Доклады Российской академии наук. Науки о Земле, 2021, T. 497, № 1, стр. 78-82

ВВЕДЕНИЕ

Предупреждение о цунами – это важнейшая задача в приморских районах многих стран мира, омываемых морями и океанами. Свойство сейсмических волн обгонять порождаемые ими колебания водного слоя широко используется в системах раннего предупреждения о цунами, как у нас в стране, так и за рубежом. Новизна работы заключается в том, что задача решается численно и современным сеточно-характеристическим методом, специально разработанным для решения задач геофизики, который позволяет с высокой точностью моделировать и в дальнейшем анализировать волновые явления в прибрежных зонах, подверженных воздействию цунами.

Для решения задач о распространении сейсмических волн от очагов землетрясений до земной поверхности [1, 2] используют конечно-разностные методы [3–5], разрывный метод Галеркина [5, 6], метод спектральных элементов [7–9]. В данной работе для расчета использовался сеточно-характеристический метод [10–12] на структурированных комбинированных криволинейных и регулярной расчетных сетках [12]. Сеточно-характеристический метод также успешно применялся для совместного решения упругого и акустического волновых уравнений [12–14] и расчета сейсмостойкости сооружений [15].

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Пример геологической модели, рассмотренный в статье, приведен на рис. 1.

Рис. 1.

Геологическая модель и отдельные расчетные сетки. Расстояния указаны в км.

Решалась совместная задача упругого:

Между упругой и акустической средой использовалось следующее контактное условие:

На границе геологической породы с воздухом применялось условие свободной границы:

Между слоями с различными упругими параметрами ставилось контактное условие полного слипания.

В выражениях (1)–(10) ${\mathbf{v}}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ – скорость (производная смещения), ${\mathbf{\sigma }}\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ – симметричный тензор напряжений Коши, $p\left( {{\mathbf{r}},t} \right)$ – давление, ${\mathbf{r}}$ – радиус-вектор, $t$ – время, $\nabla $ – вектор-градиент, ${{\rho }}$ – плотность, ${{c}_{{\text{P}}}}$, ${{c}_{{\text{S}}}}$ – скорости продольных и поперечных волн соответственно, $I$ – единичный тензор второго ранга, $ \otimes $ – тензорное произведение векторов, ${{\left( {{\mathbf{a}} \otimes {\mathbf{b}}} \right)}_{{ij}}} = {{a}_{i}}{{b}_{j}}$. В выражениях (5), (6), (10) m – единичная нормаль к контактной границе, в выражении (7) m – внешняя единичная нормаль к границе. В выражении (6) индексы А, Е соответствуют упругой и акустической средам соответственно, а в выражениях (9), (10) индексы L и R соответствуют левой и правой относительно границы расчетным сеткам.

Очаг землетрясения задавался в качестве начального условия заданных скоростей в соответствии с рис. 1. По краям области интегрирования в качестве неотражающих граничных условий рассматривались дополнительные расчетные сетки с растущим в геометрической прогрессии шагом по координате и диссипативной расчетной схемой.

Отдельные расчетные сетки (криволинейные и регулярная, “M2”) также представлены на рис. 1. Путем преобразования координат задача сводится к структурированным регулярным сеткам в соответствии с рис. 2. Использованные на рис 1, 2 изображения расчетных сеток расшифрованы в табл. 1.

Рис. 2.

Отдельные расчетные сетки после преобразования координат (схема).

Для решения использовался сеточно-характеристический метод, описание которого можно найти в работах [11, 12]. В качестве неотражающих условий все расчетные сетки по краям и внизу области интегрирования были окружены дополнительными расчетными сетками с растущим в геометрической прогрессии шагом по координате, в которых использовалась диссипативная расчетная схема.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В ходе проведения численных экспериментов варьировались упругие свойства и геометрия рассматриваемых слоев, а также положение сейсмических датчиков в береговой зоне. Рассмотрим подробнее результаты одного из расчетов. На рис. 3 представлена волновая картина (специальным образом визуализированное поле модуля скорости) в момент времени 5.115 с. Можно видеть типы волн, которые опережают колебания водного слоя. Эти же типы волн (продольные волны, прошедшие через слои мантии, базальтового слоя и слоя осадочных пород) можно видеть первыми на сейсмограммах (рис. 4, отмечены кругом). Численное моделирование позволяет определить наклон этих волн на сейсмограммах.

Рис 3.

Волновая картина в момент времени 5.115 с. Расстояния указаны в км.

Рис. 4.

Сейсмограмма вертикальной компоненты скорости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты моделирования показали, что сеточно-характеристический метод на комбинированных структурированных криволинейных и регулярных расчетных сетках может быть применен для решения прямых задач предупреждения о цунами, а также для детального анализа волновых явлений, происходящих при землетрясениях в подводной области. Оптимальным способом сейсмической съемки являются регистрация и анализ горизонтальной (в направлении от гипоцентра землетрясения) и вертикальной компонент скорости (производная смещения), зарегистрированных на сейсмических датчиках, расположенных на расстоянии 50 м друг от друга.