Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 57-61

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе [6] И.Л. Раухваргер доказала, что для всякого метрического компакта X и любого счетного множества $H \subseteq X$ существует уплотнение (т.е. непрерывная биекция) подпространства $X{{\backslash }}H$ на метрический компакт.

Пусть $\tau $ – кардинальное число.

$ \bullet $ Компактное пространство X называют ${{a}_{\tau }}$-пространством, если для любого $H \in {{[X]}^{{ \leqslant \tau }}}$ существует уплотнение пространства $X{{\backslash }}H$ на компакт [3]. В частности, ${{a}_{\omega }}$-пространство называется a-пространством.

$ \bullet $ Компактное пространство X называют строгим ${{a}_{\tau }}$-пространством, если для любого $H \in {{[X]}^{{ \leqslant \tau }}}$ существует уплотнение пространства $X{{\backslash }}H$ на компакт, которое продолжается до непрерывного отображения на X [3]. В частности, строгое ${{a}_{\omega }}$-пространство называется строгим a-пространством.

Любой метрический компакт является строгим a-пространством [6]. Различные свойства ${{a}_{\tau }}$-пространств и строгих ${{a}_{\tau }}$-пространств можно найти в работах [1–4].

В работе [1] был предложен следующий вопрос.

Вопрос 1. Предположим, что X – метрический компакт. Для каких $\tau $, $\omega < \tau < \mathfrak{c}$, X – (строгое) ${{a}_{\tau }}$-пространство?

Основной результат работы – доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть X – полное метрическое пространство и для множества $H \subseteq X$ выполняется $w(X) < {\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$. Тогда подпространство $X{{\backslash }}H$ невозможно уплотнить на $\sigma $-компактное пространство.

Отметим, что в предположении континуум-гипотезы посылка теоремы 1 несовместна, так что в этом случае теорема тривиальна (как, впрочем, и вопрос 1).

Е.Г. Пыткеев доказал, что любое сепарабельное метрическое пространство мощности $\mathfrak{c}$ можно разбить на два множества мощности $\mathfrak{c}$, каждое из которых не уплотняется на полное пространство ([8], Предложение 2). Таким образом, по теореме 1 и результату Пыткеева, мы получаем ответ на вопрос 1: метрические компакты не являются ${{a}_{\tau }}$-пространствами ни для какого несчетного кардинального числа $\tau $.

2. ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Под пространствами понимаются хаусдорфовы топологические пространства. В работе используются следующие обозначения и термины:

• $\omega $ – первый бесконечный ординал и первый бесконечный кардинал;

• $\mathfrak{c}$ – кардинал континуум;

• ${{\kappa }^{ + }}$ – следующий за $\kappa $ кардинал;

• для всяких множества A и кардинала $\tau $ через ${{[A]}^{\tau }}$ (${{[A]}^{{ \leqslant \tau }}}$, ${{[A]}^{{ < \tau }}}$, ${{[A]}^{{ > \tau }}}$) обозначается семейство всех подмножеств множества A мощности ровно (не большей, строго меньшей, строго большей) $\tau $;

• $ \sqcup $ – дизъюнктное объединение, т.е. объединение, аргументы которого не пересекаются;

• ${{2}^{{ < \omega }}}$ – множество всех конечных последовательностей над множеством {0, 1};

• ${{2}^{\omega }}$ – множество всех последовательностей порядкового типа $\omega $ над множеством $\{ 0,1\} $;

• если $u \in {{2}^{{ < \omega }}}$ и $c \in \{ 0,1\} $, то $uc$ обозначается конечная последовательность, получаемая из $u$ добавлением в конец элемента c;

• если $u \in {{2}^{{ < \omega }}}$ и $s \in {{2}^{\omega }}$, то запись $u \prec s$ означает, что u есть начало s;

• уплотнение – непрерывная биекция;

• сумма пространств понимается, как в [11] (раздел 2.2);

• польское пространство – пространство счетного веса, обладающее полной метрикой;

• абсолютно борелевское пространство – пространство, гомеоморфное борелевскому подмножеству некоторого полного метрического пространства;

• ядро пространства X, ${\text{Ker}}(X)$ – объединение всех плотных в себе подмножеств пространства X;

• $w(X)$ – вес пространства X.

В работе нам несколько раз пригодится следующий, вероятно известный, результат.

Предложение 1. Для всякого пространства X его ядро ${\text{Ker}}(X)$ замкнуто и плотно в себе, а также ${\text{|}}X{{\backslash Ker}}(X){\text{|}} \leqslant w(X)$.

Доказательство. Для всякого простанства Y обозначим Iso(Y) множество изолированных точек Y. Для каждого ординала α определим множество ${{X}_{\alpha }} \subseteq X$ следующим образом: ${{X}_{0}}: = X$; если $\alpha = \beta + 1$, то ${{X}_{\alpha }}: = {{X}_{\beta }}{{\backslash Iso}}({{X}_{\beta }})$; и если α предельный, то ${{X}_{\alpha }}: = \bigcap\nolimits_{\beta < \alpha } {{X}_{\beta }}$. Так как при $\alpha < \beta $ выполняется ${{X}_{\alpha }} \supseteq {{X}_{\beta }}$, то для некоторого ординала $\gamma $ верно ${{X}_{\gamma }} = {{X}_{{\gamma + 1}}}$. Будем считать, что $\gamma $ – наименьший ординал с этим свойством.

Легко видеть, что ${{X}_{\gamma }} = {\text{Ker}}(X)$, и это множество замкнуто и плотно в себе. Для всякой точки $x \in X{{\backslash }}{{X}_{\gamma }}$ обозначим $r(x)$ тот ординал α, при котором $x \in {\text{Iso}}({{X}_{\alpha }})$. Очевидно, что при любом выборе базы пространства X всякой точке $x \in X{{\backslash }}{{X}_{\gamma }}$ можно сопоставить базисную окрестность O(x) такую, что для всех точек $y \in O(x)$, не равных $x$, верно $r(y) < r(x)$. Тогда все выбранные O(x) попарно различны, откуда ${\text{|}}X{{\backslash Ker}}(X){\text{|}} \leqslant w(X)$. □

3. ЛЕММА О НЕСЧЕТНОМ ИНЪЕКТИВНОМ БИНАРНОМ ОТНОШЕНИИ НА ПОЛНОМ МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ МАЛОГО ВЕСА

Цель этого раздела состоит в доказательстве следующей леммы.

Лемма 1. Пусть X – полное метрическое пространство, $w(X)\, < \,\mathfrak{c}$, $A\, \in \,{{[X]}^{{ > w(X)}}}$ и функция $f\,:\,A\, \to \,X$ инъективна. Тогда существуют континуальное множество $C \subseteq X$ и инъекция $g:C \to X$ такие, что график функции g содержится в замыкании графика f в пространстве $X \times X$.

Если при этом функция f не имеет неподвижных точек, то C и g можно выбрать так, что g также не будет обладать неподвижными точками.

Обозначим $(*)$ условие “X – полное метрическое пространство, $w(X) < \mathfrak{c}$, $A \in {{[X]}^{{ > w(X)}}}$ и функция $f:A \to X$ инъективна”.

Центральную роль в доказательстве леммы 1 сыграет следующее понятие.

Определение 1. Пусть $(*)$. Для всяких множеств $M,N \subseteq X$ обозначим A_f(M, N) := := $\{ x \in A:x \in M,f(x) \in N\} $ и B_f(M, N) := {f(x) : : $x \in {{A}_{f}}(M,N)\} $.

Пару $(K,L)$ замкнутых плотных в себе подмножеств X будем называть f-существенной, если ${\text{|}}{{A}_{f}}(K,L){\text{|}} > w(X)$.

Из предложения 1 вытекает следующее

Предложение 2. Если $(*)$, то пара $\left( {{\text{Ker}}(X),{\text{Ker}}(X)} \right)$ f-существенна.

Напомним, что во всяком полном метрическом пространстве X для любого замкнутого множества $C \subseteq X$ выполняется или ${\text{|}}C{\text{|}} \leqslant w(X)$ (если C разрежено; это следует из предложения 1), или ${\text{|}}C{\text{|}} \geqslant \mathfrak{c}$ (если C содержит плотное в себе подмножество) (Теорема 6 в [10]).

Для всяких $A \subseteq X$ и $x \in X$ обозначим $\Delta (A,x)$ минимум мощностей ${\text{|}}O(x) \cap A{\text{|}}$ по всем окрестностям O(x) точки x (так называемый дисперсионный характер подпространства $A \cup \{ x\} $ в точке x). Для всякого кардинала $\tau $ обозначим ${{A}^{{ \circ \tau }}}$ := $\{ x \in X{\kern 1pt} :\;\Delta (A,x) \geqslant \tau \} $. Следующее предложение, вероятно, известно.

Предложение 3. Если X – пространство и $A \in {{[X]}^{{ > w(X)}}}$, то ${\text{|}}{{A}^{{ \circ {{w}^{ + }}(X)}}}{\text{|}} \geqslant \mathfrak{c}$.

Доказательство. Обозначим U := $X{{\backslash }}{{A}^{{ \circ {{w}^{ + }}(X)}}}$. Всякой точке $x \in U$ сопоставим произвольную ее окрестность O(x) такую, что ${\text{|}}O(x) \cap A{\text{|}} \leqslant w(X)$. Очевидно, что $\bigcup\nolimits_{x \in U} O(x) = U$, и так как из семейства всех O(x) можно выделить подпокрытие множества U мощности не более w(X), то ${\text{|}}U \cap A{\text{|}} \leqslant w(X) < {\text{|}}A{\text{|}}$. Тогда ${\text{|}}{{A}^{{ \circ {{w}^{ + }}(X)}}}{\text{|}} > w(X)$. Так как множество ${{A}^{{ \circ {{w}^{ + }}(X)}}}$ замкнуто, получаем ${\text{|}}{{A}^{{ \circ {{w}^{ + }}(X)}}}{\text{|}} \geqslant \mathfrak{c}$. □

Предложение 4.  Пусть   (*),   пара  $(K,L)$ f-существенна и $\varepsilon > 0$. Тогда найдутся такие множества ${{K}_{0}} \sqcup {{K}_{1}} \subseteq K$ и ${{L}_{0}} \sqcup {{L}_{1}} \subseteq L$, что пары $({{K}_{0}},{{L}_{0}})$ и $({{K}_{1}},{{L}_{1}})$ f-существенны, а диаметр множеств ${{K}_{0}},\;{{K}_{1}},\;{{L}_{0}},\;{{L}_{1}}$ меньше $\varepsilon $.

Доказательство. Выберем в $K$ любые две точки множества ${{A}_{f}}{{(K,L)}^{{ \circ {{w}^{ + }}(X)}}}$ и отделим их замкнутыми окрестностями ${{K}_{0}},\;{{K}_{1}}$ диаметра меньше $\varepsilon $. Очевидно, пары $({{K}_{0}},L)$ и $({{K}_{1}},L)$ f-существенны. Теперь выберем в $L$ любые две точки множества ${{B}_{f}}{{({{K}_{0}},L)}^{{ \circ {{w}^{ + }}(X)}}}$ и отделим их замкнутыми окрестностями M, N диаметра меньше $\varepsilon $ и лежащими на положительном расстоянии друг от друга. Наконец, выберем в $L$ любую точку множества ${{B}_{f}}{{({{K}_{1}},L)}^{{ \circ {{w}^{ + }}(X)}}}$ и обозначим ${{L}_{1}}$ любую ее настолько малую замкнутую окрестность, что ${{L}_{1}}$ не может пересекать одновременно $M$ и $N$, а диаметр ${{L}_{1}}$ меньше $\varepsilon $. Обозначим ${{L}_{0}}$ то из множеств M, N, которое не пересекается с ${{L}_{1}}$. Легко видеть, что ${{K}_{0}},\;{{K}_{1}},\;{{L}_{0}},\;{{L}_{1}}$ искомые. □

Доказательство леммы 1. По предложению 2 существует хотя бы одна f-существенная пара. Итерированно применяя предложение 4, выберем для всех $u \in {{2}^{{ < \omega }}}$ f-существенные пары $({{K}_{u}},{{L}_{u}})$ так, что ${{K}_{{u0}}} \sqcup {{K}_{{u1}}} \subseteq {{K}_{u}}$, ${{L}_{{u0}}} \sqcup {{L}_{{u1}}} \subseteq {{L}_{u}}$ и диаметры множеств ${{K}_{u}}$ и ${{L}_{u}}$ меньше $\frac{1}{{{\text{|}}u{\text{|}}}}$.

Заметим, что для всякой последовательности $s \in {{2}^{\omega }}$ множества $\bigcap\nolimits_{u \prec s} {{K}_{u}}$ и $\bigcap\nolimits_{u \prec s} {{L}_{u}}$ одноэлементны в силу стремящихся к нулю диаметров ${{K}_{u}}$ и ${{L}_{u}}$ при ${\text{|}}u{\text{|}} \to \infty $ и полноты метрики. Единственную точку множества $\bigcap\nolimits_{u \prec s} {{K}_{u}}$ обозначим ${{y}_{s}}$, соберем $C: = \{ {{y}_{s}}:s \in {{2}^{\omega }}\} $ и для каждой ${{y}_{s}}$ обозначим $g({{y}_{s}})$ единственную точку множества $\bigcap\nolimits_{u \prec s} {{L}_{u}}$. Легко видеть, что C и g искомые.

Теперь пусть f не имеет неподвижных точек. Для каждого $n \in \omega $ обозначим ${{A}_{n}}$ множество таких $x \in A$, что расстояние между $x$ и $f(x)$ больше $\frac{1}{n}$. Поскольку $\bigcup\nolimits_{n \in \omega } {{A}_{n}} = A$ и ${\text{|}}A{\text{|}} > w(X)$, то найдется такое $n \in \omega $, что ${\text{|}}{{A}_{n}}{\text{|}} > w(X)$. Применим к паре ${{A}_{n}},\;f$ уже доказанное первое утверждение леммы и получим некоторые C и g. Покажем, что эти C и g искомые, т.е. что инъекция g не имеет неподвижных точек. От противного: для некоторой точки $y \in C$ оказалось, что $g(y) = y$. Обозначим $O(y)$ любую окрестность точки y диаметра менее $\frac{1}{n}$. Очевидно, такая окрестность не может одновременно содержать x и f(x) ни для какого $x \in {{A}_{n}}$, откуда точка $(y,g(y))$ пространства $X \times X$ не принадлежит замыканию графика функции f. Противоречие. □

4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ

Обозначим (**) условие “X – пространство, $X = Y \sqcup H$ и $\varphi $ есть уплотнение подпространства $Y$ на пространство Z”.

Основным инструментом доказательства станет следующая конструкция.

Определение 2. Пусть (**). Обозначим:

(1) $\Pi _{X}^{\varphi }$ множество пар $(z,p) \in Z \times H$ таких, что при любом выборе окрестности $O(p)$ точки p точка z предельна для множества $\varphi \left[ {O(p) \cap Y} \right]$;

(2) ${{\Delta }_{\varphi }}$ множество $\{ (\varphi (x),x):x \in Y\} $;

(3) ${{P}_{z}}: = \{ p \in H:(z,p) \in \Pi _{X}^{\varphi }\} $ для каждой $z \in Z$.

Лемма 2. Если (**), то множество $\Pi _{X}^{\varphi } \cup {{\Delta }_{\varphi }}$ замкнуто в пространстве $Z \times X$.

Доказательство. Пусть точка $(z,a) \in Z$ × X предельна для $\Pi _{X}^{\varphi } \cup {{\Delta }_{\varphi }}$. Возможны два случая:

(1) a = p для некоторой $p \in H$. Возьмем любую окрестность U точки p и положим $V: = U \cap Y$, $W: = \varphi [V]$;

(2) a = x для некоторой $x \in Y$. Возьмем любую окрестность W точки $\varphi (x)$ и положим $V: = {{\varphi }^{{ - 1}}}[W]$. Обозначим U произвольное открытое в X множество такое, что $U \cap Y = V$.

В обоих случаях множество U открыто в $X$, $a \in U$, $V = U \cap Y$ и $W = \varphi [V]$.

Обозначим A множество тех $w \in Z$, для которых существует точка $b \in U$ такая, что (w, $b) \in \Pi _{X}^{\varphi } \cup {{\Delta }_{\varphi }}$. Из определения $\Pi _{X}^{\varphi }$ легко следует, что $A \subseteq \overline W $. При этом z предельна для A. Значит, точка z предельна для $W$.

Тогда в случае (1) получаем по определению $(z,p) \in \Pi _{X}^{\varphi }$, а в случае (2) точки z и $\varphi (x)$ не отделимы в Z, откуда $z = \varphi (x)$ и $(z,x) \in {{\Delta }_{\varphi }}$. □

Следствие 1. Пусть $(**)$ и $z \in Z$. Тогда множество ${{P}_{z}} \cup \{ z\} $ замкнуто.

Определение 3. Пусть $(**)$. Обозначим ${{H}_{s}}$ множество тех $p \in H$, для которых существует хотя бы одна точка $z \in Z$ такая, что $(z,p) \in \Pi _{X}^{\varphi }$. Обозначим ${{H}_{f}}: = H{{\backslash }}{{H}_{s}}$.

Предложение 5. Пусть $(**)$, ${\text{|}}{{H}_{s}}{\text{|}} > w(X)$ и ${\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$. Тогда существуют множество $A \in {{[Z]}^{{ > w(X)}}}$ и инъекция $f:A \to H$ такие, что $f \subseteq \Pi _{X}^{\varphi }$.

Доказательство. Достаточно доказать, что для любого множества $S \in {{[X]}^{{ \leqslant w(X)}}}$ и инъекции $h:S \to X$, $h \subseteq \Pi _{X}^{\varphi }$, найдутся точки $z \notin S$ и $p \notin h[S]$ такие, что $(z,p) \in \Pi _{X}^{\varphi }$.

По следствию 1 множество ${{P}_{w}} \cup \{ w\} $ замкнуто в $X$ для каждого $w \in Z$. Тогда или ${\text{|}}{{P}_{w}}{\text{|}} \leqslant w(X)$, или ${\text{|}}{{P}_{w}}{\text{|}} \geqslant \mathfrak{c}$. При этом ${{P}_{w}} \subseteq H$ и ${\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$, откуда ${\text{|}}{{P}_{w}}{\text{|}} \leqslant w(X)$. Тогда и $\left| {\bigcup\nolimits_{w \in S} {{P}_{w}}} \right| \leqslant w(X)$. Значит, найдется точка $p \in {{H}_{s}}$ такая, что ни для какого $w \in S$ не выполняется $(w,p) \in \Pi _{X}^{\varphi }$, и в частности $p \notin h[S]$. Наконец, по определению H_s существует точка $z \in Z$, для которой $(z,p) \in \Pi _{X}^{\varphi }$. □

Лемма 3. Пусть (**), пространство $X$ обладает полной метрикой и ${\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$. Тогда ${\text{|}}{{H}_{s}}{\text{|}} \leqslant w(X)$.

Доказательство. От противного: пусть ${\text{|}}{{H}_{s}}{\text{|}}\, > \,w(X)$. Из предложения 5 следует существование множества $A \in {{[Y]}^{{ > w(X)}}}$ и инъекции $f:A \to H$ таких, что $\{ (\varphi (x),f(x)){\kern 1pt} :\;x \in A\} \subseteq \Pi _{X}^{\varphi }$. Отметим, что инъекция f не имеет неподвижных точек, так как ее области определения и значений не пересекаются. Тогда по лемме 1 найдутся континуальное множество $C \subseteq X$ и инъекция $g:C \to X$ такие, что g не имеет неподвижных точек и график функции g содержится в замыкании графика f. По лемме 2 для каждой $y \in C \cap Y$ выполняется $(\varphi (y),g(y)) \in \Pi _{X}^{\varphi }$. Но тогда множество H содержит континуальное подмножество $g[C \cap Y]$, что противоречит условию ${\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$. □

Предложение 6. Если $(**)$, ${\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$, X обладает полной метрикой и Z – компакт, то ${{H}_{f}} \cap {\text{Ker}}(X) = \emptyset $.

Доказательство. Пусть $p \in H \cap {\text{Ker}}(X)$. Так как всякое плотное в себе полное метрическое пространство имеет мощность не менее $\mathfrak{c}$, то и любая окрестность O(p) точки p содержит не менее $\mathfrak{c}$ точек. Тогда, так как ${\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$, то множество $O(p) \cap Y$ непусто. Значит, можно выбрать последовательность S элементов множества Y, сходящуюся к точке p. Так как Z – компакт, то последовательность $\varphi [S]$ обладает хотя бы одной предельной точкой $z$. Легко видеть, что по определению $(z,p) \in \Pi _{X}^{\varphi }$, т.е. $p \in {{H}_{s}}$. □

Лемма 4. Пусть X – полное метрическое пространство и для множества $H \subseteq X$ выполняется $w(X) < {\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$. Тогда подпространство $X{{\backslash }}H$ невозможно уплотнить на компакт.

Доказательство. Пусть (**), ${\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$, пространство X обладает полной метрикой и Z – компакт. По предложению 6 множество H_f содержится в $X{{\backslash Ker}}(X)$, откуда ${\text{|}}{{H}_{f}}{\text{|}} \leqslant w(X)$. По лемме 3 также ${\text{|}}{{H}_{s}}{\text{|}} \leqslant w(X)$, и отсюда ${\text{|}}H{\text{|}} \leqslant w(X)$. □

Доказательство теоремы 1. От противного: подпространство $Y: = X{{\backslash }}H$ уплотняется на пространство $Z = \bigcup\nolimits_{n \in \omega } {{K}_{n}}$, где все множества K_n компактны. Для всякого $n \in \omega $ обозначим X_n замыкание множества ${{f}^{{ - 1}}}({{K}_{n}})$ в пространстве X и положим $M: = \bigcup\nolimits_{n \in \omega } {{X}_{n}}$. Очевидно, $M \supseteq Y$. Из леммы 4 следует, что для каждого $n \in \omega $ имеет место ${\text{|}}H \cap {{X}_{n}}{\text{|}} \leqslant w({{X}_{n}}) \leqslant w(X)$. Тогда ${\text{|}}M \cap H{\text{|}} \leqslant w(X)$ < < |H|, и отсюда ${\text{|}}X{{\backslash }}M{\text{|}} = {\text{|}}H{\text{|}}$. Но $X{{\backslash }}M$ – борелевское множество в X, и тогда по теореме 6 в работе [10] неравенство $w(X) < {\text{|}}X{{\backslash }}M{\text{|}} < \mathfrak{c}$ невозможно. Противоречие. □

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теорема 1 вместе с результатом Е.Г. Пыткеева порождает следующее

Следствие 2. Пусть $X$ – полное метрическое пространство и для множества $H \subseteq X$ выполняется $w(X) < {\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$. Тогда подпространство $X{{\backslash }}H$ невозможно уплотнить на сепарабельное абсолютно борелевское пространство.

Доказательство. В работе [9] Е.Г. Пыткеев доказал, что всякое сепарабельное абсолютно борелевское не $\sigma $-компактное пространство уплотняется на компакт. Тогда если бы подпространство $X{{\backslash }}H$ уплотнялось на сепарабельное абсолютно борелевское пространство, то уплотнялось бы и на $\sigma $-компактное пространство.

Заметим, что в работе [7] А.С. Пархоменко построил пример (польского) $\sigma $-компактного метрического пространства, которое не уплотняется на компакт.

Укажем также одну переформулировку теоремы 1 для сепарабельных пространств.

Следствие 3. Предположим, что сепарабельное метрическое пространство Y уплотняется на сепарабельное абсолютно борелевское пространство. Тогда либо Y польское, либо для всякого пополнения X пространства Y выполняется ${\text{|}}X{{\backslash }}Y{\text{|}} = \mathfrak{c}$.

Отметим, что свойство метрической полноты пространства X в теореме 1 существенно.

Предложение 7. Для всякого $\tau $, такого, что $\omega < \tau < \mathfrak{c}$, существуют метрическое сепарабельное пространство X и множество $H \subseteq X$ мощности $\tau $ такие, что X и $X{{\backslash }}H$ гомеоморфны и уплотняются на метрический компакт.

Доказательство. Пусть $I = [0,1]$, $A \in {{[I]}^{\tau }}$ и $Q \in {{[I]}^{\omega }}$. Положим $B: = (I \times I){{\backslash }}(A \times Q)$. Зафиксируем на множествах A и B их естественную топологию как подпространств прямой и плоскости соответственно. Обозначим X сумму пространства B и счетного числа копий ${{A}_{n}},n \in \omega $ пространства A. Легко видеть, что X – метрическое сепарабельное пространство, которое уплотняется на компакт $I \times I$, и для $H = {{A}_{0}}$ подпространство $X{{\backslash }}H$ гомеоморфно X. □

Вопрос 2. Существуют ли полное метрическое пространство X и множество $H \subseteq X$ такие, что $w(X) < {\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$ и подпространство $X{{\backslash }}H$ уплотняется на полное метрическое пространство?

Вопрос 3. Существуют ли абсолютно борелевское пространство X и множество $H \subseteq X$ такие, что $w(X) < {\text{|}}H{\text{|}} < \mathfrak{c}$ и подпространство $X{{\backslash }}H$ уплотняется на абсолютно борелевское пространство? В частности, может ли такое X быть польским?