Физика плазмы, 2019, T. 45, № 3, стр. 240-249

Электрическое поле и полоидальное вращение в турбулентной пристеночной плазме токамака Т-10

Р. В. Шурыгин a*, А. В. Мельников a

a Национальный исследовательский центр “Курчатовский институт”
Москва, Россия

* E-mail: regulxx@rambler.ru

Поступила в редакцию 04.06.2018
После доработки 20.09.2018
Принята к публикации 20.09.2018

Полный текст (PDF)

Аннотация

Проведен численный расчет турбулентной динамики пристеночного слоя плазмы токамака Т-10 на основе решения нелинейных МГД-уравнений в рамках редуцированной двухжидкостной гидродинамики Брагинского. Показано, что генерация полоидальной скорости определяется действием двух основных сил: турбулентной силы Рейнольдса FR и геодезической силы Стрингера–Винзора FSW, связанной с ГА-модой полного давления плазмы $\left\langle {p\sin \theta } \right\rangle $. Из расчетов следует, что силы FR и FSW направлены в разные стороны, компенсируя друг друга. Показано, что с ростом температуры электронов результирующий баланс этих сил изменяется таким образом, что амплитуда полоидальной скорости ионов течения и соответственно электростатического потенциала ${{\phi }_{0}}(r,t)$ уменьшаются. В случае роста плотности плазмы увеличиваются “движущие силы” турбулентности – градиенты dn0/dr, dp0/dr, одновременно уменьшается диссипация за счет продольного тока, что приводит к росту амплитуды турбулентных флуктуаций и силы Рейнольдса FR. В то же время величина силы FSW увеличивается за счет роста давления $\left\langle {p\sin \theta } \right\rangle $, но уменьшается за счет фактора 1/n0. Суммарная результирующая сила, генерирующая полоидальную скорость, возрастает, что приводит к росту потенциала. Данные численного моделирования как в случае ЭЦР-нагрева, так и в рассматриваемых случаях изменения плотности плазмы качественно согласуются с результатами эксперимента по измерению электростатического потенциала на Т-10.

1. ВВЕДЕНИЕ

Одним из наиболее важных параметров, характеризующих турбулентную динамику пристеночной плазмы токамака, считается электрическое поле. Значительное число теоретических и экспериментальных работ посвящено механизму подавления турбулентности за счет радиального градиента электрического поля. Эксперименты по определению величины и пространственного распределения электрического поля проведены на ряде установок [15]. Показано, что электрические поля существенно зависят от многих параметров плазмы, таких как температуры электронов и ионов, плотность основной плазмы, мощность дополнительного нагрева, величина магнитного поля, концентрации ионов примеси и нейтралов. Активно изучается возможность воздействия на удержание пристеночной плазмы электрически заряженными электродами.

В экспериментальной практике широко используются методы дополнительного нагрева, связанные с введением ВЧ-мощности в плазму токамака. В данной работе проводится численный расчет поведения турбулентных полей плазмы в плоском пристеночном слое ${{r}_{0}}$ < r < a токамака Т-10 в режиме дополнительного нагрева с помощью метода электронного циклотронного резонанса (ЭЦР). Режим увеличения мощности ЭЦР-нагрева моделировался увеличением электронной температуры Тbe на внутренней границе слоя, примыкающей к основной плазме. Измерения на токамаке Т-10 показывают падение электростатического потенциала в направлении от стенки к центру ($\partial {{\phi }_{0}}{\text{/}}\partial r > 0$) [4, 5]. При переходе от омического режима (OH) к режиму ЭЦР-нагрева это падение уменьшается, то есть модуль радиального электрического поля также уменьшается |Er|ECR < |Er|OH, при этом поле остается отрицательным. Однако, если продолжать увеличение электронной температуры путем увеличения мощности ЭЦР-нагрева, ситуация меняется – электростатический потенциал в направлении от стенки к центру начинает расти ($\partial {{\phi }_{0}}{\text{/}}\partial r < 0$), и величина электрического поля вблизи стенки становится положительной $E_{r}^{{ECR}} > 0$. Иная картина наблюдается при увеличении плотности плазмы.

В настоящей работе для сравнения теории с экспериментом проводится численное моделирование поведения радиального профиля электростатического потенциала, а также полоидального вращения плазмы, в турбулентных режимах с ростом температуры электронов и плотности в пристеночной плазмы токамака Т-10. Показано, что причиной возникновения радиального электрического поля является полоидальная скорость плазмы, а не наоборот. Причина генерации полоидальной скорости заключена в действии на плазму внутренних сил: турбулентных напряжений Рейнольдса и силы Стригера–Винзора.

2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для описания низкочастотной электростатической дрейфово-резистивной турбулентности используем 5-ти полевую $\left\{ {\phi ,n,{{p}_{e}},{{p}_{i}},{{V}_{{||i}}}} \right\}$ систему редуцированных двухжидкостных нелинейных МГД-уравнений Брагинского для сильностолкновительной плазмы в тороидальном пристеночном слое токамака [69]. Эту систему удобно привести к безразмерному виду, используя преобразование переменных

$\begin{gathered} n \to \frac{n}{{{{n}_{*}}}},\quad p \to \frac{p}{{{{p}_{*}}}},\quad \phi \to \frac{\phi }{{{{\phi }_{*}}}},\quad t \to \frac{t}{{{{t}_{*}}}}, \hfill \\ r \to \frac{r}{{{{L}_{*}}}},\quad {{\nu }_{ \bot }},{{D}_{ \bot }},{{\chi }_{{e.i \bot }}} \to \frac{{{{\nu }_{ \bot }},{{D}_{ \bot }},{{\chi }_{{e,i \bot }}}}}{{{{D}_{*}}}}, \hfill \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{n}_{*}} = {{n}_{{13}}}\frac{{{{L}_{*}}}}{d},\quad {{p}_{*}} = {{n}_{{13}}}{{T}_{*}}{{\left( {\frac{{{{L}_{*}}}}{d}} \right)}^{2}},\quad {{\phi }_{*}} = \frac{{{{B}_{0}}}}{c}\frac{{L_{*}^{2}}}{{{{t}_{*}}}}, \\ {{D}_{*}} = \frac{{L_{*}^{2}}}{{{{t}_{*}}}},\quad {{V}_{*}} = \frac{{{{L}_{*}}}}{{{{t}_{*}}}}, \\ \end{gathered} $
где ${{t}_{ * }} = \gamma _{B}^{{ - 1}} = C_{S}^{{ - 1}}\sqrt {\frac{{{{R}_{0}}d}}{2}} $ – обратный инкремент идеальной баллонной моды,

$\begin{gathered} {{L}_{*}} = 2\pi q\sqrt {\frac{{0.51{{\rho }_{S}}{{R}_{0}}{{\nu }_{{ei0}}}}}{{{{\omega }_{{ce}}}}}} {{\left( {\frac{{2{{R}_{0}}}}{d}} \right)}^{{1/4}}},\quad {{L}_{{||}}} = 2\pi q{{R}_{0}}, \\ {{C}_{S}} = \sqrt {\frac{{{{T}_{*}}}}{{{{m}_{i}}}},} \quad {{\rho }_{S}}\frac{{{{C}_{S}}}}{{{{\omega }_{{ci}}}}},\quad {{\omega }_{{ce,i}}} = \frac{{e{{B}_{0}}}}{{{{m}_{{e,i}}}c}},\;\;{{n}_{{13}}} = {{10}^{{13}}}\;{\text{с }}{{{\text{м }}}^{{ - 3}}}. \\ \end{gathered} $

Для коэффициентов поперечного переноса по соображениям численной устойчивости были выбраны величины ${\text{[}}{{\nu }_{ \bot }},{{\mu }_{{ \bot ,}}}\,{{D}_{ \bot }},{{\chi }_{{e,i}}}_{ \bot }] \cong 0.005 - 0.01{{D}_{{Bohm}}}$. Далее для удобства рассмотрения выделим среднюю по полоидальному углу величину в каждой из рассматриваемых полевых переменных

$f(r,\theta ,t) = {{f}_{0}}(r,t) + \tilde {f}(r,\theta ,t),\quad {{f}_{0}} = \left\langle f \right\rangle = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {fd\theta } .$

После процедуры нормализации МГД-уравнения преобразуются к виду

(1a)
$\frac{{Dw}}{{Dt}} = \frac{1}{\nu }\nabla _{{||}}^{2}H - {{\frac{1}{n}}_{0}}C[({{p}_{e}} + {{p}_{i}}] - {{G}_{{||}}} + {{\nu }_{ \bot }}{{\Delta }_{ \bot }}w + {{\Lambda }_{W}};$
(1b)
$\frac{{Dn}}{{Dt}} = \sigma n\nabla _{{||}}^{2}H + {{\Psi }_{n}} - \gamma {{\nabla }_{{||}}}(n \cdot {{V}_{{||i}}}) + {{D}_{ \bot }}{{\Delta }_{ \bot }}n + {{\Lambda }_{n}};$
(1c)
$\begin{gathered} \frac{{D{{p}_{e}}}}{{Dt}} = \sigma {{\nabla }_{{||}}}H{{\nabla }_{{||}}}{{p}_{e}} + \sigma {{p}_{e}}\nabla _{{||}}^{2}H + {{G}_{{pe}}} + {{{\hat {\chi }}}_{{||e}}}\nabla _{{||}}^{2}{{p}_{e}} + \\ + \;{{\chi }_{{ \bot e}}}{{\Delta }_{ \bot }}{{p}_{e}} + {{\Psi }_{{pe}}} - {{W}_{{ie}}} + {{\Lambda }_{{pe}}}, \\ {{G}_{{pe}}} = {{V}_{{||i}}}{{\nabla }_{{||}}}{{p}_{e}} + \frac{5}{3}{{p}_{e}}{{\nabla }_{{||}}}{{V}_{{||i}}}; \\ \end{gathered} $
(1d)
$\begin{gathered} \frac{{D{{p}_{i}}}}{{Dt}} = \sigma {{\nabla }_{{||}}}H{{\nabla }_{{||}}}{{p}_{i}} + \sigma {{p}_{i}}\nabla _{{||}}^{2}H + {{G}_{{pi}}} + {{{\hat {\chi }}}_{{||i}}}\nabla _{{||}}^{2}{{p}_{e}} + \\ + \;{{\chi }_{{ \bot i}}}{{\Delta }_{ \bot }}{{p}_{e}} + {{\Psi }_{{pi}}} + {{W}_{{ie}}} + {{\Lambda }_{{pi}}}, \\ {{G}_{{pi}}} = {{V}_{{||i}}}{{\nabla }_{{||}}}{{p}_{i}} + \frac{5}{3}{{p}_{i}}{{\nabla }_{{||}}}{{V}_{{||i}}}; \\ \end{gathered} $
(1e)
$\begin{gathered} \frac{{D{{V}_{{||i}}}}}{{Dt}} + \gamma {{V}_{{||i}}}{{\nabla }_{{||}}}{{V}_{{||i}}} = - \frac{{{{\varepsilon }_{V}}}}{{{{n}_{0}}}}{{\nabla }_{{||}}}({{p}_{e}} + {{p}_{i}}) + \\ + \;{{\Psi }_{V}} - {{\mu }_{{||}}}{{\nabla }_{{||}}}{{\Pi }_{i}} + {{\mu }_{ \bot }}{{\Delta }_{ \bot }}{{V}_{{||i}}}, \\ {{\Pi }_{i}} = Y\sin \theta - {{S}_{{||}}}{{\nabla }_{{||}}}{{V}_{{||i}}},\quad {{\mu }_{{||}}} = \frac{{0.64}}{q}\frac{{{{C}_{S}}{{t}_{*}}}}{{{{R}^{2}}{{\nu }_{{ii0}}}}}T_{{i0}}^{{5/2}}, \\ {{S}_{{||}}} = \frac{2}{q}\frac{{{{C}_{S}}{{t}_{*}}}}{{{{L}_{*}}}},\quad Y = \frac{{d\tilde {\varphi }}}{{dr}} + \frac{\alpha }{{{{n}_{0}}}}\frac{{d{{{\tilde {p}}}_{i}}}}{{dr}}; \\ \end{gathered} $
(1f)
$w = \nabla \cdot \left[ {{{\nabla }_{ \bot }}\varphi + \frac{{\alpha {{\nabla }_{ \bot }}{{p}_{i}}}}{{{{n}_{0}}}}} \right],\quad H = {{\frac{\alpha }{n}}_{0}}{{p}_{e}} - \varphi .$

Для продольной вязкости ${{\Pi }_{i}}$ использовано упрощенное выражение, которое в размерном виде выглядит как [6]

$\begin{gathered} {{\Pi }_{{\text{i}}}} \approx {{\eta }_{0}}\{ {\mathbf{k}} \cdot ({{{\mathbf{V}}}_{E}} + {{{\mathbf{V}}}_{{Di}}} + 1.61{{{\mathbf{V}}}_{{Ti}}}) - 2{{\nabla }_{{||}}}{{V}_{{||i}}}\} , \\ {{{\mathbf{V}}}_{E}} = \frac{c}{{ZeB}}{\mathbf{b}} \times \nabla \varphi ,\quad {\mathbf{b}} = \frac{{\mathbf{B}}}{B},\quad {{{\mathbf{V}}}_{{Di}}} = \frac{c}{{ZeB}}{\mathbf{b}} \times \nabla {{p}_{i}}, \\ {{{\mathbf{V}}}_{{Ti}}} = \frac{c}{{ZeB}}{\mathbf{b}} \times \nabla {{T}_{i}},\quad {\mathbf{k}} = \frac{{\nabla B}}{B},\quad {{\eta }_{0}} = 0.96\frac{{{{p}_{i}}}}{{{{\nu }_{{ii}}}}}. \\ \end{gathered} $

Считалось, что в тороидальной системе координат $({\text{r,}}\theta {\text{,}}\varsigma )$ равновесное магнитное поле имеет вид ${\mathbf{B}} = \frac{{{{B}_{0}}{{R}_{0}}}}{R}{{{\mathbf{e}}}_{\varsigma }} + \frac{{\varepsilon {{B}_{0}}}}{{q(r)}}{{{\mathbf{e}}}_{\theta }}{\text{,}}$ $R = {{R}_{{\text{0}}}} + r\cos \theta $, где r и R – малый и большой радиусы токамака, q – коэффициент запаса устойчивости. Функции ${{\Psi }_{j}}$ в уравнениях (1.a)–(1.d) включают эффекты, связанные с кривизной магнитного поля токамака, оператор кривизны C(f) определяется как $С (f{\text{)}} = {\text{sin}}\theta \frac{{\partial f}}{{\partial r}} + $ $ + \cos \theta \frac{{\partial f}}{{r\partial \theta }} = $ $ - \frac{{{{R}_{0}}{{B}_{0}}}}{2}\left( {\nabla \times \frac{{\text{b}}}{B}} \right) \cdot \nabla f$,

$\begin{gathered} {{\Psi }_{n}} = g \cdot [nC(\varphi ) - \alpha C({{p}_{e}})], \\ {{\Psi }_{{pe}}} = \frac{5}{3}g \cdot [{{p}_{e}}C(\varphi ) - \xi C({{p}_{e}}{{T}_{e}})], \\ {{\Psi }_{{pi}}} = \frac{5}{3}g \cdot \left\{ {[{{p}_{i}}C(\varphi ) + \xi C({{p}_{i}}{{T}_{i}}) - \xi {{T}_{i}}C({{p}_{e}} + {{p}_{i}})]} \right\}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\Psi }_{V}} = \frac{{\alpha g{{p}_{i}}}}{{{{n}_{0}}}}C({{V}_{{||i}}}), \\ {{G}_{{||}}} = {{\nu }_{{||}}}C[T_{{i0}}^{{5/2}}C(S)],\quad S = \varphi + \frac{\alpha }{{{{n}_{0}}}}{{p}_{i}} + 1.61\xi {{T}_{i}}, \\ {{\nu }_{{||}}} = 0.16\frac{d}{{{{R}_{0}}}}\frac{{{{\omega }_{*}}}}{{{{\nu }_{{ii0}}}}}. \\ \end{gathered} $

Введены обозначения

$\begin{gathered} \frac{D}{{Dt}} = \frac{\partial }{{\partial t}} + \left\{ {\phi ,\,} \right\},\quad \left\{ {A,B} \right\} = \frac{{\partial A}}{{\partial r}}\frac{1}{r}\frac{{\partial B}}{{\partial \theta }} - \frac{{\partial B}}{{\partial r}}\frac{1}{r}\frac{{\partial A}}{{\partial \theta }}, \\ {{\nabla }_{{||}}} = \frac{\partial }{{\partial \theta }}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} g = \frac{{2{{L}_{*}}}}{{{{R}_{0}}}},\quad \alpha = \frac{{{{\rho }_{S}}{{C}_{S}}{{t}_{*}}}}{{d \cdot {{L}_{*}}}},\quad \xi = \alpha \frac{d}{{{{L}_{*}}}}, \\ \sigma = \frac{{g\alpha }}{\nu },\quad \gamma = \frac{{{{C}_{S}}{{t}_{*}}}}{{{{L}_{{||}}}}},\quad {{\varepsilon }_{V}} = \gamma \frac{{{{L}_{*}}}}{d}, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{\nu }_{0}} = \frac{{C_{S}^{2}{{t}_{*}}}}{{L_{{||}}^{2}}},\quad {{{\hat {\chi }}}_{{||e}}} = {{k}_{e}}\frac{{{{m}_{i}}}}{{{{m}_{e}}}}\frac{{{{\nu }_{0}}}}{{{{\nu }_{{0e}}}}}\frac{{T_{{e0}}^{{5/2}}}}{{{{n}_{0}}}}, \\ {{{\hat {\chi }}}_{{||i}}} = {{k}_{i}}\frac{{{{\nu }_{0}}}}{{{{\nu }_{{0i}}}}}\frac{{T_{{i0}}^{{5/2}}}}{{{{n}_{0}}}},\quad {{k}_{e}} = \frac{2}{3}3.16,\quad {{k}_{i}} = \frac{2}{3}3.9, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} \nu = \left( {\frac{{{{n}_{0}}{{L}_{*}}}}{{T_{{e0}}^{{3/2}}d}}} \right),\quad {{\nu }_{{e0}}} = \frac{{{{{10}}^{{ - 5}}}}}{{3.5}}\frac{{{{Z}_{{eff}}}\Lambda {{n}_{{13}}}}}{{T_{*}^{{3/2}}}}, \\ {{\nu }_{{i0}}} = \frac{{{{{10}}^{{ - 7}}}}}{{3.0}}\left( {\frac{{2{{m}_{H}}}}{{{{m}_{i}}}}} \right)\frac{{{{Z}^{3}}\Lambda {{n}_{{13}}}}}{{T_{*}^{{3/2}}}},\quad {{W}_{{ei}}} = \frac{{2{{m}_{e}}}}{{{{m}_{i}}}}\frac{{\nu {}_{{e0}}}}{{{{\omega }_{*}}}}\nu ({{p}_{e}} - {{p}_{i}}). \\ {{\Lambda }_{e}} = \ln \sqrt {\frac{{{{m}_{i}}}}{{2\pi {{m}_{e}}}}} ,\quad \eta = \gamma \frac{{{{\omega }_{{ci}}}}}{{{{\omega }_{*}}}}. \\ \end{gathered} $

Фигурирующие в ${{k}_{{e,i}}}$ числа 3.16 и 3.9 (вычисляемые в кинетической теории) происходят из размерных коэффициентов теплопроводности ${{\chi }_{{||e}}} = $ $ = 3.16\frac{{{{p}_{e}}}}{{{{m}_{e}}{{\nu }_{{ei}}}}},$ ${{\chi }_{{||i}}} = 3.9\frac{{{{p}_{i}}}}{{{{m}_{i}}{{\nu }_{{ii}}}}}$.

Расчеты проводились в прямоугольной области r0 < r < a, 0 < θ < 2π, d = a – r0 – ширина расчетного слоя. Значения нормировочных величин для плотности, электронной температуры и магнитного поля принимались равными ${{n}_{{13}}}$ = = 1013 см–3, ${{T}_{*}} = 100$ эВ, ${{B}_{0}} = 2$ Тл.

Токамак Т-10, для параметров которого проводились расчеты, имеет кольцевой полоидальный лимитер, расчетная область r0 < r < a, r0 = = 26 см, a = 32 см. При этом незамкнутые силовые линии магнитного поля, или SOL-слой, занимали область ${{r}_{{SOL}}}$ < r < a, ${{r}_{{SOL}}}$ = 30 см. Таким образом, ширина расчетной области равнялась d = a – r0 = 6 см, а ширина SOL-слоя (область “тени” лимитера) dSOL = a${{r}_{{SOL}}}$ = 2 см.

Диссипация в SOL-слое связана с продольным движением ионов и электронов вдоль незамкнутых силовых линий магнитного поля (sheath current), которые оканчиваются на кольцевой поверхности лимитера. Источниковые члены ${{\Lambda }_{j}}$ описывают этот ток в области SOL-слоя и имеют вид [10]

$\begin{gathered} {{\Lambda }_{W}} = \eta \sqrt {{{T}_{{e0}}}} (1 - {{e}^{\psi }}),\quad \psi = {{\Lambda }_{e}} - \frac{{{{\varphi }_{0}}}}{{\xi {{T}_{{e0}}}}}, \\ {{\Lambda }_{n}} = - \gamma n{{e}^{\psi }},\quad {{\Lambda }_{{pe}}} = - \frac{5}{3}\gamma {{p}_{e}}{{e}^{\psi }},\quad {{\Lambda }_{{pi}}} = - \frac{5}{3}\gamma {{p}_{{\text{i}}}}{{e}^{\psi }}. \\ \end{gathered} $

Так как вне области SOL члены ${{\Lambda }_{j}}$ отсутствуют, эти выражения умножались на ступенчатую функцию

$h(r) = 0,\quad {{r}_{0}} < r < {{r}_{{SOL}}};\quad h(r) = 1,\quad {{r}_{{SOL}}} < r < a.$

Для описания турбулентной динамики преобразуем систему (1.a)–(1.f), используя подход, развитый в работе [11], основанной на введении “медленных” и “быстрых” полевых переменных. В этом случае в тороидальной системе координат {r, θ, ς} любая полевая переменная представляется в виде суммы “медленной” аксиальносимметричной (не зависящей от угла ς) переменной fA(r,  θ, t) и “быстрой” баллонной переменной ${{f}_{B}}(r,\theta ,\varsigma ,t)$ имеющей зависимость от тороидального угла ς. Рассмотрение существенно упрощается, если изучать только одну тороидальную баллонную моду вблизи резонанса m = nq. Для плазменных полей в этом случае справедливо представление

(2)
$\begin{gathered} f(r,\theta ,\varsigma ,t) = {{f}_{A}}(r,\theta ,t) + {{f}_{B}}(r,\theta ,\varsigma ,t), \\ {{f}_{B}}(r,\theta ,\varsigma ,t) = {{f}_{{BS}}}(r,\theta ,t)\sin \lambda + {{f}_{{BC}}}(r,\theta ,t)\cos \lambda , \\ \lambda = m\theta - n\varsigma = nq\theta - n\varsigma . \\ \end{gathered} $

После замены переменных $r \to r'{\text{,}}$ $\theta \to \theta '{\text{,}}$ $\varsigma \to \lambda $ и усреднения по углу λ полная система МГД-уравнений разбивается на две взаимодействующие подсистемы уравнений для аксиальносимметричных переменных fA и баллонных fBS,BC [9]. Такой подход дает возможность существенно экономить временной ресурс при численных расчетах, перейдя от решения пространственно трехмерной {r, θ, ς} задачи к двумерной {r, θ}, при этом сохраняя физически важную трехмерную природу турбулентных флуктуаций. Более того, появляется возможность рассмотрения наиболее неустойчивых баллонных мод с $m \gg 1$. В настоящей работе используется теоретическая модель, включающая 5 полевых переменных {ϕ, n, pe, pi, V||i}. Расчеты показали, что в исследуемой низкотемпературной области токамака введенные переменные дают больше физической информации о свойствах турбулентности и позволяют адекватно рассчитать величину полоидальной скорости вращения плазмы и радиального электрического поля.

Система эволюционных уравнений для баллонных мод ${{f}_{{BS,BC}}}(r,{\theta },t)$, полученная из исходной системы (1a)–(1f) усреднением по углу λ в приближении $m \gg 1$, приведена в [12]. Численная схема, используемая для решения этих уравнений, подробно рассмотрена в [9].

3. РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Исходя из стандартной процедуры вывода редуцированных МГД-уравнений [6, 7], пренебрегая инерцией и диссипацией, получаем (из уравнения импульса для ионов) в нулевом приближении уравнение, описывающее поперечную динамику ионов

(3)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{V}}}_{ \bot }} \approx {{{\mathbf{V}}}_{E}} + {{{\mathbf{V}}}_{{Di}}},\quad {{{\mathbf{V}}}_{E}} = \frac{c}{B}{\mathbf{b}} \times \nabla \varphi , \\ {{{\mathbf{V}}}_{{Di}}} = \frac{c}{{enB}}{\mathbf{b}} \times \nabla {{p}_{i}}, \\ \end{gathered} $

Полная скорость ионов имеет вид

(4)
${\mathbf{V}} = {{{\mathbf{V}}}_{ \bot }} + {\mathbf{b}}{{V}_{{||i}}}.$

Уравнение (3) описывает приближенное равновесие ионов находящейся под действием трех основных сил: электрической, силы Лоренца и силы, возникающей из-за градиента давления, – которые в магнитном поле токамака приводят к дрейфовому движению плазмы. Можно сказать, что в случае малого градиента давления радиальное электрическое поле образуется за счет электроиндукционного механизма $E\sim VB{\text{/}}c$, а при малых скоростях плазмы электрическая сила уравновешивается градиентом ионного давления, $E\sim d{{p}_{i}}{\text{/}}dr$. В общем случае радиальное поле возникает за счет действия двух указанных механизмов.

Для расчета электрического поля в квазинейтральной плазме токамака Zne = ni используем уравнение сохранения заряда, исходя из полного уравнения движения ионов с учетом поляризационной скорости ${{V}_{{pol}}}$:

$\begin{gathered} \nabla \cdot {\mathbf{J}} = 0{\text{,}}\quad \nabla \cdot {\text{(}}{{{\mathbf{J}}}_{{pol}}} + {{j}_{{||}}}{\mathbf{b}} + {{{\mathbf{J}}}_{ \bot }}) = 0, \\ {{{\mathbf{J}}}_{{pol}}} = en{{V}_{{pol}}}. \\ \end{gathered} $

Подставляя в это уравнение выражение для токов поляризации, продольного и поперечного [6],

(5)
$\begin{gathered} {{{\mathbf{J}}}_{{pol}}} \approx \frac{{en{\mathbf{b}}}}{{{{\omega }_{{ci}}}}} \times \left[ {\frac{{\partial {{{\mathbf{V}}}_{ \bot }}}}{{\partial t}} + ({{{\mathbf{V}}}_{ \bot }}\nabla ){{{\mathbf{V}}}_{ \bot }} + \frac{{\nabla {{\Pi }_{i}}}}{{{{m}_{i}}n}}} \right], \\ {{j}_{{||}}} = \sigma \left( { - {{\nabla }_{{||}}}\varphi + \frac{{{{\nabla }_{{||}}}{{p}_{e}}}}{{en}}} \right), \\ {{{\mathbf{J}}}_{ \bot }} = \frac{c}{B}{\mathbf{b}} \times \nabla p, \\ \end{gathered} $
и вводя новую полевую переменную (вихрь) $w = $ $ = \nabla \cdot ({{{\mathbf{V}}}_{ \bot }} \times {\mathbf{b}}) = $ $\nabla \cdot \left( {{{\nabla }_{ \bot }}\varphi + \frac{\alpha }{{{{n}_{0}}}}{{\nabla }_{ \bot }}{{p}_{i}}} \right)$, получим (после нормализации) эволюционное уравнение (1.a) для вихря $w(r,\theta ,t)$. Величину электрического потенциала $\tilde {\phi }(r,\theta ,t)$ после решения вихревого уравнения (1.a) находим из уравнения (1.f)

$\nabla _{ \bot }^{2}\tilde {\varphi } = \tilde {w} - \nabla \cdot \left( {\frac{\alpha }{{{{n}_{0}}}}{{\nabla }_{ \bot }}{{{\tilde {p}}}_{i}}} \right).$

Заметим, что независимо от величины электрического поля для рассматриваемой плазмы выполняется условие амбиполярности $\left\langle {{{j}_{r}}} \right\rangle = 0$.

Выражение для величины радиального электрического поля через нулевую гармонику потенциала получим, используя полоидальную компоненту усредненного уравнения (3):

(6)
$\frac{{d{{\phi }_{0}}}}{{dr}} = {{V}_{0}} - {{V}_{{Di}}}.$

Здесь ${{V}_{0}}(r,t){\text{ }} = {{V}_{0}}{\text{/}}{{V}_{*}}$, ${{V}_{{||0i}}}(r,t){\text{ }} = {{V}_{{|||0i}}}{\text{/}}{{V}_{*}}$ и VDi = = (α/n0)dpi0/dr – безразмерные усредненные полоидальная, продольная и диамагнитная скорости ионов.

Интегрируя (6) по радиусу, получаем (безразмерное) уравнение для величины электростатического потенциала

(7)
$\begin{gathered} {{\phi }_{0}}(r,t) = \int\limits_{{{r}_{0}}}^r {[{{V}_{0}} - {{V}_{{Di}}}]dr} + K, \\ K = - \int\limits_{{{r}_{0}}}^a {[{{V}_{0}} - {{V}_{{Di}}}]dr} + {{\phi }_{0}}(r = a). \\ \end{gathered} $

Граничное условие берем в виде ${{\varphi }_{0}}(r = a) = \xi {{T}_{{e0}}}{{\Lambda }_{e}}$.

Отметим, для расчета величины ${{\phi }_{0}}$ требуется знание величин V0, ${{p}_{{0i}}}$, ${{n}_{0}}$, V||0i, для получения которых используются соответствующие эволюционные усредненные по магнитной поверхности МГД-уравнения (см. Приложение). Учитываем, что ${{w}_{0}} = d(r{{V}_{0}}){\text{/}}rdr$ (в случае узкого слоя $ \approx {\kern 1pt} d{{V}_{0}}{\text{/}}dr$). Усредняя по углу уравнение (1а) для вихря и интегрируя по радиусу, получим эволюционное уравнение, необходимое для определения полоидальной скорости ионов V0(r, t):

$\begin{gathered} \frac{{\partial {{V}_{0}}}}{{\partial t}} = + {{F}_{\operatorname{R} }} + {{F}_{{\operatorname{SW} }}} + {{F}_{{neo}}} + {{F}_{{SOL}}} + {{\nu }_{ \bot }}\frac{{{{d}^{2}}{{V}_{0}}}}{{d{{r}^{2}}}}, \\ {{F}_{R}} = - \left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{Er}}}\tilde {w}} \right\rangle ,\quad {{{\tilde {V}}}_{{Er}}} = - \frac{1}{r}\frac{{\partial{ \tilde {\varphi }}}}{{\partial \theta }}, \\ \end{gathered} $
(8)
$\begin{gathered} {{F}_{{neo}}} = - {{\nu }_{{neo}}}({{V}_{0}} - {{V}_{{neo}}}), \\ {{F}_{{SOL}}} = \int\limits_{{{r}_{0}}}^r {{{\Lambda }_{W}}} dr, \\ \end{gathered} $
$\begin{gathered} {{F}_{{\operatorname{SW} }}} = - \frac{1}{{{{n}_{0}}}}\left\langle {({{{\tilde {p}}}_{e}} + {{{\tilde {p}}}_{i}})\sin \theta } \right\rangle , \\ {{\nu }_{{neo}}} = \frac{{0.16C_{S}^{2}}}{{R_{0}^{2}{{\nu }_{{ii0}}}{{\omega }_{*}}}}T_{{i0}}^{{5/2}},\quad {{V}_{{neo}}} = - 1.61\xi \frac{{d{{T}_{{i0}}}}}{{dr}}, \\ \end{gathered} $
где FR – сила турбулентных напряжений Рейнольдса, FSW – сила Стрингера–Винзора [13], Fneo – сила неоклассического торможения за счет продольной вязкости, сила FSOL отлична от нуля только в области SOL-слоя и возникает из-за радиального тока, протекающего по кольцевой диафрагме.

Анализ показывает, что основными силами в области замкнутых магнитных поверхностей (${{r}_{0}}$ < <  r < ${{r}_{{SOL}}}$), определяющими генерацию полоидальной скорости, являются силы FR и FSW. Для пояснения физического смысла силы FSW заметим, что уравнение для эволюции полоидальной скорости соответствует условию амбиполярности $\left\langle {{{j}_{r}}} \right\rangle = 0$. С учетом выражения для основных токов (5) это условие запишется как

$\left\langle {{{j}_{r}}} \right\rangle \approx \left\langle {j_{{POL}}^{r}} \right\rangle + \left\langle {j_{ \bot }^{r}} \right\rangle + ...\,\,.$

Видно, что выражение для усредненной по углу радиальной составляющей поперечного тока $\left\langle {j_{ \bot }^{r}} \right\rangle = \left\langle { - \frac{c}{{B(r,\theta )}}\frac{{\partial p}}{{r\partial \theta }}} \right\rangle \approx - \frac{c}{{{{B}_{0}}{{R}_{0}}}}\left\langle {p\sin \theta } \right\rangle ,$ $B = {{B}_{0}}{\text{/}}(1 + $ $ + \;(r{\text{/}}{{R}_{0}})\cos \theta )$ соответствует силе Стрингера–Винзора FSW.

Отметим, что истинная полоидальная скорость плазмы, как следует из (4), с учетом тороидальной скорости $V\varsigma \approx {{V}_{{||i}}}$ вычисляется как

${{V}_{\theta }} = {{V}_{0}} + ({\varepsilon \mathord{\left/ {\vphantom {\varepsilon q}} \right. \kern-0em} q}){{V}_{{||i}}}$.

На установке Т-10 в течение многих лет проводились эксперименты по определению радиального хода электрического потенциала ${{\phi }_{0}}(r,t)$ в зависимости от различных параметров плазмы. Ниже приведены численные расчеты, демонстрирующие, как изменяется величина электростатического потенциала, полоидальной скорости и радиального электрического поля в зависимости от изменения электронной температуры (ЭЦР-нагрев) и плотности плазмы в расчетном слое в режиме развитой турбулентности.

4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТОВ

Численный код дает возможность, используя систему уравнений (1.а)–(1.f) , рассчитать величины ϕ, n, pe,i ,V||i , полоидальную скорость V0(r,t) и потенциал ${{\phi }_{0}}$ = ${{\phi }_{0}}$(r, t) + ${{\phi }_{1}}$(r, θ, t).

Численные расчеты проводились в пристеночной области r0 = 26 cм < r < a = 32 cм при следующих параметрах токамака Т-10: R = 150 cм, d = = 6 cм, B = 2.1 Tл, q = 3–5, ${{n}_{0}}({{r}_{0}})$ = 0.5–1.2, ${{n}_{0}}(a)$ = = 0.3 (плотность измеряется в единицах 1013 см3), Tbe(${{r}_{0}}$) = 50–160 эВ, Tbi(${{r}_{0}}$) = 50 эВ, Twe(a) = Twi(a) = = 30 эВ. Рабочий газ – дейтерий mi = 2, Zeff = 1.6. Номер полоидальной гармоники баллонной моды, m = 30, выбирался из условия максимальности величины турбулентного потока частиц.

В турбулентном режиме рассматриваемые полевые переменные осциллируют во времени, поэтому при построении графиков использовалась формула усреднения

$A \Rightarrow \frac{1}{T}\int\limits_0^T {A({\mathbf{r}},t)dt} .$

Переход в режим ЭЦР-нагрева при различных уровнях вводимой мощности моделировался изменением температуры электронов Te(r = 26 cм) на внутренней границе слоя ${{r}_{0}}$ = 26 см. Считалось, что тепловая волна от ЭЦР-нагрева приходит из центра плазмы, повышая температуру электронов Tbe на границе слоя r = ${{r}_{0}}$ = 26 см, примыкающей к основной плазме.

Условно будем считать, что омический нагрев соответствует температуре электронов Tbe = = Te(26) = 50 эВ. Из рис. 1 видно, что переход от низких температур электронов к более высоким (переход из ОН-режима в ЭЦР-режим) в интервале температур 50 эВ < Tbe < 125 эВ радиальная производная потенциала, в основном, положительна dϕ0/dr > 0, то есть электрическое поле остается на ширине слоя отрицательным Er < 0. При этом с ростом мощности нагрева происходит уменьшение модуля электрического поля |Er|ECR < < |Er|OH. В этих расчетах были выбраны следующие граничные условия для плотности плазмы n0(26) = 0.5, n0(32) = 0.1, которые в процессе вычислений не менялись.

Рис. 1.

Радиальная зависимость электрического потенциала для Te(26) = 50, 100, 125 эВ.

Как следует из уравнения (8), генерация полоидальной скорости определяется действием двух основных сил: турбулентной силы Рейнольдса FR и геодезической силы Стрингера–Винзора FSW, связанной с ГА модой полного давления плазмы $\left\langle {({{p}_{e}} + {{p}_{i}})\sin \theta } \right\rangle $. Расчеты показывают, что силы FR и FSW направлены в разные стороны, отчасти компенсируя друг друга [14]. При этом сила FR > 0, что приводит к вращению плазмы в направлении диамагнитного вращения электронов. В то же время сила FSW < 0 действует в противоположном направлении. Как правило, |FR| > |FSW|.

Ha рис. 2 показано уменьшение радиальной зависимости полоидальной скорости V0(r, t) с ростом электронной температуры Tbe при увеличении вводимой мощности ЭЦР-нагрева в области замкнутых силовых линий. С ростом температуры электронов (при ЭЦР-нагреве) турбулентные флуктуации растут из-за увеличения dpe0/dr, однако этот рост ограничен из-за одновременного увеличения диссипации ($ \sim {\kern 1pt} T_{{e0}}^{{3/2}}$) за счет продольного тока и продольной теплопроводности ($ \sim {\kern 1pt} T_{{e0}}^{{5/2}}$). В то же время рост ГА моды давления $\left\langle {({{p}_{e}} + {{p}_{i}})\sin \theta } \right\rangle $ приводит к увеличению силы FSW. В результате суммарная сила FR + FSW уменьшается (за счет разнонаправленности) , что приводит к падению величины скорости V0(r, t) с последующим уменьшением электростатического потенциала (7) и величины радиального поля (см. рис. 3). Рисунок 4 демонстрирует уменьшение суммарной силы FR + + FSW с ростом ЭЦР-нагрева. В области SOL важную роль начинает играть сила FSOL, и величина скорости теперь определяется действием суммы сил FR + FSW + FSOL. Из рис. 5 следует, что сила FSOL отрицательна вблизи сепаратрисы и затем, меняя знак, становится положительной на стенке. В результате суммарного действия указанных сил электрическое поле меняет знак при переходе через сепаратрису, E(r, t) > 0, и растет с ростом электронной температуры. Поведение электрического поля, близкое к рассмотренному выше, наблюдалось в численных расчетах в работах [1518].

Рис. 2.

Радиальная зависимость полоидальной скорости плазмы для Te(26) = 50, 100, 125 эВ.

Рис. 3.

Радиальная зависимость электрического поля для Te(26) = 50, 100, 125 эВ.

Рис. 4.

Радиальная зависимость суммарной силы FR + + FSW для Te(26) = 50, 100, 125 эВ.

Рис. 5.

Радиальная зависимость силы FSOL для Te(26) = 50, 100, 125 эВ.

На рис. 6 приведены экспериментальные данные по измерению радиальной зависимости потенциала в области замкнутых силовых линий магнитного поля для различных мощностей ЭЦР-нагрева. Видно, что максимальный наклон потенциала с ∂ϕ0/∂r > 0, и максимальное электрическое поле Е < 0 достигается в случае омического нагрева [19]. С увеличением мощности ЭЦР-нагрева происходит постепенное уменьшение наклона производной, что качественно совпадает с вышеприведенными результатами численного моделирования.

Рис. 6.

Радиальная зависимость потенциала при различных мощностях ЭЦР-нагрева (эксперимент на Т‑10 [4]). 1 – 0 МВт ; 2 – 0.9 MBт ; 3 – 1.2 МВт.

Также были проведены расчеты профиля потенциала для различных величин плотности плазмы. При рассмотрении поведения потенциала при изменении плотности и последующем сравнении результатов численного моделирования с данными эксперимента плазмы важно учесть тот факт, что в эксперименте изменение плотности, как правило, приводит к изменению температуры электронов [20].

В таблице 1 приведены граничные величины Te(26) и n0(26), а также соответствующие величины для температуры электронов и плотности на стенке при r = a = 32 см, полученные из эксперимента [5] и используемые ниже при численном моделировании.

Таблица 1
Te (26), эВ Te (32), эВ ${{n}_{0}}$ (26) ${{n}_{0}}$ (32)
60 30 1.2 0.3
80 30 1.0 0.3
110 30 0.7 0.3
140 30 0.4 0.3
160 30 0.2 0.3

На рис. 7 представлена радиальная зависимость потенциала для различных величин плотности плазмы n0(26), n0(32) и соответствующих температур электронов на границах расчетного слоя Te(26), Te(32). Температура ионов была выбрана близкой к данным эксперимента Ti(26) = = 60 эВ, Ti(32) = 30 эВ.

Рис. 7.

Радиальная зависимость электрического потенциала для параметров плазмы из таблицы.

Для объяснения наблюдаемого роста модуля потенциала с ростом плотности плазмы (и одновременным ростом Te) заметим, что с увеличением плотности плазмы увеличиваются “движущие силы” турбулентности – градиенты dn0/dr, dp0e,i/dr, и, несмотря на определенный рост $T_{{e0}}^{{3/2}}{\text{/}}{{n}_{0}}$ диссипации за счет продольного тока, в результате получаем рост кинетической (содержащей ${{\tilde {V}}_{{Er}}},\;{{\tilde {V}}_{{E\theta }}},\;{{\tilde {V}}_{{Di}}}$) и тепловой ($\tilde {n},\;{{\tilde {p}}_{e}},\;{{\tilde {p}}_{i}}$) энергии флуктуаций и соответственно увеличение турбулентной силы Рейнольдса FR . В то же время величина силы FSW увеличивается из-за роста давления $\left\langle {p\sin \theta } \right\rangle $, но уменьшается за счет фактора 1/n0. В результате суммарная результирующая сила FR + FSW, ответственная за раскрутку плазмы в полоидальном направлении, возрастает (см. рис. 9), что приводит к росту потенциала. Рисунок 8 демонстрирует радиальную структуру поля E(r), соответствующую радиальной зависимости потенциала на рис. 7. Важная особенность приведенных численных результатов заключается в появлении отрицательной производной потенциала (и соответственно положительного поля E(r) > 0) при низких плотностях ${{n}_{0}}$ ~ 0.4 плазмы. Такое же поведение потенциала наблюдается и на рис. 10, где приведены радиальные зависимости потенциала для различных величин плотности n0(26), полученных в эксперименте на Т-10 и опубликованных в работе [4]. Видно качественное согласие результатов численных расчетов с данными эксперимента, что подтверждает адекватность выбранной теоретической модели для расчета электрических полей и полоидального вращения плазмы в пристеночной зоне токамака.

Рис. 8.

Радиальная зависимость электрического поля для ${{n}_{0}}$(26) = 1.2–0.4.

Рис. 9.

Радиальная зависимость суммарной силы FR + + FSW для ${{n}_{0}}$(26) = 1.2–0.4.

Рис. 10.

Радиальная зависимость потенциала при различных плотностях (экcперимент на Т-10 [5]).

Численное моделирование в рамках представленной теоретической модели показывает, что важную роль в поведении радиального электрического поля в токамаке играет турбулентная сила FR, которая существенным образом зависит от электронной температуры. Это приводит к выводу о том, что в турбулентной плазме расчеты указанного поля, основанные на неоклассической теории (в которой FR = 0 и основная зависимость связана с температурой ионов), не могут быть признаны адекватными.

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе в рамках решения нелинейных редуцированных двухжидкостных МГД-уравнений проведен численный расчет турбулентной динамики пристеночного слоя плазмы токамака Т-10. Изучалось поведение потенциала электрического поля в зависимости от величины вводимой в пристеночный слой ЭЦР-мощности. В расчетах изменение мощности ЭЦР-нагрева моделировалось изменением температуры электронов Tbe на внешней стороне расчетного слоя. Из результатов расчетов следует, что в зависимости от величины вводимой ЭЦР-мощности потенциал электрического поля имеет различное радиальное распределение в рассматриваемой периферийной зоне токамака. Так, при низких уровнях ЭЦР-нагрева (низких температурах электронов) величина потенциала электрического поля имеет спадающий вид до некоторой величины ϕ0 < 0 на внешней стороне расчетного слоя (dϕ0/dr>0). Причем с ростом уровня ЭЦР-нагрева (увеличением электронной температуры) наблюдается уменьшение величины спада потенциала. Показано, что генерация полоидальной скорости, а значит, и величина потенциала, определяется действием двух разнонаправленных основных сил: турбулентной силы Рейнольдса FR > 0 и геодезической силы Стрингера–Винзора FSW < 0. Если первая сила определяется, в основном, мелкомасштабными флуктуациями, связанными с диссипативной баллонной турбулентностью, то вторая пропорциональна ГА моде суммарного давления $\left\langle {({{p}_{e}} + {{p}_{i}})\sin \theta } \right\rangle $. Как правило, |FR| > |FSW|. При ЭЦР-нагреве сила Рейнольдса FR уменьшается вследствие роста продольной диссипации ~Te3/2 и продольной теплопроводности $\sim {\kern 1pt} T_{e}^{{5/2}}$ из-за падения амплитуды турбулентных флуктуаций. В то же время за счет роста ГА моды давления $\left\langle {({{p}_{e}} + {{p}_{i}})\sin \theta } \right\rangle $ величина силы FSW увеличивается. Суммарная сила FR + FSW уменьшается, что приводит к падению амплитуды полоидальной скорости ионов и, соответственно, к уменьшению величины электростатического потенциала ${{\phi }_{0}}(r,t)$ с ростом вводимой мощности ЭЦР-нагрева, что и наблюдается на эксперименте. В случае роста плотности плазмы увеличиваются “движущие силы” турбулентности – градиенты dn0/dr, dp0/dr, что приводит к росту кинетической энергии флуктуаций и силы Рейнольдса FR. Величина силы FSW увеличивается благодаря росту давления $\left\langle {({{p}_{e}} + {{p}_{i}})\sin \theta } \right\rangle $, но уменьшается из-за фактора 1/n0. Как следствие, результирующая сила FR + + FSW, генерирующая полоидальную скорость, возрастает, что приводит к росту потенциала. Таким образом, данные численного моделирования как в случае ЭЦР-нагрева, так и в рассматриваемых случаях изменения плотности плазмы качественно согласуются с результатами эксперимента на Т-10.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-22-00193). Работа А.В. Мель-никова частично поддержана Программой повышения конкурентоспособности НИЯУ МИФИ.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В большинстве экспериментальных данных приводятся средние по полоидальному углу от параметров плазмы, ${{f}_{0}}(r,t) = {{\left\langle {f(r,\theta ,t)} \right\rangle }_{\theta }}$. Полезно получить отдельные эволюционные уравнения для переменных f0$\left\{ {{{V}_{0}},{{n}_{0}},{{p}_{{e,i\,0}}},{{V}_{{||0}}}} \right\}$, используя разложение $f(r,\theta ,t) = {{f}_{0}}(r,t) + \tilde {f}(r,\theta ,t)$, ${{f}_{0}} = \left\langle f \right\rangle = $ $ = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {fd\theta } $. После усреднения уравнений, выписанных в разд. 2, приходим к уравнениям для усредненных величин

(П.a)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{n}_{0}}}}{{\partial t}} + {{\nabla }_{r}}{{\Gamma }_{n}} = {{\Psi }_{n}} + {{D}_{ \bot }}\frac{{{{d}^{2}}{{n}_{0}}}}{{d{{r}^{2}}}}, \\ {{\Gamma }_{n}} = \left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{Er}}}\tilde {n}} \right\rangle ,\quad {{\Psi }_{n}} = \left\langle {g \cdot [nC(\varphi ) - \alpha C({{p}_{e}})]} \right\rangle ; \\ \end{gathered} $
(П.b)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{p}_{{e0}}}}}{{\partial t}} + {{\nabla }_{r}}{{Q}_{e}} = {{\Psi }_{{pe}}} - \frac{2}{3}\sigma \left\langle {\frac{{\partial {{{\tilde {p}}}_{e}}}}{{\partial \theta }}\frac{{\partial{ \tilde {H}}}}{{\partial \theta }}} \right\rangle - \\ - \;\frac{2}{3}\gamma \left\langle {{{{\tilde {p}}}_{e}}\frac{{\partial {{{\tilde {V}}}_{{||i}}}}}{{\partial \theta }}} \right\rangle + {{\chi }_{{ \bot e}}}\frac{{{{d}^{2}}{{p}_{{e0}}}}}{{d{{r}^{2}}}} - \left\langle {{{W}_{{ei}}}} \right\rangle , \\ {{Q}_{e}} = \left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{Er}}}{{{\tilde {p}}}_{e}}} \right\rangle , \\ {{\Psi }_{{pe}}} = \left\langle {\frac{5}{3}g\left\{ {[{{p}_{e}}C(\varphi ) - \xi C({{p}_{e}}{{T}_{e}})]} \right\}} \right\rangle ; \\ \end{gathered} $
(П.c)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{p}_{{i0}}}}}{{\partial t}} + {{\nabla }_{r}}{{Q}_{i}} = {{\Psi }_{{pi}}} - \frac{5}{3}\sigma \left\langle {\frac{{\partial {{{\tilde {p}}}_{i}}}}{{\partial \theta }}\frac{{\partial{ \tilde {H}}}}{{\partial \theta }}} \right\rangle - \\ - \;\frac{2}{3}\gamma \left\langle {{{{\tilde {p}}}_{i}}\frac{{\partial {{{\tilde {V}}}_{{||i}}}}}{{\partial \theta }}} \right\rangle + {{\chi }_{{ \bot i}}}\frac{{{{d}^{2}}{{p}_{{i0}}}}}{{d{{r}^{2}}}} + \left\langle {{{W}_{{ei}}}} \right\rangle , \\ {{Q}_{i}} = \left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{Er}}}{{{\tilde {p}}}_{i}}} \right\rangle ,\quad {{\Psi }_{{pi}}} = \left\langle {\frac{5}{3}g} \right.\left\{ {[{{p}_{i}}C(\varphi ) + \xi C({{p}_{i}}{{T}_{i}})} \right. - \\ \left. {\left. {{{ - }_{{_{\begin{subarray}{l} \\ \end{subarray} }}}}\xi {{T}_{i}}C({{p}_{e}} + {{p}_{i}})]} \right\}} \right\rangle ; \\ \end{gathered} $
(П.d)
$\begin{gathered} \frac{{\partial {{V}_{{||0}}}}}{{\partial t}} + {{\nabla }_{r}}{{\Pi }_{{r||}}} = {{\mu }_{ \bot }}\frac{{{{d}^{2}}{{V}_{{||0}}}}}{{d{{r}^{2}}}} + \xi g\frac{{d\left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{i||}}}\sin \theta } \right\rangle }}{{dr}}, \\ {{\Pi }_{{r||}}} = \gamma \left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{Er}}}{{{\tilde {V}}}_{{i||}}}} \right\rangle . \\ \end{gathered} $

К системе (П.a)–(П.d) необходимо добавить уравнение (8) для полоидальной скорости V0(r, t). При решении системы (П.a)–(П.d) были использованы граничные условия

$\begin{gathered} {{n}_{{\text{0}}}}({{r}_{0}}) = {{n}_{b}},\quad {{n}_{{\text{0}}}}(a) = {{n}_{W}},\quad {{p}_{{{\text{0}}e}}}({{r}_{0}}) = {{p}_{{be}}}, \\ {{p}_{{{\text{0}}e}}}(a) = {{p}_{{We}}},\quad {{p}_{{{\text{0}}i}}}({{r}_{0}}) = {{p}_{{bi}}},\quad {{p}_{{{\text{0}}i}}}(a) = {{p}_{{Wi}}}, \\ d{{V}_{{||0}}}({{r}_{0}}){\text{/}}dr = 0,\quad {{V}_{{||0}}}(a) = {{C}_{S}}{\text{/}}{{V}_{{Ti}}},\quad {{V}_{{Ti}}} = \sqrt {\frac{{{{T}_{*}}}}{{{{m}_{i}}}}} . \\ \end{gathered} $

Турбулентные потоки импульса, частиц и тепла вычисляются как сумма потоков аксиально-симметричных (fA) и баллонных мод (fB):

$\begin{gathered} \Pi = \Pi {}_{A}\; + {{\Pi }_{B}},\quad {{\Gamma }_{i}} = {{\Gamma }_{A}} + {{\Gamma }_{B}},\quad {{q}_{{e,i}}} = {{Q}_{{Ae,i}}} + {{Q}_{{Be,i}}}, \\ {{\Pi }_{A}} = \left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{Er}}}\tilde {w}} \right\rangle ,\quad {{\Gamma }_{{AX}}} = \left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{Er}}}\tilde {n}} \right\rangle ,\quad {{Q}_{{AXe,i}}} = \left\langle {{{{\tilde {V}}}_{{Er}}}{{{\tilde {p}}}_{{e,i}}}} \right\rangle , \\ {{{\tilde {V}}}_{{Er}}} = - \frac{{\text{1}}}{r}\frac{{\partial{ \tilde {\varphi }}}}{{\partial \theta }}, \\ \end{gathered} $
${{\Pi }_{B}} = - \frac{m}{r}{{\left\langle {\tilde {\omega }\frac{{\partial{ \tilde {\phi }}}}{{\partial \lambda }}} \right\rangle }_{\lambda }} = \frac{m}{{2r}}\left( {{{\phi }_{{BC}}}{{\omega }_{{BS}}} - {{\phi }_{{BS}}}{{\omega }_{{BC}}}} \right),$
${{\Gamma }_{B}} = - \frac{m}{r}{{\left\langle {\tilde {n}\frac{{\partial{ \tilde {\phi }}}}{{\partial \lambda }}} \right\rangle }_{\lambda }} = \frac{m}{{2r}}\left( {{{\phi }_{{BC}}}{{n}_{{BS}}} - {{\phi }_{{BS}}}{{n}_{{BC}}}} \right),$
$\begin{gathered} {{Q}_{{Bj}}} = - \frac{m}{r}{{\left\langle {{{{\tilde {p}}}_{j}}\frac{{\partial{ \tilde {\varphi }}}}{{\partial \lambda }}} \right\rangle }_{\lambda }} = \frac{m}{{2r}}\left( {{{\varphi }_{{BC}}}{{p}_{{BSj}}} - {{\varphi }_{{BS}}}{{p}_{{BCj}}}} \right), \\ j = e,i. \\ \end{gathered} $

Отметим, что основной вклад в переносы вносят потоки ${{\Pi }_{B}},\;{{\Gamma }_{B}},\;{{Q}_{{Bj}}},$ $j = e,i$, связанные с баллонными модами. Cистема уравнений для баллонных мод  fBS,BC = {WBS,BC, ${{n}_{{BS,BC}}}$, ${{p}_{{e\,BS,BC}}}$} для случая pi = τpe представлена в работе [12].

Список литературы

  1. Мельников А.В. Электрический потенциал в плазме тороидальных установок. М.: НИЯУ МИФИ, 2015.

  2. Wagner F. // Plasma Phys. Control. Fusion. 2007. V. 49. B1.

  3. Viezzer T., Putterich G.D., Conway R., Dux1 T., Hap-pel J.C., Fuchs R.M., McDermott F., Ryter B., Sieglin W., Suttrop1 M., Willensdorfer E. Wolfrum1 and the ASDEX Upgrade Team // Nucl. Fusion. 2013. V. 53. 053005.

  4. Melnikov A.V., Vershkov V.A., Grashin S.A. et al. // 37th EPS Conf. Plasma Physics, Dublin, Ireland, 2010. ECA. V. 34A. Rep.O5.1280.

  5. Melnikov A.V., Eliseev L.G., Perfilov S.V., Andreev V.F., Grashin S.A., Dyabilin K.S., Chudnovskiy A.N., Isa-ev M.Yu., Lysenko S.E., Mavrin V.A., Mikhailov M.I., Ryzhakov D.V., Shurygin R.V., Zenin V.N. // Nucl. Fusion. 2013. V. 53. 093019.

  6. Simakov A.N., Catto P. J. // Phys. Plasmas. 2003. V. 10. P. 4744.

  7. Zeiler A., Drake J.F., Rogers B. // Phys. Plasmas. 1997. V. 39. P. 2134.

  8. Шурыгин Р.В., Морозов Д.Х. // Физика плазмы. 2014. Т. 40. С. 1037.

  9. Шурыгин Р.В., Маврин А.А. // Физика плазмы. 2010. Т. 36. С. 579.

  10. Garsia O.E., Bian N.H., Fundamenski W. // Phys. Plasmas. 2006. V. 13. 082309.

  11. Guzdar P.N., Hassam A.B. // Phys. Plasmas. 1996. V. 3. P. 3701

  12. Шурыгин Р.В., Мельников А.В. // Физика плазмы. 2018. Т. 44. С. 263.

  13. McCarthy D.R., Drake J.F., Guzdar P.N., Hassam A.B. // Phys. Fluids. 1993. V. 4. P. 1188.

  14. Miyato N., Li J., Kishimoto Y. // Nucl. Fusion. 2006. V. 45. P. 425.

  15. Rozhansky V.A., Voskoboynikov S.P., Kaveeva E.G, Coster D.P., Schneider R. // Nucl. Fusion. 2001. V. 41. P. 387.

  16. Rozhansky V.A., Voskoboynikov S.P., Kaveeva E.G., Coster D.P., Bonnin X., Schneider R. // Nucl. Fusion. 2003. V. 43. P. 614.

  17. Rozhansky V. // Contrib. Plasma Phys. 2006. V. 46. № 7–9. P. 575.

  18. Rognlien T.D., Ryutov D.D., Mattor N., Porter C.D. // Phys. Plasmas. 1999. V. 6. P. 1851.

  19. Melnikov A.V., Krupnik L.I., Eliseev L.G., Barcala J.M., Bravo A., Chmyga A.A., Deshko G.N., Drabinskij M.A., Hidalgo C., Khabanov P.O., Khrebtov S.M., Khar-chev N.K.,. Komarov A.D, Kozachek A.S., Lopez J., Lysenko S.E., Martin G., Molinero A., J.L. de Pablos, Soleto A., Ufimtsev M.V., Zenin V.N., Zhezhera A.I., T-10 Team and TJ-II Team // Nucl. Fusion.2017. 57. № 7. 072004.

Дополнительные материалы отсутствуют.