числа, обозначенного m в работе [1]. Это связано с тем, что в доказательстве существенно использованы результаты и сохранены соответствующие обозначения из работы Ю.В. Нестеренко [4].

При каждом натуральном k рассмотрим числа (5) и обозначим ${{\alpha }_{{m,k}}} = 1$. Для любого $N = ms + r$, где $1 \leqslant r \leqslant m~,$ полагаем

(17)
${{\alpha }_{{N,k}}} = {{\alpha }_{{r,k}}} + s.$

Число t определим равенством $t = \left[ {\frac{{N - 1}}{{m - 1}}} \right].$ Используя обычное обозначение

${}_{m}^{{}}{{F}_{0}}\left( {{{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{m}},z} \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \frac{{{{{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{m}}} \right)}}_{n}}}}{{n!}}{{z}^{n}},$
положим

(18)
${{f}_{{N,k}}}\left( z \right) = {}_{m}^{{}}{{F}_{0}}\left( {{{\alpha }_{{N + 1,k}}}, \ldots ,{{\alpha }_{{N + m,k}}},z} \right).$

Обозначим

(19)
${{u}_{{N,k}}}\left( z \right) = {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}{{z}^{t}}{{f}_{{N,k}}}\left( z \right).$

Лемма 1. Для любого N существуют многочлены ${{P}_{{N,i,k}}}\left( z \right),~i = 0,1, \ldots ,m - 1$ такие, что выполняется равенство

(20)
${{u}_{{N,k}}}(z) = {{P}_{{N,0,k}}}(z){{u}_{{0,k}}}(z) + \ldots + {{P}_{{N,m - 1,k}}}(z){{u}_{{m - 1,k}}}(z).$

При этом степени многочленов PN,i,k(z), $i = 0,1, \ldots ,m - 1$ не превосходят числа $t - s$, ряды ${{f}_{{0,k}}}\left( z \right),~ \ldots ,~{{f}_{{m - 1,k}}}\left( z \right)$ линейно независимы над $\mathbb{C}$(z) и выполняются рекуррентные соотношения:

(21)
${{u}_{{N + m,k}}}\left( z \right) = {{u}_{{N + 1,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{N + 1,k}}}{{u}_{{N,k}}}\left( z \right),$
если N = 0 или $N \geqslant 1$ и число N не делится на число m – 1,
(22)
${{u}_{{N + m,k}}}\left( z \right) = {{u}_{{N + 1,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{N + 1,k}}}z{{u}_{{N,k}}}\left( z \right),$
если $N \geqslant 1$ и число N делится на число m – 1, и для любого $i = 0,1,...,m - 1$
(23)
${{P}_{{N + m,i,k}}}\left( z \right) = {{P}_{{N + 1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{N + 1,k}}}{{P}_{{N,k}}}\left( z \right),$
если N = 0 или $N \geqslant 1$ и число N не делится на число m – 1,
(24)
${{P}_{{N + m,i,k}}}\left( z \right) = {{P}_{{N + 1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{N + 1,k}}}z{{P}_{{N,k}}}\left( z \right),$
если $N \geqslant 1$ и число N делится на число m – 1.

При этом для всех неотрицательных целых значений N имеет место равенство

(25)
${{\Delta }_{{N,k}}}\left( z \right) = {{\left( { - 1} \right)}^{{mN}}}{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}{{z}^{t}},$
где

(26)
${{\Delta }_{{N,k}}}\left( z \right) = {{\left| {{{P}_{{N + j,i,k}}}\left( z \right)} \right|}_{{i,j = 0,1, \ldots ,m - 1}}}.$

Эта лемма доказана в работе [18]. Она является непосредственным следствием результатов работы [4]. Точнее говоря, все равенства (20)–(26) могут быть получены способом, указанным в работе [18] из части утверждений, доказанных в [4] (лемма 1, следствие 2, теорема 2, лемма 2).

Отметим, что из равенства (20) следуют равенства

${{P}_{{0,0,k}}}\left( z \right) = 1,\quad {{P}_{{0,1,k}}}\left( z \right) = 0, \ldots ,{{P}_{{0,m - 1,k}}}\left( z \right) = 0,$
${{P}_{{1,0,k}}}\left( z \right) = 0,\quad {{P}_{{1,1,k}}}\left( z \right) = 1, \ldots ,{{P}_{{1,m - 1,k}}}\left( z \right) = 0,$
(27)
${{P}_{{m - 1,0,k}}}\left( z \right) = 0,\quad {{P}_{{m - 1,1,k}}}\left( z \right) = 0, \ldots ,{{P}_{{m - 1,m - 1,k}}}\left( z \right) = 1.$

4. ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИБЛИЖАЮЩИХ ФОРМ

Рассмотрим при каждом k величину ${\text{max}}({{\alpha }_{{1,k}}}$, ..., αm, k). Из (5) и (7) следует, что

(28)
$2 \leqslant {\text{max}}\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}, \ldots ,{{\alpha }_{{m,k}}}} \right) + 1 \leqslant {{c}_{0}}\left( k \right) = {{C}_{2}}{{\left( {{\text{ln}}{{s}_{k}}} \right)}^{2}}$
с независящей от числа k постоянной C2.

По определению, высотой H(P(z)) многочлена P(z) с целыми коэффициентами называется максимум абсолютных величин его коэффициентов.

Лемма 2. Пусть $k \in \mathbb{N},k \geqslant {{K}_{4}},s \in \mathbb{N},s = {{s}_{k}}$, где число sk определено равенством (3). Пусть N = = $m{{s}_{k}} + r,~1 \leqslant r \leqslant m$. Тогда высота $H({{P}_{{N,i,k}}}\left( z \right))$ многочлена PN,i,k(z), $~i = 0,1, \ldots ,m - 1$ не превосходит числа

(29)
${\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{3}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right).$

Доказательство. Используем метод математической индукции и докажем сначала, что

(30)
$H({{P}_{{N,i,k}}}\left( z \right)) \leqslant c_{0}^{N}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right).$

Основание индукции сразу следует из равенств (27) при $~r = 1,...,m - 1$. При r = m получаем, ввиду (23)

$N = m,~\quad {{P}_{{m,i,k}}}\left( z \right) = {{P}_{{1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{1,k}}}{{P}_{{N,k}}}\left( z \right)$
и справедливость утверждения следует из неравенства (28).

Индуктивное предположение – пусть при некотором $s,s \geqslant 1~$ и всех $~i,i = 0,...,m - 1$ и всех r, $r = 1,...,m~$ справедливы неравенства

(31)
$H({{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r,i,k}}}\left( z \right)) \leqslant c_{0}^{{m\left( {s - 1} \right) + r}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s - 1} \right).$

При каждом $i,i = 0,1,...,m - 1$ выполняется одно из равенств

(32)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms + r,i,k}}}\left( z \right)} \right) = \\ = H\left( {{{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,k}}}{{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r,i,k}}}\left( z \right)} \right), \\ \end{gathered} $
(33)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms + r,i,k}}}\left( z \right)} \right) = \\ = H\left( {{{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,k}}}z{{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r,i,k}}}\left( z \right)} \right). \\ \end{gathered} $

Из (17), (28) получаем

(34)
${{\alpha }_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,k}}} = {{\alpha }_{{r + 1,k}}} + s - 1 \leqslant {{c}_{0}} + s.$

Если $r \leqslant m - 1,$ то и в случае (32) и в случае (33) получаем

(35)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms + r,i,k}}}(z)} \right) \leqslant \\ \leqslant H({{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,i,k}}}(z)) + {{\alpha }_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,k}}}H({{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r,i,k}}}(z)). \\ \end{gathered} $

Используя (31), (34), (35), получаем, поскольку $2{{c}_{0}} \leqslant c_{0}^{m},$

$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms + r,i,k}}}\left( z \right)} \right) \leqslant c_{0}^{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s - 1} \right) + \\ + \,c_{0}^{{m\left( {s - 1} \right) + r}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right) = \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} = c_{0}^{{m\left( {s - 1} \right) + r}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s - 1} \right)\left( {2{{c}_{0}} + s} \right) \leqslant \\ \leqslant 2c_{0}^{{m\left( {s - 1} \right) + r}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right) \leqslant \\ \end{gathered} $
(36)
$ \leqslant c_{0}^{{ms + r}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right).$

Рассмотрим случай r = m. При каждом i, $i = 0,1,...,m - 1$ выполняется одно из равенств

(37)
$H({{P}_{{m\left( {s + 1} \right),i,k}}}(z))\, = \,H({{P}_{{ms + 1,i,k}}}(z)\, - \,{{\alpha }_{{ms + 1,k}}}{{P}_{{ms,i,k}}}(z)),$
(38)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{m\left( {s + 1} \right),i,k}}}(z)} \right) = \\ = H\left( {{{P}_{{ms + 1,i,k}}}(z) - {{\alpha }_{{ms + 1,k}}}z{{P}_{{ms,i,k}}}(z)} \right). \\ \end{gathered} $

Из (17), (28) получаем

(39)
${{\alpha }_{{ms + 1,k}}} = {{\alpha }_{{1,k}}} + s \leqslant {{c}_{0}} + s.$

Как в случае (37), так и в случае (38) получаем

(40)
$\begin{gathered} H({{P}_{{m\left( {s + 1} \right),i,k}}}(z)) \leqslant \\ \leqslant H({{P}_{{ms + 1,i,k}}}(z)) + {{\alpha }_{{ms + 1,k}}}H({{P}_{{ms,i,k}}}(z)). \\ \end{gathered} $

По уже доказанному, имеем

(41)
$H\left( {{{P}_{{ms + 1,i,k}}}\left( z \right)} \right) \leqslant c_{0}^{{ms + 1}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right)$

По предположению индукции,

(42)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms,i,k}}}\left( z \right)} \right) = H({{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + m,i,k}}}\left( z \right)) \leqslant \\ \leqslant \,~c_{0}^{{ms}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s - 1} \right). \\ \end{gathered} $

Из соотношений (39)–(42) получаем

$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{m\left( {s + 1} \right),i,k}}}\left( z \right)} \right) \leqslant c_{0}^{{ms + 1}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right) + \\ + \left( {{{c}_{0}} + s} \right)c_{0}^{{ms}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s - 1} \right) = \\ \end{gathered} $
(43)
$\begin{gathered} = c_{0}^{{ms}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right)\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \leqslant \\ \leqslant 2c_{0}^{{ms + 1}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right) \leqslant \\ \leqslant c_{0}^{{m\left( {s + 1} \right)}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right), \\ \end{gathered} $
поскольку $2 \leqslant {{c}_{0}} \leqslant c_{0}^{m}.$

Индукция проведена и неравенство (30) доказано.

Величина $\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right)$ выражается через значения гамма-функции Эйлера равенством

(44)
$\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right) = \frac{{\Gamma ({{c}_{0}} + s + 1)}}{{\Gamma ({{c}_{0}} + 1)}}.$

Известно, что для любой постоянной величины a и любого δ > 0 при $\left| s \right| \to + \infty $ равномерно при $ - \pi + \delta \leqslant {\text{arg}}s \leqslant \pi - \delta ~$ имеет место равенство

(45)
$\begin{gathered} \ln \Gamma \left( {s + a} \right) = \\ = \left( {s + a - \frac{1}{2}} \right){\text{ln}}s - s + \frac{1}{2}\pi {\text{ln}}2 + O\left( {\frac{1}{{\left| s \right|}}} \right).~ \\ \end{gathered} $

Из (44),(45) сразу следует, что при $s = {{s}_{k}} \to \infty ,$ (что равносильно условию: при $k \to \infty $), имеем

(46)
$\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + {{s}_{k}}} \right) = {\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + O\left( {{{s}_{k}}} \right)} \right).$

Величина $c_{0}^{{m\left( {{{s}_{k}} + 1} \right)}}$ с учетом (28) имеет при $k \geqslant {{K}_{4}}~$ оценку сверху ${\text{exp}}({{C}_{4}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}})$.

Вместе с равенством (46) и неравенствами (43) и (36) это доказывает оценку (29) и утверждение леммы.

Следствие 1. Пусть $\xi \in \mathbb{N}.$ При условиях леммы при всех $k \geqslant {{K}_{5}}$ выполняется неравенство

(47)
$\left| {{{P}_{{N,i,k}}}\left( \xi \right)} \right| \leqslant {\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{5}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right).$

Следствие 2. Пусть Ξ определено равенством (15). Пусть Ξk= $\mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\vartheta }_{l}}{{\lambda }_{l}}.$ При условиях леммы при всех $k \geqslant {{K}_{6}}~$ выполняется неравенство

(48)
$\left| {{{P}_{{N,i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right| \leqslant {\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{6}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right).$

Доказательства этих следствий практически аналогичны. В следствии 1 точка ξ – фиксированное натуральное число. По лемме 1 степень многочлена ${{P}_{{N,i,k}}}$(z) равна ts, т.е. не превосходит числа ${{C}_{7}}{{s}_{k}}$, поэтому, при $k \geqslant {{K}_{5}}$

$\begin{gathered} \left| {{{P}_{{N,i,k}}}\left( \xi \right)} \right| \leqslant {{C}_{7}}{{s}_{k}}{{\xi }^{{{{C}_{7}}{{s}_{k}}}}}{\text{\;exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{3}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right) \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{5}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right). \\ \end{gathered} $

В следствии 2 число Ξk удовлетворяет неравенству ${{\Xi }_{k}} \leqslant {{C}_{8}}{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}^{2}}$, поэтому при $~k \geqslant {{K}_{6}}$

$\begin{gathered} \left| {{{P}_{{N,i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right| \leqslant {{C}_{7}}{{s}_{k}}{{\Xi }_{k}}^{{{{C}_{7}}{{s}_{k}}}}{\text{\;exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{3}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right) \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{6}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right). \\ \end{gathered} $

5. ОЦЕНКИ ДЛЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Вместе с формой L(ξ), определенной формулой (13), рассмотрим форму

(49)
${{L}_{k}}\left( \xi \right) = {{h}_{0}}{{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)$
и связанную с ней форму
(50)
$\begin{gathered} {{l}_{k}}\left( \xi \right) = {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m - 1,k}}}{{L}_{k}}\left( \xi \right) = \\ = {{H}_{0}}{{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right) + \ldots + {{H}_{{m - 1}}}{{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right), \\ \end{gathered} $
где функции ${{u}_{{N,k}}}\left( z \right)$ определены равенством (19). По условию, не все из целых чисел ${{h}_{0}}, \ldots ,{{h}_{{m - 1}}}~$ равны нулю. Пусть $h = {\text{max}}\left( {{{h}_{0}}, \ldots ,{{h}_{{m - 1}}}} \right)$. Тогда

$H = {\text{max}}\left( {{{H}_{0}}, \ldots ,{{H}_{{m - 1}}}} \right) \leqslant {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m - 1,k}}}h.$

Ввиду неравенств (28),

(51)
$H \leqslant C_{2}^{{m - 1}}{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}^{{2m - 2}}}.$

По лемме 1, равенство (25) означает, что определитель (26), составленный из вычисленных в точке ξ коэффициентов линейных форм $~{{u}_{{N,k}}}(\xi )$, ..., $~{{u}_{{N + m,k}}}(\xi ),$ определенных равенством (19), отличен от 0. Поэтому среди этих форм найдутся m – 1 форм, линейно независимых с формой lk(ξ), определенной в (50). Пусть это – формы

${{u}_{{{{N}_{1}},k}}}\left( \xi \right), \ldots ,{{u}_{{{{N}_{{m - 1}}},k}}}\left( \xi \right),$
где

(52)
$\left\{ {{{N}_{1}}, \ldots ,{{N}_{{m - 1}}}} \right\} \subset \left\{ {N,N + 1, \ldots ,N + m - 1} \right\}.$

Рассмотрим определитель полученной системы форм

(53)
${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{H}_{0}}}& \ldots &{{{H}_{{m - 1}}}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{P}_{{{{N}_{1}},0,k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \ldots \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{P}_{{{{N}_{1}},m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}} \\ {{{P}_{{{{N}_{{m - 1}}},0,k}}}\left( \xi \right)}& \ldots &{{{P}_{{{{N}_{{m - 1}}},m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \end{array}} \right|,$
представляющий собой, согласно сказанному выше, отличное от 0 целое число.

Рассмотрим формы (49) и (50) в точке Ξk= = $\mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\vartheta }_{l}}{{\lambda }_{l}}.~$ Для формы ${{l}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$ тоже существуют m – 1 линейных форм среди форм ${{u}_{{N,k}}}({{\Xi }_{k}})~$, ..., ${{u}_{{N + m,k}}}({{\Xi }_{k}})~$ линейно независимых с ней. Пусть это – формы

${{u}_{{{{N}_{1}},k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right), \ldots ,{{u}_{{{{N}_{{m - 1}}},k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$
где

$\left\{ {{{N}_{1}}, \ldots ,{{N}_{{m - 1}}}} \right\} \subset \left\{ {N,N + 1, \ldots ,N + m - 1} \right\}.$

Отметим, что теперь выбор чисел ${{N}_{1}}, \ldots ,{{N}_{{m - 1}}}~$ может быть отличен от того выбора (52), что ранее соответствовал определителю (53). Тем не менее мы сохраним для определителя вновь полученной системы из m линейно независимых форм прежнее обозначение ${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$.

Далее числа Ki зависят от числа h, постоянного для рассматриваемой формы ${{L}_{k}}\left( \xi \right).$

Лемма 3. Для любого $k \geqslant {{K}_{7}}~$ выполняются неравенства

(54)
$\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right| \leqslant {\text{exp}}(\left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{9}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}),$
(55)
$\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right| \leqslant {\text{exp}}(\left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{10}}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}).$

Доказательство. По следствию 1 леммы 2, (неравенство (47)), при $k \geqslant {{K}_{5}},$

$\begin{gathered} \left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right| \leqslant m!H{\text{max}}\left| {{{P}_{{N,i,k}}}\left( \xi \right)} \right| \leqslant \\ \leqslant m!H{\text{exp}}(\left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{5}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}) \leqslant \\ \end{gathered} $
(56)
$ \leqslant H{\text{exp}}(\left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{11}}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}).~$

Из неравенств (51) и (56) сразу следует (54).

Доказательство неравенства (55) дословно совпадает с доказательством неравенства (54). Единственное различие состоит в использовании следствия 2 леммы 2 (неравенства (48)). При этом K7 – наибольшее из чисел K5 и K6.

6. ОЦЕНКИ СВЕРХУ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НОРМ ПРИБЛИЖАЮЩИХ ФОРМ

Лемма 4. Пусть $k \in \mathbb{N},~k \geqslant {{K}_{8}},~$ где K8– эффективная постоянная, $s \in \mathbb{N},~$ причем s = sk. Пусть M, ρ – натуральные числа. Пусть $\rho > \frac{{\varphi \left( M \right)\left( {m - 1} \right)}}{m}.$ Тогда для любого ${{N}_{i}}\, \in \,\{ N,N\, + \,1 < \ldots ,N\, + \,m - 1\} ~$ справедливы неравенства

(57)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p \mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{\rho m}}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{12}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right), \\ \end{gathered} $
где произведение в левой части этого неравенства взято по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$), удовлетворяющим неравенствам

(58)
$\exp \sqrt {\ln {{s}_{k}}} \leqslant p \leqslant {{s}_{k}} + {{C}_{1}}{{(\ln {{s}_{k}})}^{2}}.$

Лемма 5. Пусть $k \in \mathbb{N},k \geqslant {{K}_{9}},~$ где K9эффективная постоянная, $s \in \mathbb{N},~$ причем s = sk. Пусть M, ρ – натуральные числа. Пусть $\rho > \frac{{\varphi \left( M \right)\left( {m - 1} \right)}}{m}.$ Тогда для любого ${{N}_{i}} \in \{ N,N + 1 < \ldots ,N + m - 1\} ~$ справедливы неравенства

(59)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p \mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{\rho m}}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{13}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right), \\ \end{gathered} $
где произведение в левой части этого неравенства взято по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$), удовлетворяющим неравенствам (58).

Доказательство леммы 4. Из равенств (18), (19) следует, что

${{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( \xi \right) = {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{{{N}_{i}},k}}}F\left( {{{\alpha }_{{{{N}_{i}},k}}} + 1, \ldots ,{{\alpha }_{{{{N}_{i}},k}}} + m,\xi } \right).$

Так как для любого простого числа p величина $F\left( {{{\alpha }_{{{{N}_{i}},k}}} + 1, \ldots ,{{\alpha }_{{{{N}_{i}},k}}} + m,\xi } \right)$ представляет собой целое p – адическое число, то

$\mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{{{N}_{i}},k}}}} \right|}_{p}} \leqslant {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}},$
поскольку все ${{\alpha }_{{l,k}}}$ – целые числа и, ввиду (52), $~{{N}_{i}} \geqslant N$. Следовательно,
(60)
$\mathop \prod \limits_p \mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}},$
где произведения взяты по любому множеству простых чисел p.

Согласно (17),

$\begin{gathered} {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}} = {{\alpha }_{{1,k}}}({{\alpha }_{{1,k}}} + 1) \ldots ({{\alpha }_{{1,k}}} + {{s}_{k}}) \ldots \\ {{\alpha }_{{r,k}}}({{\alpha }_{{r,k}}} + 1) \ldots ({{\alpha }_{{r,k}}} + {{s}_{k}}). \\ \end{gathered} $
(61)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{r + 1,k}}}({{\alpha }_{{r + 1,k}}} + 1) \ldots ({{\alpha }_{{r + 1,k}}} + {{s}_{k}} - 1) \ldots \\ {{\alpha }_{{m,k}}}({{\alpha }_{{m,k}}} + 1) \ldots ({{\alpha }_{{m,k}}} + {{s}_{k}} - 1). \\ \end{gathered} $

В разложение величины α1,k … αN,k на простые множители, согласно (28), (3), входят только простые числа p с условием

(62)
$p \leqslant {{s}_{k}} + {{C}_{1}}\lambda _{k}^{2} \leqslant {{s}_{k}} + {{C}_{1}}{{({\text{ln}}{{s}_{k}})}^{2}}.$

Оценим сверху величину произведения

(63)
$\mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}},$
взятого по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(a1, …, aρ), удовлетворяющим неравенствам (62).

Рассмотрим произведение

(64)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}} \right) = \frac{{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}} \right)!}}{{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} - 1} \right)!}}~,~ \\ i = 1, \ldots ,r. \\ \end{gathered} $

Простое число p входит в произведение (64) в степени

$\begin{gathered} {\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}} \right)} \right) = \\ = \frac{{{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}} - {{S}_{{{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}}}}}}{{p - 1}} - \frac{{{{\alpha }_{{i,k}}} - 1 - {{S}_{{{{\alpha }_{{i,k}}} - 1}}}}}{{p - 1}} = \\ \end{gathered} $
(65)
$ = \frac{{{{s}_{k}} - {{S}_{{{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}}}} + {{S}_{{{{\alpha }_{{i,k}}} - 1}}} + 1}}{{p - 1}},$
где символом Sx для натурального числа x обозначена сумма цифр разложения этого числа по степеням p и, следовательно,

$\begin{gathered} 1 \leqslant {{S}_{x}} \leqslant \left( {p - 1} \right)\left( {\left[ {{{{\log }}_{p}}x} \right] + 1} \right) \leqslant \\ \leqslant \left( {p - 1} \right)\left( {{{{\log }}_{p}}x + 1} \right). \\ \end{gathered} $

Поэтому

$\begin{gathered} \frac{{{{s}_{k}} + 2}}{{p - 1}} - {{\log }_{p}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}} \right) - 1 \leqslant \\ \leqslant \frac{{{{s}_{k}} - {{S}_{{{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}}}} + {{S}_{{{{\alpha }_{{i,k}}} - 1}}} + 1}}{{p - 1}} \leqslant \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} + {{\log }_{p}}({{\alpha }_{{i,k}}} - 1). \\ \end{gathered} $

Поэтому степень (65), с учетом неравенств (28), при $k \geqslant {{K}_{{10}}}$ лежит в пределах

(66)
$\begin{gathered} \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} - {{C}_{{14}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}_{p}}{{s}_{k}} \leqslant \\ \leqslant {\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}} \right)} \right) \leqslant \\ \leqslant \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} + {{C}_{{15}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}_{p}}\ln {{s}_{k}}. \\ \end{gathered} $

Рассмотрим произведение

(67)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}} - 1} \right) = \frac{{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}} - 1} \right)!}}{{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} - 1} \right)!}},~ \\ i = r + 1, \ldots ,m. \\ \end{gathered} $

Для каждого из произведений (67) аналогично (66) получаем, что простое число p при $k \geqslant {{K}_{{11}}}~$ входит в это произведение в степени, удовлетворяющей неравенствам

(68)
$\begin{gathered} \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} - {{C}_{{16}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}_{p}}{{s}_{k}} \leqslant \\ \leqslant {\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}} - 1} \right)} \right) \leqslant \\ \leqslant \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} + {{C}_{{17}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}_{p}}\ln {{s}_{k}}. \\ \end{gathered} $

Таким образом, из неравенств (66), (68) и равенства (61) следует, что для всех рассматриваемых простых чисел p при $~k \geqslant {{K}_{{12}}}$ выполняется неравенство

(69)
${{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{18}}}\ln {{s}_{k}}} \right).$

Неравенство (69) означает, что имеет место неравенство

(70)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( {\mathop \sum \limits_p \left( { - \frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{18}}}\ln {{s}_{k}}} \right)} \right), \\ \end{gathered} $
где произведение и сумма взяты по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$), удовлетворяющим неравенствам (62). Для этих значений p имеем оценку

(71)
${{C}_{{18}}}\mathop \sum \limits_p \ln {{s}_{k}} \leqslant {{C}_{{19}}}{{s}_{k}}.$

Используем равенство

(72)
$\mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{{p - 1}} = \mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{p} + \mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{{p\left( {p - 1} \right)}} = \mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{p} + {{C}_{{20}}},$
а также известную оценку (см. [19], стр. 129)
$\mathop \sum \limits_{p \leqslant x} \frac{{\ln p}}{p} = \frac{1}{{\varphi \left( M \right)}}\ln x + O\left( 1 \right),\quad x \to + \infty ,$
где суммирование ведется по всем простым числам $p \leqslant x,~$ принадлежащим множеству ai значений любой из рассматриваемых арифметических прогрессий. Следовательно, ввиду (62) и (72), для таких p при $k \geqslant {{K}_{{13}}}$ имеем
$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{{p - 1}} = \frac{1}{{\varphi \left( M \right)}}\ln ({{s}_{k}} + {{C}_{1}}{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}^{2}})m{{s}_{k}} + \\ + \,{{C}_{{21}}}{{s}_{k}} \geqslant \frac{1}{{\varphi \left( M \right)}}m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{22}}}{{s}_{k}} \\ \end{gathered} $
и, следовательно, ввиду (70) и (71),
(73)
$\mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{m\rho }}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{23}}}{{s}_{k}}} \right),$
где произведение взято по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$), удовлетворяющим неравенствам (62).

Оценим снизу произведение (63), взятое по всем простым числам p, удовлетворяющим неравенству

(74)
$p \leqslant \exp \sqrt {\ln {{s}_{k}}} .$

Ввиду неравенств (66), (68) для этого произведения имеем оценку снизу

(75)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \geqslant \\ \geqslant {\text{exp}}\left( {\mathop \sum \limits_p \left( { - \frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} - {{C}_{{24}}}\ln {{s}_{k}}} \right)} \right)~, \\ \end{gathered} $
где произведение и сумма взяты по всем простым числам p, удовлетворяющим неравенству (74). Используя равенство (72) и следующую из (74) оценку
$\mathop \sum \limits_p \ln {{s}_{k}} \leqslant {{C}_{{25}}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} \exp \sqrt {\ln {{s}_{k}}} ,$
оценим сумму

(76)
$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_p \left( {\frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{24}}}\ln {{s}_{k}}} \right) \leqslant m{{s}_{k}}\mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{p} + \\ + \,{{C}_{{20}}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{25}}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} \exp \sqrt {\ln {{s}_{k}}} . \\ \end{gathered} $

Известно, что

$\mathop \sum \limits_{p \leqslant x} \frac{{\ln p}}{p} = \ln x + O\left( 1 \right),\quad x \to + \infty ,$
где суммирование ведется по всем простым числам $p \leqslant x.$ Поэтому при $k \geqslant {{K}_{{14}}}$ выполнено неравенство

(77)
$m{{s}_{k}}\mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{p} \leqslant m{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}~} + {{C}_{{26}}}{{s}_{k}}.$

Поэтому, ввиду неравенств (74)–(77), при $k \geqslant {{K}_{{15}}}$ имеем

(78)
$\mathop \sum \limits_p \left( {\frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{24}}}\ln {{s}_{k}}} \right) \leqslant m{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}~} + {{C}_{{27}}}{{s}_{k}}.$

Из неравенств (75) и (78) сразу следует, что

(79)
$\mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \geqslant {\text{\;exp}}\left( { - m{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}~} - {{C}_{{27}}}{{s}_{k}}} \right)~,$
где произведение и сумма взяты по всем простым числам p, удовлетворяющим неравенству (74).

Неравенства (73) и (79) дают справедливое при $~k \geqslant {{K}_{{16}}}$ неравенство

$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{m\rho }}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{23}}}{{s}_{k}} + m{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}~} + {{C}_{{27}}}{{s}_{k}}} \right) \leqslant \\ \end{gathered} $
$ \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{m\rho }}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{28}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}~} } \right),$
где произведение взято по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$), удовлетворяющим неравенствам (58).

Но тогда из неравенства (60) следует, что при условиях, что K8 – наибольшее из чисел K1, ${{K}_{2}}, \ldots ,{{K}_{{16}}}$ и $k \geqslant {{K}_{8}}$, а ${{C}_{{12}}} = {{C}_{{28}}},$ выполнено неравенство (57), т.е.

$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p \mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{\rho m}}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{12}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right), \\ \end{gathered} $
где произведение взято по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$), удовлетворяющим неравенствам (58). Лемма 4 доказана.

Доказательство неравенства (59) леммы 5 дословно повторяет доказательство леммы 4.

8. ОЦЕНКИ СНИЗУ ВЕЛИЧИН ${{\left| {{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}},{{\left| {{{l}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{p}},{{\left| {{{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}},{\text{\;}}{{\left| {{{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{p}}$

Проделаем с определителем (53) такие преобразования: умножим его первый столбец на величину ${{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right)$ и прибавим к полученному первому столбцу остальные столбцы определителя, умноженные на соответствующие uj, k(ξ), $j = 1$, ..., m – 1. С учетом равенств (20) и (50) получаем

(80)
${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right){{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{l}_{k}}\left( \xi \right)}& \ldots &{{{H}_{{m - 1}}}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{{{{N}_{1}},k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \ldots \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{P}_{{{{N}_{1}},m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}} \\ {{{u}_{{{{N}_{{m - 1}}},k}}}\left( \xi \right)}& \ldots &{{{P}_{{{{N}_{{m - 1}}},m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \end{array}} \right|.$

Аналогично, умножим последний столбец определителя (53) на величину ${{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)$ и прибавим к полученному последнему столбцу остальные столбцы определителя, умноженные на соответствующие ${{u}_{{j,k}}}\left( \xi \right),j = 0, \ldots ,m - 2$. С учетом равенств (20) и (50), получаем

(81)
${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right){{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{H}_{0}}}& \ldots &{{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{P}_{{{{N}_{1}},0,k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \ldots \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{{{{N}_{1}},k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}} \\ {{{P}_{{{{N}_{{m - 1}}},0,k}}}\left( \xi \right)}& \ldots &{{{u}_{{{{N}_{{m - 1}}},k}}}\left( \xi \right)} \end{array}} \right|.$

Из равенств (12) и (19) следует, что

(82)
${{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right) = 1 + \xi {{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right).$

Обозначая ${{\delta }_{{0,i,j}}}~$ алгебраическое дополнение элемента, стоящего на пересечении строки с номером i и столбца с номером j определителя (80) и ${{\delta }_{{m - 1,i,j}}}$ алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя (81), соответственно, получаем

(83)
${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right){{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right) = {{l}_{k}}\left( \xi \right){{\delta }_{{0,1,1}}} + \mathop \sum \limits_{i = 2}^m {{\delta }_{{0,i,1}}}{{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right),$
(84)
$\begin{gathered} {{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right){{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right) = \\ = {{l}_{k}}\left( \xi \right){{\delta }_{{m - 1,1,m}}} + \mathop \sum \limits_{i = 2}^m {{\delta }_{{m - 1,i,m}}}{{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right). \\ \end{gathered} $

Из равенств (82), (83), (84) следует

(85)
$\begin{gathered} {{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right) = {{l}_{k}}\left( \xi \right)\left( {{{\delta }_{{0,1,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,1,m}}}} \right) + \\ + \,\mathop \sum \limits_{i = 2}^m \left( {{{\delta }_{{0,i,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,i,m}}}} \right){{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right). \\ \end{gathered} $

Лемма 6. Пусть $k \in \mathbb{N},k \geqslant {{K}_{{17}}}$. Тогда существует простое число pk, удовлетворяющее неравенствам (58), для которого справедливы оценки

(86)
${{\left| {{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}( - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{29}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} ),$
(87)
${{\left| {{{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}( - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}{\text{ln}}{{s}_{k}} - {{C}_{{30}}}{{s}_{k}}\sqrt {{\text{ln}}{{s}_{k}}} ).$

Доказательство. Докажем сначала, что существует простое число pk, удовлетворяющее неравенствам (58), для которого выполнено неравенство (86). Предположим противное, т.е. что для всех простых чисел p, удовлетворяющее неравенствам (58), имеем неравенство

(88)
${{\left| {{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} < {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{29}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right).$

В равенстве (85) коэффициент при форме lk(ξ) – целое число. Определитель (53) отличен от нуля. Для отличных от нуля целых чисел A выполнено неравенство

${{\left| A \right|}_{p}} \geqslant \frac{1}{{\left| A \right|}}$,
из которого, с учетом (54) следует, что для всех рассматриваемых простых чисел p выполнено неравенство
${{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \geqslant {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{9}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right),$
что, вместе с (88) при $k \geqslant {{K}_{{18}}}$ дает

(89)
${{\left| {{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} < {{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}.$

Тогда равенства (85) и неравенство (89) означают, согласно известным свойствам p – адического нормирования, что для всех рассматриваемых простых чисел p выполнено равенство

(90)
${{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} = {{\left| {\mathop \sum \limits_{i = 2}^m \left( {{{\delta }_{{0,i,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,i,m}}}} \right){{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}.$

Так как числа $\left( {{{\delta }_{{0,j,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,j,m - 1}}}} \right)$ – целые, получаем справедливые для всех рассматриваемых простых чисел p неравенства

${{\left| {{{\delta }_{{0,j,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,j,m - 1}}}} \right|}_{p}} \leqslant 1$
и из равенства (90) следует

${{\left| {\mathop \sum \limits_{i = 2}^m \left( {{{\delta }_{{0,i,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,i,m}}}} \right){{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \mathop {\max }\limits_j {{\left| {{{u}_{{{{N}_{j}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}$.

Поэтому

(91)
${{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \mathop {\max }\limits_j {{\left| {{{u}_{{{{N}_{j}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}.$

Из (91) следует, что для любого подмножества ${{\mathbb{P}}_{0}}~$ множества простых чисел $\mathbb{P}$ имеет место неравенство

(92)
$\mathop \prod \limits_{p \in {{\mathbb{P}}_{0}}} {{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \mathop \prod \limits_{p \in {{\mathbb{P}}_{0}}} \mathop {\max }\limits_j {{\left| {{{u}_{{{{N}_{j}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}.$

По лемме 4, неравенство (57),

$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p \mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{\rho m}}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{12}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right), \\ \end{gathered} $
где произведение в левой части этого неравенства взято по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$), удовлетворяющим неравенствам (58).

Известна формула произведения: для рационального числа $A \ne 0$

$\mathop \prod \limits_p {{\left| A \right|}_{p}} = \frac{1}{{\left| A \right|}}.$

Поэтому из неравенства (54) следует неравенство

(93)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \geqslant \\ \geqslant {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{9}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right), \\ \end{gathered} $
где произведение в левой части этого неравенства взято по всем простым числам p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$), удовлетворяющим неравенствам (58).

Полученные оценки (92), (57), (93) противоречат друг другу при $k \geqslant {{K}_{{19}}}~$ ввиду неравенства $\frac{{\rho m}}{{\varphi \left( M \right)}}$ > m – 1. При ${{K}_{{17}}} = {\text{max}}\left( {{{K}_{{18}}},{{K}_{{19}}}} \right)$ это опровергает сделанное предположение и доказывает справедливость неравенства (86) при некотором pk, удовлетворяющем неравенствам (58). Поскольку lk(ξ), определенная равенством (50), отличается от Lk(ξ), определенной равенством (49), лишь множителем ${{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m - 1,k}}}$, из неравенств (86), (51) следует неравенство (81) и лемма 6 доказана.

Лемма 7. Пусть $k \in \mathbb{N},k \geqslant {{K}_{{20}}}$. Тогда существует простое число pk, удовлетворяющее неравенствам (58), для которого справедливы оценки

(94)
${{\left| {{{l}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{31}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right),$
(95)
${{\left| {{{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{32}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right).$

Доказательство неравенств (94), (95) дословно повторяет доказательство леммы 6. Единственное отличие состоит в использовании неравенства (59) вместо неравенства (57) и неравенства (55) вместо неравенства (54).

6. ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ 1 И 2

Рассматриваем простое число pk, удовлетворяющее неравенствам (58).

Рассмотрим линейную форму

$~L\left( \xi \right) = {{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right).$

Как отмечено выше, она представляет собой целое pk – адическое число, поэтому разность форм

(96)
$\begin{gathered} L\left( \xi \right) - {{L}_{k}}\left( \xi \right) = {{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right) - \\ - \left( {{{h}_{0}}{{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \right) \\ \end{gathered} $
тоже представляет собой целое pk – адическое число. Согласно равенствам (5), (6), (8), (10)
(97)
$\begin{gathered} {{f}_{0}}\left( \xi \right) - {{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right) = \\ = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty ({{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}){{\xi }^{n}}, \\ \end{gathered} $
(98)
$\begin{gathered} {{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right) - {{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right) = \\ = {\kern 1pt} \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty ({{({{\alpha }_{1}}\, + \,1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}}\, + \,1)}_{n}}\, - \,{{({{\alpha }_{{1,k}}}\, + \,1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}}\, + \,1)}_{n}}){{\xi }^{n}} \\ \end{gathered} $
и при $i = 1,...,m - 2,$ ввиду (9) и (11),

$\begin{gathered} {{f}_{i}}\left( \xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( \xi \right) = \\ = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{i}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{\xi }^{n}} - \\ \end{gathered} $
$ - \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}{{\xi }^{n}} = $
(99)
$\begin{gathered} = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty ({{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{i}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - \\ - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}){{\xi }^{n}}. \\ \end{gathered} $

Рассмотрим величины

(100)
${{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}},$
(101)
${{({{\alpha }_{1}} + 1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}} + 1)}_{n}} - {{({{\alpha }_{{1,k}}} + 1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}} + 1)}_{n}}$
и, при $i = 1,...,m - 2,$

(102)
$\begin{gathered} {{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{i}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - \\ - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}. \\ \end{gathered} $

При n = 0 все разности (100)–(102) равны 0.

При $n \geqslant 1~$ представим разность (100) в виде

$\begin{gathered} {{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}} = \\ = {{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{2}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} + \\ \end{gathered} $
$ + {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{2}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - {{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{2,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}})}_{n}} + \ldots $
(103)
$\begin{gathered} + \,{{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{2,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 2,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{m - 1}}})}_{n}} - \\ - \,{{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}})}_{n}}.~ \\ \end{gathered} $

Рассмотрим входящие в (103) величины

${{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{2,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{j - 1,k}}}} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{j,k}}}} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{j + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - $
$ - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{2,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{j - 1,k}}}} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{j}}} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{j + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} = $
(104)
$\begin{gathered} = ({{({{\alpha }_{{j,k}}})}_{n}} - {{({{\alpha }_{j}})}_{n}}){{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{2,k}}})}_{n}} \ldots \\ {{({{\alpha }_{{j - 1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{j + 1}}})}_{n}} \ldots \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}})}_{n}}. \\ \end{gathered} $

Величину

(105)
$\begin{gathered} {{\left( {{{\alpha }_{{j,k}}}} \right)}_{n}} - {{\left( {{{\alpha }_{j}}} \right)}_{n}} = {{\alpha }_{{j,k}}}\left( {{{\alpha }_{{j,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{j,k}}} + n - 1} \right) - \\ - \,{{\alpha }_{j}}\left( {{{\alpha }_{j}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{j}} + n - 1} \right) \\ \end{gathered} $
можно рассматривать, как разность значений многочлена $x\left( {x + 1} \right)...\left( {x + n - 1} \right)$ в точках ${{\alpha }_{{j,k}}}$ и αj. Так как, согласно (5) и (6),
${{\alpha }_{{j,k}}} - {{\alpha }_{j}} = - \mathop \sum \limits_{l = k + 1}^\infty {{\mu }_{{j,l}}}{{\lambda }_{{l,}}}$
из неравенства (2) следует, что для любого $j = 1,...,m - 1$ выполняется неравенство

${{\left| {{{\alpha }_{{j,k}}} - {{\alpha }_{j}}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

Следовательно, для определенной равенством (105) величины выполнено неравенство

(106)
${{\left| {{{{\left( {{{\alpha }_{{j,k}}}} \right)}}_{n}} - {{{\left( {{{\alpha }_{j}}} \right)}}_{n}}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.~$

Так как ${{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{2,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{j - 1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{j + 1}}})}_{n}} \ldots \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}})}_{n}}$ – целое pk – адическое число, из (106) следует, что pk – адическая норма величины (104) не превосходит числа

(107)
$p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

Поэтому представленная в виде суммы (103) величина (100) удовлетворяет неравенству

(108)
${{\left| {{{{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}}_{n}} - {{{({{\alpha }_{{1,k}}})}}_{n}} \ldots {{{({{\alpha }_{{m - 1,k}}})}}_{n}}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}{\text{ln}}{{s}_{k}}}}.$

Легко видеть, что для разности (101) выполняется такая же оценка. Это означает, что все члены сходящихся pk – адических рядов (97) и (98) оцениваются сверху величиной (107). Поэтому

(109)
$\begin{gathered} {{\left| {{{f}_{0}}\left( \xi \right) - {{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}, \\ {{\left| {{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right) - {{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}. \\ \end{gathered} $

Представим разность (100) в виде, аналогичном (101), и заметим, что

${{\left| {\left( {{{\alpha }_{{j,k}}} + 1} \right) - \left( {{{\alpha }_{j}} + 1} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} = {{\left| {{{\alpha }_{{j,k}}} - {{\alpha }_{j}}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

Проводя аналогичные приведенным выше выкладки (103)–(109), находим, что для любого $i = 1,...,m - 2$ выполняется неравенство

(110)
${{\left| {{{f}_{i}}\left( \xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

Из равенства (96) следует, что

(111)
$\begin{gathered} L\left( \xi \right) - {{L}_{k}}\left( \xi \right) = {{h}_{0}}({{f}_{0}}\left( \xi \right) - {{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right)) + \\ + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}({{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right) - {{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)), \\ \end{gathered} $
поэтому неравенства (109) и (110) дают

(112)
${{\left| {L\left( \xi \right) - {{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

В лемме 6 доказано, что для любого $k \geqslant {{K}_{{17}}}$ выполнено неравенство (87), т.е.

${{\left| {{{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{30}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right).$

Вместе с неравенством (110) это дает

(113)
$\begin{gathered} {{\left| {L\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} = {{\left| {{{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant \\ \geqslant {\text{exp}}( - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{30}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} ) > 0. \\ \end{gathered} $

Неравенство (113) и является доказываемым неравенством (13).

Рассмотрим линейную форму

$L(\Xi ) = {{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( \Xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1}}}\left( \Xi \right).$

Как отмечено выше, она представляет собой целое pk – адическое число.

Рассмотрим разность

(114)
$L(\Xi ) - {{L}_{k}}({{\Xi }_{k}}) = L(\Xi ) - {{L}_{k}}(\Xi ) + {{L}_{k}}(\Xi ) - {{L}_{k}}({{\Xi }_{k}}).$

Рассмотрим величину $L$($\Xi $) – ${{L}_{k}}$($\Xi $) и повторим для нее рассуждения из предыдущего пункта, проведенные для разности (111). Хотя ξ – натуральное число, а Ξ – полиадическое число, при получении оценки (112) использовалось лишь то, что ξ – целое pk – адическое число, поэтому замена ξ на Ξ не повлияет на справедливость полученной оценки, иными словами, имеет место неравенство

(115)
${{\left| {L\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( \Xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

Рассмотрим величину ${{L}_{k}}\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$. Она имеет вид

(116)
${{L}_{k}}\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right) = \mathop \sum \limits_{i = 0}^{m - 1} {{h}_{i}}\left( {{{f}_{{i,k}}}\left( \Xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right).$

Каждую из разностей ${{f}_{{i,k}}}\left( \Xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$ представим в виде

(117)
$\begin{gathered} {{f}_{{i,k}}}\left( \Xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{({{\alpha }_{{1,k}}} + 1)}_{n}} \ldots \\ \ldots {{({{\alpha }_{{i,k}}} + 1)}_{n}}{{({{\alpha }_{{i + 1,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}})}_{n}}({{\Xi }^{n}} - \Xi _{k}^{n}) \\ \end{gathered} $
и заметим, что величина ${{\Xi }^{n}} - \Xi _{k}^{n}~$ равна произведению числа $\Xi - {{\Xi }_{k}}$ на целое pk – адическое число, поэтому, согласно (2) и (15)

(118)
${{\left| {{{\Xi }^{n}} - \Xi _{k}^{n}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant {{\left| {\Xi - {{\Xi }_{k}}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

Равенства (116), (117) и неравенство (118) означают, что

(119)
${{\left| {{{L}_{k}}\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

Равенство (114) и неравенства (115) и (119) дают неравенство

(120)
${{\left| {L\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$

Неравенства (95) леммы 7 и (120) показывают, что при $k \geqslant {{K}_{{21}}}~$ выполняются соотношения

${{\left| {L\left( \Xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} = {{\left| {{{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} > 0,$
иными словами, доказано неравенство (16).

Для завершения доказательства теорем осталось проверить, что при $k \geqslant {{K}_{{22}}}~$ справедливо неравенство ${{p}_{k}} < {{p}_{{k + 1}}}.~$ Для этого, ввиду (58), достаточно доказать, что при $k \geqslant {{K}_{{22}}}$ выполняется неравенство

${{s}_{k}} + {{C}_{2}}{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}^{2}} < {\text{exp\;}}\sqrt {\ln {{s}_{{k + 1}}}} .$

Согласно (2) и (3), ${{s}_{{k + 1}}} \geqslant {\text{exp}}{{\lambda }_{{k + 1}}}~$ и

${{\lambda }_{{k + 1}}} \geqslant \mathop \prod \limits_{p \leqslant {{s}_{k}} + 2{{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}}^{2}}} {\text{exp}}\left( {\ln p\left( {m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}} \right)} \right) = $
${\text{ = }}\,{\text{exp}}\left( {\mathop \sum \limits_{p \leqslant {{s}_{k}} + 2{{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}}^{2}}} \ln p\left( {m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}} \right)} \right) \geqslant {\text{exp}}s_{k}^{2}.$
Здесь была использована грубая оценка

$\mathop \sum \limits_{p \leqslant {{s}_{k}} + 2{{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}}^{2}}} \ln p \geqslant \frac{{{{s}_{k}}}}{{2\ln {{s}_{k}}}}.$

Таким образом, ввиду (3),

$\begin{gathered} ~{{s}_{{k + 1}}} \geqslant {\text{exp}}{{\lambda }_{{k + 1}}},\quad \ln {{s}_{{k + 1}}} \geqslant {{\lambda }_{{k + 1}}} \geqslant {\text{exp}}s_{k}^{2}, \\ \sqrt {\ln {{s}_{{k + 1}}}} \geqslant {\text{exp}}\frac{1}{2}s_{k}^{2}, \\ \end{gathered} $
следовательно,
${\text{exp}}\sqrt {\ln {{s}_{{k + 1}}}} \geqslant {\text{exp}}\left( {{\text{exp}}\frac{1}{2}s_{k}^{2}} \right) > {{s}_{k}} + {{C}_{2}}{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}^{2}},$
что и требовалось доказать.

Таким образом, доказано, что для любых линейных форм L(ξ)и L(Ξ) существуют бесконечные множества чисел k и простых чисел pk, для которых ${{\left| {L\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} > 0~$ и ${{\left| {L\left( \Xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} > 0,~$ что и утверждалось в теоремах.

7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Из доказанных теорем не следует линейная независимость p-адических чисел ${{f}_{0}}\left( \xi \right), \ldots ,{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right)$ и, соответственно, ${{f}_{0}}(\Xi ), \ldots ,{{f}_{{m - 1}}}(\Xi ),$ для заданного простого числа p.

Можно высказать гипотезу о том, что для любого простого числа p эти p-адические числа f0(ξ), ..., ${{f}_{{m - 1}}}(\xi )$ и, соответственно, f0(Ξ), ..., ${{f}_{{m - 1}}}(\Xi ),~$ линейно независимы и даже алгебраически независимы при определенных условиях на параметры этих рядов.

Однако задачи доказательства этих утверждений весьма трудны и для их решения требуются принципиально новые подходы.

Вместе с тем теорию F-рядов [14, 15] обобщенного метода Зигеля–Шидловского можно усилить и получить общие теоремы о бесконечной алгебраической независимости значений рядов из более широкого класса, содержащего ряды с некоторыми трансцендентными параметрами. Использование подходов работ [911] позволит доказать бесконечную алгебраическую независимость значений рассмотренных рядов вида (1).

Еще одно интересное направление исследований – исследование статистических свойств цифр натуральных чисел, представляющих собой частичные суммы полиадических рядов.

Список литературы

  1. Чирский В.Г. Новые задачи теории трансцендентных полиадических чисел // ДАН. 2022. Т. 505. С. 63–65. https://doi.org/10.31857/S2686954322040075

  2. Chirskii V.G. Arithmetic Properties of an Euler-Type Series with Polyadic Liouvillean Parameter // Russ. J. Math. Phys. 2021.V. 28. № 3. P. 294–302. https://doi.org/10.1134/S1061920819030051

  3. Чирский В.Г. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов с поли- адическим лиувиллевым параметром // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. № 2. С. 156–167. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-304-312

  4. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций // Матем. сб. 1994. Т. 185. № 3. С. 39–72.

  5. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука. 1971. 416 с.

  6. Ernvall-Hytönen A.-M., Matala-aho T., Seppälä L. Euler’s divergent series in arithmetic progressions // J. Integer Sequences. 2019. V. 22. Article 19.2.2. 10 p.

  7. Matala-aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations // J. Number Theory. 2018. V. 186. P. 202–210. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.09.026

  8. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 448 с.

  9. Салихов В.Х. Критерий алгебраической независимости одного класса гипергеометрических E-функций // Матем. сб. 1990. Т. 181. № 2. С. 189–211.

  10. Салихов В.Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений E-функций // Acta Arithm. 1990. V. 53. P. 453–471.

  11. Beukers F., Brownawell W.D., Heckman G. Siegel normality // Ann. Math. 1988. Ser. 127. P. 279–308.

  12. Bombieri E. On G-functions // Recent Progress in Analytic Number Theory. V. 2. London: Academic Press. 1981. P. 1–68.

  13. Галочкин А.И. Об алгебраической независимости значений E-функций в некоторых трансцендентных точках // Вестник МГУ. Сер. 1, матем., механ. 1970. № 5. С. 58–63.

  14. Bertrand D., Chiskii V., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. V. 13. № 2. P. 241–260.

  15. Chirskii V.G. Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers // Russ. J. Math. Phys. 2019. V. 26. № 3. P. 286–305. https://doi.org/10.1134/S1061920821030031

  16. Chudnovsky G.V. On application of Diophantine approximations // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1985. V. 81. P. 7261–7265.

  17. Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34. № 1. С. 53–62.

  18. Чирский В.Г. Об арифметических свойствах обобщенных гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78. № 6. С. 193–210. https://doi.org/10.4213/im8169

  19. Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 512 с.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления