Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 95-107
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЗНАЧЕНИЙ ОБОБЩЕННЫХ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ С ПОЛИАДИЧЕСКИМИ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
1 Московский государственный университет
имени М.В. Ломоносова
Москва, Россия
* E-mail: vgchirskii@yandex.ru
Поступила в редакцию 10.07.2022
После доработки 18.08.2022
Принята к публикации 20.08.2022
- EDN: QRIITD
- DOI: 10.31857/S2686954322050071
Аннотация
Доказаны теоремы о бесконечной линейной независимости значений обобщенных гипергеометрических рядов вида $\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}},$ среди параметров которых трансцендентные полиадические числа Лиувилля.
1. ВВЕДЕНИЕ
В статье доказываются теоремы, сформулированные в статье [1]. В них установлена арифметическая природа значений обобщенных гипергеометрических рядов вида
(1)
$\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}},$Частные случай этой задачи, относящиеся к рядам
Во всех этих работах существенно использованы аппроксимации Эрмита-Паде из работы Ю.В. Нестеренко [4].
Дадим необходимые для дальнейшего определения. Символ ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}a$ обозначает степень, в которой простое число p входит в разложение рационального числа a на множители. p – адическая норма числа a определяется равенством |a|p = = ${{p}^{{ - or{{d}_{p}}a}}}.$ Поле p – адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ представляет собой пополнение поля рациональных чисел по p – адической норме. Кольцом целых полиадических чисел называется прямое произведение колец целых p – адических чисел по всем простым числам p. Теория полиадических чисел изложена в книге [5]. Элементы θ кольца целых полиадических чисел можно рассматривать как бесконечномерные векторы, координаты которых в соответствующем поле p – адических чисел ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ обозначаем ${{\theta }^{{\left( p \right)}}}$. Бесконечная линейная независимость полиадических чисел ${{\theta }_{1}}, \ldots ,{{\theta }_{m}}~$означает, что для любой ненулевой линейной формы ${{h}_{1}}{{x}_{1}} + \ldots + {{h}_{m}}{{x}_{m}}$ с целыми коэффициентами h1, ..., ${{h}_{m}}$ существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство ${{h}_{1}}\theta _{1}^{{\left( p \right)}} + \ldots + {{h}_{m}}\theta _{m}^{{\left( p \right)}} \ne 0.$
Вместе с тем представляют интерес задачи, в которых рассматриваются простые числа только из некоторых собственных подмножеств множества простых чисел. Будем говорить в таком случае о бесконечной линейной независимости с ограничениями на указанное множество. Ограничения на подмножества простых чисел получены при рассмотрении простых чисел из совокупностей арифметических прогрессий. Этот подход был использован в работах В.В. Зудилина, Т. Матала-ахо, А.-М. Эрнвалл-Хитонен, Т. Сеппала [6, 7], относящихся к так называемому ряду Эйлера $\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty n!{{\left( { - z} \right)}^{n}}$.
Каноническое представление элемента θ кольца целых полиадических чисел имеет вид ряда
Будем называть полиадическое число θ полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел n и P существует натуральное число A такое, что для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p \leqslant P~$, выполнено неравенство ${{\left| {\theta - A} \right|}_{p}} < {{A}^{{ - n}}}.$ Легко доказать, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля p – адических чисел.
Дадим краткое описание места рассматриваемой задачи в общем направлении исследования арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических рядов, т.е. рядов вида
Если такие ряды имеют рациональные параметры, то они сводятся к E- или G-функциям Зигеля или к F-рядам. Это позволяет применить к ним метод Зигеля-Шидловского в теории трансцендентных чисел и его модификации, см. [8–15]. Если среди параметров содержатся алгебраические иррациональные числа, то к исследованию арифметических свойств рядов применимы аппроксимации Эрмита-Паде, см. [16–18]. Этот краткий обзор не претендует на полноту, но позволяет получить представление о характере основных результатов.
Еще раз отметим, что цель работы – исследование арифметических свойств значений рядов (1), среди параметров которых – трансцендентные полиадические числа Лиувилля. Значения рассматриваемых рядов вычисляются в точке ξ, являющейся натуральным числом, либо в точке Ξ, которая представляет собой полиадическое число Лиувилля.
2. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ
Пусть λ0 – произвольное натуральное число. Положим
Здесь и далее символ [a] обозначает целую часть числа a. Пусть ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}a$ обозначает степень, в которой простое число p входит в разложение целого числа a на простые множители.
Пусть λ1 – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа $p \leqslant {{s}_{0}} + {{C}_{1}}\lambda _{0}^{2}$ выполняется неравенство ${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\lambda }_{1}} \geqslant m{{s}_{0}}{\text{ln}}{{s}_{0}}$ и пусть ${{s}_{1}} = \left[ {{\text{exp}}{{\lambda }_{1}}} \right] + 1.$ Здесь и всюду далее символами Cr, $r = 1,2,...$ обозначены некоторые положительные абсолютные постоянные.
При $k \geqslant 2~~$ пусть λk – произвольное натуральное число, удовлетворяющее условию: для любого простого числа $p \leqslant {{s}_{{k - 1}}} + {{C}_{1}}\lambda _{{k - 1}}^{2}$ выполняется неравенство
(2)
${\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}{{\lambda }_{k}} \geqslant m{{s}_{{k - 1}}}{\text{ln}}{{s}_{{k - 1}}}$Пусть ${{\mu }_{{i,0}}},~i = 1, \ldots ,m - 1$ – натуральные числа. Пусть для любых $i = 1, \ldots ,m - 1,~k \geqslant 1~$ числа ${{\mu }_{{i,k}}}$ – неотрицательные целые и удовлетворяют неравенству
Пусть(5)
${{\alpha }_{{i,k}}} = \mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}},\quad ~i = 1, \ldots ,m - 1,$(6)
${{\alpha }_{i}} = \mathop \sum \limits_{l = 0}^\infty {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}},\quad i = 1, \ldots ,m - 1.$Далее числа ${{K}_{i}},~i = 1,2, \ldots $ – натуральные. Для всех $k \geqslant {{K}_{{1~}}}~$ ввиду (2)–(5) выполняется неравенство
(7)
$1 \leqslant {{\alpha }_{{i,k}}} = \mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\mu }_{{i,l}}}{{\lambda }_{l}}~~ \leqslant 1.1\lambda _{k}^{2},\quad i = 1, \ldots ,m - 1.~$Если для всех $l \geqslant {{K}_{{2~}}}~$ выполняются равенства ${{\mu }_{{i,l}}} = 0$, то ${{\alpha }_{i}}$ – натуральное число.
Докажем, что в противном случае ряд, определенный равенством (6), представляет собой полиадическое число Лиувилля. Этот ряд сходится в любом поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}~$ согласно (2), (3) и его сумма в этом поле представляет собой целое p – адическое число.
Более того, наложенные условия означают, что для любых натуральных чисел n и P существует натуральное число A такое, что для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p\, \leqslant \,P,~$ выполнено неравенство ${{\left| {\theta - A} \right|}_{p}} < {{A}^{{ - n}}}.$ Действительно, для всех простых чисел p, удовлетворяющих неравенству $p \leqslant {{s}_{k}} + {{C}_{1}}\lambda _{k}^{2},$ при $k \geqslant {{K}_{3}},~$ ввиду (2)–(7), имеем
При всех k положим
(8)
$\begin{gathered} {{f}_{{0,k}}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}}, \\ {{f}_{{m - 1,k}}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}} + 1} \right)}_{n}}{{z}^{n}}, \\ \end{gathered} $(9)
$\begin{gathered} {{f}_{{i,k}}}(z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{({{\alpha }_{{1,k}}} + 1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{i,k}}} + 1)}_{n}} \\ \times \,{{({{\alpha }_{{i + 1,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}})}_{n}}{{z}^{n}}. \\ \end{gathered} $Кроме того, будем рассматривать (имеющие вид (1)) ряды
(10)
$\begin{gathered} {{f}_{0}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}}, \\ {{f}_{{m - 1}}}\left( z \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}} + 1} \right)}_{n}}{{z}^{n}}, \\ \end{gathered} $(11)
${{f}_{i}}(z) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{({{\alpha }_{1}} + 1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{i}} + 1)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}}{{z}^{n}}.$Коэффициенты рядов (8), (9) – натуральные числа, поэтому в любом поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ они сходятся при ${{\left| z \right|}_{p}} < {{p}^{{\frac{{m - 1}}{{p - 1}}}}}.$ Поскольку$~{{\alpha }_{i}},i = 1,...,m - 1~$ можно рассматривать как целые p – адические числа, выполняется неравенство
Действительно, пусть ω – целое p – адическое число. Представим его в виде
Отметим важное для дальнейшего тождество, которое легко следует из определений (8):
(12)
${{f}_{{0,k}}}(z) = 1 + {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m - 1,k}}}z{{f}_{{m - 1,k}}}(z).~$Сформулируем основные результаты работы. Пусть M – натуральное число. Рассмотрим приведенную систему вычетов по ${\text{mod}}(M).$ Как обычно, число элементов этой системы обозначается $\varphi \left( M \right)$, где $\varphi \left( M \right)$ – функция Эйлера. Пусть произвольным образом выбраны ρ различных элементов ${{a}_{1}}, \ldots ,{{a}_{{\rho ~}}}$ этой приведенной системы вычетов. Будем обозначать ${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$ множества натуральных значений, принимаемых прогрессиями ai + Mk, $k \in \mathbb{Z}$. Используя стандартное обозначение $\mathbb{P}$ для множества простых чисел, будем обозначать $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$) множество простых чисел, входящих в объединение множеств ${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$.
Теорема 1. Пусть $m \geqslant 3,M,~\rho $ – натуральные числа. Пусть
Тогда для любых целых чисел ${{h}_{0}}, \ldots ,{{h}_{{m - 1}}}$, не равных нулю одновременно и любого натурального числа ξ существует бесконечное множество простых чисел p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$) таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство
(13)
${{\left| {L\left( \xi \right)} \right|}_{p}} = {{\left| {{{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} > 0.$Пусть натуральные числа ${{\vartheta }_{k}}$ удовлетворяют при любом k неравенству
Пусть
Теорема 2. Пусть $m \geqslant 3,M,~\rho $ – натуральные числа. Пусть
Тогда для любых целых чисел ${{h}_{0}}, \ldots ,{{h}_{{m - 1}}}$, не равных нулю одновременно и числа Ξ, определенного равенством (15) и условиями (14), существует бесконечное множество простых чисел p из множества $\mathbb{P}$(${{{\mathbf{a}}}_{1}}, \ldots ,{{{\mathbf{a}}}_{{\rho ~}}}$) таких, что в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$ выполняется неравенство
(16)
${{\left| {L\left( {{\Xi }} \right)} \right|}_{p}} = {{\left| {{{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( {{\Xi }} \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1}}}\left( {{\Xi }} \right)} \right|}_{p}} > 0.$Отметим, что в неравенствах (13) и (16) символы $~{{f}_{0}}\left( \xi \right)$, …, ${{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right),$ $~{{f}_{0}}\left( {{\Xi }} \right)$, …, ${{f}_{{m - 1}}}\left( {{\Xi }} \right)~$ означают суммы этих рядов в поле ${{\mathbb{Q}}_{p}}$.
3. АППРОКСИМАЦИИ ЭРМИТА-ПАДЕ
Приведенные выше формулировки теорем отличаются от формулировок из статьи [1] тем, что здесь используется обозначение m – 1 для числа, обозначенного m в работе [1]. Это связано с тем, что в доказательстве существенно использованы результаты и сохранены соответствующие обозначения из работы Ю.В. Нестеренко [4].
При каждом натуральном k рассмотрим числа (5) и обозначим ${{\alpha }_{{m,k}}} = 1$. Для любого $N = ms + r$, где $1 \leqslant r \leqslant m~,$ полагаем
Число t определим равенством $t = \left[ {\frac{{N - 1}}{{m - 1}}} \right].$ Используя обычное обозначение
(18)
${{f}_{{N,k}}}\left( z \right) = {}_{m}^{{}}{{F}_{0}}\left( {{{\alpha }_{{N + 1,k}}}, \ldots ,{{\alpha }_{{N + m,k}}},z} \right).$Обозначим
(19)
${{u}_{{N,k}}}\left( z \right) = {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}{{z}^{t}}{{f}_{{N,k}}}\left( z \right).$Лемма 1. Для любого N существуют многочлены ${{P}_{{N,i,k}}}\left( z \right),~i = 0,1, \ldots ,m - 1$ такие, что выполняется равенство
(20)
${{u}_{{N,k}}}(z) = {{P}_{{N,0,k}}}(z){{u}_{{0,k}}}(z) + \ldots + {{P}_{{N,m - 1,k}}}(z){{u}_{{m - 1,k}}}(z).$При этом степени многочленов PN,i,k(z), $i = 0,1, \ldots ,m - 1$ не превосходят числа $t - s$, ряды ${{f}_{{0,k}}}\left( z \right),~ \ldots ,~{{f}_{{m - 1,k}}}\left( z \right)$ линейно независимы над $\mathbb{C}$(z) и выполняются рекуррентные соотношения:
(21)
${{u}_{{N + m,k}}}\left( z \right) = {{u}_{{N + 1,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{N + 1,k}}}{{u}_{{N,k}}}\left( z \right),$(22)
${{u}_{{N + m,k}}}\left( z \right) = {{u}_{{N + 1,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{N + 1,k}}}z{{u}_{{N,k}}}\left( z \right),$(23)
${{P}_{{N + m,i,k}}}\left( z \right) = {{P}_{{N + 1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{N + 1,k}}}{{P}_{{N,k}}}\left( z \right),$(24)
${{P}_{{N + m,i,k}}}\left( z \right) = {{P}_{{N + 1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{N + 1,k}}}z{{P}_{{N,k}}}\left( z \right),$При этом для всех неотрицательных целых значений N имеет место равенство
(25)
${{\Delta }_{{N,k}}}\left( z \right) = {{\left( { - 1} \right)}^{{mN}}}{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}{{z}^{t}},$(26)
${{\Delta }_{{N,k}}}\left( z \right) = {{\left| {{{P}_{{N + j,i,k}}}\left( z \right)} \right|}_{{i,j = 0,1, \ldots ,m - 1}}}.$Эта лемма доказана в работе [18]. Она является непосредственным следствием результатов работы [4]. Точнее говоря, все равенства (20)–(26) могут быть получены способом, указанным в работе [18] из части утверждений, доказанных в [4] (лемма 1, следствие 2, теорема 2, лемма 2).
Отметим, что из равенства (20) следуют равенства
4. ОЦЕНКИ КОЭФФИЦИЕНТОВ ПРИБЛИЖАЮЩИХ ФОРМ
Рассмотрим при каждом k величину ${\text{max}}({{\alpha }_{{1,k}}}$, ..., αm, k). Из (5) и (7) следует, что
(28)
$2 \leqslant {\text{max}}\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}, \ldots ,{{\alpha }_{{m,k}}}} \right) + 1 \leqslant {{c}_{0}}\left( k \right) = {{C}_{2}}{{\left( {{\text{ln}}{{s}_{k}}} \right)}^{2}}$По определению, высотой H(P(z)) многочлена P(z) с целыми коэффициентами называется максимум абсолютных величин его коэффициентов.
Лемма 2. Пусть $k \in \mathbb{N},k \geqslant {{K}_{4}},s \in \mathbb{N},s = {{s}_{k}}$, где число sk определено равенством (3). Пусть N = = $m{{s}_{k}} + r,~1 \leqslant r \leqslant m$. Тогда высота $H({{P}_{{N,i,k}}}\left( z \right))$ многочлена PN,i,k(z), $~i = 0,1, \ldots ,m - 1$ не превосходит числа
Доказательство. Используем метод математической индукции и докажем сначала, что
(30)
$H({{P}_{{N,i,k}}}\left( z \right)) \leqslant c_{0}^{N}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right).$Основание индукции сразу следует из равенств (27) при $~r = 1,...,m - 1$. При r = m получаем, ввиду (23)
Индуктивное предположение – пусть при некотором $s,s \geqslant 1~$ и всех $~i,i = 0,...,m - 1$ и всех r, $r = 1,...,m~$ справедливы неравенства
(31)
$H({{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r,i,k}}}\left( z \right)) \leqslant c_{0}^{{m\left( {s - 1} \right) + r}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s - 1} \right).$При каждом $i,i = 0,1,...,m - 1$ выполняется одно из равенств
(32)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms + r,i,k}}}\left( z \right)} \right) = \\ = H\left( {{{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,k}}}{{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r,i,k}}}\left( z \right)} \right), \\ \end{gathered} $(33)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms + r,i,k}}}\left( z \right)} \right) = \\ = H\left( {{{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,i,k}}}\left( z \right) - {{\alpha }_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,k}}}z{{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r,i,k}}}\left( z \right)} \right). \\ \end{gathered} $Из (17), (28) получаем
(34)
${{\alpha }_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,k}}} = {{\alpha }_{{r + 1,k}}} + s - 1 \leqslant {{c}_{0}} + s.$Если $r \leqslant m - 1,$ то и в случае (32) и в случае (33) получаем
(35)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms + r,i,k}}}(z)} \right) \leqslant \\ \leqslant H({{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,i,k}}}(z)) + {{\alpha }_{{m\left( {s - 1} \right) + r + 1,k}}}H({{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + r,i,k}}}(z)). \\ \end{gathered} $Используя (31), (34), (35), получаем, поскольку $2{{c}_{0}} \leqslant c_{0}^{m},$
(36)
$ \leqslant c_{0}^{{ms + r}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right).$Рассмотрим случай r = m. При каждом i, $i = 0,1,...,m - 1$ выполняется одно из равенств
(37)
$H({{P}_{{m\left( {s + 1} \right),i,k}}}(z))\, = \,H({{P}_{{ms + 1,i,k}}}(z)\, - \,{{\alpha }_{{ms + 1,k}}}{{P}_{{ms,i,k}}}(z)),$(38)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{m\left( {s + 1} \right),i,k}}}(z)} \right) = \\ = H\left( {{{P}_{{ms + 1,i,k}}}(z) - {{\alpha }_{{ms + 1,k}}}z{{P}_{{ms,i,k}}}(z)} \right). \\ \end{gathered} $Из (17), (28) получаем
Как в случае (37), так и в случае (38) получаем
(40)
$\begin{gathered} H({{P}_{{m\left( {s + 1} \right),i,k}}}(z)) \leqslant \\ \leqslant H({{P}_{{ms + 1,i,k}}}(z)) + {{\alpha }_{{ms + 1,k}}}H({{P}_{{ms,i,k}}}(z)). \\ \end{gathered} $По уже доказанному, имеем
(41)
$H\left( {{{P}_{{ms + 1,i,k}}}\left( z \right)} \right) \leqslant c_{0}^{{ms + 1}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right)$По предположению индукции,
(42)
$\begin{gathered} H\left( {{{P}_{{ms,i,k}}}\left( z \right)} \right) = H({{P}_{{m\left( {s - 1} \right) + m,i,k}}}\left( z \right)) \leqslant \\ \leqslant \,~c_{0}^{{ms}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s - 1} \right). \\ \end{gathered} $Из соотношений (39)–(42) получаем
(43)
$\begin{gathered} = c_{0}^{{ms}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right)\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \leqslant \\ \leqslant 2c_{0}^{{ms + 1}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right) \leqslant \\ \leqslant c_{0}^{{m\left( {s + 1} \right)}}\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right), \\ \end{gathered} $Индукция проведена и неравенство (30) доказано.
Величина $\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right)$ выражается через значения гамма-функции Эйлера равенством
(44)
$\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + s} \right) = \frac{{\Gamma ({{c}_{0}} + s + 1)}}{{\Gamma ({{c}_{0}} + 1)}}.$Известно, что для любой постоянной величины a и любого δ > 0 при $\left| s \right| \to + \infty $ равномерно при $ - \pi + \delta \leqslant {\text{arg}}s \leqslant \pi - \delta ~$ имеет место равенство
(45)
$\begin{gathered} \ln \Gamma \left( {s + a} \right) = \\ = \left( {s + a - \frac{1}{2}} \right){\text{ln}}s - s + \frac{1}{2}\pi {\text{ln}}2 + O\left( {\frac{1}{{\left| s \right|}}} \right).~ \\ \end{gathered} $Из (44),(45) сразу следует, что при $s = {{s}_{k}} \to \infty ,$ (что равносильно условию: при $k \to \infty $), имеем
(46)
$\left( {{{c}_{0}} + 1} \right) \ldots \left( {{{c}_{0}} + {{s}_{k}}} \right) = {\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + O\left( {{{s}_{k}}} \right)} \right).$Величина $c_{0}^{{m\left( {{{s}_{k}} + 1} \right)}}$ с учетом (28) имеет при $k \geqslant {{K}_{4}}~$ оценку сверху ${\text{exp}}({{C}_{4}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}})$.
Вместе с равенством (46) и неравенствами (43) и (36) это доказывает оценку (29) и утверждение леммы.
Следствие 1. Пусть $\xi \in \mathbb{N}.$ При условиях леммы при всех $k \geqslant {{K}_{5}}$ выполняется неравенство
(47)
$\left| {{{P}_{{N,i,k}}}\left( \xi \right)} \right| \leqslant {\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{5}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right).$Следствие 2. Пусть Ξ определено равенством (15). Пусть Ξk= $\mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\vartheta }_{l}}{{\lambda }_{l}}.$ При условиях леммы при всех $k \geqslant {{K}_{6}}~$ выполняется неравенство
(48)
$\left| {{{P}_{{N,i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right| \leqslant {\text{exp}}\left( {{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{6}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right).$Доказательства этих следствий практически аналогичны. В следствии 1 точка ξ – фиксированное натуральное число. По лемме 1 степень многочлена ${{P}_{{N,i,k}}}$(z) равна t – s, т.е. не превосходит числа ${{C}_{7}}{{s}_{k}}$, поэтому, при $k \geqslant {{K}_{5}}$
В следствии 2 число Ξk удовлетворяет неравенству ${{\Xi }_{k}} \leqslant {{C}_{8}}{{\left( {\ln {{s}_{k}}} \right)}^{2}}$, поэтому при $~k \geqslant {{K}_{6}}$
5. ОЦЕНКИ ДЛЯ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Вместе с формой L(ξ), определенной формулой (13), рассмотрим форму
(49)
${{L}_{k}}\left( \xi \right) = {{h}_{0}}{{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)$(50)
$\begin{gathered} {{l}_{k}}\left( \xi \right) = {{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m - 1,k}}}{{L}_{k}}\left( \xi \right) = \\ = {{H}_{0}}{{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right) + \ldots + {{H}_{{m - 1}}}{{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right), \\ \end{gathered} $Ввиду неравенств (28),
По лемме 1, равенство (25) означает, что определитель (26), составленный из вычисленных в точке ξ коэффициентов линейных форм $~{{u}_{{N,k}}}(\xi )$, ..., $~{{u}_{{N + m,k}}}(\xi ),$ определенных равенством (19), отличен от 0. Поэтому среди этих форм найдутся m – 1 форм, линейно независимых с формой lk(ξ), определенной в (50). Пусть это – формы
где(52)
$\left\{ {{{N}_{1}}, \ldots ,{{N}_{{m - 1}}}} \right\} \subset \left\{ {N,N + 1, \ldots ,N + m - 1} \right\}.$Рассмотрим определитель полученной системы форм
(53)
${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{H}_{0}}}& \ldots &{{{H}_{{m - 1}}}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{P}_{{{{N}_{1}},0,k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \ldots \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{P}_{{{{N}_{1}},m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}} \\ {{{P}_{{{{N}_{{m - 1}}},0,k}}}\left( \xi \right)}& \ldots &{{{P}_{{{{N}_{{m - 1}}},m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \end{array}} \right|,$Рассмотрим формы (49) и (50) в точке Ξk= = $\mathop \sum \limits_{l = 0}^k {{\vartheta }_{l}}{{\lambda }_{l}}.~$ Для формы ${{l}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$ тоже существуют m – 1 линейных форм среди форм ${{u}_{{N,k}}}({{\Xi }_{k}})~$, ..., ${{u}_{{N + m,k}}}({{\Xi }_{k}})~$ линейно независимых с ней. Пусть это – формы
Отметим, что теперь выбор чисел ${{N}_{1}}, \ldots ,{{N}_{{m - 1}}}~$ может быть отличен от того выбора (52), что ранее соответствовал определителю (53). Тем не менее мы сохраним для определителя вновь полученной системы из m линейно независимых форм прежнее обозначение ${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$.
Далее числа Ki зависят от числа h, постоянного для рассматриваемой формы ${{L}_{k}}\left( \xi \right).$
Лемма 3. Для любого $k \geqslant {{K}_{7}}~$ выполняются неравенства
(54)
$\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right| \leqslant {\text{exp}}(\left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{9}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}),$(55)
$\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right| \leqslant {\text{exp}}(\left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{10}}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}).$Доказательство. По следствию 1 леммы 2, (неравенство (47)), при $k \geqslant {{K}_{5}},$
(56)
$ \leqslant H{\text{exp}}(\left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{11}}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}).~$Из неравенств (51) и (56) сразу следует (54).
Доказательство неравенства (55) дословно совпадает с доказательством неравенства (54). Единственное различие состоит в использовании следствия 2 леммы 2 (неравенства (48)). При этом K7 – наибольшее из чисел K5 и K6.
6. ОЦЕНКИ СВЕРХУ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НОРМ ПРИБЛИЖАЮЩИХ ФОРМ
Лемма 4. Пусть $k \in \mathbb{N},~k \geqslant {{K}_{8}},~$ где K8– эффективная постоянная, $s \in \mathbb{N},~$ причем s = sk. Пусть M, ρ – натуральные числа. Пусть $\rho > \frac{{\varphi \left( M \right)\left( {m - 1} \right)}}{m}.$ Тогда для любого ${{N}_{i}}\, \in \,\{ N,N\, + \,1 < \ldots ,N\, + \,m - 1\} ~$ справедливы неравенства
(57)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p \mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{\rho m}}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{12}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right), \\ \end{gathered} $(58)
$\exp \sqrt {\ln {{s}_{k}}} \leqslant p \leqslant {{s}_{k}} + {{C}_{1}}{{(\ln {{s}_{k}})}^{2}}.$Лемма 5. Пусть $k \in \mathbb{N},k \geqslant {{K}_{9}},~$ где K9 – эффективная постоянная, $s \in \mathbb{N},~$ причем s = sk. Пусть M, ρ – натуральные числа. Пусть $\rho > \frac{{\varphi \left( M \right)\left( {m - 1} \right)}}{m}.$ Тогда для любого ${{N}_{i}} \in \{ N,N + 1 < \ldots ,N + m - 1\} ~$ справедливы неравенства
(59)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p \mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{\rho m}}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{13}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right), \\ \end{gathered} $Доказательство леммы 4. Из равенств (18), (19) следует, что
Так как для любого простого числа p величина $F\left( {{{\alpha }_{{{{N}_{i}},k}}} + 1, \ldots ,{{\alpha }_{{{{N}_{i}},k}}} + m,\xi } \right)$ представляет собой целое p – адическое число, то
(60)
$\mathop \prod \limits_p \mathop {\max }\limits_i {{\left| {{{u}_{{{{N}_{i}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}},$Согласно (17),
(61)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{r + 1,k}}}({{\alpha }_{{r + 1,k}}} + 1) \ldots ({{\alpha }_{{r + 1,k}}} + {{s}_{k}} - 1) \ldots \\ {{\alpha }_{{m,k}}}({{\alpha }_{{m,k}}} + 1) \ldots ({{\alpha }_{{m,k}}} + {{s}_{k}} - 1). \\ \end{gathered} $В разложение величины α1,k … αN,k на простые множители, согласно (28), (3), входят только простые числа p с условием
(62)
$p \leqslant {{s}_{k}} + {{C}_{1}}\lambda _{k}^{2} \leqslant {{s}_{k}} + {{C}_{1}}{{({\text{ln}}{{s}_{k}})}^{2}}.$Оценим сверху величину произведения
(63)
$\mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}},$Рассмотрим произведение
(64)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}} \right) = \frac{{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}} \right)!}}{{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} - 1} \right)!}}~,~ \\ i = 1, \ldots ,r. \\ \end{gathered} $Простое число p входит в произведение (64) в степени
(65)
$ = \frac{{{{s}_{k}} - {{S}_{{{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}}}} + {{S}_{{{{\alpha }_{{i,k}}} - 1}}} + 1}}{{p - 1}},$Поэтому
Поэтому степень (65), с учетом неравенств (28), при $k \geqslant {{K}_{{10}}}$ лежит в пределах
(66)
$\begin{gathered} \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} - {{C}_{{14}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}_{p}}{{s}_{k}} \leqslant \\ \leqslant {\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}}} \right)} \right) \leqslant \\ \leqslant \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} + {{C}_{{15}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}_{p}}\ln {{s}_{k}}. \\ \end{gathered} $Рассмотрим произведение
(67)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}} - 1} \right) = \frac{{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}} - 1} \right)!}}{{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} - 1} \right)!}},~ \\ i = r + 1, \ldots ,m. \\ \end{gathered} $Для каждого из произведений (67) аналогично (66) получаем, что простое число p при $k \geqslant {{K}_{{11}}}~$ входит в это произведение в степени, удовлетворяющей неравенствам
(68)
$\begin{gathered} \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} - {{C}_{{16}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}_{p}}{{s}_{k}} \leqslant \\ \leqslant {\text{or}}{{{\text{d}}}_{p}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}}\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + {{s}_{k}} - 1} \right)} \right) \leqslant \\ \leqslant \frac{{{{s}_{k}}}}{{p - 1}} + {{C}_{{17}}}{\text{lo}}{{{\text{g}}}_{p}}\ln {{s}_{k}}. \\ \end{gathered} $Таким образом, из неравенств (66), (68) и равенства (61) следует, что для всех рассматриваемых простых чисел p при $~k \geqslant {{K}_{{12}}}$ выполняется неравенство
(69)
${{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{18}}}\ln {{s}_{k}}} \right).$Неравенство (69) означает, что имеет место неравенство
(70)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant \\ \leqslant {\text{exp}}\left( {\mathop \sum \limits_p \left( { - \frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{18}}}\ln {{s}_{k}}} \right)} \right), \\ \end{gathered} $Используем равенство
(72)
$\mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{{p - 1}} = \mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{p} + \mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{{p\left( {p - 1} \right)}} = \mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{p} + {{C}_{{20}}},$(73)
$\mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \leqslant {\text{exp}}\left( { - \frac{{m\rho }}{{\varphi \left( M \right)}}{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} + {{C}_{{23}}}{{s}_{k}}} \right),$Оценим снизу произведение (63), взятое по всем простым числам p, удовлетворяющим неравенству
Ввиду неравенств (66), (68) для этого произведения имеем оценку снизу
(75)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \geqslant \\ \geqslant {\text{exp}}\left( {\mathop \sum \limits_p \left( { - \frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} - {{C}_{{24}}}\ln {{s}_{k}}} \right)} \right)~, \\ \end{gathered} $(76)
$\begin{gathered} \mathop \sum \limits_p \left( {\frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{24}}}\ln {{s}_{k}}} \right) \leqslant m{{s}_{k}}\mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{p} + \\ + \,{{C}_{{20}}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{25}}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} \exp \sqrt {\ln {{s}_{k}}} . \\ \end{gathered} $Известно, что
(77)
$m{{s}_{k}}\mathop \sum \limits_p \frac{{\ln p}}{p} \leqslant m{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}~} + {{C}_{{26}}}{{s}_{k}}.$Поэтому, ввиду неравенств (74)–(77), при $k \geqslant {{K}_{{15}}}$ имеем
(78)
$\mathop \sum \limits_p \left( {\frac{{\ln p}}{{p - 1}}m{{s}_{k}} + {{C}_{{24}}}\ln {{s}_{k}}} \right) \leqslant m{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}~} + {{C}_{{27}}}{{s}_{k}}.$Из неравенств (75) и (78) сразу следует, что
(79)
$\mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{N,k}}}} \right|}_{p}} \geqslant {\text{\;exp}}\left( { - m{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}~} - {{C}_{{27}}}{{s}_{k}}} \right)~,$Неравенства (73) и (79) дают справедливое при $~k \geqslant {{K}_{{16}}}$ неравенство
Но тогда из неравенства (60) следует, что при условиях, что K8 – наибольшее из чисел K1, ${{K}_{2}}, \ldots ,{{K}_{{16}}}$ и $k \geqslant {{K}_{8}}$, а ${{C}_{{12}}} = {{C}_{{28}}},$ выполнено неравенство (57), т.е.
Доказательство неравенства (59) леммы 5 дословно повторяет доказательство леммы 4.
8. ОЦЕНКИ СНИЗУ ВЕЛИЧИН ${{\left| {{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}},{{\left| {{{l}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{p}},{{\left| {{{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}},{\text{\;}}{{\left| {{{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{p}}$
Проделаем с определителем (53) такие преобразования: умножим его первый столбец на величину ${{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right)$ и прибавим к полученному первому столбцу остальные столбцы определителя, умноженные на соответствующие uj, k(ξ), $j = 1$, ..., m – 1. С учетом равенств (20) и (50) получаем
(80)
${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right){{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{l}_{k}}\left( \xi \right)}& \ldots &{{{H}_{{m - 1}}}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{{{{N}_{1}},k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \ldots \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{P}_{{{{N}_{1}},m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}} \\ {{{u}_{{{{N}_{{m - 1}}},k}}}\left( \xi \right)}& \ldots &{{{P}_{{{{N}_{{m - 1}}},m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \end{array}} \right|.$Аналогично, умножим последний столбец определителя (53) на величину ${{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)$ и прибавим к полученному последнему столбцу остальные столбцы определителя, умноженные на соответствующие ${{u}_{{j,k}}}\left( \xi \right),j = 0, \ldots ,m - 2$. С учетом равенств (20) и (50), получаем
(81)
${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right){{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{{H}_{0}}}& \ldots &{{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{P}_{{{{N}_{1}},0,k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} \ldots \\ \ddots \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {{{u}_{{{{N}_{1}},k}}}\left( \xi \right)} \\ \ddots \end{array}} \\ {{{P}_{{{{N}_{{m - 1}}},0,k}}}\left( \xi \right)}& \ldots &{{{u}_{{{{N}_{{m - 1}}},k}}}\left( \xi \right)} \end{array}} \right|.$Из равенств (12) и (19) следует, что
Обозначая ${{\delta }_{{0,i,j}}}~$ алгебраическое дополнение элемента, стоящего на пересечении строки с номером i и столбца с номером j определителя (80) и ${{\delta }_{{m - 1,i,j}}}$ алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя (81), соответственно, получаем
(83)
${{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right){{u}_{{0,k}}}\left( \xi \right) = {{l}_{k}}\left( \xi \right){{\delta }_{{0,1,1}}} + \mathop \sum \limits_{i = 2}^m {{\delta }_{{0,i,1}}}{{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right),$(84)
$\begin{gathered} {{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right){{u}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right) = \\ = {{l}_{k}}\left( \xi \right){{\delta }_{{m - 1,1,m}}} + \mathop \sum \limits_{i = 2}^m {{\delta }_{{m - 1,i,m}}}{{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right). \\ \end{gathered} $Из равенств (82), (83), (84) следует
(85)
$\begin{gathered} {{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right) = {{l}_{k}}\left( \xi \right)\left( {{{\delta }_{{0,1,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,1,m}}}} \right) + \\ + \,\mathop \sum \limits_{i = 2}^m \left( {{{\delta }_{{0,i,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,i,m}}}} \right){{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right). \\ \end{gathered} $Лемма 6. Пусть $k \in \mathbb{N},k \geqslant {{K}_{{17}}}$. Тогда существует простое число pk, удовлетворяющее неравенствам (58), для которого справедливы оценки
(86)
${{\left| {{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}( - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{29}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} ),$(87)
${{\left| {{{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}( - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}{\text{ln}}{{s}_{k}} - {{C}_{{30}}}{{s}_{k}}\sqrt {{\text{ln}}{{s}_{k}}} ).$Доказательство. Докажем сначала, что существует простое число pk, удовлетворяющее неравенствам (58), для которого выполнено неравенство (86). Предположим противное, т.е. что для всех простых чисел p, удовлетворяющее неравенствам (58), имеем неравенство
(88)
${{\left| {{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} < {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{29}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right).$В равенстве (85) коэффициент при форме lk(ξ) – целое число. Определитель (53) отличен от нуля. Для отличных от нуля целых чисел A выполнено неравенство
из которого, с учетом (54) следует, что для всех рассматриваемых простых чисел p выполнено неравенство(89)
${{\left| {{{l}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} < {{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}.$Тогда равенства (85) и неравенство (89) означают, согласно известным свойствам p – адического нормирования, что для всех рассматриваемых простых чисел p выполнено равенство
(90)
${{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} = {{\left| {\mathop \sum \limits_{i = 2}^m \left( {{{\delta }_{{0,i,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,i,m}}}} \right){{u}_{{{{N}_{{i - 1}}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}.$Так как числа $\left( {{{\delta }_{{0,j,1}}} + \xi {{\delta }_{{m - 1,j,m - 1}}}} \right)$ – целые, получаем справедливые для всех рассматриваемых простых чисел p неравенства
и из равенства (90) следуетПоэтому
(91)
${{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \mathop {\max }\limits_j {{\left| {{{u}_{{{{N}_{j}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}.$Из (91) следует, что для любого подмножества ${{\mathbb{P}}_{0}}~$ множества простых чисел $\mathbb{P}$ имеет место неравенство
(92)
$\mathop \prod \limits_{p \in {{\mathbb{P}}_{0}}} {{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \leqslant \mathop \prod \limits_{p \in {{\mathbb{P}}_{0}}} \mathop {\max }\limits_j {{\left| {{{u}_{{{{N}_{j}},k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}}.$По лемме 4, неравенство (57),
Известна формула произведения: для рационального числа $A \ne 0$
Поэтому из неравенства (54) следует неравенство
(93)
$\begin{gathered} \mathop \prod \limits_p {{\left| {{{\Delta }_{{l,N,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{p}} \geqslant \\ \geqslant {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{9}}{{s}_{k}}\ln \ln {{s}_{k}}} \right), \\ \end{gathered} $Полученные оценки (92), (57), (93) противоречат друг другу при $k \geqslant {{K}_{{19}}}~$ ввиду неравенства $\frac{{\rho m}}{{\varphi \left( M \right)}}$ > m – 1. При ${{K}_{{17}}} = {\text{max}}\left( {{{K}_{{18}}},{{K}_{{19}}}} \right)$ это опровергает сделанное предположение и доказывает справедливость неравенства (86) при некотором pk, удовлетворяющем неравенствам (58). Поскольку lk(ξ), определенная равенством (50), отличается от Lk(ξ), определенной равенством (49), лишь множителем ${{\alpha }_{{1,k}}} \ldots {{\alpha }_{{m - 1,k}}}$, из неравенств (86), (51) следует неравенство (81) и лемма 6 доказана.
Лемма 7. Пусть $k \in \mathbb{N},k \geqslant {{K}_{{20}}}$. Тогда существует простое число pk, удовлетворяющее неравенствам (58), для которого справедливы оценки
(94)
${{\left| {{{l}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{31}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right),$(95)
${{\left| {{{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant {\text{exp}}\left( { - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{32}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} } \right).$Доказательство неравенств (94), (95) дословно повторяет доказательство леммы 6. Единственное отличие состоит в использовании неравенства (59) вместо неравенства (57) и неравенства (55) вместо неравенства (54).
6. ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ ТЕОРЕМ 1 И 2
Рассматриваем простое число pk, удовлетворяющее неравенствам (58).
Рассмотрим линейную форму
Как отмечено выше, она представляет собой целое pk – адическое число, поэтому разность форм
(96)
$\begin{gathered} L\left( \xi \right) - {{L}_{k}}\left( \xi \right) = {{h}_{0}}{{f}_{0}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right) - \\ - \left( {{{h}_{0}}{{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right) + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}{{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \right) \\ \end{gathered} $(97)
$\begin{gathered} {{f}_{0}}\left( \xi \right) - {{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right) = \\ = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty ({{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}){{\xi }^{n}}, \\ \end{gathered} $(98)
$\begin{gathered} {{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right) - {{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right) = \\ = {\kern 1pt} \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty ({{({{\alpha }_{1}}\, + \,1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}}\, + \,1)}_{n}}\, - \,{{({{\alpha }_{{1,k}}}\, + \,1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}}\, + \,1)}_{n}}){{\xi }^{n}} \\ \end{gathered} $(99)
$\begin{gathered} = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty ({{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{i}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - \\ - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}){{\xi }^{n}}. \\ \end{gathered} $Рассмотрим величины
(100)
${{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}},$(101)
${{({{\alpha }_{1}} + 1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}} + 1)}_{n}} - {{({{\alpha }_{{1,k}}} + 1)}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}} + 1)}_{n}}$(102)
$\begin{gathered} {{\left( {{{\alpha }_{1}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{i}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}_{n}} - \\ - {{\left( {{{\alpha }_{{1,k}}} + 1} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{i,k}}} + 1} \right)}_{n}}{{\left( {{{\alpha }_{{i + 1,k}}}} \right)}_{n}} \ldots {{\left( {{{\alpha }_{{m - 1,k}}}} \right)}_{n}}. \\ \end{gathered} $При n = 0 все разности (100)–(102) равны 0.
При $n \geqslant 1~$ представим разность (100) в виде
(103)
$\begin{gathered} + \,{{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{2,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 2,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{m - 1}}})}_{n}} - \\ - \,{{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}})}_{n}}.~ \\ \end{gathered} $Рассмотрим входящие в (103) величины
(104)
$\begin{gathered} = ({{({{\alpha }_{{j,k}}})}_{n}} - {{({{\alpha }_{j}})}_{n}}){{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{2,k}}})}_{n}} \ldots \\ {{({{\alpha }_{{j - 1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{j + 1}}})}_{n}} \ldots \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}})}_{n}}. \\ \end{gathered} $Величину
(105)
$\begin{gathered} {{\left( {{{\alpha }_{{j,k}}}} \right)}_{n}} - {{\left( {{{\alpha }_{j}}} \right)}_{n}} = {{\alpha }_{{j,k}}}\left( {{{\alpha }_{{j,k}}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{{j,k}}} + n - 1} \right) - \\ - \,{{\alpha }_{j}}\left( {{{\alpha }_{j}} + 1} \right) \ldots \left( {{{\alpha }_{j}} + n - 1} \right) \\ \end{gathered} $Следовательно, для определенной равенством (105) величины выполнено неравенство
(106)
${{\left| {{{{\left( {{{\alpha }_{{j,k}}}} \right)}}_{n}} - {{{\left( {{{\alpha }_{j}}} \right)}}_{n}}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.~$Так как ${{({{\alpha }_{{1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{2,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{j - 1,k}}})}_{n}}{{({{\alpha }_{{j + 1}}})}_{n}} \ldots \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1}}})}_{n}}$ – целое pk – адическое число, из (106) следует, что pk – адическая норма величины (104) не превосходит числа
Поэтому представленная в виде суммы (103) величина (100) удовлетворяет неравенству
(108)
${{\left| {{{{\left( {{{\alpha }_{1}}} \right)}}_{n}} \ldots {{{\left( {{{\alpha }_{{m - 1}}}} \right)}}_{n}} - {{{({{\alpha }_{{1,k}}})}}_{n}} \ldots {{{({{\alpha }_{{m - 1,k}}})}}_{n}}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}{\text{ln}}{{s}_{k}}}}.$Легко видеть, что для разности (101) выполняется такая же оценка. Это означает, что все члены сходящихся pk – адических рядов (97) и (98) оцениваются сверху величиной (107). Поэтому
(109)
$\begin{gathered} {{\left| {{{f}_{0}}\left( \xi \right) - {{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}, \\ {{\left| {{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right) - {{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}. \\ \end{gathered} $Представим разность (100) в виде, аналогичном (101), и заметим, что
Проводя аналогичные приведенным выше выкладки (103)–(109), находим, что для любого $i = 1,...,m - 2$ выполняется неравенство
(110)
${{\left| {{{f}_{i}}\left( \xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$Из равенства (96) следует, что
(111)
$\begin{gathered} L\left( \xi \right) - {{L}_{k}}\left( \xi \right) = {{h}_{0}}({{f}_{0}}\left( \xi \right) - {{f}_{{0,k}}}\left( \xi \right)) + \\ + \ldots + {{h}_{{m - 1}}}({{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right) - {{f}_{{m - 1,k}}}\left( \xi \right)), \\ \end{gathered} $(112)
${{\left| {L\left( \xi \right) - {{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$В лемме 6 доказано, что для любого $k \geqslant {{K}_{{17}}}$ выполнено неравенство (87), т.е.
Вместе с неравенством (110) это дает
(113)
$\begin{gathered} {{\left| {L\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} = {{\left| {{{L}_{k}}\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \geqslant \\ \geqslant {\text{exp}}( - \left( {m - 1} \right){{s}_{k}}\ln {{s}_{k}} - {{C}_{{30}}}{{s}_{k}}\sqrt {\ln {{s}_{k}}} ) > 0. \\ \end{gathered} $Неравенство (113) и является доказываемым неравенством (13).
Рассмотрим линейную форму
Как отмечено выше, она представляет собой целое pk – адическое число.
Рассмотрим разность
(114)
$L(\Xi ) - {{L}_{k}}({{\Xi }_{k}}) = L(\Xi ) - {{L}_{k}}(\Xi ) + {{L}_{k}}(\Xi ) - {{L}_{k}}({{\Xi }_{k}}).$Рассмотрим величину $L$($\Xi $) – ${{L}_{k}}$($\Xi $) и повторим для нее рассуждения из предыдущего пункта, проведенные для разности (111). Хотя ξ – натуральное число, а Ξ – полиадическое число, при получении оценки (112) использовалось лишь то, что ξ – целое pk – адическое число, поэтому замена ξ на Ξ не повлияет на справедливость полученной оценки, иными словами, имеет место неравенство
(115)
${{\left| {L\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( \Xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$Рассмотрим величину ${{L}_{k}}\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$. Она имеет вид
(116)
${{L}_{k}}\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right) = \mathop \sum \limits_{i = 0}^{m - 1} {{h}_{i}}\left( {{{f}_{{i,k}}}\left( \Xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right).$Каждую из разностей ${{f}_{{i,k}}}\left( \Xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)$ представим в виде
(117)
$\begin{gathered} {{f}_{{i,k}}}\left( \Xi \right) - {{f}_{{i,k}}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty {{({{\alpha }_{{1,k}}} + 1)}_{n}} \ldots \\ \ldots {{({{\alpha }_{{i,k}}} + 1)}_{n}}{{({{\alpha }_{{i + 1,k}}})}_{n}} \ldots {{({{\alpha }_{{m - 1,k}}})}_{n}}({{\Xi }^{n}} - \Xi _{k}^{n}) \\ \end{gathered} $(118)
${{\left| {{{\Xi }^{n}} - \Xi _{k}^{n}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant {{\left| {\Xi - {{\Xi }_{k}}} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$Равенства (116), (117) и неравенство (118) означают, что
(119)
${{\left| {{{L}_{k}}\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$Равенство (114) и неравенства (115) и (119) дают неравенство
(120)
${{\left| {L\left( \Xi \right) - {{L}_{k}}\left( {{{\Xi }_{k}}} \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} \leqslant p_{k}^{{ - m{{s}_{k}}\ln {{s}_{k}}}}.$Неравенства (95) леммы 7 и (120) показывают, что при $k \geqslant {{K}_{{21}}}~$ выполняются соотношения
Для завершения доказательства теорем осталось проверить, что при $k \geqslant {{K}_{{22}}}~$ справедливо неравенство ${{p}_{k}} < {{p}_{{k + 1}}}.~$ Для этого, ввиду (58), достаточно доказать, что при $k \geqslant {{K}_{{22}}}$ выполняется неравенство
Согласно (2) и (3), ${{s}_{{k + 1}}} \geqslant {\text{exp}}{{\lambda }_{{k + 1}}}~$ и
Таким образом, ввиду (3),
Таким образом, доказано, что для любых линейных форм L(ξ)и L(Ξ) существуют бесконечные множества чисел k и простых чисел pk, для которых ${{\left| {L\left( \xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} > 0~$ и ${{\left| {L\left( \Xi \right)} \right|}_{{{{p}_{k}}}}} > 0,~$ что и утверждалось в теоремах.
7. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Из доказанных теорем не следует линейная независимость p-адических чисел ${{f}_{0}}\left( \xi \right), \ldots ,{{f}_{{m - 1}}}\left( \xi \right)$ и, соответственно, ${{f}_{0}}(\Xi ), \ldots ,{{f}_{{m - 1}}}(\Xi ),$ для заданного простого числа p.
Можно высказать гипотезу о том, что для любого простого числа p эти p-адические числа f0(ξ), ..., ${{f}_{{m - 1}}}(\xi )$ и, соответственно, f0(Ξ), ..., ${{f}_{{m - 1}}}(\Xi ),~$ линейно независимы и даже алгебраически независимы при определенных условиях на параметры этих рядов.
Однако задачи доказательства этих утверждений весьма трудны и для их решения требуются принципиально новые подходы.
Вместе с тем теорию F-рядов [14, 15] обобщенного метода Зигеля–Шидловского можно усилить и получить общие теоремы о бесконечной алгебраической независимости значений рядов из более широкого класса, содержащего ряды с некоторыми трансцендентными параметрами. Использование подходов работ [9–11] позволит доказать бесконечную алгебраическую независимость значений рассмотренных рядов вида (1).
Еще одно интересное направление исследований – исследование статистических свойств цифр натуральных чисел, представляющих собой частичные суммы полиадических рядов.
Список литературы
Чирский В.Г. Новые задачи теории трансцендентных полиадических чисел // ДАН. 2022. Т. 505. С. 63–65. https://doi.org/10.31857/S2686954322040075
Chirskii V.G. Arithmetic Properties of an Euler-Type Series with Polyadic Liouvillean Parameter // Russ. J. Math. Phys. 2021.V. 28. № 3. P. 294–302. https://doi.org/10.1134/S1061920819030051
Чирский В.Г. Арифметические свойства значений в полиадической лиувиллевой точке рядов с поли- адическим лиувиллевым параметром // Чебышевский сборник. 2021. Т. 22. № 2. С. 156–167. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2021-22-2-304-312
Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщенных гипергеометрических функций // Матем. сб. 1994. Т. 185. № 3. С. 39–72.
Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука. 1971. 416 с.
Ernvall-Hytönen A.-M., Matala-aho T., Seppälä L. Euler’s divergent series in arithmetic progressions // J. Integer Sequences. 2019. V. 22. Article 19.2.2. 10 p.
Matala-aho T., Zudilin W. Euler factorial series and global relations // J. Number Theory. 2018. V. 186. P. 202–210. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.09.026
Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 448 с.
Салихов В.Х. Критерий алгебраической независимости одного класса гипергеометрических E-функций // Матем. сб. 1990. Т. 181. № 2. С. 189–211.
Салихов В.Х. Неприводимость гипергеометрических уравнений и алгебраическая независимость значений E-функций // Acta Arithm. 1990. V. 53. P. 453–471.
Beukers F., Brownawell W.D., Heckman G. Siegel normality // Ann. Math. 1988. Ser. 127. P. 279–308.
Bombieri E. On G-functions // Recent Progress in Analytic Number Theory. V. 2. London: Academic Press. 1981. P. 1–68.
Галочкин А.И. Об алгебраической независимости значений E-функций в некоторых трансцендентных точках // Вестник МГУ. Сер. 1, матем., механ. 1970. № 5. С. 58–63.
Bertrand D., Chiskii V., Yebbou J. Effective estimates for global relations on Euler-type series // Ann. Fac. Sci. Toulouse. 2004. V. 13. № 2. P. 241–260.
Chirskii V.G. Product Formula, Global Relations and Polyadic Integers // Russ. J. Math. Phys. 2019. V. 26. № 3. P. 286–305. https://doi.org/10.1134/S1061920821030031
Chudnovsky G.V. On application of Diophantine approximations // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1985. V. 81. P. 7261–7265.
Иванков П.Л. О линейной независимости значений целых гипергеометрических функций с иррациональными параметрами // Сиб. матем. журн. 1993. Т. 34. № 1. С. 53–62.
Чирский В.Г. Об арифметических свойствах обобщенных гипергеометрических рядов с иррациональными параметрами // Известия РАН. Сер. матем. 2014. Т. 78. № 6. С. 193–210. https://doi.org/10.4213/im8169
Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 512 с.
Дополнительные материалы отсутствуют.
Инструменты
Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления