Доклады Российской академии наук. Науки о Земле, 2020, T. 491, № 1, стр. 82-86

Разброс значений многих показателей состава и свойств речной воды в десятки раз превышает их сезонную изменчивость [1] и часто сопровождается высоким и сверхвысоким загрязнением рек. Непредсказуемость такого разброса создает неприемлемый экономический ущерб предприятиям-водопользователям, вынужденным работать, оставаясь “во власти стихии”. Однако ситуация может быть исправлена, если будет обнаружено, что изменения состава воды, кажущиеся происходящими хаотично, все же включают элементы регулярной структуры, как это свойственно многим природным процессам [2–4]. В связи с этим был выполнен анализ временных рядов (ВР) показателей качества речных вод на наличие элементов упорядоченности.

Предварительное подтверждение перспективности такой работы было получено при рассмотрении информации о качестве воды в р. Исеть (бассейн р. Оби). Таково, например, ВР содержание меди (ВР Cu), которое считается здесь одним из наименее прогнозируемых параметров вследствие его высокого непостоянства из-за геохимической неоднородности подстилающих пород и сбросов медь-содержащих загрязнений предприятиями этого промышленного региона. Вывод о периодичности следует, в частности, из рис. 1а, где сменяющие друг друга фазы – периоды положительного, либо отрицательного прироста концентрации – содержат элементы “самоподобия”. Из фазового портрета данной динамической системы, приведенного на рис. 1б, видно также, что изменение концентрации C_i(C_i – 1), где i – номер месяца, в тот же период времени напоминает циклически-волновой процесс.

Впрочем, более общая картина, как это следует из приведенной на рис. 2 огибающей линии, цикличности не демонстрирует. Поэтому было выполнено исследование с помощью подходов, базирующихся на:

− выявлении циклически-волновой динамики состава и свойств речной воды;

− наблюдении возможных эффектов долговременной памяти соответствующих ВР, ядов, и их персистентности, характеризующей склонность сохранять тенденцию изменения значений контролируемых показателей.

Исследование выполняли в фазовом пространстве φ_ρ размерности ρ = 2, которое может быть представлено в виде: ${{\varphi }_{{\rho = 2}}}(C) = \{ {{w}_{i}}\} $, ${{w}_{i}} = ({{С}_{i}},{{С}_{{i + 1}}})$, $i = 1,2,...,n - 1$. Учитывалось, что ряд точек $({{С}_{i}},{{С}_{{i + 1}}}, \ldots ,{{С}_{{i + k}}})$ из общей последовательности $({{С}_{1}},{{С}_{2}}, \ldots ,{{С}_{{n - 1}}})$ в среде ${{\varphi }_{{\rho = 2}}}(C)$ образует цикл (квазицикл из k узлов), если на интервале $[{{C}_{i}},{{C}_{{i + k}}}]$ отрезки $({{C}_{i}},{{C}_{{i + 1}}})$ и $({{C}_{{i + k - 1}}},{{C}_{{i + k}}})$ пересекаются, образуя первое на этом интервале самопересечение фазовой траектории. Если же фазовая траектория на интервале $[{{C}_{i}},{{C}_{{i + k}}}]$, не достигнув самопересечения, начинает расходиться, то концом квазицикла считалась точка ${{C}_{{i + k}}}$, для которой $\rho ({{C}_{i}},{{C}_{{i + k}}})$ = $\mathop {\min }\limits_j \rho ({{C}_{i}},{{C}_{{i + j}}})$ < $\rho ({{C}_{i}},{{C}_{{i + k + 1}}})$, $j = \overline {i + 1,i + k} ~$, т.е. расстояние между точками C_i и ${{C}_{{i + k}}}$ на интервале $[{{C}_{i}},{{C}_{{i + k}}}]$, является наименьшим.

Здесь $k + 1$ представляет собой длину квазицикла.

На рис. 3 даны примеры найденных с помощью фазового анализа типичных квазициклов приведенного на рис. 1 ряда наблюдений. В заголовках рисунков указаны точки, вошедшие в эти элементы структуры, а в скобках – их длина.

Общие результаты фазового анализа данного ВР приведены в табл. 1.

Из приведенных в табл. 1 данных следует, что в данном ВР доминируют квазицилы длиной d = {6, …, 8} мес. Их общий удельный вклад в циклически-волновую структуру составляет около 70%, что указывает на целесообразность поиска здесь эффекта долговременной памяти и персистентности, тесно связанных с наличием в структуре рядов самоподобия (точнее, самоаффинности), главного характерного признака фрактальности объекта.

В отсутствие долговременной памяти ВР описывается моделью случайного блуждания, а при ее наличии – моделями обобщенного броуновского движения. Адекватной характеристикой последних является показатель (экспонента) Хёрста H(i), отображающий память ВР как наличие персистентности [4, 5]. Оценка этого показателя осуществляется с помощью оценки нормированного размаха или методом так называемого R/S-анализа по выборкам из стационарного процесса с долговременной памятью:

где R(i) – нормированный размах вариации [4, 6], S(i) – стандартное отклонение, A – константа, оцениваемая как свободный член регрессии.

Далее R/S-анализ рассматривается как критерий верификации ритмических закономерностей и их дифференциации на просто циклические и самоподобные (фрактальные) кластеры.

При H > 0.5 исследуемый ряд характеризуется персистентностью, указывающей на наличие долговременной памяти, и фрактальностью, а при H > 0.5 – антиперсистентностью, означающей, что рост контролируемых показателей в предыдущем периоде, скорее всего, сменится их спадом в следующем периоде, а если шло снижение, то вероятен близкий подъем.

Для количественных оценок фрактальных свойств ряда показателей состава воды оценивали показатель Хёрста при A = 0.5. Использовали ряды данных для ВР Cu с 25 января 2001 г. по 23 декабря 2009 г., в течение которого велись ежемесячные наблюдения.

Реализация подхода осуществлялась путем вычислений показателя Хёрста и визуализации H- и R/S-траекторий постепенно сокращаемых ВР, начиная от его начальных значений с целью поиска наиболее крупных квазициклов. Процесс повторялся до тех пор, пока количество оставшихся значений ВР не оказывалось приближенно равным длине предполагаемой “глубины памяти” (если таковая имеется). Построенный массив рядов (распределенных лагов), включающий исходный ВР Cu и “обрезанные” ряды, составил для ВР Cu: $\left| {\Omega } \right| = 90$. Эта работа позволила оценить вклад в ВР стохастической составляющей, а также систематических составляющих – циклических компонентов и тренда, визуализированных в форме R/S- и H-траекторий. Один из типичных рядов приведен на рис. 4. Здесь первые характеризовали динамику нормированного размаха, а вторые – “шумовой” показатель.

Из рисунка видно, что R/-траектория ВР поднимается в 3-й точке, а начиная с 6-й демонстрирует резкий “срыв”. Отсюда следует, что глубина “памяти” для данного “обрезанного” ряда равна 6. Большая часть рассмотренных R/S- и H-траекторий ВР-семейства Ω демонстрирует наличие подобных свойств. В целом обнаружено, что более, чем для 80% “обрезанных” ВР этого семейства показатель Хёрста достигает значений [0.7–0.9], что свидетельствует о персистентности ряда, его склонности следовать трендам, характеризующимся долговременными корреляциями между значениями текущими и будущими. Таковы признаки наличия в ВР Cu долговременной памяти.

Дальнейшие исследования показали, что для почти третьей части ВР величина такой памяти определяется особенно явно, четко демонстрируя границу перехода от регулярного к стохастическому состоянию системы. В частности, для ВР Cu таковы “квазициклы” семейства Ω под номерами 7–10, 13, 16, 18, 22, 25, 26, 30–32, 36, 37, 57, 58, 60, 61, 62, 64–65, 79, 83, 85.

Таким образом, самоподобны не все квазициклы; на рис. 1 приведен лишь пример хорошо выраженного самоподобия.