Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 37-40

1. МОДЕЛЬ

В работе изучается линейная гамильтонова система, состоящая из поля Клейна–Гордона $\psi (x)$, $x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$, и кристаллической решетки, описываемой отклонениями $u(k) \in {{\mathbb{R}}^{n}}$, $k \in {{\mathbb{Z}}^{d}}$, $d,\,n \geqslant 1$, частиц (атомов, молекул, ионов и т.п.) от их положения равновесия. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид

где ${{\operatorname{H} }_{F}}(\psi ,\pi )$ обозначает гамильтониан поля Клейна–Гордона, ${{\operatorname{H} }_{L}}(u,v)$ – гамильтониан решетки, ${{\operatorname{H} }_{I}}(\psi ,u)$ – член взаимодействия между полем и решеткой:

Здесь m₀, ${{\nu }_{0}}$ > 0, функция взаимодействия $R( \cdot )\, \in \,{{\mathbb{R}}^{n}}$ – гладкая векторнозначная функция, экспоненциально убывающая на бесконечности, “$ \cdot $” обозначает скалярное произведение в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, ${{e}_{j}} \in {{\mathbb{Z}}^{d}}$ – вектор с координатами $e_{j}^{i} = \delta _{j}^{i}$. Вычисляя вариационные производные от гамильтониана (1), получаем следующую систему динамических уравнений

Здесь ${{\Delta }_{L}}$ обозначает дискретный оператор Лапласа на решетке ${{\mathbb{Z}}^{d}}$, ${{\Delta }_{L}}u(k): = \sum\limits_{e \in {{\mathbb{Z}}^{d}}:|e| = 1} {\left( {u(k + e) - u(k)} \right)} $. Заметим, что в случае n = d и $R(x) = - \nabla \rho (x)$ слагаемое ${{\operatorname{H} }_{I}}$ в гамильтониане (1) является линеаризованной аппроксимацией Паули–Фирца трансляционно-инвариантного взаимодействия вида $\sum\limits_{k \in {{\mathbb{Z}}^{d}}} {\int {\rho \left( {x - k - u(k)} \right)\psi (x)dx} } $ (здесь и ниже мы опускаем обозначение ${{\mathbb{R}}^{d}}$ в нижнем пределе интеграла). Поэтому система (2) может служить моделью для описания движения блоховских электронов в периодической среде, порожденной ионными ядрами (т.е. $\psi (x,t)$ описывает движение электронного облака, а $u(k,t)$ – малые отклонения ионных ядер от их положения равновесия). Понимание этого движения является одной из центральных проблем физики твердого тела, см., например, [1, главы 8, 22]. Отметим также, что в литературе большое развитие получила и квазиклассическая модель твердого тела, например, квазиклассическая динамика блоховских электронов изучается в [2, 3].

Для системы (2) мы изучаем задачу Коши с начальными данными

Введем фазовое пространство начальных данных ${{Y}_{0}} = \left( {{{\psi }_{0}},{{u}_{0}},{{\pi }_{0}},{{v}_{0}}} \right)$. Для этого сначала через $H_{\alpha }^{s} \equiv H_{\alpha }^{s}({{\mathbb{R}}^{d}})$, $s,\alpha \in \mathbb{R}$, обозначим весовые пространства Соболева, т.е. гильбертовы пространства распределений $\psi \in S{\kern 1pt} '({{\mathbb{R}}^{d}})$ с конечной нормой ${{\left\| \psi \right\|}_{{s,\alpha }}} = {{\left\| {{{{\left\langle x \right\rangle }}^{\alpha }}{{\Lambda }^{s}}\psi } \right\|}_{{{{L}^{2}}({{\mathbb{R}}^{d}})}}} < \infty $, где $\left\langle x \right\rangle : = \sqrt {{{{\left| x \right|}}^{2}} + 1} $, ${{\Lambda }^{s}}\psi : = F_{{\xi \to x}}^{{ - 1}}({{\left\langle \xi \right\rangle }^{s}}\hat {\psi }(\xi ))$, $\hat {\psi }: = F(\psi )$ обозначает преобразование Фурье обобщенной функции умеренно- го роста $\psi $. Если $\psi \in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{d}})$, то $\hat {\psi }(\xi ) = \int {{{e}^{{i\,x \cdot \xi }}}\psi (x)dx} $. Через $\ell _{\alpha }^{2} \equiv \ell _{\alpha }^{2}({{\mathbb{Z}}^{d}})$, $\alpha \in \mathbb{R}$, обозначим гильбертово пространство векторнозначных последовательностей $u(k)\, \in \,{{\mathbb{R}}^{n}}$, $k \in {{\mathbb{Z}}^{d}}$, с конечной нормой ||u||_α := := ${\text{||}}{{\langle k\rangle }^{\alpha }}u(k){\text{|}}{{{\text{|}}}_{{{{\ell }^{2}}({{\mathbb{Z}}^{d}})}}}\, < \,\infty $. Наконец, через $\operatorname{E} _{\alpha }^{s}\,: = \,H_{\alpha }^{s} \oplus \ell _{\alpha }^{2}$ обозначим гильбертово пространство функций ${{Y}^{0}}\, = \,(\psi (x),u(k))$ с нормой ${\text{||}}{{Y}^{0}}{\text{||}}_{{s,\alpha }}^{2}\,: = \,\left\| \psi \right\|_{{s,\alpha }}^{2}\, + \,\left\| u \right\|_{\alpha }^{2}\, < \,\infty $.

Определение. Фазовое пространство $\mathcal{E}_{\alpha }^{s}: = \operatorname{E} _{\alpha }^{{s + 1}} \oplus \operatorname{E} _{\alpha }^{s}$ ($s,\alpha \in \mathbb{R}$) – это гильбертово пространство векторов $Y = ({{Y}^{0}},{{Y}^{1}})$, где ${{Y}^{0}} \equiv (\psi ,u)$, ${{Y}^{1}}\, \equiv \,(\pi ,v)$, с конечной нормой $\left\| Y \right\|_{{s,\alpha }}^{2}\,: = \,\left\| \psi \right\|_{{s + 1,\alpha }}^{2}\, + \,\left\| u \right\|_{\alpha }^{2}$ + + $\left\| \pi \right\|_{{s,\alpha }}^{2} + \left\| v \right\|_{\alpha }^{2} < \infty $.

Обозначим решение системы (2) через Y(t) = = $({{Y}^{0}}(t),{{Y}^{1}}(t))$, где ${{Y}^{0}}(t) = \left( {\psi (x,t),u(k,t)} \right)$, Y ¹(t) = = $(\pi (x,t),v(k,t))$, и ${{Y}_{0}} = (Y_{0}^{0},Y_{0}^{1})$, где $Y_{0}^{0} = ({{\psi }_{0}},{{u}_{0}})$, $Y_{0}^{1} = ({{\pi }_{0}},{{v}_{0}})$. Таким образом, $Y_{0}^{0}( \cdot )$ и $Y_{0}^{1}( \cdot )$ являются функциями на пространстве ${{\mathbb{P}}^{d}}: = {{\mathbb{R}}^{d}} \cup {{\mathbb{Z}}^{d}}$. Например, $Y_{0}^{0}(p) = {{\psi }_{0}}(x)$, если $p = x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$, и $Y_{0}^{0}(p)$ = = u₀(k), если $p = k \in {{\mathbb{Z}}^{d}}$. Аналогично определяются функции $Y(p,t) \equiv Y(t)$ и ${{Y}^{j}}(p,t) \equiv {{Y}^{j}}(t)$, $j = 0,1$, $p \in {{\mathbb{P}}^{d}}$. Тогда задача (2)–(3) принимает вид

где $\mathcal{A}\,: = \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - \mathcal{H}}&0 \end{array}} \right)$, $\mathcal{H}\,: = \,\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \Delta \, + \,m_{0}^{2}}&S \\ {S{\kern 1pt} {\text{*}}}&{ - {{\Delta }_{L}}\, + \,\nu _{0}^{2}} \end{array}} \right)$, (Su)(x) := := $\sum\limits_{k \in {{\mathbb{Z}}^{d}}} {R(x - k) \cdot u(k)} $, $(S{\kern 1pt} {\text{*}}\psi )(k)$ := $\int {R(x - k)\psi (x)dx} $. Заметим, что динамика задачи (4) инвариантна относительно сдвигов в ${{\mathbb{Z}}^{d}}$. Поэтому удобнее переписать ее, используя преобразование Блоха–Флоке–Зака.

Определение. Через $\tilde {u}(\theta )$ обозначим дискретное преобразование Фурье, $\tilde {u}(\theta )$ = $\sum\limits_{k \in {{\mathbb{Z}}^{d}}} {{{e}^{{i\,k \cdot \theta }}}u(k)} $, $\theta \in {{\mathbb{T}}^{d}} \equiv {{\mathbb{R}}^{d}}{\text{/}}2\pi {{\mathbb{Z}}^{d}}$. Представим $x \in {{\mathbb{R}}^{d}}$ в виде $x = l + y$, $l = [x] \in {{\mathbb{Z}}^{d}}$, $y \in {{[0,1]}^{d}}$, и введем преобразование Блоха–Флоке–Зака функции $\psi (x)$ следующим образом: $\mathcal{Z}\psi \equiv {{\tilde {\psi }}_{e}}(\theta ,y) = {{e}^{{i\,y \cdot \theta }}}\tilde {\psi }(\theta ,y)$ = = ${{e}^{{i\,y \cdot \theta }}}\sum\limits_{l \in {{\mathbb{Z}}^{d}}} {{{e}^{{i\,l \cdot \theta }}}\psi (l + y)} $, $\theta \in {{K}^{d}}: = {{[0,2\pi ]}^{d}}$ (ниже для краткости будем называть это преобразованием Зака, см. [4]). Заметим, что ${{\tilde {\psi }}_{e}}(\theta ,y)$ является периодической функцией по $y \in \mathbb{T}_{1}^{d}: = {{\mathbb{R}}^{d}}{\text{/}}{{\mathbb{Z}}^{d}}$ и квазипериодической по $\theta \in {{K}^{d}}$, т.е. ${{\tilde {\psi }}_{e}}(\theta ,y + l)$ = = ${{\tilde {\psi }}_{e}}(\theta ,y)$ при $l \in {{\mathbb{Z}}^{d}}$ и ${{\tilde {\psi }}_{e}}(\theta + 2\pi {{e}_{j}},y)\, = \,{{e}^{{i\,2\pi \,{{y}_{j}}}}}{{\tilde {\psi }}_{e}}(\theta ,y)$ при $j = 1, \ldots ,d$.

Применим преобразование Зака к решению $Y( \cdot ,t)$ задачи (4) и обозначим ${{\tilde {Y}}_{e}}(\theta ,t)$ := := $\mathcal{Z}Y( \cdot ,t) = \left( {{{{\tilde {\psi }}}_{e}}(\theta ,y,t),\tilde {u}(\theta ,t),{{{\tilde {\pi }}}_{e}}(\theta ,y,t),\tilde {v}(\theta ,t)} \right)$, где ${{\tilde {Y}}_{e}}\left( {\theta ,t} \right) \equiv {{\tilde {Y}}_{e}}\left( {\theta ,r,t} \right)$, $r \in \mathcal{T}_{1}^{d} \equiv \mathbb{T}_{1}^{d} \cup \left\{ 0 \right\}$. Тогда задача (4) сводится к задаче Блоха на торе $\mathbb{T}_{1}^{d}$ с параметром $\theta \in {{K}^{d}}$:

Здесь ${{\tilde {Y}}_{{0,e}}}(\theta ) \equiv {{\tilde {Y}}_{{0,e}}}(\theta ,r)$ – преобразование Зака начальных данных Y₀, $\mathcal{A}{{(\theta )}^{\sim }}$ = $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - \mathcal{H}{{{(\theta )}}^{\sim }}}&0 \end{array}} \right)$, $\mathcal{H}{{(\theta )}^{\sim }}$ := := $\mathcal{Z}\mathcal{H}{{\mathcal{Z}}^{{ - 1}}}$ – (самосопряженный) оператор “Шредингера–Блоха” на торе вида $\mathcal{H}{{(\theta )}^{\sim }}$ = = $\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{(i{{\nabla }_{y}} + \theta )}}^{2}} + m_{0}^{2}}&{\tilde {S}(\theta )} \\ {\tilde {S}{\kern 1pt} {\text{*}}(\theta )}&{\omega _{*}^{2}(\theta )} \end{array}} \right)$, где $(\tilde {S}(\theta )\tilde {u})(\theta ,y)$ = = ${{\tilde {R}}_{e}}(\theta ,y) \cdot \tilde {u}(\theta )$, $(\tilde {S}{\kern 1pt} {\text{*}}(\theta ){{\tilde {\psi }}_{e}})(\theta )$ = $\int\limits_{\mathbb{T}_{1}^{d}} {{{{\tilde {R}}}_{e}}( - \theta ,y){{{\tilde {\psi }}}_{e}}(\theta ,y)dy} $, $\omega _{*}^{2}(\theta ) = \sum\limits_{j = 1}^d {(2 - 2\cos {{\theta }_{j}})} + \nu _{0}^{2}$. Предполагается, что $\mathcal{H}{{(\theta )}^{\sim }} > 0$ для всех $\theta \in {{K}^{d}}$, что соответствует гиперболичности задачи (2). Следовательно, оператор $\mathcal{H}{{(\theta )}^{\sim }}$ имеет дискретный, положительный спектр $\omega _{l}^{2}\left( \theta \right)$, $l = 1,2, \ldots \,\,.$

Лемма. Для любых начальных данных ${{Y}_{0}} \in \mathcal{E}_{\alpha }^{s}$, $s,\alpha \in \mathbb{R}$, существует, и притом единственное, решение задачи (4) $Y(t) = {{W}_{t}}\,{{Y}_{0}} \in C(\mathbb{R};\mathcal{E}_{\alpha }^{s})$.

Ниже полагаем, что $s,\alpha < - d{\text{/}}2$.

2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Введем сначала гиббсовские меры для мо- дели  (1). Формально гиббсовские меры опре- деляются      следующим образом, g_β(dY) = = ${{({{Z}_{\beta }})}^{{ - 1}}}{\text{exp}}\{ - \beta H(Y)\} \prod\limits_{p \in {{\mathbb{P}}^{d}}} {dY(p)} $, где ${{Z}_{\beta }}$ – нормирующий множитель, $\operatorname{H} (Y)$ – гамильтониан, $\beta = {{T}^{{ - 1}}}$, T – соответствующая абсолютная температура, $T > 0$. Так как гамильтониан, определенный в (1), квадратичен, то мы можем определить гиббсовские меры ${{g}_{\beta }}$ как гауссовские борелевские вероятностные меры ${{g}_{\beta }}(dY) = g_{\beta }^{0}(d{{Y}^{0}}) \times g_{\beta }^{1}(d{{Y}^{1}})$ на пространстве $\mathcal{E}_{\alpha }^{s} = \operatorname{E} _{\alpha }^{{s + 1}} \oplus \operatorname{E} _{\alpha }^{s}$, где меры $g_{\beta }^{0}$ и $g_{\beta }^{1}$ имеют характеристические функционалы вида

${{D}_{F}}: = C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{d}})$, ${{D}_{L}}: = {{[{{C}_{0}}({{\mathbb{Z}}^{d}})]}^{n}}$. Меры g_β существуют на $\mathcal{E}_{\alpha }^{s}$ для любых $s,\alpha < - d{\text{/}}2$ в силу теоремы Минлоса. Кроме того, корреляционная матрица меры g_β имеет вид ${{Q}_{\beta }}\left( {p,p{\kern 1pt} '} \right) = (Q_{\beta }^{{ij}}\left( {p,p{\kern 1pt} '} \right))_{{i,j = 0}}^{1}$, $p,p{\kern 1pt} ' \in {{\mathbb{P}}^{d}}$, где $Q_{\beta }^{{ij}}\left( {p,p{\kern 1pt} '} \right): = \int {({{Y}^{i}}\left( p \right) \otimes {{Y}^{j}}\left( {p{\kern 1pt} '} \right)){{g}_{\beta }}(dY)} $, причем $Q_{\beta }^{{ij}}(p,p{\kern 1pt} ')$ = 0 при $i \ne j$, а при i = j матрицы $Q_{\beta }^{{jj}}$ удовлетворяют условию $Q_{\beta }^{{jj}}(k + r,k{\kern 1pt} '\, + r{\kern 1pt} ')$ = $q_{\beta }^{{jj}}(k - k{\kern 1pt} ',r,r{\kern 1pt} ')$ $\forall k,k{\kern 1pt} ' \in {{\mathbb{Z}}^{d}}$. Более того, матрицы $q_{\beta }^{{jj}}$,  j = 0, 1, в преобразовании Зака имеют вид $\tilde {q}_{\beta }^{{00}}\left( \theta \right) = {{\beta }^{{ - 1}}}{{\mathcal{H}}^{{ - 1\sim }}}\left( \theta \right)$, $\tilde {q}_{\beta }^{{11}}\left( \theta \right) = {{\beta }^{{ - 1}}}I$, $\theta \in {{K}^{d}}$, где через $\tilde {q}_{\beta }^{{jj}}(\theta )$ обозначается интегральный оператор с ядром $\tilde {q}_{\beta }^{{jj}}\left( {\theta ,r,r{\kern 1pt} '} \right)$ := := ${{e}^{{i(r - r{\kern 1pt} ') \cdot \theta }}}\sum\limits_{k \in {{\mathbb{Z}}^{d}}} {{{e}^{{ik \cdot \theta }}}q_{\beta }^{{jj}}\left( {k,r,r{\kern 1pt} '} \right)} $, r, $r{\kern 1pt} ' \in \mathcal{T}_{1}^{d}$.

Предполагается, что начальные данные ${{Y}_{0}}(p)$, $p = ({{p}_{1}},...,{{p}_{d}}) \in {{\mathbb{P}}^{d}}$, – это случайная функция вида ${{Y}_{0}}(p) = \sum\limits_ \pm {{{\zeta }_{ \pm }}({{p}_{1}}){{Y}_{ \pm }}(p)} $, где “срезающие” неотрицательные функции ${{\zeta }_{ \pm }}$ равны ${{\zeta }_{ \pm }}({{p}_{1}}) = 1$ при $ \pm {{p}_{1}} > a$ и ${{\zeta }_{ \pm }}({{p}_{1}}) = 0$ при $ \pm {{p}_{1}} < - a$ с некоторым $a > 0$, причем случайные функции ${{Y}_{ \pm }}(p)$ имеют гиббсовские распределения ${{g}_{ \pm }} \equiv {{g}_{{{{\beta }_{ \pm }}}}}$ (${{\beta }_{ \pm }} = T_{ \pm }^{{ - 1}}$) с температурами ${{T}_{ \pm }}$ и корреляционными матрицами ${{Q}_{ \pm }}: = {{Q}_{{{{\beta }_{ \pm }}}}}$, определенными выше. Обозначим через μ₀ вероятностную борелевскую меру на $\mathcal{E}_{\alpha }^{s}$, которая является распределением функции ${{Y}_{0}}$, а через Q₀(p, p') = $(Q_{0}^{{ij}}(p,p{\kern 1pt} '))_{{i,j = 0}}^{1}$ – ее корреляционную матрицу, где $Q_{0}^{{ij}}\left( {p,p{\kern 1pt} '} \right)$ := $\int {({{Y}^{i}}\left( p \right) \otimes {{Y}^{j}}\left( {p{\kern 1pt} '} \right)){{\mu }_{0}}(dY)} $, $i,j = 0,1$. Тогда ${{Q}_{0}}(p,p{\kern 1pt} ')\, = \,{{Q}_{ - }}(p,p{\kern 1pt} ')$ при ${{p}_{1}},p_{1}^{'} < - a$ и Q₀(p, p') = = ${{Q}_{ + }}(p,p{\kern 1pt} ')$ при ${{p}_{1}},p_{1}^{'} > a$. Таким образом, начальная мера ${{\mu }_{0}}$ не является, вообще говоря, трансляционно-инвариантной относительно сдвигов в ${{\mathbb{Z}}^{d}}$. Через ${{\mu }_{t}}$, $t \in \mathbb{R}$, обозначим вероятностную борелевскую меру на пространстве $\mathcal{E}_{\alpha }^{s}$, которая является распределением решений Y(t) задачи (4), т.е. ${{\mu }_{t}}(B) = {{\mu }_{0}}(W_{t}^{{ - 1}}B)$ для любого борелевского множества $B \subset \mathcal{E}_{\alpha }^{s}$. Основным результатом является следующая теорема.

Теорема. (1) Корреляционные функции мер ${{\mu }_{t}}$ сходятся к пределу при $t \to \infty $. (2) Меры ${{\mu }_{t}}$ слабо сходятся при $t \to \infty $ на пространстве $\mathcal{E}_{\alpha }^{s}$, т.е. для всякой ограниченной непрерывной функции f на $\mathcal{E}_{\alpha }^{s}$ справедлива сходимость $\int {f(Y){{\mu }_{t}}(dY)} $ → $\int {f(Y){{\mu }_{\infty }}(dY)} $ при $t \to \infty $. При этом предельная мера ${{\mu }_{\infty }}$ является гауссовой мерой, трансляционно-инвариантной относительно сдвигов в ${{\mathbb{Z}}^{d}}$. Характеристический функционал меры ${{\mu }_{\infty }}$ имеет вид ${{\hat {\mu }}_{\infty }}(Z)$ ≡ ≡ $\int {\exp \left\{ {i\left\langle {Y,Z} \right\rangle } \right\}{{\mu }_{\infty }}(dY)} $ = $\exp \left\{ { - \frac{1}{2}{{\mathcal{Q}}_{\infty }}(Z,Z)} \right\}$, Z ∈ ∈ $\mathcal{D} \equiv {{\left[ {{{D}_{F}} \oplus {{D}_{L}}} \right]}^{2}}$, где ${{\mathcal{Q}}_{\infty }}(Z,Z)$ – действительная неотрицательная квадратичная форма на пространстве $\mathcal{D}$, равная ${{\mathcal{Q}}_{\infty }}(Z,Z) = \int {{{{\left| {\left\langle {Y,Z} \right\rangle } \right|}}^{2}}{{\mu }_{\infty }}(dY)} $ = = $\langle {{Q}_{\infty }}(p,p{\kern 1pt} '),Z(p)$ $ \otimes $ Z(p')〉, ${{Q}_{\infty }}(p,p{\kern 1pt} ')$ = = $\int {(Y(p)\, \otimes \,Y(p{\kern 1pt} ')){{\mu }_{\infty }}} $(dY). Предельная корреляционная матрица ${{Q}_{\infty }}(p,p{\kern 1pt} ') = (Q_{\infty }^{{ij}}(p,p{\kern 1pt} '))_{{i,j = 0}}^{1}$ является трансляционно-инвариантной относительно сдвигов в ${{\mathbb{Z}}^{d}}$, т.е. ${{Q}_{\infty }}(p,p{\kern 1pt} ') = {{Q}_{\infty }}(p + k,p{\kern 1pt} '\; + k)$ $\forall k \in {{\mathbb{Z}}^{d}}$, а функции $q_{\infty }^{{ij}}(k - k{\kern 1pt} ',r,r{\kern 1pt} '): = Q_{\infty }^{{ij}}(k + r,k{\kern 1pt} '\; + r{\kern 1pt} ')$, $i,j$ = 0, 1, имеют вид (в преобразовании Зака)

где ${{\Pi }_{\sigma }}(\theta )$ – проектор на собственное подпространство, соответствующее собственному значению ${{\omega }_{\sigma }}(\theta )$ оператора $\sqrt {\mathcal{H}{{{\left( \theta \right)}}^{\sim }}} $, $\sigma = 1,2,...$ .

Заметим, что наша модель может быть рассмотрена как “открытая система, взаимодействующая с двумя тепловыми резервуарами”, где “резервуары” – это две части модели, состоящие из решений $Y\left( {p,t} \right)$ с ${{p}_{1}} < - a$ и ${{p}_{1}} > a$, а “открытая система” – остальная ее часть. В начальный момент времени “резервуары” находятся в тепловом равновесии с температурами ${{T}_{ - }}$ и ${{T}_{ + }}$ (т.е. имеют гиббсовские распределения ${{g}_{ \pm }}$). Используя явные формулы для предельных корреляционных функций, вычисляем предельную среднюю плотность потока энергии J и при дополнительных условиях на функцию взаимодействия R получаем

что соответствует Второму закону термодинамики, т.е. тепло передается от “горячего” резервуара к “холодному”. Таким образом, доказано, что существуют стационарные неравновесные состояния, при которых в изучаемой модели имеется ненулевой поток тепла.

Сходимость мер ${{\mu }_{t}}$ была доказана в [5] в частном случае, когда начальные меры являются трансляционно-инвариантными относительно сдвигов в ${{\mathbb{Z}}^{d}}$ вероятностными мерами на пространстве $\mathcal{E}_{\alpha }^{0}$. Формулы, аналогичные (5), были получены для поля Клейна–Гордона в [6, 7] и для гармонического кристалла в [8, 9]. Обзор открытых проблем и результатов, касающихся неравновесных систем, см., например, в статье [10], в которой также содержится обзор численных результатов.