Физика металлов и металловедение, 2020, T. 121, № 8, стр. 789-793

О соотношении Максвелла в ферромагнетиках и ферримагнетиках

Э. З. Валиев *

Институт физики металлов УрО РАН
620108 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18, Россия

* E-mail: valiev@imp.uran.ru

Поступила в редакцию 29.01.2020
После доработки 19.03.2020
Принята к публикации 01.04.2020

Полный текст (PDF)

Аннотация

C помощью модельных расчетов показано, что соотношение Максвелла точно выполняется для ферромагнетиков с одним типом магнитных атомов и для двухкомпонентных ферромагнетиков и ферримагнетиков. Эти факты позволяют более уверено применять данные соотношения для расчета основных характеристик магнитокалорического эффекта в указанных случаях. Сделан вывод, что предложенная модель ферримагнетика является самосогласованной и правильной с точки зрения термодинамики. Также показано, что формулы “типа соотношений Максвелла” для производных от намагниченности и энтропии для магнитных подрешеток справедливы лишь приближенно.

Ключевые слова: соотношение Максвелла, ферримагнетик, энтропия

ВВЕДЕНИЕ

Хорошо известны преимущества магнитных методов охлаждения по сравнению с криогенными методами, использующими расширение и сжатие газов. Эти преимущества: энергетическая эффективность и безопасность по отношению к окружающей среде. Чтобы использовать эти преимущества необходимо иметь ферромагнетики с рекордными значениями адиабатического изменения температуры в магнитном поле ΔTad и изотермического изменения энтропии ΔSiso. Для этого требуются новые теоретические модели и экспериментальные исследования. В экспериментальных исследованиях магнитокалорического эффекта (МКЭ) применяются прямые и непрямые методы измерения адиабатического изменения температуры и изотермического изменения магнитной энтропии. При измерении величин ΔTad и ΔSiso часто используется соотношениe Максвелла:

(1)
${{\left( {\frac{{\partial S}}{{\partial H}}} \right)}_{{P,T}}} = {{\left( {\frac{{\partial M}}{{\partial T}}} \right)}_{{P,H}}}.$

С помощью (1) для непрямых методов измерения ΔTad и ΔSiso имеем:

(2)
$\Delta {{T}_{{{\text{ad}}}}}\left( {T,H} \right) = - \int\limits_0^H {\frac{T}{{{{C}_{{P,H}}}}}} {{\left( {\frac{{\partial M}}{{\partial T}}} \right)}_{{P,H}}}dH,$
(3)
$\Delta {{S}_{{{\text{iso}}}}}(T,H) = {{\int\limits_0^H {\left( {\frac{{\partial M}}{{\partial T}}} \right)} }_{{P,H}}}dH.$

В формулах (1)(3) подстрочные значки у производных означают, что производные вычислены при постоянных значениях давления P и магнитного поля Н, СР,Н – теплоемкость.

Эти формулы используют для экспериментального определения характеристик МКЭ не только в однокомпонентных ферромагнетиках, но и в ферромагнитных соединениях, содержащих несколько типов магнитных атомов [1, 2]. Кроме того, соотношения (1)–(3) используют и при экспериментальном определении величин ΔTad и ΔSiso в ферримагнетиках [3, 4]. Хотя применение соотношения Максвелла в указанных случаях не является очевидным. Вопрос о применимости соотношений Максвелла в ферримагнетиках обсуждался также в работах [5, 6].

В настоящей работе показано, что соотношение (1) выполняется для ферромагнетиков, содержащих более одного сорта магнитных атомов, и ферримагнитных соединений. Оно также точно выполняется для ферромагнетиков с одним типом магнитных атомов и антиферромагнетиков. Этот вывод получен на основании модельных расчетов производных (∂М/∂Т)H и (∂S/∂Н)T. Расчет проведен в приближении молекулярного поля для Гейзенберговской модели ферромагнетика с одним типом магнитных атомов и для ферромагнетиков и ферримагнетиков с двумя магнитными подрешетками.

СООТНОШЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ОДНОКОМПОНЕНТНОГО ФЕРРОМАГНЕТИКА

В приближении среднего поля для модели Гейзенберга модельный (неравновесный) термодинамический потенциал (ТП) ферромагнетика может быть записан в виде [79]:

(4)
$F = NJ{{s}^{2}}{{m}^{2}}--NkT\ln Z\left( x \right) + ({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}){{K}^{{--1}}}{{\omega }^{2}} + P\omega ,$
$\begin{gathered} х = (2\mu {\text{s}}H + 2{{{\text{s}}}^{2}}Jm)\beta , \\ \beta = {{\left( {kT} \right)}^{{--1}}},\,\,J = {{J}_{0}} + \gamma \omega , \\ Z\left( x \right) = {\text{ sh}}{{[(1{\text{ }} + {{{(2{\text{s}})}}^{{--1}}})x]} \mathord{\left/ {\vphantom {{[(1{\text{ }} + {{{(2{\text{s}})}}^{{--1}}})x]} {{\text{sh}}}}} \right. \kern-0em} {{\text{sh}}}}[{{\left( {2{\text{s}}} \right)}^{{--1}}}x]. \\ \end{gathered} $

Здесь N – число магнитных атомов в единице объема, J – обменный интеграл между выделенным атомом и всеми атомами его окружения, μ – магнетон Бора, s – спин атома, Н – внешнее магнитное поле, k – постоянная Больцмана, γ – постоянная обменно-упругого (магнито-упругого) взаимодействия (магнитная константа Грюнайзена), K – сжимаемость, Р – давление, ω = ΔV/V – относительное изменение объема, m – приведенная намагниченность.

В уравнении (4) первые два слагаемых представляют вклад обменного взаимодействия в приближении молекулярного поля [7, 8], третье и четвертое слагаемые – вклад энергии объемных деформаций. Упомянутые первые два слагаемых представляют при γ = 0 ТП канонического ферромагнетика. ТП (4) с учетом зависимости обменного интеграла от объема представляет аналог обменно-стрикционной модели, впервые предложенной в работе [10] (по этому поводу см. также [9, 11, 12]).

Из условия минимума ТП (4) по приведенной намагниченности m и относительному изменению объема ω получим равновесные уравнения состояния для магнитной подсистемы и объема:

(5)
$\begin{gathered} m = Z{\kern 1pt} '{{\left( x \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( x \right)} {Z\left( x \right)}}} \right. \kern-0em} {Z\left( x \right)}} = {{{\text{B}}}_{{\text{s}}}}\left( x \right), \\ \omega = (\gamma {{{\text{s}}}^{2}}{{m}^{2}}N--P)K. \\ \end{gathered} $

Здесь BS(x) – функция Бриллюэна для спина s, ω (при Р = 0) есть спонтанная объемная магнитострикция, Z/(x) – производная функции Z(x) по аргументу х.

Равновесный ТП получится, если подставить в (1) результаты решения уравнений (5) для m = = m(Т, Р, Н) и ω = ω(Т, Р, Н). В этом случае ТП (4) можно использовать для расчета термодинамических величин, таких как энтропия, магнитная восприимчивость и других.

Прежде чем проверять равенство (1) для нашей модели, получим формулу для магнитной энтропии ферромагнетика. Из уравнений (4) и (5) следует

(6)
$S = {{({{\partial F} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial F} {\partial T}}} \right. \kern-0em} {\partial T}})}_{Р}} = Nk\left( {\ln Z\left( x \right)--mх} \right).$

Отметим также, что уравнения (4), (5) и (6) справедливы для ферромагнетиков, испытывающих магнитные фазовые переходы, как второго, так и первого рода [912].

Для намагниченности ферромагнетика имеем: М = 2μsNm = 2μsNВS(х). Отсюда несложно получить, что

(7)
$\begin{gathered} {{\left( {\frac{{\partial S}}{{\partial H}}} \right)}_{{P,T}}} = {{\left( {\frac{{\partial M}}{{\partial T}}} \right)}_{{P,H}}} = --{\text{2}}\mu {\text{s}}Nkх{{{\text{B}}}_{{{\text{S}}{\kern 1pt} {\text{'}}}}}(x) \times \\ \times \,\,{{[kТ({\text{2}}{{{\text{s}}}^{{\text{2}}}}J + {\text{4}}{{\gamma }^{{\text{2}}}}{{{\text{s}}}^{{\text{4}}}}{{m}^{{\text{2}}}}NK){{{\text{B}}}_{{{\text{S}}{\kern 1pt} {\text{'}}}}}(x)]}^{{--{\text{ 1}}}}}{\text{ }}. \\ \end{gathered} $

Здесь BS′(x) есть производная функции Бриллюэна.

Более короткая формула для производных (7) имеет вид:

(8)
${{({{\partial S} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial S} {\partial H}}} \right. \kern-0em} {\partial H}})}_{{P,T}}} = - Nkx{{({{\partial m} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial m} {\partial H}}} \right. \kern-0em} {\partial H}})}_{{P,T}}},$
где (∂m/∂H)T изотермическая восприимчивость ферромагнетика, усиленная за счет магнитоупругого взаимодействия. Явный вид этой восприимчивости следует из сравнения выражений (7) и (8).

Таким образом, соотношение Максвелла (1) точно выполняется в модели ферромагнетика с термодинамическим потенциалом (4). Для ферромагнетиков с магнитными фазовыми переходами первого рода формулы (1) и (7) конечно нельзя применять в области сосуществования парамагнитной и ферромагнитной фаз. Т.е. в области, где МКЭ имеет максимальные значения.

СООТНОШЕНИЕ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ФЕРРО- И ФЕРРИМАГНЕТИКОВ С ДВУМЯ МАГНИТНЫМИ ПОДРЕШЕТКАМИ

В этом случае ТП можно представить в виде [6, 7, 9]:

(9)
$\begin{gathered} F = \left( {{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-0em} 2}} \right)\left( {{{N}_{{\text{1}}}}{{J}_{{{\text{11}}}}}{\text{s}}_{{\text{1}}}^{{\text{2}}}m_{{\text{1}}}^{{\text{2}}} + {{N}_{{\text{2}}}}{{J}_{{{\text{22}}}}}{\text{s}}_{{\text{2}}}^{{\text{2}}}m_{{\text{2}}}^{{\text{2}}} + } \right. \\ \left. { + \,\,{\text{2}}{{N}_{{\text{1}}}}{{J}_{{{\text{12}}}}}{{{\text{s}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{s}}}_{{\text{2}}}}{{m}_{{\text{1}}}}{{m}_{{\text{2}}}}\left( {{{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{1}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{2}}}}} \right)} \right)-- \\ - \,\,{{N}_{{\text{1}}}}kT\ln {{Z}_{{\text{1}}}}\left( {{{x}_{{\text{1}}}}} \right)--{{N}_{{\text{2}}}}kT\ln {{Z}_{{\text{2}}}}\left( {{{x}_{{\text{2}}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Здесь Ni, si, mi – число атомов типа i в единице объема, спин-атома i, относительная намагниченность атома i соответственно. Jik – интеграл обмена атома сорта i со всеми атомами типа k. Zi(xi) = sh[(1 + (2si)–1)xi]/sh[(2si)–1xi].

$\begin{gathered} {{x}_{1}} = (~{{J}_{{{\text{11}}}}}{\text{s}}_{{\text{1}}}^{{\text{2}}}{{m}_{{\text{1}}}} + {{J}_{{12}}}{{{\text{s}}}_{1}}{{{\text{s}}}_{2}}{{m}_{2}}({{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{1}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{2}}}}) \\ + \,\,g\mu {{s}_{1}}({{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{1}}}}{\mathbf{H}}))\beta , \\ {{x}_{2}} = ({{J}_{{21}}}{{{\text{s}}}_{1}}{{{\text{s}}}_{2}}{{m}_{1}}({{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{1}}}}{{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{2}}}}) + {{J}_{{{\text{22}}}}}{\text{s}}_{{\text{2}}}^{{\text{2}}}{{m}_{{\text{2}}}} + \\ + \,\,g\mu {{{\text{s}}}_{2}}({{{\mathbf{e}}}_{{\mathbf{2}}}}{\mathbf{H}}))\beta ,\,\,\,\beta = {{(kТ)}^{{--1}}}, \\ \end{gathered} $

где e1, e2 – единичные векторы, определяющие направления намагниченности атомов 1 и 2 сорта, Н – вектор внешнего магнитного поля.

В этом разделе будем считать обменные интегралы постоянными, не зависящими от объема, и не будем учитывать зависимость ТП от объемных деформаций.

Из условия минимума термодинамического потенциала (9) по m1 и m2 получим равновесные уравнения состояния для намагниченности подрешеток :

(10)
$\begin{gathered} {{m}_{{\text{1}}}} = ~~{{Z_{1}^{'}\left( {{{x}_{{\text{1}}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{1}^{'}\left( {{{x}_{{\text{1}}}}} \right)} {{{Z}_{{\text{1}}}}\left( {{{x}_{{\text{1}}}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {{{Z}_{{\text{1}}}}\left( {{{x}_{{\text{1}}}}} \right)}} = {{{\text{B}}}_{{{\text{S1}}}}}\left( {{{x}_{{\text{1}}}}} \right); \\ {{m}_{{{\text{2}}~}}} = ~{\text{ }}{{Z_{2}^{'}\left( {{{x}_{{\text{2}}}}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{Z_{2}^{'}\left( {{{x}_{{\text{2}}}}} \right)} {{{Z}_{{\text{2}}}}\left( {{{x}_{{\text{2}}}}} \right)}}} \right. \kern-0em} {{{Z}_{{\text{2}}}}\left( {{{x}_{{\text{2}}}}} \right)}} = {{{\text{B}}}_{{{\text{S2}}}}}\left( {{{x}_{{\text{2}}}}} \right). \\ \end{gathered} $

Уравнения (10) представляют систему двух трансцендентных уравнений для определения равновесных значений m1(Т, Н) и m2(Т, Н). Они решаются численными методами.

Известно [7], что для ферромагнетиков (e1e2) = 1 и все обменные интегралы J11, J12, J22 неотрицательны. Для ферримагнетиков: J11 > 0, J22 > 0, J12 < 0 и (e1e2) = –1.

Из выражения (9) для термодинамического потенциала с учетом (10) получим для магнитной энтропии и намагниченности двухкомпонентного ферромагнетика и ферримагнетика:

(11)
$\begin{gathered} S = {{S}_{1}} + {{S}_{2}} = {{N}_{1}}k\ln \left( {ln{{Z}_{1}}\left( {{{x}_{1}}} \right)--{{m}_{1}}{{х}_{1}}} \right) + \\ + \,\,{{N}_{2}}k\left( {\ln {{Z}_{2}}\left( {{{x}_{2}}} \right)--{{m}_{2}}{{х}_{2}}} \right), \\ \end{gathered} $
(12)
$\begin{gathered} М = {{М}_{2}} \pm {{М}_{1}} = 2\mu {{{\text{s}}}_{2}}{{N}_{2}}{{m}_{2}} \pm 2\mu {{{\text{s}}}_{1}}{{N}_{1}}{{m}_{1}} = \\ = \,\,{{\mu }_{2}}{{N}_{2}}{{m}_{2}} \pm {{\mu }_{1}}{{N}_{1}}{{m}_{1}}. \\ \end{gathered} $

Здесь знак плюс относится к ферромагнитным соединениям, а минус к ферримагнитным; μ1 и μ2 – магнитные моменты атомов 1 и 2. Для определенности будем считать, что М2 > М1 и вектор магнитного поля по направлению совпадает с е2 ((е2Н) = Н).

Несмотря на аддитивную зависимость полных S и М (11), (12) от энтропии и намагниченности подрешеток, сами S1, S2 и М1, М2 зависят друг от друга. Это следует из формулы (10), которая является системой двух связанных уравнений для определения m1 и m2. Зависящими друг от друга являются и производные величин S1, S2 по магнитному полю. Также зависимыми друг от друга являются производные величин М1, М2 по температуре. Упомянутые производные определяются из системы линейных уравнений. Например, для производных m1 и m2 по температуре уравнения имеют вид:

(13)
$\begin{gathered} {\text{А}}{{({{\partial {{m}_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{m}_{{\text{1}}}}} {\partial Т}}} \right. \kern-0em} {\partial Т}})}_{Н}} + {\text{В}}{{({{\partial {{m}_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{m}_{{\text{2}}}}} {\partial Т}}} \right. \kern-0em} {\partial Т}})}_{Н}} = {\text{Е}}; \\ {\text{С}}{{({{\partial {{m}_{{\text{1}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{m}_{{\text{1}}}}} {\partial Т}}} \right. \kern-0em} {\partial Т}})}_{Н}} + {\text{D}}{{({{\partial {{m}_{{\text{2}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{m}_{{\text{2}}}}} {\partial T}}} \right. \kern-0em} {\partial T}})}_{H}} = {\text{F}}; \\ {\text{A}} = (1 - B_{{{{S}_{1}}}}^{'}({{x}_{1}})\beta a),\,\,\,\,{\text{B}} = - B_{{{{S}_{1}}}}^{'}({{x}_{1}})\beta {{b}_{1}}, \\ {\text{C}} = - B_{{{{S}_{2}}}}^{'}({{x}_{2}})\beta {{b}_{2}},\,\,\,\,{\text{D}} = (1 - B_{{S2}}^{'}({{x}_{2}})\beta c), \\ {\text{E}} = - k\beta {{x}_{1}}B_{{{{S}_{1}}}}^{'}({{x}_{1}}),\,\,\,\,{\text{F}} = --{\text{ }}k\beta {{x}_{{\text{2}}}}B_{{S2}}^{'}({{x}_{2}}). \\ a = {{J}_{{{\text{11}}}}}{\text{s}}_{{\text{1}}}^{{\text{2}}},\,\,\,\,{{b}_{{\text{1}}}} = {{J}_{{{\text{12}}}}}{{{\text{s}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{s}}}_{{\text{2}}}}, \\ {{b}_{{\text{2}}}} = {{J}_{{{\text{21}}}}}{{{\text{s}}}_{{\text{1}}}}{{{\text{s}}}_{{\text{2}}}},\,\,\,\,c = {{J}_{{{\text{22}}}}}{\text{s}}_{{\text{2}}}^{{\text{2}}}. \\ \end{gathered} $

Таким образом, из уравнений (10), (12) и (13) можно получить явный вид производных от намагниченности по температуре. Аналогичным способом вычислены и производные энтропии по магнитному полю. В результате несложных расчетов имеем для ферромагнетика с двумя типами магнитных атомов:

(14)
$\begin{gathered} {{({{\partial S} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial S} {\partial H}}} \right. \kern-0em} {\partial H}})}_{T}} - {{({{\partial M} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial M} {\partial T}}} \right. \kern-0em} {\partial T}})}_{H}} = k{{\beta }^{2}}{{s}_{1}}{{s}_{2}}\Delta B_{{{{S}_{1}}}}^{'}({{x}_{1}}) \times \\ \times \,\,B_{{{{S}_{2}}}}^{'}({{x}_{2}})({{N}_{1}}{{J}_{{12}}} - {{N}_{2}}{{J}_{{21}}})({{\mu }_{1}}{{x}_{2}} - {{\mu }_{2}}{{x}_{1}}). \\ \end{gathered} $

Здесь $\Delta = {{(AD - CB)}^{{ - 1}}}.$

Соотношение Максвелла точно выполняется, так как ${{N}_{1}}{{J}_{{12}}} = {{N}_{2}}J{}_{{21}}$ [7].

Для ферримагнетиков: (e1e2)J12= |J12|, (e2H) = Н, (e1H) = –Н,

(15)
$\begin{gathered} {{({{\partial S} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial S} {\partial H}}} \right. \kern-0em} {\partial H}})}_{T}} - {{({{\partial M} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial M} {\partial T}}} \right. \kern-0em} {\partial T}})}_{H}} = k{{\beta }^{2}}{{s}_{1}}{{s}_{2}}\Delta B_{{{{S}_{1}}}}^{'}({{x}_{1}}) \times \\ \times \,\,B_{{{{S}_{2}}}}^{'}({{x}_{2}})({{N}_{2}}\left| {{{J}_{{21}}}} \right| - {{N}_{1}}\left| {{{J}_{{12}}}} \right|)({{\mu }_{1}}{{x}_{2}} + {{\mu }_{2}}{{x}_{1}}). \\ \end{gathered} $

Т.е. в этом случае соотношение Максвелла акже выполняется. Оно выполняется и для антиферромагнетиков, при N1 = N2 и μ1 = μ2.

Таким образом, мы показали, что рассматриваемая модель ферро- и ферримагнетиков является самосогласованной с точки зрения термодинамики (формулы (5), (6) и (10)(12) правильны в рассматриваемом приближении).

Поэтому, для определения характеристик МКЭ, кроме формул (2) и (3), можно использовать следующие равенства:

(16)
$\Delta {{S}_{{{\text{iso}}}}}(T,\,\Delta H) = S\left( {T,\,{{H}_{{\text{F}}}}} \right)--S\left( {T,\,0} \right);$
(17)
${{S}_{{{\text{tot}}}}}\left( {T,0} \right) = {{S}_{{{\text{tot}}}}}(T + \Delta {{T}_{{{\text{ad}}}}},H).$

Причем в (16), под S(T, HF) следует понимать магнитную энтропию из формул (6), (11). В формуле (17) Stot(T, H) есть полная энтропия магнетика (т.е. сумма магнитной, решеточной и электронной частей). Предполагается также, что решеточная и электронная части энтропии слабо зависят от магнитного поля.

Представляет интерес проверить выполняются ли соотношения Максвелла для парциальных намагниченности (М1, М2) и энтропии (S1, S2). Т.е. выполняются ли равенства ${{\left( {{{\partial {{M}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{M}_{1}}} {\partial T}}} \right. \kern-0em} {\partial T}}} \right)}_{H}}$ = = ${{\left( {{{\partial {{S}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{S}_{1}}} {\partial H}}} \right. \kern-0em} {\partial H}}} \right)}_{T}}$ и ${{\left( {{{\partial {{M}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{M}_{2}}} {\partial T}}} \right. \kern-0em} {\partial T}}} \right)}_{H}}$ = ${{\left( {{{\partial {{S}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{S}_{2}}} {\partial H}}} \right. \kern-0em} {\partial H}}} \right)}_{T}}?$

Прямой расчет показывает, что в ферримагнетиках:

(18)
$\begin{gathered} {{\left( {{{\partial {{M}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{M}_{1}}} {\partial T}}} \right. \kern-0em} {\partial T}}} \right)}_{H}} - {{\left( {{{\partial {{S}_{1}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{S}_{1}}} {\partial H}}} \right. \kern-0em} {\partial H}}} \right)}_{T}} = - \Delta {{N}_{1}}k\beta B_{{{{S}_{1}}}}^{'}({{x}_{1}}) \times \\ \times \,\,\left[ {2{{\mu }_{1}}{{x}_{1}}D + \beta {{b}_{1}}B_{{{{S}_{2}}}}^{'}({{x}_{2}})({{x}_{2}}{{\mu }_{1}} - {{x}_{1}}{{\mu }_{2}})} \right]; \\ {{\left( {{{\partial {{M}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{M}_{2}}} {\partial T}}} \right. \kern-0em} {\partial T}}} \right)}_{H}} - {{\left( {{{\partial {{S}_{2}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial {{S}_{2}}} {\partial H}}} \right. \kern-0em} {\partial H}}} \right)}_{T}} = \\ = - \Delta {{N}_{2}}k{{\beta }^{2}}{{b}_{2}}B_{{{{S}_{1}}}}^{'}(x{}_{1})B_{{{{S}_{2}}}}^{'}({{x}_{2}})({{x}_{1}}{{\mu }_{2}} + {{x}_{2}}{{\mu }_{1}}). \\ \end{gathered} $

Т.е. точно формулы “типа соотношений Максвелла” для магнитных подрешеток не выполняются.

Для того чтобы понять с какой ошибкой можно использовать соотношения (18) (с нулевыми значениями правых частей), при оценке характеристик МКЭ для магнитных подрешеток в ферро- и ферримагнетиках проведем численные расчеты. Оценим величину производных от энтропии S1, 2 по магнитному полю и от намагниченности M1, 2 по температуре, которые будем обозначать как $S_{{{\text{1}},{\text{2}}Н}}^{'}$ и $М_{{{\text{1}},{\text{2}}Т}}^{'}$. Примем следующие численные значения физических величин, входящих в формулы (18):

$\begin{gathered} {{{\text{s}}}_{{\text{1}}}} = {\text{1}},\,\,\,\,{{{\text{s}}}_{{\text{2}}}} = {{\text{7}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\text{7}} {\text{2}}}} \right. \kern-0em} {\text{2}}},\,\,\,\,{{J}_{{{\text{11}}}}} = 0.{\text{3}} \times {\text{1}}{{0}^{{--{\text{14}}}}}\,\,{\text{эрг}}, \\ \left| {{{J}_{{{\text{12}}}}}} \right| = {\text{1}}.0 \times {\text{1}}{{0}^{{--{\text{14}}}}}\,\,{\text{эрг}},\,\,\,\,{{J}_{{{\text{22}}}}} = 0.{\text{3}} \times {\text{1}}{{0}^{{--{\text{14}}}}}\,\,{\text{эрг}}, \\ {{N}_{{\text{1}}}} = {\text{2}}.{\text{7}} \times {\text{1}}{{0}^{{{\text{22}}}}}\,\,{\text{с}}{{{\text{м}}}^{{--{\text{3}}}}},\,\,\,\,{{N}_{{\text{2}}}} = {\text{4}}.{\text{4}} \times {\text{1}}{{0}^{{{\text{22}}}}}\,\,{\text{с}}{{{\text{м}}}^{{--{\text{3}}}}}, \\ \left| {{{J}_{{{\text{21}}}}}} \right| = {{N}_{{\text{1}}}}\left| {{{J}_{{{\text{12}}}}}} \right|N_{{\text{2}}}^{{--{\text{1}}}}. \\ \end{gathered} $

При расчете принято также, что Н = 0.1 Тл.

На рис. 1 показана температурная зависимость производных $S_{{{\text{1}},{\text{2}}Н}}^{'}$ и $М_{{{\text{1}},{\text{2}}Т}}^{'}$ для ферримагнетика, с указанными выше численными значениями физических величин. Здесь представлен результат расчета по формулам (18). Этот численный пример соответствует ферримагнетику с превалирующим межподрешеточным обменным взаимодействием и большим различием магнитных моментов атомов подрешеток. Видно, что разность между производными составляет ∼40% от их абсолютной величины при температуре Т = ТС = 181.5 К, где МКЭ максимален. Для ферромагнетика с численными значениями из (19) получается такой же результат, но максимальная относительная разность между производными меньше (∼20%). При иных значениях величин, нежели в (19), относительная разность между производными не превышает несколько десятков процентов.

Рис. 1.

Температурная зависимость производных от намагниченности и энтропии, для двух подрешеток ферримагнетика. Кривые 1 и 2 для производных $\left( {--М_{{{\text{2}}Т}}^{'}} \right)$ и $\left( {--S_{{{\text{2}}H}}^{'}} \right),$ соответственно. Кривые 3 и 4 для производных: $\left( {--М_{{1Т}}^{'}} \right)$ и $\left( {--S_{{1H}}^{'}} \right).$

С такой же точностью можно использовать формулы (18) (с нулевыми значениями правых частей) для численной оценки вкладов подрешеток в изотермическое изменение энтропии и адиабатическое изменение температуры ферримагнетика при МКЭ.

Результаты настоящей работы можно рассматривать как еще одно подтверждение справедливости соотношений Максвелла в рассмотренных случаях.

Работа выполнена с использованием УНУ “НМК ИФМ” в рамках государственного задания МИНОБРНАУКИ России (тема “Поток”, № АААА-А18-118020190112-8) при частичной поддержке гранта № 18-10-2-22 программы фундаментальных исследований УрО РАН.

Список литературы

  1. Tishin A.M., Spichkin Y.I. The magnetocaloric effect and its application. Bristol Institute of Physics Publishing, 2003.

  2. Franco V., Blazquez J.S., Ipus J.J., Law J.Y., Moreno-Ramires L.M., Conde A. Magnetocaloric effect: From material research refrigeration devices // Progress in Material Science. 2018. V. 93. P. 112–232.

  3. Baranov N.V., Proshkin A.V., Czternasty C., Meibner M., Podlesnyak A., Podgornykh S.M. Butterflylike specific heat, magnetocalorical effect and itinerant metamagnetism in (Er,Y)Co2 compound // Phys. Rev. B. 2009. V. 79. P. 184420.

  4. Chaaba I., Othmani S., Haj-Khlifa S., de Rando, Fruhart D., Cheikhrouhou-Koubaa W., Cheikhrouhow A. Magnetic and Magnetocaloric properties of Er(Co1 – xFex)2 intrmetallic compounds // J. Magn. Magn.Mater. 2017. V. 439. P. 269–280.

  5. Von Ranke P.J., De Oliveira N.A., Alho B.P., Plaza E.J.R., De Sousa V.S.R., Caron L., Reis M.S. Understanding the inverse magnetocalorical effect in antiferro- and ferromagnetic arrangements // J. Phys.: Condens. Matter. 2009. V. 21. P. 056004.

  6. Валиев Э.З. Энтропия и магнитокалорический эффект в ферримагнетиках RCo2 // ЖЭТФ. 2017. Т. 151. № 6. С. 1132–1138.

  7. Тябликов C.В. Методы квантовой теории магнетизма. Москва. Наука, 1975. 201 с.

  8. Недлин Г.М. Физика магнитных диэлектриков / Под ред. Г.А. Смоленского, Ленинград: Наука, 1974. 454 с.

  9. Валиев Э.З. Изотропное магнитоупругое взаимодействие в двух-подрешеточных ферри- и антиферромагнетиках: приближение среднего поля для модели Гейзенберга // ФММ. 2003. Т. 96. № 5. С. 4–11.

  10. Bean C., Rotbell D. Magnetic disorder as first-order phase transition // Phys, Rev. 1962. V. 126. P. 104–115.

  11. Валиев Э.З. Энтропия и магнитокалорический эффект в ферромагнетиках испытывающих магнитные фазовые переходы первого и второго рода // ЖЭТФ. 2009. Т. 135. № 2. С. 314–321.

  12. Валиев Э.З., Казанцев В.А. Магнитокалорический эффект в ферромагнетиках La(FexSi1 – x)13 // ЖЭТФ. 2011. Т. 140. № 6. С. 1143–1149.

Дополнительные материалы отсутствуют.