Доклады Российской академии наук. Науки о Земле, 2021, T. 500, № 1, стр. 83-87

Оценки влияния неоднородностей силы тяжести на тепловой режим пограничного слоя атмосферы

Л. Х. Ингель^1, 3, член-корреспондент РАН А. А. Макоско^2, 3, *

¹ НПО “Тайфун”
Обнинск, Россия

² Российская академия наук
Москва, Россия

³ Институт физики атмосферы им. А.М. Обухова, Российская академия наук
Москва, Россия

^* E-mail: aamacosco@mail.ru

Поступила в редакцию 04.03.2021
После доработки 25.05.2021
Принята к публикации 25.05.2021

DOI: 10.31857/S2686739721090115

Полный текст (PDF)

Аннотация

Неоднородности поля силы тяжести, деформируя поля давления, плотности и температуры воздуха, влияют на температурный режим пограничного слоя атмосферы, на теплообмен воздуха с подстилающей поверхностью. В работе рассмотрена стационарная аналитическая модель, призванная оценить амплитуды этих эффектов. Получены аналитические выражения для профилей температурных возмущений и амплитуд отклонений вертикальных потоков тепла на поверхности. Последние, помимо амплитуд неоднородностей поля силы тяжести, наиболее сильно зависят от фоновой стратификации среды. В высокоаномальных регионах амплитуды отклонений потоков тепла, согласно полученным оценкам, могут достигать и превышать 1 Вт/м², что дает основания к учету неоднородностей поля силы тяжести в климатических расчетах и численных моделях атмосферы.

Ключевые слова: неоднородности поля силы тяжести, пограничный слой атмосферы, турбулентный обмен, линейные возмущения, аналитическая модель, теплообмен, климат

ВВЕДЕНИЕ

В недавних теоретических работах Л.Х. Ингель и А.А. Макоско (см., в частности, [1, 2] и библиографию к этим работам) получены некоторые оценки атмосферных возмущений, связанных с неоднородностями поля силы тяжести (НПСТ). При этом основное внимание уделялось динамическим эффектам – возмущениям поля ветра под влиянием НПСТ. В настоящей работе обращается внимание на то, что в приземном слое атмосферы могут существовать и заметные термические эффекты НПСТ.

Для идеальной жидкой (газообразной) среды доказано, что в статическом состоянии в НПСТ изобары и изопикны (следовательно, и изотермы) совпадают с эквипотенциальными поверхностями [3]. Отклонения этих поверхностей от общего земного эллипсоида (высота геоида), могут, как известно, достигать значений порядка ±100 м. В приземном слое, где вертикальные перепады температуры в нижних 10–20 м могут достигать нескольких градусов, вертикальное смещение изотерм даже на 10 м должно приводить к заметным термическим эффектам. Правда, воздух в приземном слое атмосферы далек от идеальной среды. Поэтому существует содержательная задача – оценка отклонений температуры и потоков тепла в приземном слое, возникающих под влиянием НПСТ.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Математическая задача в ряде отношений аналогична известным исследованиям течений, возникающих в стратифицированной среде над неоднородно нагретой горизонтальной поверхностью (см., например, [4] и библиографию в этой работе). Но в последних возмущения в среде связаны с неоднородными краевыми условиями на нижней границе, а в настоящем случае эти условия могут быть однородными, но неоднородна система уравнений гидротермодинамики – в ней присутствуют дополнительные горизонтально-неоднородные силы, связанные с пространственной неоднородностью поля силы тяжести.

Ограничиваемся рассмотрением двумерной стационарной задачи, аналогичной работе [1], в которой, однако, анализируются только динамические возмущения. Для обобщения стандартных уравнений динамики с учетом НПСТ, введем в эти уравнения дополнительные силы (ускорения) g_x(x, z), g_z(x, z) – горизонтальную и вертикальную составляющие НПСТ (помимо обычно рассматриваемой постоянной силы тяжести, обозначаемой через g) [1]. Из свойств гравитационного потенциала следует соотношение $\partial {{{\mathbf{g}}}_{x}}{\text{/}}\partial z$ = $\partial {{{\mathbf{g}}}_{z}}{\text{/}}\partial x$. Соответствующая линеаризованная система уравнений гидротермодинамики для двумерной стационарной задачи в приближении Буссинеска имеет вид [1]:

(1)

$\begin{gathered} 0 = - \frac{1}{{\bar {\rho }}}\frac{{\partial p{\kern 1pt} '}}{{\partial x}} + f{\mathbf{v}} + \nu {{\Delta }_{2}}u + {{{\mathbf{g}}}_{x}},\quad 0 = - fu + {{\nu }}{{{{\Delta }}}_{{2{v}}}}, \\ \rho {\kern 1pt} ' = - \bar {\rho }\alpha \theta , \\ \end{gathered} $

(2)

$\begin{gathered} 0 = - \frac{1}{{\bar {\rho }}}\frac{{\partial p{\kern 1pt} '}}{{\partial z}} + \nu {{\Delta }_{2}}w - {\mathbf{g}}\frac{{\rho {\kern 1pt} '}}{{\bar {\rho }}} + {{{\mathbf{g}}}_{z}}, \\ \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial w}}{{\partial z}} = 0,\quad \gamma w = \kappa {{\Delta }_{2}}\theta . \\ \end{gathered} $

Здесь u, ${v}$, w – составляющие возмущения поля скорости вдоль горизонтальных осей x, y и вертикальной оси z соответственно; p', ρ' – возмущения давления и плотности соответственно; f – параметр Кориолиса; Δ₂– символ двумерного лапласиана; θ – возмущение потенциальной температуры; ${{\gamma }} > 0$ – фоновый вертикальный градиент потенциальной температуры (предполагается устойчивая фоновая стратификация плотности); α – коэффициент теплового расширения; коэффициенты обмена κ и ν предполагаются постоянными.

На нижней горизонтальной границе (подстилающей поверхности) предполагается выполнение условий непротекания и прилипания, а также фиксированной температуры (отсутствия температурных возмущений):

(3)

$u = {v} = w,\quad q = 0\quad {\text{при}}\quad z = 0.$

Вдали от поверхности предполагается выход на статический режим, существующий, согласно [3], при отсутствии вертикального теплообмена и без учета влияния подстилающей поверхности (горизонтальный теплообмен в рассматриваемой геометрии задачи незначителен). Последнее означает, что изобары, изопикны и изотермы вдали от нижней границы совпадают с эквипотенциальными поверхностями, а возмущения скорости затухают. Обозначим через $\Phi $ и $\,\eta $ соответственно отклонения потенциала силы тяжести и вертикальные отклонения эквипотенциальных поверхностей, связанные с неоднородностями поля силы тяжести. По определению, $\eta = - \frac{\Phi }{{\mathbf{g}}}$ = $\frac{{\int {{{{\mathbf{g}}}_{x}}dx} }}{{\mathbf{g}}}$, где нижний предел интегрирования – “отсчетная” точка, в которой упомянутые отклонения отсутствуют. Соответственно, верхнее граничное условие для температурного возмущения имеет вид:

$\theta \to - \gamma \eta = - \frac{{\gamma \int {{{{\mathbf{g}}}_{x}}dx} }}{{\mathbf{g}}}\quad {\text{при}}\quad z \to \infty .$

РЕШЕНИЕ

Исключая из системы уравнений все неизвестные, кроме w, получаем уравнение

(5)

${{\Delta }}_{2}^{3}w + \frac{{{{N}^{2}}}}{{{{\kappa \nu }}}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{x}^{2}}}} + {{\left( {\frac{f}{{{\nu }}}} \right)}^{2}}\frac{{{{\partial }^{2}}w}}{{\partial {{z}^{2}}}} = 0,$

где $N = {{\left( {\alpha {\mathbf{g}}\gamma } \right)}^{{\frac{1}{2}}}}$ – частота плавучести (частота Брента-Вяйсяля).

Удобно анализировать модель с гармонической зависимостью неоднородностей поля силы тяжести от горизонтальной координаты:

(6)

${{{\mathbf{g}}}_{x}} = G\exp \left( { - kz} \right)\cos kx,\;\;{{{\mathbf{g}}}_{z}} = - G\exp \left( { - kz} \right)\sin kx,$

где G – амплитуда, k^–1 – пространственный масштаб неоднородности соответственно. В этом случае решение также ищем в виде горизонтальной гармоники:

(7)

$\begin{gathered} u\left( {x,z} \right) = U\left( z \right)\cos kx, \\ w\left( {x,z} \right) = W\left( z \right)\sin kx,\quad {\text{и}}\;{\text{т}}{\text{.д}}. \\ \end{gathered} $

Уравнение (5) принимает вид

(8)

$\begin{gathered} {{\left( {\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{Z}^{2}}}} - 1} \right)}^{3}}W = - {\text{Ta}}\frac{{{{d}^{2}}}}{{d{{Z}^{2}}}}W + RW, \\ R = \frac{{{{N}^{2}}}}{{\kappa \nu {{k}^{4}}}},\quad {\text{Ta}} = \frac{{{{f}^{2}}}}{{{{\nu }^{2}}{{k}^{4}}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь введены безразмерная переменная $Z = kz$ и безразмерные параметры R, Ta, являющиеся некоторыми аналогами чисел Рэлея и Тейлора.

Решение последнего уравнения стандартным образом ищется в виде линейной комбинации экспонент типа $\exp \left( {\sigma kz} \right)$. Характеристическое уравнение имеет вид

(9)

${{\left( {{{\sigma }^{2}} - 1} \right)}^{3}} + \operatorname{Ta} {{\sigma }^{2}} - R = 0.$

В общем случае решение весьма громоздко. Но полезно иметь в виду, что значения параметров R, Ta в рассматриваемых условиях обычно весьма велики, так что имеет смысл проанализировать некоторые относительно простые предельные случаи. Например, если $\kappa = \nu = 10$ м²/c (эффективные коэффициенты турбулентного обмена), $k = 5 \times {{10}^{{ - 6}}}$ м^–1 (что соответствует длине горизонтальной полуволны около 600 км), ${{\gamma }} = 6 \times {{10}^{{ - 3}}}$ К/м, $f = 7 \times {{10}^{{ - 5}}}$ c^–1, то $N \approx 1.4 \times {{10}^{{ - 2}}}$ c^–1, $R \approx 3 \times {\text{1}}{{{\text{0}}}^{{{\text{15}}}}}$, ${\text{Ta}} \approx {{10}^{{11}}}$. Корни характеристического уравнения ${{\sigma }_{j}}$ в таких ситуациях велики по абсолютной величине по сравнению с единицей, и это существенно упрощает расчеты, которые аналогичны [1]. В частности, при выполнении условия

$1 \ll {{R}^{{2/3}}} \ll {\text{Ta}} \ll R$

приближенное решение системы уравнений (1) и (2) имеет вид (в чем можно убедиться и прямой подстановкой в эти уравнения):

$w \approx \nu k\frac{G}{{\mathbf{g}}}{{\left( {\frac{N}{f}} \right)}^{2}}\left[ {\exp \left( { - \frac{z}{{{{h}_{B}}}}} \right) - } \right.$

$\left. { - \;{{2}^{{\frac{1}{2}}}}\exp \left( { - \frac{z}{{{{h}_{E}}}}} \right)\cos \left( {\frac{z}{{{{h}_{E}}}} - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]\sin kx,$

$u \approx \nu k{{\left( {\frac{\nu }{\kappa }} \right)}^{{1/2}}}\frac{G}{{\mathbf{g}}}{{\left( {\frac{N}{f}} \right)}^{3}} \times $

(10)

$ \times \;\left[ { - \exp \left( { - \frac{z}{{{{h}_{B}}}}} \right) + {{{\left( {4\frac{{{\text{T}}{{{\text{a}}}^{3}}}}{{{{R}^{2}}}}} \right)}}^{{\frac{1}{4}}}}\exp \left( { - \frac{z}{{{{h}_{E}}}}} \right)\sin \left( {\frac{z}{{{{h}_{E}}}}} \right)} \right]\cos kx,$

${v} \approx {{\left( {\frac{\kappa }{\nu }} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}{v}\left[ {\left( {1 - \delta } \right)\exp \left( { - kz} \right) - \exp \left( { - \frac{z}{{{{h}_{B}}}}} \right) + } \right.$

$\left. { + \;\delta \exp \left( { - \frac{z}{{{{h}_{E}}}}} \right)\cos \left( {\frac{z}{{{{h}_{E}}}}} \right)} \right]\cos kx,$

${{\theta }} \approx - \frac{{{{\gamma }}G}}{{k{\mathbf{g}}}}\left[ {\exp \left( { - kz} \right) - \exp \left( { - \frac{z}{{{{h}_{B}}}}} \right)} \right]\sin kx,$

где фигурируют масштабы длины

${{h}_{B}} = \frac{1}{k}{{\left( {\frac{{{\text{Ta}}}}{R}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}} = {{\left( {\frac{\kappa }{\nu }} \right)}^{{\frac{1}{2}}}}\frac{f}{{kN}},\quad {{h}_{E}} = \frac{1}{k}{{\left( {\frac{{{\text{Ta}}}}{4}} \right)}^{{ - \frac{1}{4}}}} = {{\left( {\frac{{2\nu }}{f}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}},$

а также безразмерный параметр $\delta $ и масштаб скорости ${v}$:

$\delta = \frac{{{{{(2R)}}^{{\frac{1}{2}}}}}}{{{\text{T}}{{{\text{a}}}^{{\frac{3}{4}}}}}} = \frac{{N\nu k}}{{{{{\left( {\kappa {{f}^{3}}{\text{/}}2} \right)}}^{{\frac{1}{2}}}}}} \ll 1,\quad {v} = \frac{N}{k}\frac{G}{{\mathbf{g}}}\sim N\eta .$

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЯ ТЕМПЕРАТУРЫ

При рассмотренных выше значениях параметров вторая экспонента в (10) убывает с высотой примерно в 200 раз быстрее, чем первая. При $z \gg {{h}_{B}}$ существенна лишь первая экспонента – температурные возмущения на достаточно высоких уровнях определяются лишь деформациями изотерм, которые следуют поверхностям равного потенциала. Из (4), с учетом (6), следует

$\theta \to - \gamma \eta = - \gamma \int {{{{\mathbf{g}}}_{x}}dx{\text{/}}{\mathbf{g}}} = - \frac{{\gamma G}}{{kg}}\exp \left( { - kz} \right)\sin kx.$

Выражение (10) отличается от последнего выражения лишь второй экспонентой, которая, как пояснено выше, быстро убывает с высотой. Поэтому, как и предполагалось, на больших высотах эти выражения совпадают.

Но ниже имеется относительно тонкий переходный слой, где сказывается температурное влияние подстилающей поверхности. Амплитуда обусловленного НПСТ возмущения потока тепла у этой поверхности:

${{\left| {{{c}_{p}}\bar {\rho }\kappa \frac{{d\theta }}{{dz}}} \right|}_{{z = 0}}} \approx {{c}_{p}}\bar {\rho }\kappa \gamma \frac{G}{{\mathbf{g}}}{{\left( {\frac{R}{{{\text{Ta}}}}} \right)}^{{\frac{1}{2}}}} = {{c}_{p}}\bar {\rho }{{\left( {\nu \kappa } \right)}^{{\frac{1}{2}}}}{{\gamma }}\frac{{GN}}{{{\mathbf{g}}{\kern 1pt} f}},$

где ${{c}_{p}}$ – теплоемкость воздуха. Помимо амплитуды неоднородности поля силы тяжести, последнее выражение особенно сильно зависит от фоновой температурной стратификации (от $\gamma $ зависит и N). Это и понятно, поскольку связанное с НПСТ вертикальное смещение изотерм особенно сильно сказывается при интенсивной стратификации. При $\frac{G}{{\mathbf{g}}} = {{10}^{{ - 4}}}$ для приведенных выше значений остальных параметров выражение (18) превышает 1 Вт/м². Это значение может быть еще больше с учетом того, что в приземном и пограничном слоях фоновый градиент температуры ${{\gamma }}$ может быть значительно больше, чем в приведенной выше оценке.

ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ НИЗКИХ ШИРОТ

Низким широтам отвечают относительно малые значения параметра Кориолиса и числа Тэйлора. Поэтому представляет интерес аналогичная задача без учета кориолисовых сил. Можно показать, что в этом случае приближенное решение для температурного возмущения имеет вид

$\begin{gathered} {{\theta }}\left( {x,z} \right) \approx \frac{{{{\gamma }}G}}{{k{\mathbf{g}}}}\left\{ { - \exp \left( { - kz} \right) + \frac{1}{2}\left[ {\exp \left( { - {{R}^{{\frac{1}{6}}}}kz} \right) + } \right.} \right. \\ + \,\,\left( {\cos \left( {\frac{{{{3}^{{1/2}}}}}{2}{{R}^{{1/6}}}kz} \right) + \frac{1}{{{{3}^{{1/2}}}}}\sin \left( {\frac{{{{3}^{{1/2}}}}}{2}{{R}^{{1/6}}}kz} \right)} \right) \cdot \\ \left. {\left. { \cdot \exp \left( { - \frac{1}{2}{{R}^{{1/6}}}kz} \right)} \right]} \right\}\sin kx. \\ \end{gathered} $

Если в предыдущем решении толщина возникающего у поверхности пограничного слоя была порядка ${{{\mathbf{h}}}_{B}}$, то в данном случае она порядка ${{R}^{{ - \frac{1}{6}}}}{{k}^{{ - 1}}}$. Это означает существование у поверхности дополнительных потоков тепла амплитудой порядка

$\begin{gathered} {{\left| {{{c}_{p}}\bar {\rho }\kappa \frac{{d\theta }}{{dz}}} \right|}_{{z = 0}}}\sim {{c}_{p}}\bar {\rho }\kappa k{{R}^{{\frac{1}{6}}}}{{\theta }}\sim {{c}_{p}}\bar {\rho }\kappa \frac{{{{\gamma }}G}}{{\mathbf{g}}}{{R}^{{\frac{1}{6}}}} = \\ = {{c}_{p}}\bar {\rho }\frac{G}{{\mathbf{g}}}{{\left( {\frac{{\alpha {\mathbf{g}}{{\kappa }^{5}}{{\gamma }^{7}}}}{{\nu {{k}^{4}}}}} \right)}^{{\frac{1}{6}}}}. \\ \end{gathered} $

Если $N = {{10}^{{ - 2}}}$ c^–1, $\kappa = \nu = 3$ м²/c, $k = 2 \times {{10}^{{ - 5}}}$ м^–1 (что соответствует длине горизонтальной полуволны около 150 км), то ${{R}^{{\frac{1}{6}}}} \approx 200$. Толщина возникающего пограничного слоя ${{R}^{{ - \frac{1}{6}}}}{{k}^{{ - 1}}}$ порядка первых сотен метров.

При $\frac{G}{{\mathbf{g}}} = {{10}^{{ - 4}}}$ амплитуда дополнительных потоков тепла может достигать и превышать 1 Вт/м².

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренная модель прозрачно демонстрирует, что неоднородности поля силы тяжести, деформируя поля давления, плотности и температуры воздуха, влияют на температурный режим пограничного слоя атмосферы, на теплообмен с подстилающей поверхностью. Полученные значения амплитуд возмущений потоков тепла, видимо, могут быть заметно больше, поскольку они сильно зависят от фоновой стратификации, а последняя в приземном и пограничном слоях бывает весьма значительной.

Полученный результат представляется достаточно значимым.

В формировании различных типов климата Земли существенная роль принадлежит круговоротам тепла и влаги, включая поток явного тепла, величина которого у Земли составляет до 20–30 Вт/м² (см., напр., [5, 6]), но при этом испытывает значительные вариации, в том числе суточные со сменой знака [7]. В таких случаях в высоко аномальных регионах, площадь которых составляет до нескольких млн кв. км (см. рис. 1.2–1.4 в [8]), роль НПСТ может быть очень заметна.

Отмеченные обстоятельства указывают на повод для оценки систематических погрешностей вследствие неучета НПСТ в процедурах определения потоков тепла и для возможного уточнения краевых условий в численных моделях атмосферы.

Если принять во внимание, что в используемых IPCC (Межправительственная группа экспертов по изменению климата) базовых климатических сценариях RCP величины дополнительного потока тепла (радиационного форсинга) составляют от 2.6 до 8.5 Вт/м² [9], возникает дополнительное основание к учету неоднородностей поля силы тяжести в климатических расчетах.

Рассмотренная выше теоретическая схема содержит ряд допущений, которые могут ограничивать пределы применимости результатов. В частности, предполагались постоянные значения коэффициентов турбулентного обмена. Отказ от приближения Буссинеска, скорее всего, не изменит порядков амплитуд, как и рассмотрение трехмерных возмущений. Температура поверхности предполагалась фиксированной. Не представляет принципиальной трудности обобщение задачи на случай более общих краевых условий города.

Представляется важным, что в любом случае рассмотренная аналитическая модель является необходимым шагом для понимания механизмов влияния неоднородностей силы тяжести на гидротермодинамику атмосферы и оценки амплитуд соответствующих эффектов.

Список литературы

Ингель Л.Х., Макоско А.А. // Изв. РАН. Физика атмосферы и океана. 2018. Т. 54. № 6. С. 635–640. https://doi.org/10.1134/S0002351518060081
Ingel L.Kh., Makosko A.A. // Geophys. and Astrophys. Fluid Dyn. 2021. V. 115. N 1. P. 35–43. https://doi.org/10.1080/03091929.2020.1762080
Кочин Н.Е. Изменение температуры и давления с высотой в свободной атмосфере. Собр. соч. Т. 1. М.-Л.: Изд. АН СССР, 1949. С. 530–591.
Ингель Л.Х., Макоско А.А. // Вычислительная механика сплошных сред. 2020. Т. 13. № 3. С. 288–297. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2020.13.3.23
Лаппо С.С., Гулев С.К., Рождественский А.Е. Крупномасштабное тепловое взаимодействие в системе океан-атмосфера и энергоактивные области Мирового океана. Л.: Гидрометеоиздат. 1990. 339 с.
Ипполитов И.И., Кабанов М.В., Логинов С.В. и др.// Оптика атмосферы и океана. 2011. Т. 24. № 1. С. 22–29.
Дубравин В.Ф., Капустина М.В., Стонт Ж.И. // Изв. РГО. 2019. Т. 151. Вып. 4. С. 15–26. https://doi.org/10.31857/S0869-6071151415-26
Макоско А.А., Панин Б.Д. Динамика атмосферы в неоднородном поле силы тяжести. СПб.: РГГМУ, 2002. 244 с.
О новых сценариях анализа выбросов, изменения климата, воздействий и стратегий реагирования. Техническое резюме. Доклад совещания экспертов МГЭИК 19–21 сентября 2007 года. Нордвейкерхаут, Нидерланды. https://archive.ipcc.ch/pdf/supporting-material/expert-meeting-ts-scenarios-ru.pdf.

Дополнительные материалы отсутствуют.

Инструменты

следующая статья выпуска предыдущая статья выпуска содержание выпуска

Доклады Российской академии наук. Науки о Земле

Архивы выпусков Информация о журнале Отправить рукопись в журнал