Физика плазмы, 2019, T. 45, № 12, стр. 1088-1102

1. ВВЕДЕНИЕ

На развитие концепции токамака существенно повлияли теоретические результаты по равновесию тороидальной плазмы с магнитным удержанием, полученные В.Д. Шафрановым. Один из них – хорошо известная формула [1, 2]

для необходимого в токамаке внешнего поперечного поля, где

– полоидальное поле ${{B}_{\theta }}$ на границе плазмы,

– полный ток в плазме, b – ее малый радиус, ${{R}_{{pl}}}$ – большой,

– “полоидальная бэта”, p – давление плазмы, черта сверху обозначает среднее по поперечному сечению плазмы,

– внутренняя индуктивность на единицу длины плазменного шнура, а ${{\mu }_{0}} = 4\pi \times {{10}^{{ - 7}}}$ Г/м – магнитная проницаемость вакуума (атрибут используемой здесь системы СИ). В (3) первый интеграл берется по поперечному сечению, а второй – по полному объему плазмы, ζ – тороидальный угол.

Анализ, приведший к появлению (1), был стимулирован экспериментами с плазмой в тороидальной камере с толстой проводящей стенкой без ныне неотъемлемой системы управления равновесием. В таком раннем предшественнике токамаков никогда не достигалось стационарное состояние, а разряд был очень коротким: плазма смещалась к стенке, касалась ее и быстро исчезала [3]. Уравнение (1) было ответом на возникшие тогда вопросы. Был сделан вывод, что для предотвращения такого катастрофического сценария необходима специальная система, создающая поперечное поле $ = {\kern 1pt} \;B_{ \bot }^{{eq}}$.

На пути к (1) В.Д. Шафранов попутно рассмотрел возможность поддержания равновесия плазмы по большому радиусу за счет одних только токов, возбуждаемых в стенке камеры при смещении плазмы. Эти токи должны создавать магнитное поле $B_{ \bot }^{w} = B_{ \bot }^{{eq}}$, но их затухание из-за резистивности стенки приводит к уменьшению $\left| {B_{ \bot }^{w}} \right|$. Как следствие, смещение плазменного шнура наружу по большому радиусу нарастает.

Результат в конечном итоге представлялся формулой (66) в [1] (здесь мы приводим ее в компактной форме)

для смещения плазмы ${{\Delta }_{b}}$ относительно центра круглого поперечного сечения стенки, где ${{\sigma }_{0}}$ и ${{b}_{w}}$ – константы, представляющие усредненную проводимость и малый радиус стенки, ${{d}_{w}}$ – ее толщина, а ${{\Delta }_{{iw}}}$ – определенное ниже (формула (92)) равновесное смещение “при идеальной стенке” (в пределе ${{\tau }_{w}} \to \infty $). Позже был предложен более общий эквивалент (7), который включал магнитные поля управляющих катушек внутри вакуумной камеры и внешнее поперечное поле ${{B}_{ \bot }}$, см. уравнения (170) и (177) в [4]. Наконец, эта задача была рассмотрена в [5], и эффекты резистивной стенки и внешнего поля ${{B}_{ \bot }}$ (не обязательно равного $B_{ \bot }^{{eq}}$) на ${{\Delta }_{b}}$ были подтверждены, уравнение (4.72) в [5]. В последнем случае, при ${{B}_{ \bot }} = 0$ редуцированная форма (7) восстанавливалась, но лишь для случая с $dJ{\text{/}}dt = 0$ и $d{{\Delta }_{{iw}}}{\text{/}}dt = 0$, что означает плазму с фиксированными параметрами.

В [5] ограничение $dJ{\text{/}}dt = 0$ было косвенно, но ясно оговорено указанием, что ток в стенке возбуждается только за счет расширения шнура. Никаких комментариев по поводу $dJ{\text{/}}dt$ в [1] и [4] не приводилось, а присутствие J в (7) вызывает естественный вопрос о применимости (7) к случаям с изменяющимся J.

Ответ должен быть отрицательным по причинам, объясненным ниже. Чтобы выявить их, нужно погрузиться в математические операции в [1, 4, 5]. Здесь наша цель состоит в том, чтобы найти замену (7), которая покрыла бы события с $dJ{\text{/}}dt \ne 0$. Такое расширение необходимо для лучшего моделирования переходных процессов, включая срывы со срывом тока – current quench (CQ).

Уравнение (7) было получено для радиального движения плазмы, при котором толщина скин-слоя ${{d}_{{sk}}}$ в стенке существенно превышает ее толщину ${{d}_{w}}$. Возникший в задаче временной масштаб ${{t}_{{{\text{cont}}}}}$ оказывается порядка ${{\tau }_{w}}$, что согласуется с этим ограничением.

Срывы тока, которые естественно происходят в токамаках [6], также попадают в диапазон ${{d}_{{sk}}} > {{d}_{w}}$, потому что их длительность ${{\tau }_{{cq}}}$ всегда сопоставима или даже слегка превышает “резистивные времена стенки” ${{\tau }_{w}}$, см. рис. 3 в [6] для ${{\tau }_{{cq}}}$ и табл. 1 в [7] для величины ${{\tau }_{w}}$, введенной уравнением (9), которая часто используется в теории устойчивости как характерный масштаб для винтовых мод, частично стабилизируемых резистивной стенкой (Resistive Wall Modes, RWMs) [7, 8].

Отметим, что, для токамака с ${{R}_{{pl}}}{\text{/}}b = 3$, ${{\beta }_{J}} = 1$ и ${{\ell }_{i}} = 0.8$ мы получим в точности ${{t}_{{con}}} = {{\tau }_{w}}$ из (8). Однако в [2] то же самое время ${{t}_{{con}}}$ дано формулой (6.18), которая отличается от (8) отсутствием степени −1 и поэтому предсказывает ${{t}_{{con}}} = 9{{\tau }_{w}}$ при упомянутых параметрах. Позже [5] утверждалось (рядом с уравнением (4.72) в [5]), что движение шнура по большому радиусу характеризуется постоянной времени ${{\tau }_{w}}{{R}_{{pl}}}{\text{/}}b$, что сводится к $3{{\tau }_{w}}$. В приложениях к задачам срывов эта неопределенность с разбросом от ${{\tau }_{w}}$ до $9{{\tau }_{w}}$ уже за пределами допустимого. Это еще одна причина, по которой необходим пересмотр подхода, ведущего к (7) или к его более поздним замещающим аналогам.

Теория равновесия плазмы с магнитным удержанием создавалась для описания статических конфигураций, но она применима, как и в случаях, рассмотренных в [1, 2, 4, 5], даже при очень больших $\partial {\mathbf{B}}{\text{/}}\partial t \ne 0$, если сила инерции в уравнении силового баланса для плазмы

мала. Здесь ρ – массовая плотность плазмы, v – скорость ее движения, p – ее давление, t – время, B – магнитное поле, ${\mathbf{j}} = \nabla \times {\mathbf{B}}{\text{/}}{{\mu }_{0}}$ – плотность тока.

Использование уравнения

и стандартных методов теории равновесия является общепринятым даже для описания срывов в токамаках, когда управление разрядом потеряно, см. [9–16]. Это оправдано тем, что быстрому глобальному движению плазмы препятствуют индукционные токи в стенке, существенно ограничивая ее направленную скорость, как, в частности, демонстрирует (7). Кроме того, массовая плотность плазмы в термоядерных системах ничтожно мала. Как следствие электромагнитные нагрузки на стенку камеры токамака при срыве могут в 10⁶–10⁸ раз превзойти силу инерции, см. оценки в [11–13]. Естественно поэтому привлечь для анализа подобных событий аналитическую теорию равновесия плазмы.

Это делалось в работах [12, 17, 18] для быстрых процессов, какими обычно бывают тепловые срывы в токамаках [19–21]. При этом приближение идеальной стенки с $\delta ({{\Delta }_{b}} - {{\Delta }_{{iw}}}) = 0$, что было явно использовано в [18], вполне пригодно. Теперь мы усложняем задачу, включая в рассмотрение резистивное затухание токов в стенке. Интерес представляет также и описание сопутствующего движения плазменного шнура. Уравнение (7) дает нам решение лишь для частного переходного процесса. Здесь мы установим область применимости (7) и получим обобщение этого уравнения, покрывающее более широкий круг явлений, вплоть до срывов.

2. МОДЕЛЬ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Стандартная аналитическая теория [1, 2, 4, 5], которая вошла в учебники [22–26], была развита для плазмы и стенки с круглыми сечениями, как показано на рисунках 1 и 2. Эта модель используется ниже на заключительной стадии выкладок. Основным неизвестным в задаче будет ${{\Delta }_{b}} = {{R}_{{pl}}} - {{R}_{w}}$, смещение центра границы плазмы относительно центра почти коаксиальной стенки.

Мы движемся к уравнению для ${{\Delta }_{b}}$ через несколько уровней редукции. Сначала система считается аксиально симметричной, что означает независимость всех физических величин от тороидального угла ζ в цилиндрических координатах $(r,\zeta ,z)$, связанных с главной осью тора, как на рис. 1. Начинаем только с этого предположения и оперируем с уравнениями, которые могут быть применимы к любой токамако-подобной конфигурации. Позже мы вводим приближение большого аспектного отношения и выполняем разложение по $\ell {\text{/}}{{R}_{{pl}}}$ и $\rho {\text{/}}{{R}_{w}}$. Окончательно рассматривается геометрия, показанная на рис. 2.

В задаче фигурируют три области: плазма, стенка и вакуумный промежуток между ними, см. рис. 1 и 2. Плазма действует как толстый подвижный и деформируемый проводник с током, который всегда должен подчиняться условию (11). Последнее требует ${\mathbf{B}} \cdot \nabla p = 0$ и приносит ограничение

на границе плазмы ${{S}_{{pl}}}$, форма которой и положение являются главными неизвестными, влияющими на поле B снаружи (${{{\mathbf{n}}}_{{pl}}}$ – единичный вектор нормали к ${{S}_{{pl}}}$). Связь внутренних и внешних решений через (12) на адаптируемой тороидальной поверхности ${{S}_{{pl}}}$ является главной трудностью в стандартной (в других отношениях) электромагнитной задаче вычисления ${\mathbf{B}}({\mathbf{r}},t)$.

Поведение тока в плазме и стенке определяется полным магнитным полем

где pl, e и w обозначают, соответственно, вклады от тороидальной плазмы, внешних катушек и стенки вакуумной камеры. При стандартной работе токамака поле ${{{\mathbf{B}}}^{w}}$ и токи в стенке малы, но могут стать очень большими при переходных процессах с генерацией электрического поля E вне плазмы. Индуцированное поле ${{{\mathbf{B}}}^{w}}$, которое должно быть найдено как функция изменяющихся параметров плазмы, подчиняется закону Ампера в сочетании с законом Ома для плотности тока в стенке и законом Фарадея

В дальнейшем проводимость стенки $\sigma $ будет считаться постоянной.

В осесимметричных системах магнитное поле B, удовлетворяющее уравнению $\nabla \cdot {\mathbf{B}} = 0$, может быть представлено в виде

где и

– полоидальный поток и ток, соответственно, через мембрану, ограниченную окружностью на плоскости $z = {\text{const}}$, ${{{\mathbf{e}}}_{z}} \equiv \nabla z$, ${{A}_{\zeta }}$ – тороидальная компонента векторного потенциала A, так что

а

– плотность тока с тремя составляющими, возникающими из (13).

При аксиальной симметрии электромагнитные уравнения для $({{{\mathbf{j}}}_{p}},{{B}_{\zeta }},{{{\mathbf{E}}}_{p}})$ и $({{j}_{\zeta }},{{{\mathbf{B}}}_{p}},{{E}_{\zeta }})$, где нижний индекс p означает полоидальную компоненту (перпендикулярную к $\nabla \zeta $), становятся расцепленными. Описание ${\mathbf{j}}_{p}^{w}$ и полного полоидального тока ${{I}_{w}}$, возбуждаемого в стенке, может быть найдено в [9] и [27]. Здесь нам нужна величина $j_{\zeta }^{w}$, что требует рассмотрения реакции стенки на изменения ${{{\mathbf{B}}}_{p}}$. Соответствующий анализ подразумевает операции с $({{j}_{\zeta }},{{{\mathbf{B}}}_{p}},{{E}_{\zeta }})$, включая основное уравнение для стенки

возникающее из (15)–(17) и (20), точка означает производную по времени.

Правая часть содержит вклад ${{\psi }^{w}}$ (или $A_{\zeta }^{w}$), создаваемый $j_{\zeta }^{w}$ и поэтому зависящий от него. В целом связи токов с потоками подчиняются уравнению

которое после подстановки ${\mathbf{j}} = {{j}_{\zeta }}{{{\mathbf{e}}}_{\zeta }}$ в форме дает ${{{\mathbf{A}}}^{v}} = {{{\mathbf{e}}}_{\zeta }}A_{\zeta }^{v}$ с где ${{{\mathbf{e}}}_{\zeta }} \equiv r\nabla \zeta $ – единичный вектор, x – радиус-вектор, то же со штрихом ${\mathbf{x}}{\kern 1pt} '$ обозначает переменную интегрирования в тороидальном объеме $v$ (в нашем случае $v$ есть pl, тонкая оболочка w и пространство e за стенкой), $d{\mathbf{x}}{\kern 1pt} '$ – трехмерный элемент объема в точке ${\mathbf{x}}{\kern 1pt} '$, K и E – полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно, а

Прямой вывод (24) из (23) основан на формулах

и [28–32] где тороидальный угол ζ отсчитывается от оси x в декартовых координатах $(x,y)$ на плоскости $z = {\text{const}}$, ${{Q}_{{n - 1/2}}}$ – функции Лежандра второго рода полуцелого порядка, $\chi \equiv 2{\text{/}}{{k}^{2}} - 1$, а

Здесь мы намеренно отделяем электромагнитную часть задачи и, чтобы сделать выкладки прямыми и прозрачными, начинаем с общеизвестного равенства (23) и его точных следствий. Эта часть связана с плазмой только граничным условием (12). До момента применения его к операциям с (21)–(24) мы остаемся в области чистой и хорошо развитой математики. Этот подход позволяет отложить введение малых параметров, типичных для аналитической теории равновесия плазмы [1, 2, 4, 5]. Обычно разложение в приближении большого аспектного отношения (допустимое при $b{\text{/}}{{R}_{{pl}}} \ll 1$) вводится с самого начала вычислений, а плазма считается круглой. Тем самым точность и применимость всех последующих результатов ограничены, как в [1, 2, 4, 5]. В противоположность этому, здесь и в следующих двух разделах соотношения свободны от данных ограничений и справедливы для произвольной конфигурации токамака.

Стратегия здесь состоит в том, чтобы соединить (22), (24) и

с (12). Это покроет все интересующие нас случаи. Затем на пути к замене (7) уравнением, позволяющим анализ CQ, мы выполним редукцию к геометрии, показанной на рис. 2.

3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ВНЕШНЕЙ ЗАДАЧИ С ПРИВЯЗКОЙ К ПЛАЗМЕ

Трудности нахождения распределения тока ${{j}_{\zeta }}$ в плазме токамака известны [33–47]. С далеко не полной экспериментальной информацией о ${{j}_{\zeta }}({\mathbf{r}})$ связанная неточность в вычислении ${{\psi }^{{pl}}}$ становится намного меньшей после преобразования (24) к поверхностному интегралу по ${{S}_{{pl}}}$ как функции B на ${{S}_{{pl}}}$, потому что такое B может быть вполне надежно оценено из магнитных измерений [4, 5, 48]. Это известное преобразование, основанное только на уравнениях Максвелла, может быть сделано для произвольной системы токов [33, 49], не обязательно удовлетворяющей (12). Для полноты и связности, несколько ключевых уравнений приведены ниже.

Из (29), (30), равенств

и где δ – дельта-функция Дирака, следует, что

С этим соотношением и следствием (17) и (21)

которое является предшественником уравнения Грэда–Шафранова, интегрирование по плазменному объему в (24) дает где а $d{{{\mathbf{S}}}_{{pl}}}$ – ориентированный наружу элемент границы плазмы (тороидальной поверхности) ${{S}_{{pl}}}$.

Общее электромагнитное равенство (36) справедливо для любого аксиально-симметричного распределения тока в тороидальной трубке ${{S}_{{pl}}}$. Для удерживаемой магнитным полем изотропной плазмы, подчиняющейся уравнению (11), есть сильное ограничение (12), которое в сочетании с симметрией и (17) требует

где ${{{\mathbf{n}}}_{{pl}}}$ и

– нормальный и тангенциальный к ${{S}_{{pl}}}$ единичные векторы, а ${{{\mathbf{e}}}_{\zeta }} = r\nabla \zeta $. Тогда

должна быть (зависящей от времени) константой на ${{S}_{{pl}}}$, а что превращает (36) в

Это компактное соотношение дает ${{\psi }^{{pl}}}$ вне плазмы (при ${{\eta }_{{pl}}} = 0$) и

внутри ${{S}_{{pl}}}$ (при ${{\eta }_{{pl}}} = 1$). Обе функции выражены через один и тот же интеграл, полностью определенный формой и положением ${{S}_{{pl}}}$ и B на ${{S}_{{pl}}}$.

Хотя $G$ имеет особенность при $k \to 1$ (когда ${\mathbf{x}} \to {\mathbf{x}}{\kern 1pt} '$), а в (42) присутствует ступенчатая функция ${{\eta }_{{pl}}}$, правая часть (42) должна быть непрерывной функцией. Из (29) и (30) следует, что

Поэтому

где учтено, что $d{{S}_{{pl}}} = rd\zeta d{{\ell }_{{pl}}}$. С $f = 2\pi {\mathbf{B}} \cdot {{{\mathbf{\tau }}}_{{pl}}}$ это дает нам интеграл в (42) как потенциал простого слоя, что и доказывает его непрерывность.

Отметим, что равенство (45) позволяет трансформировать (42) в

с

Это показывает, что магнитное поле поверхностного тока ${{i}_{\zeta }}{{{\mathbf{e}}}_{\zeta }}$ на границе плазмы совпадает с произведенным плазмой магнитным полем ${{{\mathbf{B}}}^{{pl}}}$ вне ${{S}_{{pl}}}$. Кроме того, ток $ - {{i}_{\zeta }}{{{\mathbf{e}}}_{\zeta }}$ создает внутри ${{S}_{{pl}}}$ внешнее полоидальное магнитное поле ${\mathbf{B}}_{p}^{{ext}}$, необходимое для поддержания данной тороидальной плазмы в равновесии.

Эта интерпретация предложена в [50] и стала с тех пор называться “принципом виртуального кожуха” [5, 24, 51–57]. С подстановкой ${{\mu }_{0}}{\mathbf{j}} = $ $ = {{{\mathbf{n}}}_{{pl}}} \times {\mathbf{B}}\delta ({\mathbf{x}} - {\mathbf{x}}{\kern 1pt} ')$ в (23) она справедлива для любой трехмерной тороидальной конфигурации при условии, что ${{{\mathbf{n}}}_{{pl}}} \cdot {\mathbf{B}} = 0$. Что касается математики, (46) и более общие электромагнитные соотношения, покрывающие (46), были известны значительно раньше (раздел 4.15 в [33], уравнение (2.10) в [58]); обобщение (46) на случай с ${{{\mathbf{n}}}_{{pl}}} \cdot {\mathbf{B}} \ne 0$ или с S, представляющей любую охватывающую плазму тороидальную поверхность в промежутке плазма–стенка,

обсуждалось в [49].

Уравнение (42) показывает, что только ${{S}_{{pl}}}$ и B на ${{S}_{{pl}}}$ определяют и поле ${{{\mathbf{B}}}^{{pl}}}$ вне ${{S}_{{pl}}}$, и поле ${\mathbf{B}}_{p}^{{ext}}$, необходимое для поддержания плазмы в равновесии, которое подчиняется (11). Это означает, в частности, идентичные магнитные поля вне ${{S}_{{pl}}}$ для плазменных конфигураций с одинаковыми ${{S}_{{pl}}}$ и B на ${{S}_{{pl}}}$. Такие конфигурации нельзя отличить по магнитным измерениям, независимо от различий в распределениях давления и тока. Это обсуждалось в [41], а примеры были представлены в [44, 45]. Здесь важным моментом является то, что мы строим выкладки на твердой математической основе, хорошо известной и проверенной в различных электромагнитных задачах.

4. СВЯЗЬ СО СТЕНКОЙ

Чтобы использовать (43), нам нужно уравнение для ${{\psi }^{w}} = 2\pi rA_{\zeta }^{w}$. Эта функция может быть выражена через тороидальную плотность тока $j_{\zeta }^{w}$ посредством равенства (24), дающего

для геометрически тонкой стенки с толщиной ${{d}_{w}}$, которая считается здесь константой, как в [1, 2, 4, 5] и в различных вычислительных моделях [7, 9, 15, 16, 59]. С $j_{\zeta }^{w}$, подчиняющимся (22), это превращается в где “резистивное время стенки” ${{\tau }_{w}}$ определено (9). Данные по ${{\tau }_{w}}$ в существующих токамаках и установках следующего поколения могут быть найдены в [7, 8, 60–62]. Интегрирование в (49) и (50) выполняется по полоидальному контуру стенки. Отметим, что при сильном скин-эффекте $j_{\zeta }^{w}$ в (49) следует заменить на $\left\langle {j_{\zeta }^{w}} \right\rangle $, среднее поперек стенки. Однако для CQ с ${{\tau }_{{cq}}}$, сопоставимым с ${{\tau }_{w}}$, радиальное изменение $j_{\zeta }^{w}$ должно быть слабым.

Первое соотношение для ${{\psi }^{w}}$ является общим, в то время как второе ограничено законом Ома (15) для стенки. Различие в физике не затрагивает математику для тех выражений для ${{\psi }^{w}}$, которые имеют вид, подобный правой части в (42).

Подстановка (31) превращает (50) в интегральное уравнение для ${{\psi }^{w}}$, где ${{\psi }^{{pl}}} + {{\psi }^{e}}$ – входной параметр. Оно могло бы быть решено стандартными методами без плазмы (при ${{\psi }^{{pl}}} = 0$), но присутствие функции ${{\psi }^{{pl}}}$, зависящей от неизвестной ${{\psi }^{w}}$, значительно усложняет задачу. Эта зависимость навязана равенством (38), которое требует

в каждой точке деформируемой ${{S}_{{pl}}}$.

Это учитывалось в выкладках, приводящих к (42). Последнее на самом деле дает нам готовое решение (43) для ${{\psi }^{e}} + {{\psi }^{w}}$ внутри плазмы, при ${{\eta }_{{pl}}} = 1$. Чтобы согласовать его с (50), мы должны соответственно подстроить ${{S}_{{pl}}}$. Именно геометрия плазмы как “скрытая переменная” с практически мгновенной реакцией на любое изменение B отличает плазменную задачу от подобных с твердыми проводниками. Различие возникает из равенства (40), служащего граничным условием для B во внешней области и превращающего (36) в (42).

Уравнения (43) и (50) содержат ${{\psi }^{w}}$ в своих левых частях. Эта величина может быть устранена вычитанием. Тогда получаем в терминах полного B и ψ:

что применимо внутри плазмы. Вместо этого, суммируя ${{\psi }^{{pl}}}$ из (42) и ${{\psi }^{w}}$ из (50), можно получить что справедливо для ψ в вакуумном промежутке плазма–стенка. Здесь ${{\psi }^{e}}({\mathbf{r}},t)$ – полоидальный магнитный поток, созданный всеми токами за стенкой, включая трансформатор. В каждом токамаке это функция, предписанная разработанными сценариями. С другой стороны, когда некоторая равновесная конфигурация выбрана как эксплуатационная цель, ${{\psi }^{e}}$ должно быть найдено из (52) с $\dot {\psi } = {{\dot {\psi }}^{e}}$. Отметим, что это даст нам взамен величину ${{\psi }^{e}} - {{\psi }_{b}}$ с еще неизвестным полоидальным потоком ${{\psi }_{b}}$, охваченным плазмой. Зависящая от времени константа ${{\psi }_{b}}$ выпадает из уравнений равновесия, потому что ${{{\mathbf{B}}}_{p}} \propto \nabla \psi \times \nabla \zeta $, но мы должны удерживать ее в задачах эволюции плазмы как величину, ответственную за напряжение обхода на краю плазмы:

Она также содержится в интегралах с $\dot {\psi }$ в (52) и (53). Присутствие $\dot {\psi }$ со вкладами от плазмы, стенки и всех токов снаружи требует более тщательного вычисления ψ, чем в традиционной теории равновесия.

До сих пор единственными предположениями были осевая симметрия и граничное условие (38), следствие уравнения равновесия (11). Поэтому (52), (53) и предыдущие уравнения (42), (43) и (50) для ${{\psi }^{{pl}}}$, ${{\psi }^{{ext}}}$ и ${{\psi }^{w}}$ могут использоваться с любой двумерной моделью токамака или равновесными кодами. Возможное применение этих уравнений продемонстрировано ниже аналитически для токамака с большим аспектным отношением.

5. СВЕДЕНИЕ К СТАНДАРТНЫМ МОДЕЛЯМ ТОКАМАКА В АНАЛИТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Интегралы в (42), (43), (49) и (50) выглядят похоже, и этот факт облегчает их вычисления. Они аналитически выполнены ниже для круглой плазмы и стенки в приближении большого аспектного отношения, которое является составной частью традиционных моделей равновесия.

Пошаговая строгая редукция к уровням, позволяющим обозримые аналитические выкладки, описана в [32, 63], см. также элементы техники в [24, 48, 64] с расширениями и применениями к стеллараторам. Сначала мы используем приблизительное выражение [63]

которое применимо для плазмы любой формы. Здесь а все тороидальные поправки первого порядка к основному значению объединены в слагаемом с где R может быть ${{R}_{{pl}}}$ или ${{R}_{w}}$.

С этого момента мы рассматриваем круглую плазму с малым и большими радиусами b и ${{R}_{{pl}}}$ и “граничным условием” на поверхности плазмы ($\ell = b$), предписанным как

что эквивалентно уравнениям (6.7) в [2] и (26) в [4], см. также (21) в [1]. Здесь ${{B}_{J}}$ – то же самое, что введено в (1) и (2), $(\ell ,\alpha )$ – полярные координаты, связанные с центром плазмы, как показано на рис. 2:

Тогда с (55) и (59) получаем из (42) вне плазмы ($\ell > b$, ${{\eta }_{{pl}}} = 0$):

с где а величина $B_{ \bot }^{{eq}}$ определена равенством (1). Математические детали для перекрестной проверки промежуточных шагов можно найти в [24, 48, 63–65].

В этой модели уравнение (43) для области внутри плазмы ($\ell < b$) дает

с ${{a}_{0}}$, определенным (63). Можно убедиться, что соотношения (61) и (66), вытекающие из (42) и (43), действительно гарантируют, что потому что, по определению, $\Delta (b) = 0$, а $B_{ \bot }^{{eq}} = $ $ = {{B}_{J}}{{a}_{1}}(b)$.

Поле $B_{ \bot }^{{eq}}$ появилось в (66) как комбинация, заданная (1). Это хорошо известное [1, 2, 4, 5, 22–26] выражение воспроизводится здесь как побочный продукт ограничения (51). Согласно (17), (31) и (43) функция ${{\psi }^{{ext}}}$ определяет магнитное поле, создаваемое всеми токами, внешними по отношению к плазме (включая те, которые индуцированы в стенке):

Подстановка (66), где $\ell \cos \alpha = {{R}_{{pl}}} - r$, см. рис. 2, дает ${\mathbf{B}}_{p}^{{ext}} = ({{R}_{{pl}}}{\text{/}}r)B_{ \bot }^{{eq}}{{{\mathbf{e}}}_{z}}$. В то время как (1) связывает $B_{ \bot }^{{eq}}$ с параметрами плазмы, равенство (68) также демонстрирует, что

С $B_{ \bot }^{{eq}}$, найденным из (1), и известным $B_{ \bot }^{e}$, созданным управляемыми внешними токами, это соотношение описывает реакцию стенки в терминах $B_{ \bot }^{w}$.

Представленные выкладки гарантируют нам, что формула (66) справедлива внутри ${{S}_{{pl}}}$. Мы можем расширить ее на область, свободную от токов, вплоть до стенки, потому что ${{\psi }^{{ext}}}({\mathbf{r}},t)$ должна быть непрерывной функцией, удовлетворяющей тому же уравнению

внутри вакуумной камеры. Во всем пространстве величина ${{\psi }^{{ext}}}$ подчиняется уравнению (35) с $j_{\zeta }^{{ext}} = j_{\zeta }^{e} + j_{\zeta }^{w}$ в правой части и должна быть регулярной на бесконечности. Разность $x = {{\psi }_{1}} - {{\psi }_{2}}$ двух решений, если предполагается, что они существуют при том же самом $j_{\zeta }^{{ext}}$, всюду починяется однородному уравнению (70). Тогда и интегрирование по всему пространству дает нам что доказывает равенство ${{\psi }_{1}} = {{\psi }_{2}}$.

Чтобы быть последовательными, мы должны добавить, что расширение (66) на более широкую область также требует, чтобы приближение большого аспектного отношения было приемлемым во всем объеме, ограниченном стенкой, и требует отсутствия сильно локализованных токов вблизи. В противном случае использование (55) и (59) не будет оправданным, и следует сохранять более высокие гармоники.

При этих предположениях получаем, объединяя (61) и (66):

Запись в координатах $(\ell ,\alpha )$, связанных с центром плазмы, удобна для демонстрации исчезновения косинусного члена на границе плазмы ($\ell = b$).

Интеграл (50), входящий в (52) и (53), содержит ${{\psi }_{{gap}}}$ на стенке. В общем случае ${{S}_{{pl}}}$ и ${{S}_{w}}$ не являются коаксиальными из-за смещения плазменного шнура

относительно стенки. Вводя координаты $(\rho ,u)$ с $\rho = 0$ в центре поперечного сечения стенки, как показано на рис. 2, имеем и приблизительно последнее применимо в зазоре плазма–стенка при или при небольшом смещении плазмы, что естественно удовлетворяется до срыва для полноразмерной плазмы, надлежащим образом расположенной в вакуумной камере. Тогда (73) можно преобразовать в с и где функция $\Delta (\rho )$ дана (65) с $\ell \to \rho $.

Похожие на приведенные здесь выражения для ψ вне плазмы можно найти, например, в [1, 4, 5, 22–26, 39, 48, 65]. Вместо того чтобы выбрать одно из них и приспособить его к нашей задаче, мы предоставили полную цепь выкладок с кульминацией на компактных формулах (78)–(80). Главной побудительной причиной к этому была необходимость в получении правильного и легко проверяемого результата, содержащего все релевантные величины (включая ${{\psi }_{b}}(t)$ и ${{\Delta }_{b}}$) со строгими определениями. Это вынужденный подход, потому что доступные формулы для ψ отличаются, и какой-то конкретный выбор неизбежно противоречит другим.

Иногда [5, 22, 24, 48, 65] функция $\psi $ задается как

в то время как в [23, 25, 39] для той же модели, иллюстрированной рис. 2. Здесь J – полный ток плазмы, ${{a}_{0}}(\ell )$ определено (63), а где $\Delta (\ell )$ задано равенством (65).

Отчасти несоответствия в выражениях для ψ связаны с выбором полоидального угла ω (как наш α на рис. 2 или $\pi - \alpha $), но простая замена $\omega \to \pi - \omega $ не может примирить эти две версии с

появившимся в известных работах [1, 4] и воспроизведенным в [26]. Коэффициенты пропорциональности положительны в этих трех случаях. Поэтому последнее выражение для ψ сводится к виду (81) двумя одновременными заменами $\omega \to \pi - \omega $ и $J \to - J$. Именно эта операция предлагается после уравнения (4.2) в [5] для перехода к формулам в [4], хотя логика этого совета осталась там необъясненной.

Отмеченные трудности и неопределенности возникают из-за отсутствия строгих определений полоидального угла и положительного направления тороидального тока. Они усугубляются использованием привычной терминологии, которая игнорирует различия между ω и $\pi - \omega $, J и –J. Кроме того, ситуация усложняется использованием нескольких наборов координат в выкладках, до четырех или даже до пяти, как в [5, 23, 26]. За громоздкими преобразованиями, затрагивающими главным образом косинусный член в ψ, трудно проследить, даже если все было бы математически совершенным и не было опечаток, а обозначения были четкими (в отличие, например, от a с пятью различными значениями в разд. 4.1 в [5]).

Чтобы избежать перекрестных сопоставлений, идентификации истинного значения символов и приводящих в замешательство подстановок типа предложенных в [5], здесь мы опираемся на подробные прямые выкладки из первых принципов с предположениями и упрощениями, вводимыми шаг за шагом, только когда это необходимо.

Здесь главная цель – замена (7), чтобы гарантировать надежное описание эволюционирующей плазмы, в особенности при $dJ{\text{/}}dt \ne 0$. Тогда мы должны сохранить ${{\psi }_{b}}(t)$ в (79), но знакомые выражения для ψ не содержат этой величины, см. уравнения (64) и (65) в [1], (32) в [4], (62a) в [39], (3.8.7) и его следствия в [25] и подобные в [22–24, 48, 65]. В (4.35) в [5] и в (16.137) в [26] она описана как константа, потому что $\nabla {{\psi }_{b}} = 0$, и ${{\psi }_{b}}$ не дает вклада в (17).

Наконец, нам нужна величина ${{\Delta }_{b}}$ в (80), которая также часто отсутствует в некоторых используемых формулах для ψ [4, 23, 25]. Это становится проблемой, если различие между двумя системами координат, показанных на рис. 2, не подчеркнуто или потеряно в других технических деталях.

В исходном состоянии положение плазмы и, следовательно, смещение ${{\Delta }_{b}}$ должны быть известны. Выяснение того, что происходит позже, лежит в фокусе нашего исследования. Как заключительный шаг к уравнению эволюции мы должны связать (50) и (78).

6. РЕШЕНИЯ ДЛЯ ψ^w

Подобие интегралов в (43) и (50) подразумевает, что ${{\psi }^{w}}$ внутри ${{S}_{w}}$ должно описываться той же формулой, что и (66) при ${{\psi }_{b}} = 0$ (потому что ${{\psi }_{b}}$ появляется в (43) из другого интеграла), но в переменных, возникающих из замен $d{{\ell }_{{pl}}} \to d{{\ell }_{w}}$, $(\ell ,\alpha ) \to (\rho ,u)$ и

где

Тогда тот же цикл вычислений, как прежде с (43), но теперь начинающийся от (50), приводит к

с и где ${{a}_{0}}$ определено (63), в то время как выражено через “полную” ${{\psi }_{0}}$ и ${{\psi }_{1}}$, определенные (79) и (80).

Последнее показывает, что

где функция Δ дана (65), а постоянная Λ формулой (4). Здесь содержится та же самая комбинация ${{\Delta }_{{iw}}} - {{\Delta }_{b}}$, что и в (7). Поэтому ${{\dot {\psi }}_{1}}$ в (90) воспроизводит левую часть в (7). Однако присутствие слагаемых с ${{\dot {\psi }}_{0}}$ справа и в левой части делает (90) существенно отличным от (7). Прежде, чем обсуждать причины и следствия, преобразуем (90) к форме, удобно показывающей роль токов в стенке.

Чтобы оставаться в рамках приближения с равенством (78) и учесть тороидальные эффекты, мы задаем плотность тока в стенке в виде

где ${{J}_{w}}$ – полный тороидальный ток в стенке, а

– площадь тонкой стенки (${{d}_{w}} \ll {{b}_{w}}$) в поперечном сечении $\zeta = \operatorname{const} $. Тогда из (49), где интеграл похож на входящий в (43), если мы там делаем замену

для внутренней области ($\rho < {{b}_{w}}$) снова получим (87), но теперь с и для величины создаваемого током в стенке вертикального магнитного поля, присутствующего в (89).

Приравнивание (88) и (97) дает

Также из (90) с (98) и (99) следует, что

Эти два соотношения завершают цепь вычислений с (49) и (50). Для перепроверки их можно получить и непосредственно из (22).

7. УРАВНЕНИЯ ЭВОЛЮЦИИ В ТЕРМИНАХ ТОКОВ В СТЕНКЕ

Правые части (99) и (100) содержат компоненты Фурье полной функции ψ, которая совместно создана током в плазме, “активными” внешними проводниками и “пассивной” стенкой, см. (21) и (31). Соответственно

Здесь мы использовали (87) и (97) для вклада от стенки и выражение

для плазменной части. Последнее эквивалентно (61), но выражено в координатах $(\rho ,u)$, связанных с $(\ell ,\alpha )$ равенствами (75) и (76). Также мы ввели что может быть названо внешней индуктивностью вакуумной камеры. Отметим, что с соотношением (101) мы можем переписать (79) как и получить для потока на границе плазмы где ${{L}_{{pl}}}$ дается (103), но с заменой ${{b}_{w}}$ на b.

Используя (101), можно преобразовать (99) в

Здесь постоянная времени

эквивалентна ${{\tau }_{0}}$ в [66].

В [66] уравнение (106) было получено для “пустой” тороидальной камеры (без плазмы, $J = 0$). В настоящем виде, пригодном и для токамака с плазмой, подчиняющейся (11), это равенство было строго выведено в [63].

Электромагнитная природа уравнения (106) очевидна. Оно хорошо тем, что соотносит ${{J}_{w}}$ с током плазмы. Точно так же уравнение (100) с ${{\psi }^{{pl}}}$, найденное из (24), дало бы нам $J_{w}^{c}$ в терминах косинусной компоненты $j_{\zeta }^{{pl}}$, если бы плазма была заменена набором жестких колец, как это делалось в некоторых работах [67–75] по изучению последствий CQ. Здесь, напротив, мы принимаем во внимание легкую адаптируемость ${{{\mathbf{j}}}^{{pl}}}$ к ограничению равновесия (11). Будучи включенной в условие (51) на свободной границе, она приводит к взаимозависимости ${{\psi }^{{pl}}}$ и ${{\psi }^{{ext}}}$, описываемой противодействующими (когда они встречаются в $\psi = {{\psi }^{{pl}}} + {{\psi }^{{ext}}}$) вкладами $ \propto B_{ \bot }^{{eq}}$ в (61) и (66). Объединяя их следствия (69) и (80) с (98) и (100), мы получаем, соответственно,

и где ${{\Delta }_{{iw}}}$ дано (92). Чтобы избежать путаницы, мы заменяем слегка изменяющуюся ${{R}_{{pl}}}$ константой ${{R}_{w}}$ в окончательных соотношениях в приближении большого аспектного отношения. Это соответствует игнорированию малых поправок порядка ${{\Delta }_{b}}{\text{/}}{{R}_{w}}$. Отметим, что, кроме экзотических режимов [76, 77], обычно в токамаках и стеллараторах справедливо $\left| {{{\Delta }_{b}}} \right| \ll b$. Тогда, при уже принятом $b \ll {{R}_{w}}$, отношение ${{\Delta }_{b}}{\text{/}}{{R}_{w}}$ должно быть меньше, чем главный параметр разложения ${{\varepsilon }_{w}}$.

Уравнение (108) дает величину $J_{w}^{c}$ в терминах поля $B_{ \bot }^{{eq}}$, определенного (1) или (69), поля $B_{ \bot }^{e}$, произведенного внешними источниками (за стенкой) и полным током в стенке ${{J}_{w}}$. Знание ${{J}_{w}}$ и $J_{w}^{c}$ может быть необходимым в вычислениях электромагнитных нагрузок на стенку во время срывов. Оно может быть также полезно в задачах магнитной диагностики.

Уравнение (108) было недавно получено в [63] и сравнено с подобным результатом в [66] для вакуумной камеры бетатрона ($J = p = 0$ и, соответственно, $B_{ \bot }^{{eq}} = 0$). Теперь мы делаем шаг к изучению плазменных эффектов. Он облегчается использованием дополнительного уравнения (109) для того же самого $J_{w}^{c}$, но дающего связь с положением плазмы со свободной границей, которое описывается смещением ${{\Delta }_{b}}$.

Подстановка (108) в (109) превращает это соотношение в

что содержит только один неплазменный параметр ${{J}_{w}}$, легко оцениваемый из (106). Соотношение (110) эквивалентно (90), но мы преобразовали его в уравнение для ${{\Delta }_{b}}$ с левой частью, вид которой подсказан (7).

8. СРАВНЕНИЕ С ТЕОРИЕЙ ШАФРАНОВА

При $B_{ \bot }^{e} = 0$ уравнение (110) описывает смещение плазменного шнура наружу, когда ему противодействует только ток, индуцированный в резистивной стенке движением плазмы. То есть по существу описывает переходный короткий импульс с неизбежной потерей разряда в первых токамаках [3], прежде чем они были оборудованы системами управления равновесия [78]. Мы упоминаем эту давно забытую историю, потому что задача (с дополнительным ограничением ${{J}_{w}} = 0$, разрешающим только дипольный ток в стенке) была тщательно проанализирована В.Д. Шафрановым в [1] и позже в [2, 4, 5], что делает этот случай подходящим для сравнения.

При тех сильно ограничивающих предположениями ($B_{ \bot }^{e} = {{J}_{w}} = 0$), устраняющих два слагаемых в уравнении (110), последнее сводится к

в согласии с уравнениями (7) во Введении, (66) в [1], (170) в [4] и, при ${{\Delta }_{{iw}}} = {\text{0}}$, с (4.72) в [5]. Будучи постоянным по определению при ${{J}_{w}} = 0$, явно присутствующий ток плазмы J должен быть здесь сокращен, как это было сделано в [5]; мы сохранили его, только чтобы следовать образцу в [1, 4].

Насколько нам известно, это – первое независимое подтверждение результата Шафранова (7) с ${{t}_{{con}}}$, определенным (8). Здесь оно получено методом, отличающимся от использованных в [1] и [4, 5]. Приближение большого аспектного отношения и круглые формы ${{S}_{{pl}}}$ и ${{S}_{w}}$, введенные в разд. 5, те же самые, что и в [1], но никаких ограничений на $J(t)$ и $B_{ \bot }^{e}$ не было наложено на пути к (110). Это привело нас к установлению того факта, что уравнение для эволюции ${{\Delta }_{b}}$ должно содержать два дополнительных члена по сравнению с (7) и (111), а именно, с ${{J}_{w}}$ и $B_{ \bot }^{e}$ в (110).

Отсутствие $B_{ \bot }^{e}$ в (7) подразумевается формулировкой задачи в [1], но условие ${{J}_{w}} = 0$ не было там оговорено. Теперь отсутствие ${{J}_{w}}$ в том подходе становится очевидным, когда уравнение (64) в [1] сравнивается с нашим уравнением (101). Из (106) следует, что при ${{J}_{w}} = 0$ поведение тока плазмы полностью определяется величиной $\psi _{0}^{e}(t)$. Типичные медленные изменения $\psi _{0}^{e}(t)$ тогда требуют $dJ{\text{/}}dt = 0$. Последнее условие не было упомянуто в [1]. К тому же присутствие J в (7) с одним J под $d{\text{/}}dt$ сбивает с толку, как бы указывая на противоположное. Однако, как мы только что установили, уравнение (7) может быть справедливым только при $dJ{\text{/}}dt = 0$ (и при неприемлемом для обычных токамаков условии $B_{ \bot }^{e} = 0$). Мы можем также дополнить картину уравнениями (108) и (109), где следует положить ${{J}_{w}} = 0$, $B_{ \bot }^{e} = 0$, и $dJ{\text{/}}dt = 0$, чтобы согласовать их с (7).

Таким образом, уравнение (7) не позволяет анализ процессов с $dJ{\text{/}}dt \ne 0$, как в случаях с CQ, например. Вместо него мы предлагаем более общее уравнение (110), которое идеально подходит для этой цели. Его обоснованность может быть проверена, если проследить представленные выкладки.

Различие между результатами в [1] и здесь может быть легко оценено в пределе идеальной стенки, который является другой удобной точкой для сопоставления. При ${{\tau }_{w}} \to \infty $ и обязательном для обоих уравнений (7) и (111) условии $J = {\text{const}}$ они дают

с ${{\Delta }_{{iw}}}$, введенным равенством (92). Хотя (112) относится к не представляющим практического интереса (после прогресса в исследованиях на токамаках, которому способствовала формула Шафранова (1) для $B_{ \bot }^{{eq}}$) короткоживущим равновесным состояниям, это остается хорошо установленным теоретическим результатом [1, 2, 4, 5, 65], содержащимся в (7) и явно данным уравнением (48) в [1].

Наши уравнения (106), (108) и (110) допускают $dJ{\text{/}}dt \ne 0$, что также производит ${{J}_{w}} \ne 0$. Из них немедленно следует, что при том же ${{\tau }_{w}} \to \infty $ получается

с намного более широким покрытием событий, чем дает (112). Простая оценка из (113) показывает, что, при $J = {{J}_{0}}{\text{/}}2$ величина ${{\Delta }_{b}} - {{\Delta }_{{iw}}}$ должна быть в два раза больше, чем получается из (112).

С помощью (113) мы подтвердили, что (112) должно быть правильным при $dJ/dt = 0$ и ${{\tau }_{w}} \to \infty $, и продемонстрировали, что включение $dJ{\text{/}}dt \ne 0$ в (113) сильно влияет на результат. Добавим для сравнения, что уравнение (4.72) в [5] сводится в пределе идеальной стенки к ограничению

которое не может быть согласовано с (112) или с (113) для переходных процессов типа TQ с быстрым изменением ${{\Delta }_{{iw}}}$.

Казалось бы, оба уравнения (112) и (114) должны представлять одну и ту же ситуацию, но даже в диапазоне их применимости, при $J = {\text{const}}$, их предсказания не совпадают: $\delta {{\Delta }_{b}} = \delta {{\Delta }_{{iw}}} \ne 0$ в (112), но $\delta {{\Delta }_{b}} = 0$ в (114). Это демонстрирует, что происходит, когда сделан неверный выбор из доступных представлений для ψ.

9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Стандартная теория равновесия [1, 2, 4, 5, 22–26] на основе уравнения Грэда–Шафранова позволяет находить ${{\Delta }_{b}}$ при предписанных распределениях давления и тока плазмы и заданного $B_{ \bot }^{e} + B_{ \bot }^{w}$, которое должно быть равным $B_{ \bot }^{{eq}}$, определяющему положение плазмы по большому радиусу в токамаках. Начиная с публикации [1], решения были известны и подтверждены для двух случаев: с $B_{ \bot }^{{eq}} = B_{ \bot }^{e}$ (равновесие без стенки или статическое равновесие) и с $B_{ \bot }^{{eq}} = B_{ \bot }^{w}$, но с ${{J}_{w}} = 0$ или $dJ{\text{/}}dt = 0$. Уравнение (110) расширяет теорию, покрывая переходные процессы с эволюционирующими J и $B_{ \bot }^{{eq}}$ наряду с соответствующей реакцией резистивной стенки.

В.Д. Шафранов был первым рассмотревшим эффекты резистивной стенки на глобальную динамику плазмы в токамаках. В пионерских работах [1, 2] вопрос состоял в том, могла ли растягивающая сила, действующая на тороидальный плазменный шнур, быть подавлена из-за дипольного тока, индуцированного в стенке, и ответ был дан равенствами (7)–(9). Это был крайний случай с $B_{ \bot }^{{eq}} = B_{ \bot }^{w}$, потому что первоначально, когда соотношение (1) и стоящая за ним физика еще не были известны, первые токамаки оперировали при $B_{ \bot }^{e} = 0$ [3]. Рассмотрение было идеалистическим также и в том, что давление и ток плазмы считались постоянными по времени.

Теперь сценарии с $B_{ \bot }^{e} \ne B_{ \bot }^{{eq}}$ снова привлекают внимание, как представляющие нежелательные срывы с быстрыми изменениями параметров плазмы и, следовательно, величины $B_{ \bot }^{{eq}}$, в то время как созданное внешними токами поле $B_{ \bot }^{e}$ остается практически фиксированным. Прямые измерения показывают, что продолжительность CQ в токамаках ${{\tau }_{{cq}}}$ сопоставима с резистивными временами стенки ${{\tau }_{w}}$ [6, 7]. Это косвенно подтверждается экспериментальным наблюдением больших боковых [71, 79–83] или вертикальных [71, 79, 80, 83–85] сил на стенку в сочетании с теоретическим предсказанием, что такие силы должны исчезать в пределе идеальной стенки [13, 15], в то время как их максимумы должны ожидаться [16, 59, 86, 87] при эволюции с инкрементами γ вблизи $\gamma {{\tau }_{w}} = {\rm O}(1)$. Поэтому включение эффектов резистивной стенки в моделирование срывов становится необходимостью. Эта идея получает теперь растущую поддержку со стороны аналитических [87] и численных [15, 16, 59, 86] исследований.

Выведенные здесь уравнения позволят расширить развитую теорию равновесия плазмы на анализ естественных и/или намеренно вызванных срывов с электромагнитным взаимодействием плазма–стенка, зависящим от резистивной диссипации индуцированного тока. Этот шаг нужен, в частности, для улучшения качества предсказаний срывов для режимов, представляющих интерес для токамака ИТЭР [21].

Эта работа возникла в связи с недавними успешными применениями теории равновесия плазмы в задачах срывов. Автор глубоко признателен В.Д. Шафранову, который делился своими знаниями этой теории и оказывал всестороннюю поддержку в течение нескольких десятилетий, начиная с моих студенческих лет. Его руководство было твердым, но всегда добрым, анализ глубоким, советы полными и практичными. Идеи, методы и результаты В.Д. Шафранова по-прежнему остаются полезными и продуктивными даже далеко вне первоначально намеченной области применимости.

Автор также благодарен экспертам группы I-TPA по МГД-устойчивости плазмы за многочисленные полезные обсуждения, своим российским коллегам Ю.В. Грибову, Н.В. Иванову и С.В. Коновалову за постоянную поддержку.