Физика металлов и металловедение, 2020, T. 121, № 10, стр. 1011-1018

Роль сдвиговых волн в электрон-фононном увлечении в кристаллах калия при низких температурах

И. И. Кулеев a*, И. Г. Кулеев a

a Институт физики металлов УрО РАН
620990 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18, Россия

* E-mail: kuleev@imp.uran.ru

Поступила в редакцию 14.05.2020
После доработки 30.06.2020
Принята к публикации 03.07.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

Исследовано влияние анизотропии упругой энергии на электрон-фононное увлечение и термоэлектрические явления в кристаллах калия при низких температурах. Для продольных компонент упругих мод использована стандартная теория деформационного потенциала. Учтено влияние сдвиговых волн на термоэдс увлечения. Из сопоставления результатов расчета термоэдс и решеточной теплопроводности с экспериментальными данными определена константа электрон-фононного взаимодействия для сдвиговых компонент колебательных мод. Она оказалась на порядок величины меньше, чем для продольных компонент. Показано, что сдвиговые волны вносят значительный вклад в электрон-фононную релаксацию и термоэдс увлечения. Он составляет от 28 до 40% полной термоэдс увлечения для различных образцов и в 4–6 раз превышает вклад продольных фононов.

Ключевые слова: термоэдс, теплопроводность, фононы, электрон-фононная релаксация

ВВЕДЕНИЕ

Кристаллы калия являются удобной модельной системой для исследования влияния анизотропии упругой энергии на электронный и фононный транспорт [14]. Они имеют близкий к изотропному спектр электронов проводимости и аномально большой по сравнению с полупроводниковыми кристаллами параметр анизотропии упругой энергии k – 1 (k – 1 = (с12 + 2с44 – ‒ с11)/(с11с44), сij – упругие модули второго порядка) [14]. Поэтому отклонения направлений групповых и фазовых скоростей фононов в кристаллах калия, приводящее к их фокусировке [23], значительно сильнее сказывается на анизотропии теплопроводности [1, 2] и термоэдс увлечения [3, 4], чем для полупроводниковых кристаллов [5]. Термоэлектрические эффекты и решеточная теплопроводность в щелочных металлах при низких температурах были измерены в работах [69]. Полученные результаты интерпретировали в модели изотропной среды [610]. В этой модели только продольные фононы могут участвовать в электрон-фононном увлечении [11, 12]. В работах [13] был определен спектр и вектора поляризации фононов и проанализированы термоэдс увлечения и решеточная теплопроводность в объёмных кристаллах калия и наноструктурах на его основе. В работах [2, 3] авторы предполагали, что квазипоперечные фононы в кристаллах калия могут взаимодействовать с электронами только благодаря их продольной компоненте, а вероятность рассеяния, пропорциональная константе деформационного потенциала E индекс поляризации фонона), одинакова для всех колебательных мод. Согласно теории деформационного потенциала [1113]: E ≅ (n/NF)) = (2/3)εF ≅ 1.41 эВ, $n$ – концентрация электронов, NF) – плотность состояний на уровне Ферми εF. В работах [2, 3] показано, что в кристаллах калия вклад медленных квазипоперечных мод в термоэдс увлечения на порядок величины превышал вклад продольных фононов. Более того, в кристаллах калия, свободных от дислокаций, суммарный вклад квазипоперечных мод, который ранее не учитывали (см. [610]), достигает 96%, тогда как на продольные фононы остается 4%. Очевидно, что анализ роли квазипоперечных фононов в термоэдс требует тщательного изучения.

Расчет термоэдс увлечения в объёмных кристаллах калия, проведенный в [4] при учете актуальных механизмов релаксации фононов и константе E ≅ 1.41 эВ для фононов всех поляризаций, дал значения почти в два раза меньшие данных [9] в интервале Т = 1–3 К. В [4] показано, что добиться согласования с результатами [9] можно при константе деформационного взаимодействия продольной компоненты квазипоперечных фононов с электронами в два раза большей, чем для продольных фононов. Однако этот результат противоречит теории деформационного потенциала, поскольку продольные компоненты как продольных, так и квазипоперечных фононов должны описываться одной и той же константой связи с электронами, поскольку обусловлены деформациями сжатия и растяжения. Поэтому предположение о том, что квазипоперечные фононы могут взаимодействовать с электронами только благодаря их продольной компоненте, является некорректным. Сдвиговые компоненты этих мод также могут привести к релаксации электронов. Ранее Займан в монографии [11] указал, что сфера Ферми в щелочных металлах подходит достаточно близко к границе зоны Бриллюэна и деформируется в соответствии с симметрией решетки. Согласно оценкам [11, 13], для кристаллов калия отклонение изоэнергетической поверхности от сферы Ферми |K KF|/K составляет 7%. Спектр электронов проводимости с энергией Ферми становится анизотропным, и они получают возможность взаимодействовать со сдвиговыми деформациями, т.е. с поперечной компонентой колебательных мод (см., например, [14, 15]). Таким образом, результаты экспериментальных исследований [9] свидетельствуют, что квазипоперечные фононы могут участвовать в электрон-фононном увлечении за счет поперечной компоненты.

Поэтому основными проблемами работы являются формулировка феноменологического метода, позволяющего учесть влияние сдвиговых волн на электрон-фононную релаксацию и термоэдс увлечения в металлах, а также определение константы связи электронов с фононами в этом механизме релаксации для кристаллов калия.

ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В УПРУГОАНИЗОТРОПНЫХ КРИСТАЛЛАХ

В щелочных металлах подсистема электронов является сильно вырожденной. Для них в электрон-фононном взаимодействии могут участвовать только электроны, находящиеся в пределах теплового размытия поверхности Ферми. Поэтому при температурах, гораздо меньших дебаевской, основной вклад в релаксацию электронов будут вносить длинноволновые фононы с волновым вектором q $ \ll $ qD (qD – дебаевский волновой вектор) [13]. В связи с этим для фононов мы воспользуемся моделью анизотропного континуума [16, 17]. В этой модели спектр фононов $\omega _{q}^{{\lambda }} = {{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )q$ и фазовая скорость ${{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )$ и eλ – вектора поляризаций фононов определены в работах [13]. Индекс поляризации L соответствует продольным фононам, t1 и t2 – “быстрой” и “медленной” поперечным колебательным модам. Значения модулей упругости второго порядка при T = 4.2 K взяты из работы [18]. Параметры анизотропии k – 1 в щелочных кристаллах значительно превышают величины для Si (см. [4], табл. 1). Поэтому фокусировка фононов и электрон-фононная релаксация в кристаллах калия существенно отличается от полупроводниковых кристаллов (см. подробнее [13]). Увеличение средних значений продольных компонент 〈(eλn)2〉 при переходе от кристаллов Si к калию в четыре раза приводит к значительному возрастанию вклада квазипоперечных мод в электрон-фононное увлечение.

В кубических кристаллах для каждого направления волнового вектора в кристалле существуют три независимые волны со своими фазовыми скоростями $S_{0}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )$ и взаимно перпендикулярными смещениями [19]. В общем случае ни одно из этих смещений не совпадает ни с нормалью к фронту волны, ни с перпендикулярным направлением к нормали: т.е. волны не являются ни чисто продольными, ни чисто поперечными [16, 17]. Продольная компонента колебательных мод определяется скалярным произведением (eλn). Поэтому квазипоперечные фононы могут вносить вклад в термоэдс увлечения за счет продольной компоненты [2, 3]. В этом случае фурье-компонента матричного элемента имеет вид:

(1)
${{\left( {C_{0}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )} \right)}^{2}} = {{\left( {E_{{0L}}^{2}{{{\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right)}}^{2}}} \right)\hbar } \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {E_{{0L}}^{2}{{{\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right)}}^{2}}} \right)\hbar } {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )\rho }}} \right. \kern-0em} {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )\rho }}.$

Максимальное значение продольной компоненты медленной квазипоперечной моды t2 достигает 28%, и в два раза больше, чем для кристаллов кремния, а среднее значение $\left\langle {{{{({{{\mathbf{e}}}^{{{{t}_{{\text{2}}}}}}}{\mathbf{n}})}}^{{\text{2}}}}} \right\rangle ,$ входящее в константу электрон-фононного взаимодействия, при переходе от кристаллов Si к калию увеличивается в четыре раза (см. [4], табл. 1). В металлах вопрос о механизме взаимодействия электронов проводимости со сдвиговыми волнами относится к слабо разработанным. Поэтому мы воспользуемся феноменологическим подходом, основанным на представлениях, развитых в [18]. В [18] показано, что поле смещений в изотропной среде u = Aeλ(q)exp(itqr)) можно представить в виде суммы двух слагаемых, определяемых продольными и поперечными компонентами смещений (см. подробнее [18], раздел 3):

(2)
${\mathbf{u}} = grad\psi + rot{\mathbf{A}} \Rightarrow {\mathbf{n}}\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right) + \left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right],$
где первый член характеризует потенциальное поле – поле смещений для продольных волн, обусловленных деформациями сжатия и растяжения, а второй – вихревое поле для поперечных волн, обусловленных сдвиговыми деформациями, для которых divA = 0. В упругоанизотропных кристаллах у всех колебательных мод имеются и продольные, и поперечные компоненты. Поэтому мы предполагаем, что в упругоанизотропных кристаллах продольные компоненты колебательных мод, обусловленные деформациями сжатия и растяжения, могут быть описаны в рамках обычного потенциала деформации, а поперечные компоненты смещений – вихревым полем. Разложим вектор поляризации eλ(q) на две компоненты: продольную ${\mathbf{e}}_{ \Uparrow }^{{\lambda }} = {\mathbf{n}}\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right)$ и поперечную ${\mathbf{e}}_{ \bot }^{{\lambda }} = \left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right]$ (обусловленную сдвиговыми деформациями решетки):

(3)
${{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}} = {\mathbf{e}}_{ \Uparrow }^{{\lambda }} + {\mathbf{e}}_{ \bot }^{{\lambda }} = {\mathbf{n}}\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right) + \left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right].$

Поперечную компоненту можно определить из условия нормировки $\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}},{{{\mathbf{e}}}^{{{\lambda }{\kern 1pt} '}}}} \right) = {{\delta }_{{{\lambda },{\lambda }{\kern 1pt} '}}}.$ Учитывая, что $\left( {{\mathbf{e}}_{ \Uparrow }^{{\lambda }}{\mathbf{e}}_{ \bot }^{{\lambda }}} \right) = 0,$ получим

(4)
${{\left( {{\mathbf{e}}_{ \bot }^{{\lambda }}} \right)}^{2}} = 1 - {{\left( {{\mathbf{e}}_{ \Uparrow }^{{\lambda }}} \right)}^{2}} = 1 - {{\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right)}^{2}} = {{\left( {\left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right]} \right)}^{2}}.$

Поэтому фурье-компоненту матричного элемента электрон-фононного взаимодействия при выделении продольных и поперечных компонент колебательных мод можно представить в виде

(5)
${{\left( {C_{0}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )} \right)}^{2}} = {{{{{\left\{ {{{E}_{{0L}}}\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right) + {{E}_{{0t}}}\left| {\left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right]} \right|} \right\}}}^{2}}\hbar } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left\{ {{{E}_{{0L}}}\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right) + {{E}_{{0t}}}\left| {\left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right]} \right|} \right\}}}^{2}}\hbar } {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )\rho }}} \right. \kern-0em} {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )\rho }}.$

Поскольку средние значения смешанных произведений продольных и поперечных компонент малы по сравнению с их квадратами (см. табл. 1), то (7) преобразуем к виду:

(6)
$\begin{gathered} {{\left( {C_{0}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )} \right)}^{2}} \cong {{{{{\left( {E_{{eff}}^{{\lambda }}} \right)}}^{2}}\hbar } \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left( {E_{{eff}}^{{\lambda }}} \right)}}^{2}}\hbar } {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )\rho }}} \right. \kern-0em} {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )\rho }}; \\ {{\left( {E_{{eff}}^{{\lambda }}} \right)}^{2}} = \left( {E_{{0L}}^{2}{{{\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}{\text{ }}} \right)}}^{2}} + E_{{0t}}^{2}\left( {{{{\left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right]}}^{2}}} \right)} \right). \\ \end{gathered} $
Таблица 1.  

Средние значения продольных и поперечных компонент, а также их произведений для колебательных мод в кристаллах калия

  L T1 T2
$\left\langle {{{{\left( {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right)}}^{2}}} \right\rangle $ 0.9649 0.0028 0.0323
$\left\langle {{{{\left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right]}}^{2}}} \right\rangle $ 0.0351 0.9972 0.9677
$\left\langle {\left| {\left[ {{{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}}} \right]} \right|({{{\mathbf{e}}}^{{\lambda }}}{\mathbf{n}})} \right\rangle $ 2.8591×10–6 6.91×10–9 1.18×10–8

Кроме константы E0L = 1.41 эВ, характеризующей взаимодействие электронов с продольными компонентами, мы ввели константу E0t, характеризующую взаимодействие электронов со сдвиговы ми волнами (поперечными компонентами колебательных мод). Будем рассматривать ее как подгоночный параметр при согласовании результатов расчетов термоэдс увлечения в кристаллах калия с экспериментальными данными [9].

РОЛЬ СДВИГОВЫХ ВОЛН В ТЕРМОЭДС УВЛЕЧЕНИЯ И РЕШЕТОЧНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ КРИСТАЛЛОВ КАЛИЯ

Детали расчета термоэдс увлечения приведены в работах [2, 3], поэтому их здесь мы не воспроизводим, а ограничимся конечными выражениями, затем конкретизируем некоторые детали для калия. Термоэдс металлов является аддитивной суммой диффузионного вклада и термоэдс электрон-фононного увлечения [11, 12]:

(7)
$\begin{gathered} \alpha = {{\alpha }_{{{\text{dif}}}}} + {{\alpha }_{{{\text{drag}}}}},\,\,\,\,{{\alpha }_{{{\text{dif}}}}} = \frac{{{{k}_{B}}}}{e}\left( {\frac{{{{\pi }^{2}}{{k}_{{\text{B}}}}T}}{{3{{\varepsilon }_{{\text{F}}}}}}} \right){{A}_{{{\text{dif}}}}}, \\ {{A}_{{{\text{dif}}}}} = \frac{{{{\varepsilon }_{{\text{F}}}}d}}{{d\varepsilon }}{{\left[ {\ln \left( {\frac{{{{k}^{3}}(\varepsilon )\tau (\varepsilon )}}{{m(\varepsilon )}}} \right)} \right]}_{{{\varepsilon } = {{{\varepsilon }}_{{\text{F}}}}}}}. \\ \end{gathered} $

Здесь kB – постоянная Больцмана, Т – температура, $\tau ({{\varepsilon }_{k}}) = {{\left[ {{{\nu }_{{ei}}}({{\varepsilon }_{k}}) + {{\nu }_{{ep}}}({{\varepsilon }_{k}})} \right]}^{{ - 1}}}$ – полное время релаксации электронов, νеi(k) – скорость релаксации электрона на примесях, νеp(k) определена в работах [2, 4]. Для термоэдс увлечения, согласно [24]), имеем:

(8)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{{\text{drag}}}}} = \frac{{{{k}_{{\text{B}}}}}}{e}\sum\limits_{\lambda } {3\left\langle {\int\limits_0^{Z_{{{{q}_{{\text{D}}}}}}^{{\lambda }}} {{{{\left( {Z_{q}^{{\lambda }}} \right)}}^{4}}th\left( {{{Z_{q}^{{\lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{q}^{{\lambda }}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)dZ_{q}^{{\lambda }}} \times } \right.} \\ \left. { \times \,\,\left( {\frac{{\nu _{{{\text{eph}}0}}^{{\lambda }}\left( {{{k}_{{\text{F}}}},q_{T}^{{\lambda }}} \right)}}{{\nu _{{{\text{ph}}}}^{{\lambda }}(q)}}} \right)\left( {\frac{{T_{{\delta }}^{{\lambda }}}}{T}} \right)\left\{ {\tilde {V}_{{g3}}^{{\lambda }}{{n}_{{q3}}}} \right\}} \right\rangle , \\ T_{{\delta }}^{{\lambda }} = {{2{{m}_{{\text{F}}}}{{{\left( {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right)}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{2{{m}_{{\text{F}}}}{{{\left( {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right)}}^{2}}} {{{k}_{{\text{B}}}}}}} \right. \kern-0em} {{{k}_{{\text{B}}}}}},\,\,\,\,q_{T}^{\lambda } = \frac{{{{k}_{{\text{B}}}}T}}{{\hbar {{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )}}, \\ \left\langle {A(\theta ,\varphi )} \right\rangle = \frac{1}{{4\pi }}\int {d{{\Omega }_{q}}A(\theta ,\varphi )} , \\ \end{gathered} $
где $\tilde {V}_{{g3}}^{{\lambda }}$ и $n_{{q3}}^{{}}$ – проекции групповой скорости и единичного волнового вектора фонона на направление градиента температур. В выражении (8) учтено, что в верхнем пределе интегрирования волновой вектор фонона всегда q < qD, поскольку для калия qD < 2kF. Скорость релаксации электронов с импульсом kF на тепловом фононе с импульсом $q_{T}^{{\lambda }}$ имеет вид:
(9)
$\nu _{{eph0}}^{{\lambda }}\left( {{{k}_{{\text{F}}}},q_{T}^{{\lambda }}} \right) = \frac{{m({{\varepsilon }_{{\text{F}}}}){{{\left( {C_{0}^{{\lambda }}} \right)}}^{2}}}}{{2\pi {{\hbar }^{3}}k_{{\text{F}}}^{3}}}{{\left( {q_{T}^{{\lambda }}} \right)}^{5}}N_{{q{\lambda }}}^{0}\left( {N_{{q{\lambda }}}^{0} + 1} \right).$
Здесь $N_{{q{\lambda }}}^{0}$ – функция Планка, фурье-компонента ${{\left( {C_{0}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )} \right)}^{2}}$ определена выражением (6). Поскольку параметр $Z_{{qD}}^{{\lambda }}$ при температурах ~1–3 К имеет порядок 102, то верхний предел интегрирования в (8) можно распространить до бесконечности. В работах [69] исследования термоэдс и решеточной теплопроводности проводили на кристаллах калия с концентрацией электронов ne = = 1.4 × 1022 см–3, kF = 0.75 × 108 см–1, эффективной массой mF = 1.1m0 (m0 – масса свободного электрона), εF ≅ 2.12 эВ, ρ ≅ 0.91 × 108 г см–3. Для актуальных механизмов рассеяния скорость релаксации фононов может быть представлена в виде [14]:
(10)
$\begin{gathered} \nu _{{{\text{ph}}}}^{{\lambda }}(q,\theta ,\varphi ) = \nu _{{{\text{pB}}}}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi ) + \nu _{{{\text{pde}}}}^{{\lambda }} + \nu _{{{\text{pi}}}}^{{\lambda }}(q,\theta ,\varphi ), \\ \nu _{{{\text{pde}}}}^{{\lambda }} = {{\left[ {\nu _{{{\text{pd}}}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi ) + \nu _{{{\text{pe}}}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right]Z_{q}^{{\lambda }}{{k}_{{\text{B}}}}T} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left[ {\nu _{{{\text{pd}}}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi ) + \nu _{{{\text{pe}}}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right]Z_{q}^{{\lambda }}{{k}_{{\text{B}}}}T} \hbar }} \right. \kern-0em} \hbar }. \\ \end{gathered} $
Здесь $\nu _{{pB}}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )$ и $\nu _{{pi}}^{{\lambda }}(q,\theta ,\varphi )$ – скорости релаксации фононов на границах и изотопическом беспорядке приведены в работах [14]. Согласно оценкам [1, 2, 9], вклад изотопического рассеяния в теплосопротивление кристаллов калия при Т = 2 К составлял менее 1.5%, при учете дополнительного рассеяния на примесях с концентрацией 300 ррм он не превышал 3% [9], а рассеяние на границах – порядка 1%. Из анализа температурных зависимостей теплопроводности [1, 2] следует, что доминирующими механизмами релаксации фононов в кристаллах калия при низких температурах 1–3 К являются рассеяние на электронах и дислокациях [1, 4]. Параметры $\nu _{{{\text{pe}}}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi )$ и $\nu _{{{\text{pd}}}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi )$ являются безразмерными скоростями релаксации фононов на электронах и дислокациях [1, 4]. Согласно [1, 2], $\nu _{{{\text{pd}}}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi ) \cong 2.03 \times {{10}^{{ - 4}}}{{\tilde {N}}_{{\text{d}}}},$ ${{N}_{{\text{d}}}} = {{10}^{{11}}}\,\,{\text{с}}{{{\text{м}}}^{{ - 2}}} \cdot {{\tilde {N}}_{{\text{d}}}}$ – концентрация дислокаций, ${{\tilde {N}}_{{\text{d}}}}$ является подгоночным параметром для образцов с различной степенью деформации. Скорость релаксации фононов с поляризацией λ на электронах можно представить в виде:

(11)
$\nu _{{pe}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi ) = {{m_{{\text{F}}}^{2}{{{\left( {E_{{{\text{eff}}}}^{{\lambda }}} \right)}}^{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{m_{{\text{F}}}^{2}{{{\left( {E_{{{\text{eff}}}}^{{\lambda }}} \right)}}^{2}}} {2\pi {{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )\rho {{\hbar }^{3}}}}} \right. \kern-0em} {2\pi {{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )\rho {{\hbar }^{3}}}}.$

Как видно из (10), при понижении температуры роль рассеяния на дислокациях и электронах уменьшается. Учитывая актуальные для калия при низких температурах механизмы релаксации фононов, представим выражение для решеточной теплопроводности в виде:

(12)
$\begin{gathered} \kappa (T) = \frac{{{{J}_{3}}{{k}_{{\text{B}}}}}}{{2{{\pi }^{2}}}}{{\left( {\frac{{{{k}_{{\text{B}}}}T}}{\hbar }} \right)}^{2}} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{\lambda } {\left\langle {\frac{{{{{\left( {V_{{g3}}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )} \right)}}^{2}}}}{{{{{({{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi ))}}^{3}}\left[ {\nu _{{pd}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi ) + \nu _{{pe}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right]}}} \right\rangle } , \\ {{J}_{3}} = \frac{1}{4}\int\limits_0^{Z_{{qD}}^{{\lambda }}} {dZ_{q}^{{\lambda }}\frac{{{{{\left( {Z_{q}^{{\lambda }}} \right)}}^{3}}}}{{{{{\left( {{\text{sh}}\left( {{{Z_{q}^{{\lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{q}^{{\lambda }}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \right)}}^{2}}}}} \approx 7.21. \\ \end{gathered} $

Как показал анализ экспериментальных данных [9], для образцов с различной степенью деформации температурная зависимость теплопроводности имела вид κ(T) ≈ Tδ, где показатель степени δ близок к 2. Для этих механизмов релаксации термоэдс увлечения может быть представлена в виде [14]:

(13)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{{\text{drag}}}}}(Т) \approx B{{T}^{3}},\,\,\,\,B = \frac{{{{k}_{{\text{B}}}}{{{\left( {{{m}_{{\text{F}}}}} \right)}}^{2}}{{J}_{{3ne}}}}}{{e{{n}_{{e0}}}{{\pi }^{3}}{{\hbar }^{4}}}} \times \\ \times \,\,\sum\limits_{\lambda } {\frac{1}{{4\pi }}\int {d{{\Omega }_{q}}{{{\left( {\frac{{{{k}_{{\text{B}}}}}}{{\hbar {{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )}}} \right)}}^{3}} \times } } \\ \times \,\,\left( {\frac{{{{{\left( {C_{0}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )} \right)}}^{2}}\left\{ {\tilde {V}_{{g3}}^{{\lambda }}{{n}_{{q3}}}} \right\}}}{{\left[ {\nu _{{{\text{pd}}}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi ) + \nu _{{pe}}^{{*{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right]}}} \right), \\ {{J}_{{3ne}}} = \int\limits_0^\infty {\Phi \left( {Z_{q}^{{\lambda }}} \right)dZ_{q}^{{\lambda }}} = 6.1, \\ \Phi \left( {Z_{q}^{{\lambda }}} \right) = {{{{{\left( {Z_{q}^{{\lambda }}} \right)}}^{3}}{\text{th}}\left( {{{Z_{q}^{{\lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{q}^{{\lambda }}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{{{\left( {Z_{q}^{{\lambda }}} \right)}}^{3}}{\text{th}}\left( {{{Z_{q}^{{\lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{q}^{{\lambda }}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} {\left\{ {4 \times {{{\left( {{\text{sh}}\left( {{{Z_{q}^{{\lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{q}^{{\lambda }}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \right)}}^{2}}} \right\}}}} \right. \kern-0em} {\left\{ {4 \times {{{\left( {{\text{sh}}\left( {{{Z_{q}^{{\lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{q}^{{\lambda }}} 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)} \right)}}^{2}}} \right\}}}. \\ \end{gathered} $
Здесь $\Phi \left( {Z_{q}^{{\lambda }}} \right)$ – функция распределения наиболее эффективных для термоэдс фононов. В настоящей работе при согласовании результатов расчета термоэдс и решеточной теплопроводности с данными [9] мы используем два подгоночных параметра: концентрацию дислокаций ${{\tilde {N}}_{{\text{d}}}}$ и константу E0t. Результаты такой подгонки приведены в табл. 2. Оказалось, что константа взаимодействия электронов с поперечными компонентами квазипоперечных мод в кристаллах калия E0t = 0.11 эВ. Она более чем на порядок величины меньше, чем для продольных компонент E0L = 1.41 эВ. Это не удивительно, так как, согласно оценкам [13], отклонение поверхности Ферми от сферической в кристаллах калия составляет 7%. Такое соотношение констант E0L и E0t существенно отличается от полупроводниковых кристаллов, где благодаря значительно большей анизотропии спектра носителей тока константа E0t на два порядка больше, и как правило, превышает значение E0L для продольных фононов [14, 15]. Расчет температурных зависимостей теплопроводности образцов К4 и К5 в интервале 1.5–3 К с использованием параметров, при веденных в табл. 2, показал хорошее согласие с экспериментальными данными [9]. Естественно, что подгоночные параметры ${{\tilde {N}}_{d}}$ отличаются от полученных в работе [4] (см. [4], табл. 3). Следует отметить любопытный результат, который дал анализ вкладов колебательных мод в решеточную теплопроводность кристаллов калия при учете сдвиговых волн. Оказалось, что суммарный вклад квазипоперечных мод составляет 99%, тогда как на продольные фононы остается всего лишь 1%. Отметим, что в отличие от модели изотропной среды, эффективная константа связи ${{\left( {E_{{{\text{eff}}}}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )} \right)}^{2}}$ является функцией углов θ и φ, которые определяются квадратами продольных и поперечных компонент векторов поляризаций. Как видно из рис. 1, они имеют довольно любопытный вид: для продольных фононов отклонение от изотропного распределения малы, они не превышает 10%. Однако для медленной поперечной моды величина ${{\left( {E_{{{\text{eff}}}}^{{t2}}(\theta ,\varphi )} \right)}^{2}}$ меняется достаточно резко за счет вклада продольной компоненты (кривая 3), тогда как вклад сдвиговой компоненты остается практически изотропным (кривая 4) (рис. 1б). Для волновых векторов в плоскости грани куба максимальные величины достигаются в направлениях типа θ = π/6 ± π*n/2, минимальные – в направлениях типа θ = π/4 ± π*n/2, при этом отношение максимальных значений к минимальным составляет 13.6. Для волновых векторов в диагональной плоскости максимальные величины ${{\left( {E_{{{\text{eff}}}}^{{t2}}(\theta ,\varphi )} \right)}^{2}}$ достигаются в направлениях типа θ = ±0.274 + π*n, минимальные – в направлениях типа θ = π/4 ± π*n/2, отношение максимальных значений к минимальным возрастает до 15.

Таблица 2.  

Значения параметров ${{\tilde {N}}_{{\text{d}}}},$ A, B, C и θ* для образцов калия K4 и K5 с различной концентрацией дислокаций, вычисленные при E0L = 1.41 эВ и E0t = 0.11 эВ, значения A*, B*, C*, $\theta _{U}^{*}$ взяты из табл. 1 работы [9]

Образцы ${{\tilde {N}}_{{\text{d}}}}$ A, нВ/К2 A*, нВ/К2 B, нВ/К4 B*, нВ/К4 C, нВ/К C*, нВ/К ${{\theta }_{U}}$, К $\theta _{U}^{ * }$, К
K5 ε = 0.053 0.17 –4 5 –6.08 –10 5 × 104 2.5 × 104 20 15.2
K5 ε = 0.027 0.03     –7.76       20  
K5 ε = 0 0 –9 –0.5 –8.33 –12.2 9 × 104 3 × 104 20 15.2
K4 ε = 0.1 0.55 1 7 –4.13 –7.3 2.3 × 104 1.9 × 104 20 15.9
K4 ε = 0.05 0.14     –6.35       20  
K4 ε = 0 0 7.8 9 –8.33 –9.4 8 × 104 2.6 × 104 20 15.9
Рис. 1.

Зависимости квадрата эффективной константы электрон-фононной связи ${{\left( {\tilde {E}_{{{\text{eff}}}}^{{\lambda }}(\theta ,\varphi )} \right)}^{2}}$ в кристаллах калия для волновых векторов в плоскости грани куба: кривая 1 – для продольных фононов, кривая 2 – для медленной моды t2, кривая 3 – вклад продольной компоненты моды t2, кривая 4 – вклад сдвиговой компоненты моды t2, кривая 5 – среднее значение эффективной константы для моды t2.

Ранее [11, 12, 1921] при расчете термоэдс увлечения предполагали, что интеграл электрон-фононных столкновений может быть разложен по параметру неупругости $Z_{q}^{{\lambda }} \ll 1.$ Однако это предположение некорректно. Дело в том, что в интеграл столкновений входят комбинации функций Ферми f0k ± $\hbar \omega _{q}^{{\lambda }}$) = (exp(yk ± $Z_{q}^{{\lambda }}$) + 1)–1, yk = (εk – εF)/kBT, и параметр неупругости $Z_{q}^{{\lambda }} = {{\hbar \omega _{q}^{{\lambda }}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\hbar \omega _{q}^{{\lambda }}} {\left( {{{k}_{{\text{B}}}}T} \right)}}} \right. \kern-0em} {\left( {{{k}_{{\text{B}}}}T} \right)}}$ должен сравниваться с величиной yk. Для электронов на уровне Ферми yk = 0, а в пределах теплового размытия уровня Ферми |yk| ≤ 1. Как следует из проведенного анализа, функция $\Phi \left( {Z_{q}^{{\lambda }}} \right),$ определяющая распределение наиболее актуальные для термоэдс фононов, отлична от нуля в интервале 1 < $Z_{q}^{{\lambda }}$ < 10, и достигает максимума при $Z_{q}^{{\lambda }}$ = 4. Поэтому неравенство $Z_{q}^{{\lambda }} \ll 1$ не выполняется, а степенные ряды по параметру $Z_{q}^{{\lambda }}$ являются расходящимися. Более того, для актуальных фононов в области теплового размытия уровня Ферми ∣yk∣≤1 выполняется противоположное неравенство: yk < $Z_{q}^{{\lambda }}.$ Нами показано, что более корректный учет неупругости приводит к уменьшению термоэдс увлечения в 2.6 раза, по сравнению с теорией возмущений по этому параметру [11, 12, 1921].

Зависимость типа αdragBT3 для кристаллов калия согласуется с низкотемпературной зависимостью термоэдс увлечения, для значительного числа металлов [610]. Естественно, что уменьшение концентрации дислокаций приводит к увеличению термоэдс увлечения, и максимальное значение коэффициент |В| достигает при ${{\tilde {N}}_{{\text{d}}}} = 0.$ Этот случай представляет особый интерес, поскольку, во-первых, он позволяет сделать оценку максимальных значений термоэдс увлечения, в совершенных кристаллах калия без дислокаций. Коэффициент |Вmax| определяется фазовыми скоростями (упругими модулями второго порядка и плотностью кристалла) и концентрацией электронов:

(14)
${{B}_{{\max }}} = \frac{{15{{J}_{{3ne}}}}}{{e{{n}_{{e0}}}{{{\left( \pi \right)}}^{4}}}}\left[ {\frac{{2{{{\left( \pi \right)}}^{2}}{{{\left( {{{k}_{{\text{B}}}}} \right)}}^{4}}}}{{15{{\hbar }^{3}}}}} \right]\sum\limits_{\lambda } {\left\langle {\left( {\frac{{\left\{ {\tilde {V}_{{g3}}^{{\lambda }}{{n}_{{q3}}}} \right\}}}{{{{{\left( {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right)}}^{3}}}}} \right)} \right\rangle } .$

В этом случае отношение вкладов колебательных мод в термоэдс увлечения имеет вид:

(15)
$\begin{gathered} \alpha _{{{\text{drag}}}}^{{t2}}:\alpha _{{{\text{drag}}}}^{{t1}}:\alpha _{{{\text{drag}}}}^{L}:{{\alpha }_{{{\text{drag}}}}} = \\ = \,\,0.78:0.184:0.0366:1. \\ \end{gathered} $

Эти отношения с точностью до 0.1% совпадают с отношениями соответствующих вкладов в теплоемкость. Решеточная теплоемкость в Дебаевском приближении также следует зависимости T 3:

(16)
${{C}_{V}} = \frac{{2{{\pi }^{2}}k_{{\text{B}}}^{4}}}{{15{{\hbar }^{3}}}}{{T}^{3}}\left\{ {\sum\limits_{\lambda } {\left\langle {{{{\left( {{{S}^{{\lambda }}}} \right)}}^{{ - 3}}}} \right\rangle } } \right\}.$

Поэтому термоэдс увлечения в рассматриваемом случае может быть выражена через теплоемкость:

(17)
$\begin{gathered} {{\alpha }_{{{\text{drag}}}}}(Т) \approx {{B}_{{\max }}}{{T}^{3}} = \frac{{{{С}_{V}}}}{{e{{n}_{{e0}}}}}{{R}_{{{\text{drag}}}}},\,\,\,\,{{R}_{{{\text{drag}}}}} = \frac{{15{{J}_{{3ne}}}}}{{{{{\left( \pi \right)}}^{4}}}} \times \\ \times \,\,{{\sum\limits_{\lambda } {\left\langle {\left( {\frac{{\left\{ {\tilde {V}_{{g3}}^{{\lambda }}{{n}_{{q3}}}} \right\}}}{{{{{\left( {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right)}}^{3}}}}} \right)} \right\rangle } } \mathord{\left/ {\vphantom {{\sum\limits_{\lambda } {\left\langle {\left( {\frac{{\left\{ {\tilde {V}_{{g3}}^{{\lambda }}{{n}_{{q3}}}} \right\}}}{{{{{\left( {{{S}^{{\lambda }}}(\theta ,\varphi )} \right)}}^{3}}}}} \right)} \right\rangle } } {\left\{ {\sum\limits_{\lambda } {\left\langle {{{{\left( {{{S}^{{\lambda }}}} \right)}}^{{ - 3}}}} \right\rangle } } \right\}}}} \right. \kern-0em} {\left\{ {\sum\limits_{\lambda } {\left\langle {{{{\left( {{{S}^{{\lambda }}}} \right)}}^{{ - 3}}}} \right\rangle } } \right\}}},\,\,\,\,{{R}_{{{\text{drag}}}}} \cong 0.31. \\ \end{gathered} $

Полученный выше вывод о доминирующей роли медленной поперечной моды в термоэдс увлечения имеет простое физическое объяснение. Ток увлечения определяется импульсом, передаваемым от неравновесных фононов к электронам, поэтому, чем больше импульс фонона при фиксированной энергии, тем больше его вклад в термоэдс увлечения. В связи с этим мода t2, имеющая минимальную фазовую скорость и, соответственно, максимальный волновой вектор при фиксированном значении параметра $Z_{q}^{{\lambda }},$ вносит максимальный вклад в термоэдс (см. рис. 1 в [1]). Так, например, в направлениях типа [110] при одной и той же энергии фононов волновой вектор моды t2 в 4 и 2.5 раз больше, чем для продольной и быстрой поперечной моды.

Далее сравним результаты расчета термоэдс волн с данными [9] при использовании эмпирической формулы (см. [10], формулу (4.18)):

(18)
$\alpha = АT + В{{T}^{3}} + С\exp ({{ - {{\theta }_{U}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{ - {{\theta }_{U}}} T}} \right. \kern-0em} T}).$

Здесь первый член – вклад диффузионной термоэдс, второй – вклад нормальных процессов электрон-фононного рассеяния в термоэдс увлечения, а третий член определяет вклад процессов электрон-фононного переброса. В работе [9] все коэффициенты А, B, С и θ* являлись подгоночными параметрами. Хотя в ней получено хорошее согласие температурных зависимостей полной термоэдс с данными эксперимента (см. [9], рис. 4). Однако такая подгонка не является корректной, поскольку для трех из четырех образцов калия К4 и К5 с различной концентрацией дислокаций коэффициенты |B| значительно превосходили предельно допустимую величину |Bmax| = 8.33 нВ/К4 (см. [9], табл. 1). Так, например, для образцов калия К4 ε = 0 ∣B∣ = 9.4 нВ/К4 и К5 с ε = 0.053 и ε = 0 ∣B∣ = = 10 и 12.2 нВ/К4 (см. табл. 2). В нашей теории для определения полной термоэдс подгоночными параметрами являются коэффициенты А и С. Они использованы для подгонки результатов на концах экспериментального интервала 1.2 < T < 3.5 К. Температура активации процессов электрон-фононного переброса θU определяется фононным спектром, поэтому не должна варьироваться от образца к образцу. Ее общепринятое значение 20–23 К (см. [13, 22]). Поэтому для нее мы использовали значение θU = 20 K. Коэффициент В рассчитывали по формулам (14) и проверяли, согласно (9)–(13), при учете электрон-фононного увлечения за счет продольных и поперечных компонент колебательных мод. Использование значений E0L = 1.41 эВ и E0t = 0.11 эВ позволило согласовать температурные зависимости термоэдс с данными [9] и удовлетворить условию |B| < |Bmax| (см. рис. 2).

Рис. 2.

Температурная зависимость термоэдс: для К4 ε ≈ 0.1 ${{\tilde {N}}_{{\text{d}}}}$ = 0.4 и ε ≈ 0 (кривые 1 и 2) и К5 с ε ≈ 0.053 ${{\tilde {N}}_{{\text{d}}}}$ = 0.14 и ε ≈ 0 (кривые 1а и 2а). Символы – экспериментальные значения [13].

С определением константы E0t возникла нестандартная ситуация. Обычно при определении параметров нового механизма релаксации мы стараемся минимизировать все фоновые механизмы релаксации (рассеяние на дефектах, дислокациях и т.д.). Однако для совершенных кристаллов калия константы ${{\left( {E_{{{\text{eff}}}}^{{\lambda }}} \right)}^{2}}$ входят в числитель и знаменатель коэффициента Bmax и взаимно сокращаются, и термоэдс уже не зависит от констант электрон-фононного взаимодействия (см. формулу (14)). Поэтому только наличие дислокаций позволило определить константу взаимодействия электронов с поперечными компонентами колебательных мод. Как видно из табл. 2, коэффициенты B существенно зависят от концентрации дислокаций. Так, например, для образца K4 с деформацией ε = 0.1 коэффициент B оказался в два раза меньше Bmax. Это позволяет надеяться, что мы надежно определили константу взаимодействия электронов со сдвиговыми волнами. С увеличением концентрации дислокаций вклад продольных фононов в термоэдс увлечения в кристаллах калия возрастает, однако он остается существенно меньше вклада квазипоперечных фононов: так, например, при температуре 2 К для образца К5 с деформацией ε = 0.053 вклад $\alpha _{{{\text{drag}}}}^{L}$ составляет 5%, а для образца K4 с максимальной деформацией ε = 0.1 он возрастает до 7%.

Рассмотрим изменение соотношения различных вкладов в термоэдс. При температурах ниже 1 К роль диффузионного вклада возрастает, и при Т = = 0.5 К он уже в 3 раза больше фононного. В этом интервале процессы электрон-фононного переброса полностью выморожены. В интервале температур 1.5 < T < 2.5 К в термоэдс преобладает вклад фононного увлечения, обусловленный нормальными процессами электрон-фононного рассеяния. Так, например, при Т = 2 К этот вклад на порядок величины превышает как диффузионный, так и вклад процессов электрон-фононного переброса. Поэтому в этом интервале процессами переброса можно пренебречь. Как это видно из температурных зависимостей полной термоэдс, при температурах 3–3.5 К, что соответствует минимуму термоэдс, вклады нормальных процессов электрон-фононного рассеяния и процессов переброса сравниваются. А при дальнейшем увеличении температуры уже доминируют процессы электрон-фононного переброса (см. [22]).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проанализирована роль сдвиговых волн в температурных зависимостях теплопроводности и термоэдс увлечения. Основные результаты можно сформулировать следующим образом.

1. Впервые учтено влияние сдвиговых волн на электрон-фононную релаксацию и термоэдс увлечения в металлах при низких температурах. Определена константа связи электронов со сдвиговыми компонентами колебательных мод в кристаллах калия.

2. Показано, что сдвиговые волны вносят значительный вклад в термоэдс увлечения. Он составляет от 28 до 40% термоэдс увлечения для различных образцов и в 4–6 раз превышает вклад продольных фононов.

3. Установлено, что в совершенных кристаллах калия без дислокаций отношение вкладов колебательных мод в термоэдс увлечения с точностью до 0.1% совпадает с соответствующими отношениями вкладов в теплоемкость. Поэтому она может быть выражена через решеточную теплоемкость.

4. Определена функция распределения по энергии наиболее актуальных для термоэдс фононов. Более точный учет неупругости электрон-фононного рассеяния приводит к уменьшению термоэдс увлечения в 2.6 раза, по сравнению линейным приближением.

Работа выполнена в рамках государственного задания МИНОБРНАУКИ России (тема “Функция”, № AAAA-A19-119012990095-0).

Список литературы

  1. Кулеев И.И., Кулеев И.Г. Фокусировка фононов и анизотропия решеточной теплопроводности кристаллов калия при низких температурах // ФММ. 2018. Т. 119. С. 1203–1209.

  2. Кулеев И.И., Кулеев И.Г. Роль квазипродольных и квазипоперечных фононов в термоэдс увлечения кристаллов калия при низких температурах // ЖЭТФ. 2019. Т. 156. С. 56–70.

  3. Kuleyev I.I., Kuleyev I.G. Drag thermopower in nanowires and bulk potassium crystals under the conditions of competition between the boundary and bulk mechanisms of phonon relaxation // J. Phys.: Cond. Matt. 2019. V. 31. 375701(13 pp).

  4. Кулеев И.И., Кулеев И.Г. Влияние анизотропии упругой энергии на электрон-фононное увлечение и температурные зависимости термоэдс в кристаллах калия при низких температура // ФММ. 2019. Т. 120. С. 1129–1135.

  5. Кулеев И.Г., Кулеев И.И., Бахарев С.М., Устинов В.В. Фокусировка фононов и фононный транспорт в монокристаллических наноструктурах. “Издательство УМЦ УПИ”, Екатеринбург. 2018. 256 с.

  6. MacDonald D.K.C., Pearson W.B., Templeton I.M. Thermo-Electricity at Low Temperatures. VIII. Thermo-Electricity of the Alkali Metals Below 2 K // Proc. R. Soc. Lond. A 1960. V. 256. P. 334–358.

  7. Guenault A.M., MacDonald D.K.C. Electron and phonon scattering thermoelectricity in potassium and alloys at very low temperatures // Proc. R. Soc. Lond. A 1961. V. 264. P. 41–59.

  8. Stinson M.R., Fletcher R., Leavens C.R. Thermomagnetic and thermoelectric properties of potassium // Phys. Rev. B. 1979. V. 20. P. 3970–3990.

  9. Fletcher R. Scattering of phonons by dislocations in potassium // Phys. Rev. B. 1987. V. 36. P. 3042–3051.

  10. Blatt F.J., Schroeder P.A., Foiles C.L., Greig D. Thermoelectric power of metals. New York and London: Plenum press. 1976. 264 c.

  11. Займан Дж. Электроны и фононы. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 488 с.

  12. Блатт Ф. Физика электронной проводимости в твердых телах. М.: Изд-во ИЛ, 1971. 470 с.

  13. Zyman J.M. The thermoelectric power of the alkali metals at low temperatures // Phil. Mag. 1959. V. 4. P. 371–379.

  14. Herring C., Vogt E. Transport and Deformation-Potential Theory for Many-Valley Semiconductors with Anisotropic Scattering // Phys. Rev. 1956. V. 101. P. 944–961.

  15. Кардона П.Ю.М. Основы физики полупроводников, М.: Физматлит., 2002. 560 с.

  16. Федоров Ф.И. Теория упругих волн в кристаллах. М.: Наука, 1965. 386 с.

  17. Кулеев И.Г., Кулеев И.И. Упругие волны в кубических кристаллах с положительной и отрицательной анизотропией модулей упругости второго порядка // ФТТ. 2007. Т. 49. № 3. С. 422–429.

  18. Truel B., Elbaum C., Chick B.B. Ultrasonic methods in solid state physics. Academic Press, N.Y.–London. 1969. 307 c.

  19. Гуревич Л.Э. Термоэлектрические свойства проводников. I // ЖЭТФ. 1946. Т. 16. С. 193.

  20. Herring C. Theory of the Thermoelectric Power of Semiconductors // Phys. Rev. 1954. V. 96. P. 1163.

  21. Гуревич Л.Э., Коренблит И.Я. Влияние увлечения электронов фононами и их взаимного увлечения на кинетические коэффициенты полуметаллов // ФТТ. 1964. Т. 6. С. 856–863.

  22. Ekin J.W., Maxfield B.W. Electrical Resistivity of Potassium from 1 to 25 K // Phys. Rev. B. 1971. V. 4. P. 4215–4225.

Дополнительные материалы отсутствуют.