Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 2022, T. 506, № 1, стр. 89-94

Задачи динамики несжимаемых смесей имеют многочисленные и разнообразные научные и технические приложения, и для их описания разработаны различные системы уравнений движения несжимаемых смесей, см., в частности, [1, 2], в том числе с регуляризацией [3]. Регуляризованные квазигазодинамические (КГД) и квазигидродинамические (КГидД) системы уравнений вначале были построены для однокомпонентных газов и жидкостей [4–6], а для сжимаемых смесей они строились и применялись для численного решения в [5, 7–10] и др. работах, для несжимаемых смесей – недавно в [11].

В этом сообщении выполняются КГД и КГидД регуляризация и агрегирование [9] системы уравнений движения многоскоростной смеси вязких несжимаемых жидкостей из [2, 3] и последовательно строятся новые многоскоростные и односкоростные системы, причем последние – как со многими, так и общей регуляризующими скоростями. Для всех них выводятся уравнения баланса полной массы, эллиптические уравнения для давления и диссипативные уравнения баланса полной энергии смеси с учетом потенциального слагаемого внешних сил, причем это делается единообразно для регуляризаций обоих типов.

Система уравнений движения многоскоростной смеси вязких несжимаемых жидкостей в [2, 3] состоит из уравнений баланса массы и импульса компонент

В них основные искомые функции $0 < {{\alpha }_{k}} < 1$, ${{{\mathbf{u}}}_{k}} = ({{u}_{{k1}}}, \ldots ,{{u}_{{kn}}})$ – это объемные концентрации и скорости k-й компоненты смеси, а также общее давление p (определенное с точностью до аддитивной функции времени), зависящие от x = = $({{x}_{1}}, \ldots ,{{x}_{n}}) \in \Omega $, где $\Omega $ – область в ${{\mathbb{R}}^{n}}$, и t ≥ 0, причем K ≥ 2 и $n = 2,3$. Постоянные плотности компонент ${{\rho }_{k}} > 0$ и плотности внешних сил ${{{\mathbf{f}}}_{k}}(x,t)$ заданы, 1 ≤ k ≤ K. Операторы div и $\nabla = ({{\partial }_{1}}, \ldots ,{{\partial }_{n}})$ берутся по x, а ${{\partial }_{t}} = \partial {\text{/}}\partial t$, ${{\partial }_{i}} = \partial {\text{/}}\partial {{x}_{i}}$. Символы $ \otimes $ и $ \cdot $ обозначают тензорное и скалярное произведения векторов, а дивергенция тензора берется по его первому индексу.

Тензор вязкости Навье–Стокса k-й компоненты смеси имеет стандартный вид

с коэффициентами вязкости ${{\mu }_{k}} > 0$ и λ_k ≥ 0. Здесь $\mathbb{I}$ – единичный тензор порядка n.

Деление первых уравнений (1) на ${{\rho }_{k}}$ приводит к эквивалентным уравнениям баланса объемных концентраций

Так как $\langle {{\alpha }_{k}}\rangle = 1$, то применение к ним операции $\langle \cdot \rangle $ (т.е. суммирование по $1 \leqslant k \leqslant K$) дает важное уравнение неразрывности

Введем плотность смеси $\rho : = \langle {{\rho }_{k}}{{\alpha }_{k}}\rangle > 0$, являющуюся функцией ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{K}}$ (и поэтому $(x,t)$). Применение операции $\langle \cdot \rangle $ к первому уравнению (1) приводит к уравнению баланса полной массы

по форме аналогичному соответствующему уравнению для сжимаемого газа, где u – средняя “массовая” (т.е. с учетом плотностей компонент) скорость смеси.

Применение операции $\left\langle {\frac{1}{{{{\rho }_{k}}}} \cdot } \right\rangle $ к уравнению (2) дает уравнение

Применение div к нему с учетом уравнения (4) приводит к уравнению для p

Оно равномерно эллиптическое в $\Omega $ (с параметром t), поскольку

Первоначальную регуляризацию первых уравнений (1) и уравнений (2) выполним, применив предложенный в [12] формализм, посредством следующих замен в них

где $\tau > 0$ – малый параметр (он может зависеть от искомых функций); при этом здесь функция p замене не подвергается. Воспользуемся формулой

Далее имеем ${{\partial }_{t}}{{\alpha }_{k}} = - {\text{div}}({{\alpha }_{k}}{{{\mathbf{u}}}_{k}})$ согласно уравнению (3). Запишем также приближенно

согласно уравнению (2), опустив в нем слагаемое ${\text{div}}({{\alpha }_{k}}\Pi _{k}^{{NS}})$ (считая вязкость малой).

Эта процедура приводит к регуляризованной КГД типа системе уравнений многоскоростной смеси вязких несжимаемых жидкостей вида

В них основные искомые функции те же, а возникшие регуляризующие скорости таковы

Хорошо известное КГидД типа упрощение построенной регуляризованной системы уравнений выполняется посредством замены в ней ${{{\mathbf{w}}}^{{(k)}}}$ на ${\mathbf{w}}_{0}^{{(k)}}$ и отбрасывания слагаемого $\tau {\text{div}}({{\alpha }_{k}}{{{\mathbf{u}}}_{k}})$ слева в уравнении баланса импульса (7). Положив $\ell = 1$ для первой системы и $\ell = 0$ для второй, обе системы можно записать единообразно с параметром $\ell $

Применение операций $\langle \cdot \rangle $ и $\langle {{\rho }_{k}}{\kern 1pt} \cdot \rangle $ к первым уравнениям (10) приводит к уравнению неразрывности и уравнению баланса полной массы

где по-прежнему ${\mathbf{u}} = {{\rho }^{{ - 1}}}\langle {{\rho }_{k}}{{\alpha }_{k}}{{{\mathbf{u}}}_{k}}\rangle $, а ${{{\mathbf{w}}}_{\ell }}_{*}$ – средняя “массовая” регуляризующая скорость смеси. Cредняя регуляризующая скорость смеси такова и уравнение (12) можно переписать как важное эллиптическое уравнение для p

При $\ell = 1$ и $\tau = {\text{const}}$ после деления на $\tau $ оно отличается от уравнения (6) только заменой в P первого слагаемого намного более простым ${{\tau }^{{ - 1}}}\langle {{\alpha }_{k}}{{{\mathbf{u}}}_{k}}\rangle $ без вторых производных по x. При этом, например, краевое условие $\langle {{\alpha }_{k}}{{({{{\mathbf{u}}}_{k}} - {\mathbf{w}}_{\ell }^{{(k)}})}_{{\mathbf{n}}}}\rangle = g$ на $\partial \Omega $ эквивалентно краевому условию ${{\left( {\tau \left\langle {\frac{{{{\alpha }_{k}}}}{{{{\rho }_{k}}}}} \right\rangle \nabla p - {{{\mathbf{P}}}_{\tau }}} \right)}_{{\mathbf{n}}}}$ = –g на $\partial \Omega $, где n означает взятие нормальной компоненты. Ниже для других регуляризованных систем ситуация с краевым условием аналогичная.

Теорема 1. Пусть ${{{\mathbf{f}}}_{k}}\, = \,\nabla {{F}_{k}}\, + \,{{{\mathbf{h}}}_{k}}$, где ${{F}_{k}}\, = \,{{F}_{k}}(x)$. Для системы уравнений (10), (11) и (8), (9) при $\ell = 0,1$ верно уравнение баланса полной энергии смеси $\mathcal{E} = \langle {{\mathcal{E}}_{k}}\rangle $, где ${{\mathcal{E}}_{k}} = 0.5{{\rho }_{k}}{{\alpha }_{k}}{\text{|}}{{{\mathbf{u}}}_{k}}{{{\text{|}}}^{2}} - {{\alpha }_{k}}{{F}_{k}}$ – полная энергия k-й компоненты:

с диссипацией ${{\mathcal{P}}^{{NS}}} + {{\mathcal{P}}^{\tau }} \geqslant 0$, где

В самом деле, пусть $1 \leqslant k \leqslant K$. В силу первого уравнения (10) имеем

Уравнение баланса импульса (11) умножим скалярно на ${{{\mathbf{u}}}_{k}}$. Воспользуемся формулой

где r – скалярная функция, а v, y – вектор-функции со значениями в ${{\mathbb{R}}^{n}}$. Тогда с помощью первого уравнения (10), умноженного на ${{\rho }_{k}}$ (т.е. уравнения баланса массы k-й компоненты), получим

Сложим равенства (16) и (18). Выполним преобразования с учетом определения ${\mathbf{w}}_{0}^{{(k)}}$:

при $\ell = 1$ учтем, что ${{\alpha }_{k}}{\mathbf{w}}_{0}^{{(k)}} + \tau {\text{div}}({{\alpha }_{k}}{{{\mathbf{u}}}_{k}}){{{\mathbf{u}}}_{k}} = {{\alpha }_{k}}{\mathbf{w}}_{1}^{{(k)}}$ в слагаемом с $\nabla p - {{{\mathbf{f}}}_{k}}$ и получим

Применим к результату операцию $\langle \cdot \rangle $, воспользуемся также формулами

где $:$ означает скалярное произведение тензоров, и с учетом уравнения (12) выведем (15).

Теорема сохраняет силу при τ = 0, когда следует обнулить ${\mathbf{w}}_{\ell }^{{(k)}}$, ${\mathbf{w}}_{0}^{{(k)}}$ и ${{\mathcal{P}}^{\tau }}$, и тогда она относится к исходной системе уравнений (1), (2).

Перейдем к агрегированным регуляризованным системам уравнений односкоростной вязкой несжимаемой смеси. Для этого аналогично [9, раздел 2] применим операцию $\langle \cdot \rangle $ к уравнению баланса импульса (11), в результате и остальных уравнениях (10) и (8), (9) положим ${{{\mathbf{u}}}_{k}} = {\mathbf{u}}$, $1 \leqslant k \leqslant K$ и выведем следующую систему с параметром $\ell = 0,1$

Основными искомыми функциями теперь являются ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{K}},{\mathbf{u}},p$. Снова $\rho = \langle {{\rho }_{k}}{{\alpha }_{k}}\rangle $.

Возникший средний тензор вязкости Навье–Стокса имеет стандартный вид

где средние коэффициенты вязкости $\mu $ и $\lambda $ являются функциями ${{\alpha }_{1}}, \ldots ,{{\alpha }_{K}}$ (и поэтому $(x,t)$), даже если ${{\mu }_{k}}$ (или ${{\lambda }_{k}}$) – постоянные, не все равные друг другу.

Регуляризующие скорости ${\mathbf{w}}_{1}^{{(k)}}$ и ${\mathbf{w}}_{0}^{{(k)}}$ при ${{{\mathbf{u}}}_{k}} = {\mathbf{u}}$, $1 \leqslant k \leqslant K$ переходят в следующие

Средние “массовые” регуляризующие скорости, возникшие в уравнении (22), таковы

Выписанная система уравнений при $\ell = 0$ формально возникает из той же системы при $\ell = 1$, если упростить ${{{\mathbf{w}}}_{{1k}}}$ до ${{{\mathbf{w}}}_{{0k}}}$, w₁ до w₀ и отбросить $\tau {\text{div}}{\mathbf{u}}$ и $\tau {\text{div}}({{\alpha }_{k}}{\mathbf{u}})$ в (22).

Применение операций $\langle \cdot \rangle $ и $\langle {{\rho }_{k}}{\kern 1pt} \cdot \rangle $ к первым уравнениям (21) приводит к уравнениям неразрывности и баланса полной массы вида

Из формул (23), (24) вытекает выражение для средней регуляризующей скорости

Поэтому уравнение неразрывности (27) эквивалентно уравнению для p вида (14) c

Уравнение (28) и последнее уравнение для p аналогичны (13) и (14) и формально получаются из них при ${{{\mathbf{u}}}_{k}} = {\mathbf{u}}$, $1 \leqslant k \leqslant K$.

Для сравнения укажем, что процедура агрегирования в применении к исходным уравнениям (3) и (2) приводит к следующей системе уравнений

Она же возникает из системы (21), (22) при τ = 0 (в том числе обнулении ${{{\mathbf{w}}}_{{\ell k}}},\;{{{\mathbf{w}}}_{\ell }},\;{{{\mathbf{w}}}_{0}}$). Для нее уравнение неразрывности (самого стандартного вида) и уравнения для $\rho $ и p таковы

Выше в выражении для $\Pi _{0}^{{NS}}$ уже учтено уравнение ${\text{div}}{\mathbf{u}} = 0$. Уравнение для p получается использованием в уравнении (31) вытекающей из второго уравнения (32) формулы ${{\partial }_{t}}(\rho {\mathbf{u}}) + {\text{div}}(\rho {\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}})$ = = $\rho [{{\partial }_{t}}{\mathbf{u}} + ({\mathbf{u}} \cdot \nabla ){\mathbf{u}}]$ и применения ${\text{div}}({{\rho }^{{ - 1}}} \cdot )$ к результату.

Теорема 2. Пусть ${{{\mathbf{f}}}_{k}} = {{\rho }_{k}}\nabla G + {{{\mathbf{h}}}_{k}}$, где $G = G(x)$. Для системы уравнений (21)–(26) при $\ell = 0,1$ верно уравнение баланса полной энергии смеси $\bar {\mathcal{E}} = 0.5\rho {\text{|}}{\mathbf{u}}{{{\text{|}}}^{2}} - \rho G$:

с диссипацией ${{\bar {\mathcal{P}}}^{{NS}}} + {{\bar {\mathcal{P}}}^{\tau }} \geqslant 0$, где

Действительно, в силу уравнения баланса полной массы (28) имеем

Уравнение баланса импульса (22) умножим скалярно на u и с помощью формулы (17) и уравнения (28) для ρ выведем

Сложим последние два равенства, выполним преобразования типа (19)

с учетом определения w₀, см. (26), и выведем

Преобразуем слагаемое с ∇p. Заметим сначала, что в силу формул (26) и (29) имеем

Последняя формула позволяет записать

и далее в силу уравнения неразрывности (27) имеем также

Наконец, воспользуемся формулами

и выведем уравнение баланса полной энергии (33). В нем ${{\bar {\mathcal{P}}}^{\tau }} \geqslant 0$ в силу неравенства Коши

Уравнение (33) сохраняет силу и при τ = 0, в том числе при обнулении ${{{\mathbf{w}}}_{{\ell k}}}$, ${{{\mathbf{w}}}_{\ell }}$, w₀ и ${{\bar {\mathcal{P}}}^{\tau }}$, и тогда оно относится к системе уравнений (30), (31).

Рассмотрим также семейство систем уравнений с общей регуляризующей скоростью

где w₀ дается формулой (26), а ${{d}_{1}}, \ldots ,{{d}_{K}}$ – произвольные функции (их размерность должна быть сек^–1). При ${{d}_{1}} = \ldots = {{d}_{K}} = 0$ система принимает самый простой вид

При ${{d}_{k}} = {\text{div}}({{\alpha }_{k}}{\mathbf{u}})$ имеем ${{\rho }^{{ - 1}}}\langle {{\rho }_{k}}{{d}_{k}}\rangle = {{\rho }^{{ - 1}}}{\text{div}}(\rho {\mathbf{u}})$ и ${\mathbf{\tilde {w}}} = {{{\mathbf{w}}}_{1}}$, см. (25). При ${{d}_{k}} = \rho {\text{div}}\left( {\frac{{{{\alpha }_{k}}}}{{{{\rho }_{k}}}}{\mathbf{u}}} \right)$ имеем ${{\rho }^{{ - 1}}}\langle {{\rho }_{k}}{{d}_{k}}\rangle $ = divu и ${\mathbf{\tilde {w}}} = {{{\mathbf{w}}}_{0}} + \tau ({\text{div}}{\mathbf{u}}){\mathbf{u}}$ = = $\tau {\text{div}}({\mathbf{u}} \otimes {\mathbf{u}}) + {{\rho }^{{ - 1}}}(\nabla p - \langle {{\alpha }_{k}}{{{\mathbf{f}}}_{k}}\rangle )$ .

Применение операций $\langle \cdot \rangle $ и $\langle {{\rho }_{k}}{\kern 1pt} \cdot \rangle $ к первым уравнениям (36) с учетом (38) и (26) приводит к уравнениям неразрывности и баланса полной массы и затем уравнению для p

В первых двух уравнениях теперь стоит одна и та же регуляризующая скорость ${\mathbf{\tilde {w}}}$ в отличие от предыдущих систем.

Теорема 3. Пусть ${{{\mathbf{f}}}_{k}}\, = \,{{\rho }_{k}}\nabla G\, + \,{{{\mathbf{h}}}_{k}}$, где $G\, = \,G(x)$. Для системы уравнений (36)–(38) и (26) верно уравнение баланса полной энергии смеси

с ${{\tilde {\mathcal{P}}}^{\tau }} = {{\tau }^{{ - 1}}}\rho {\text{|}}{{{\mathbf{w}}}_{0}}{{{\text{|}}}^{2}} \geqslant 0$ и диссипацией ${{\bar {\mathcal{P}}}^{{NS}}} + {{\tilde {\mathcal{P}}}^{\tau }} \geqslant 0$.

Схема вывода указанного уравнения прежняя. В силу уравнений (40) и (37) для последней системы уравнений равенство типа (34) приобретает вид

Далее с помощью уравнений (38) и (39) имеем

Эти формулы вместе с (35) завершают вывод.

Отметим, что в данном кратком сообщении исходное уравнение (2) было взято не в самом общем виде (в том числе опущены обменные слагаемые). Более общие варианты планируется рассмотреть в дальнейшем.