Доклады Российской академии наук. Науки о Земле, 2023, T. 512, № 2, стр. 302-307

Изучение волновых процессов в море с плавающим ледяным покровом актуально для изучения его реакции на различные гидродинамические возмущения, движущиеся надводные и подводные суда, процессы распада ледяных полей в интересах судоходства, а также совершенствования методов дистанционного зондирования поверхности ледяного покрытия. Поверхностные возмущения ледяного покрова, которые могут быть зарегистрированы с помощью специальных радиолокационных и оптических систем, несут информацию не только об источниках возмущений, но и о характеристиках морской среды подо льдом [2, 4, 8, 10, 15, 16]. Плавающий ледяной покров, определяющий динамическое взаимодействие между океаном и атмосферой, влияет на динамику не только морской поверхности, но и подповерхностных вод, так как в общем движении по вертикали участвует как ледяной покров, так и вся масса жидкости под ним. Одним из заметных источников возбуждения ледяного покрова могут являться интенсивные внутренние гравитационные волны, в частности в [12, 13] показано, что колебания ледяного покрова за счет внутренних волн могут быть от нескольких сантиметров (прилив) до 2–3 м (цунами), амплитуды до 30 см регистрировались при наличии ветровых волн [15–18].

Обычно предполагается, что ледяной покров является сплошным (его горизонтальные масштабы превышают длины возбуждаемых волн), и при достаточно общих условиях моделируется тонкой упругой физически линейной пластиной, деформации которой малы [2, 4, 9, 10, 19]. Для проведения прогнозных расчетов возмущений ледяного покрова можно подбирать параметры модели генерации так, чтобы приблизить смоделированную волновую систему к реально наблюдаемым в природных условиях картинам возмущения поверхности льда [2, 7, 8, 10, 15, 19, 20].

Целью настоящей работы является решение ранее не рассматриваемой задачи о построении асимптотик дальних волновых возмущений ледяного покрова, возбуждаемых локализованным источником в потоке однородной жидкости бесконечной глубины. Рассматривается поток идеальной бесконечно глубокой жидкости, который обтекает точечный источник мощности массы q $\left( {q = \operatorname{const} } \right)$. Сверху течение ограничено ледяным покровом толщины $~h$. Горизонтальная плоскость ${{\xi }}y$ совпадает с невозмущенной границей раздела жидкости плотности ${{\rho }_{0}}$ и льда плотности ${{{{\rho }}}_{1}}$. Скорость потока жидкости направлена вдоль оси ${{\xi }}$ и равна $V$, источник расположен в точке $\left( {0,0,{{z}_{0}}} \right)$, ${{z}_{0}} < 0$. Обозначим через ${{\varphi }}\left( {{{\xi }},y,z} \right)$ установившийся во времени потенциал возмущений скорости: $\nabla {{\varphi }} = \left( {u,{v},w} \right)$, и через ${{\eta }}\left( {{{\xi }},y} \right)$ – установившуюся величину возвышения поверхности раздела жидкости и ледового покрова. Тогда $\left( {V + u,{v},w} \right)$ – вектор скорости произвольной частицы жидкости. В линейном приближении математическая постановка задачи формулируется следующим образом [2, 4, 7]

где $\Delta = \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{\xi }^{2}}}} + \frac{{{{\partial }^{2}}}}{{\partial {{y}^{2}}}}$, $\frac{D}{{Dt}} = V\frac{\partial }{{\partial \xi }}$, $A = \frac{{h{{\rho }_{1}}}}{{{{\rho }_{0}}}}$, $B = \frac{{E{{h}^{3}}}}{{12{{\rho }_{0}}\left( {1 - \nu _{0}^{2}} \right)}}$, $C = \frac{{\sigma h}}{{{{\rho }_{0}}}}$, g – ускорение свободного падения, E – модуль Юнга льда, ${{\nu }_{0}}$ – коэффициент Пуассона, ${{\sigma \;}}$ – начальное напряжение. Характерные значения этих величин в морских условиях равны [2, 4, 14]: ${{{{\rho }}}_{0}} = 1025\;\frac{{{\text{кг}}}}{{{{{\text{м}}}^{3}}}}$, ${{{{\rho }}}_{1}} = 0.9{{{{\rho }}}_{0}}$, $E = 3 \times {{10}^{9}}\;\frac{{\text{Н}}}{{{{{\text{м}}}^{2}}}}$, ${{\nu }_{0}} = 0.3$, ${{\sigma }} = {{10}^{5}}\;\frac{{\text{Н}}}{{{{{\text{м}}}^{2}}}}$. Тогда выражение для возвышения имеет вид

Решение в форме (1) представляет сложную в вычислительном плане задачу из-за возникающих в расчетных формулах сингулярностей. Рассмотрим поведение функции ${{\eta }}\left( {\xi ,y} \right)$ вдоль некоторого направления ${{S}_{\alpha }}$, составляющего угол ${{\alpha }}$ с положительным направлением оси ${{\xi }}$, т.е. будем считать, что $\xi = r\cos \alpha $, $y = r\sin \alpha $, $0 \leqslant \alpha \leqslant \pi $. Чтобы   найти асимптотику интеграла (1) при $r = \sqrt {{{{{\xi }}}^{2}} + {{y}^{2}}} \to \infty $ необходимо перевести контур интегрирования по переменной $\mu $ в нижнюю полуплоскость. Интеграл в нижней полуплоскости экспоненциально мал при $r \to \infty $. Основной вклад в (1) будет определяться двумя полюсами подынтегральной функции, расположенными на действительной оси. Полюса (дисперсионные кривые) ${{\mu }} = \pm {{\mu }}\left( \nu \right)$ находятся из решения уравнения $b\left( {{{\mu }},\nu } \right) = 0$, т.е. ${{{{\mu }}}^{2}}{{V}^{2}} = {{{{\Omega }}}^{2}}\left( {\sqrt {{{\mu }^{2}} + {{\nu }^{2}}} } \right)$. Это уравнение имеет действительные корни лишь при выполнении условия: $V > {{V}_{*}}$ = $\Omega ({{k}_{*}}){\text{/}}{{k}_{*}}$, где ${{k}_{*}}$ – единственный положительный корень уравнения: $2AB{{k}^{5}} + 3B{{k}^{4}}$ + $C{{k}^{2}} - 2Agk - g$ = 0 [5, 7]. Далее предполагается, что $V > {{V}_{*}}$, поскольку только в этом случае источник генерирует в набегающем потоке волновые возмущения. Тогда для суммарного вклада вычетов ${{\mu }} = \pm {{\mu }}\left( \nu \right)$ можно получить

где ${{L}_{ + }}\left( \alpha \right)$ – та часть дисперсионной кривой ${{\mu }} = {{\mu }}\left( \nu \right)$, для которой проекция вектора групповой скорости на направление ${{S}_{{{\alpha }}}}$ положительна, т.е. выполнено следующее неравенство: $\left( {V - \Omega {\kern 1pt} '\left( k \right)\frac{\mu }{k}} \right)\cos \left( \alpha \right)$ – $\Omega {\kern 1pt} '\left( k \right)\frac{\nu }{k}\sin \left( \alpha \right)$ > 0. Это условие (условие излучения) означает, что волновая энергия распространяется наружу от источника возмущений. На рис. 1 представлены результаты расчетов дисперсионных соотношений ${{\mu }} = {{\mu }}\left( \nu \right)$ для значений $h = 0.05$ м и $V = 6\;\frac{{\text{м}}}{{\text{с}}}$, а также при отсутствии ледяного покрова. Дисперсионные зависимости при наличии льда – замкнутые кривые, при отсутствии ледяного покрова – разомкнутые линии. Нормаль к штриховой линии в точке касания с дисперсионной кривой определяет пространственную границу волновой зоны впереди и за источником возмущений. Дуга дисперсионной кривой слева от точек касания отвечает относительно длинным волнам вниз по потоку, и, соответственно, дуга справа от точек касания описывает коротковолновую систему вверх по потоку (волны предвестники).

Асимптотика интеграла (2) при $r = \sqrt {{{\xi }^{2}} + {{y}^{2}}} $ → → ∞ вычисляется методом стационарной фазы [3]

где ${{k}_{0}}\left( \alpha \right)~$ – единственный корень уравнения $\mu {\kern 1pt} '\left( k \right)\cos \left( \alpha \right)$ – $\nu {\kern 1pt} '\left( k \right)\sin \left( \alpha \right)$ = 0. На рис. 2, 3 представлены результаты расчетов фазовых картин возвышения ледяного покрова для различных значений толщины льда $h$ и скоростей потока $V$. Остальные параметры, характерные для реальных гидрофизических условий, были следующие [2, 14, 15]: $q = 5\;\frac{{{{{\text{м}}}^{{\text{3}}}}}}{{\text{с}}}$, ${{z}_{0}} = - 2$ м, что в соответствии с общими принципами теории гидродинамического подобия течений и в данной постановке позволяет, например, моделировать обтекание затупленного полубесконечного тела с диаметром $D$, где $D = \sqrt {\frac{q}{{\pi V}}{\text{\;}}} $ [3, 6]. В более общих случаях, используя операцию свертки, можно в дальнейшем рассчитать волновые возмущения ледяного покрова, возбуждаемых распределенными в пространстве источниками различной физической природы, как естественного, так и антропогенного характеров [2–4, 10, 19].

Численные расчеты показывают, что при изменении параметров волновой генерации (изменение скоростей потока и толщины льда) происходит заметная качественная перестройка фазовых картин возбуждаемых волновых полей на границе раздела льда и жидкости. Дисперсионные зависимости ${{\mu }}\left( \nu \right)$ могут представлять замкнутые, всюду выпуклые кривые, а также могут иметь две пары точек перегиба, которые существуют только при достаточно малых значениях волновых чисел и расположены симметрично относительно оси $\nu = 0$. Такое усложнение топологии дисперсионных зависимостей приводит к генерации дополнительной системы поперечных волн и появлению соответствующих пар волновых фронтов (штриховые линии на рис. 2). Уравнения волновых фронтов определяются как $\xi = \pm \mu {\kern 1pt} '(\nu _{{1,2}}^{*})y$, где $\nu _{{1,2}}^{*}$ – два корня уравнения $\mu {\kern 1pt} ''(\nu _{{1,2}}^{*})$ = 0. В этом случае фазовые картины демонстрируют пространственные структуры типа “ласточкина хвоста” (рис. 2), когда в фиксированной точке наблюдения происходит качественная перестройка одновременно приходящих волновых фронтов [1]. Наиболее интересными с практической точки зрения являются локальные экстремумы дисперсионных зависимостей $\mu {\kern 1pt} '\left( \nu \right)$, так как асимптотики дальних волновых полей в окрестности соответствующих волновых фронтов и каустик, отвечающих этим экстремумам, можно описать с помощью метода эталонных интегралов. Сложность топологии рассчитанных дисперсионных зависимостей ${{\mu }}\left( \nu \right)$ требует для корректного асимптотического исследования дальних полей применения специального математического аппарата [1, 3].

Численный анализ решений показал, что основными параметрами, которые могут приводить к существенной изменчивости качественных характеристик дисперсионных соотношений, являются толщина льда $h$ и скорость потока $V$. Остальные параметры (модуль Юнга, коэффициент Пуассона, напряжение, плотность сред), также определяющие постоянные $A,B,C$, в пределах естественных масштабов их природной изменчивости практически не влияют на динамику поведения дисперсионных зависимостей. Поэтому усложнение наблюдаемых волновых картин возвышения ледяного покрова может являться одним из признаков заметного изменения только таких параметров морской среды, как скорость течения и толщина льда.

Увеличение скорости течения при неизменной толщине льда приводит к расширению (в пространстве волновых чисел) дисперсионных кривых. Кривая, соответствующая меньшей скорости потока, целиком находится внутри кривой, отвечающей большей скорости потока. Поэтому при увеличении скорости течения $V$ длина волны вдоль положительной направления оси $0{{\xi }}$ возрастает, а вдоль отрицательного направления оси $0{{\xi }}$ убывает. Также при увеличении скорости потока $V$ происходит уменьшение пространственной области, где существуют волновые колебания. Вне этой зоны амплитуды дальних волновых полей экспоненциально малы. Этот же эффект наблюдается при изменении толщины льда $h$ при неизменном значении скорости потока $V$. При увеличении толщины льда $h$ происходит сужение (в пространстве волновых чисел) дисперсионных кривых, и, соответственно, расширение пространственной области волновых колебаний. Длина волны вдоль положительного направления оси $0\xi $ возрастает, а вдоль отрицательного оси $0{{\xi }}$ – убывает.

Численный анализ асимптотик показал хорошее совпадение с точным решением уже на расстояниях, начиная с десяти и более метров от источника, т.е. на таких расстояниях можно использовать понятие дальних волновых полей. Поэтому, исходя из результатов рассмотрения подобного класса задач и оценок пространственных масштабов возможного затухания волновых возмущений в природных условиях [2, 4, 5, 10, 19], представляется вполне обоснованным использование линейного приближения и метода стационарной фазы для расчета возмущений ледяного покрова и получения физически адекватных результатов.

Построенные асимптотики дальних полей дают возможность эффективно рассчитывать основные характеристики волновых возмущений на границе раздела ледяного покрова и качественно анализировать полученные решения. Полученные асимптотические результаты с различными значениями входящих в них физических параметров позволяют провести оценку характеристик возмущений ледяного покрова, наблюдаемых в реальных морских условиях и рассчитывать дальние волновые поля, в том числе, и от нелокальных источников возмущений различной физической природы [2–4, 8, 15, 19]. В результате проведения модельных многовариантных расчетов по асимптотическим формулам смоделированная волновая система может быть приближена к наблюдаемым в натурных условиях волновым картинам, что дает возможность оценить физические параметры реальных источников в морской среде c ледовым покрытием и определить основные характеристики начальных возмущений, варьируя модельные значения исходных параметров [2, 10–12, 14, 16–19]. Таким образом, модели волновой генерации на поверхности раздела морской воды и льда могут быть не только верифицированы, но и использованы для проведения прогнозных оценок.